辽宁省2014TI题目合并版
14年高考真题——文科数学(辽宁卷)-推荐下载
6
（D） c a b
（D） p q
辽宁
（D）
2014 年高考真题文科数学（解析版） 卷
8．已知点 A2, 3在抛物线 C ： y2 2 px 的准线上，记 C 的焦点为 F ，则直线
AF 的斜率为( )
（A） 4 3
（B） 1
9．设等差数列an的公差为 d ，若数列2a1an 为递减数列，则( )
⑴根据表中数据，问是否有 95%的把握认为
“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯
，求：⑴
a
和
方面有差异”； ⑵已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，
现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率。
附： 2 n n11n22 n12n21 2 ，
）
（A）5, 3
（D）4, 3
（B）6, 9 8
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．执行右侧的程序框图，若输入 n 3 ，则输出T
。
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
辽宁省2014学考真题
2014年辽宁省普通高中学生学业水平考试化学试卷（本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，满分100分，答题时间50分钟）第Ⅰ卷（选择题共60分）可能用到的相对原子质量：H:1 C:12 O:16 Na:23 S:32 Cl:35.5 Fe:56一、选择题（本题包括15小题，每小题4分，共60分；每小题只有一个选项符合题意）1. 氧化锌（ZnO）是白色粉末，可用于湿疹、癣等皮肤病的治疗。
ZnO跟下列哪种物质可归为一类氧化物A.CO2B.H2OC.MgOD.SO22．化学与生活息息相关。
下列叙述正确的是A.鲜榨橙汁遇到碘水会变蓝B.馒头越嚼越甜C.油脂经水解可以变成葡萄糖D.土豆中的淀粉经水解可变成酒3. 自来水中常含有Cl－,用稀硝酸和下列哪种试剂来检验自来水中的Cl－A.烧碱B.硝酸银C.纯碱D.醋酸4. 氧化还原反应在生产、生活中广泛存在，下列实例不涉及氧化还原反应的是A.金属冶炼B. 燃放鞭炮C. 食物腐败D.煤块粉碎5. 分离汽油和氯化钠溶液的混合液体，应用下列哪种分离方法A．分液 B.蒸发 C.过滤 D.萃取6.用固体样品配制一定物质的量浓度的溶液，需经过称量、溶解、转移溶液、定容等操作。
下列图示对应的操作规范的是7.物质的量是国际上规定的七个基本物理量之一,下列叙述中正确的是A.1mol H2的体积是22.4LB.1mol SO42-的质量是96g/molC.CO2的摩尔质量是44 g/molD.1mol/L盐酸中有1 mol H+8. 关于Na2CO3和NaHCO3性质的说法错误的是A.它们都可用作食用碱B.它们都含有Na+C.它们都可以与盐酸反应D. Na2CO3俗名小苏打, NaHCO3俗名纯碱9. 下列离子方程式书写正确的是A.钠和水反应: Na + H2O = Na+ + OH- + H2↑B.醋酸除水垢: 2H+ + CaCO3 = Ca2+ + H2O + CO2↑C.铁和氯化铁溶液反应: Fe + Fe3+ = 2Fe2+D.锌和稀硫酸反应: Zn + 2H+ = Zn2+ + H2↑10.液氨常用作冷库的制冷剂。
2014年高考辽宁文科科数学试题及答案(word解析版)教学提纲
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年辽宁，文1，5分】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合U ()A B =U ð（ ）（A ）{|0}x x ≥ （B ）{|1}x x ≤ （C ）{|01}x x ≤≤ （D ）{|01}x x << 【答案】D【解析】{}10A B x x x =≥≤U 或，∴{}U ()01A B x x =<<U ð，故选D ．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法． （2）【2014年辽宁，文2，5分】设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ）（A ）23i + （B ）23i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】A【解析】由(2i)(2i)5z --=，得：()()()52i 52i 2i 2i 2i 2i z +-===+--+，∴23i z =+，故选A ． 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．（3）【2014年辽宁，文3，5分】已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>【答案】D【解析】∵1030221a -<=<=，221log log 103b =<=，12221log log 3log 213c ==>=，∴c a b >>，故选D ．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．（4）【2014年辽宁，文4，5分】已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） （A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥（C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】A ：若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错，故选B ．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．（5）【2014年辽宁，文5，5分】设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0=g a b ，0=g b c ，则0=g a c ；命题q ：若a b P ，b c P ，则a c P ，则下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∨⌝ 【答案】A【解析】若0=g a b ，0=g b c ，则g g a b =b c ，即()0-=g a c b ，则0g a c =不一定成立，故命题p 为假命题，若a b P ，b c P ，则a c P ，故命题q 为真命题，则p q ∨，为真命题，p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ∨⌝都为假命题，故选A ．【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假是解决本题的关键．（6）【2014年辽宁，文6，5分】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）（A ）2π （B ）4π （C ）6π （D ）8πA【答案】B【解析】2112()124P A ππ⋅==⨯，故选B ． 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础． （7）【2014年辽宁，文7，5分】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）84π-（B ）82π-（C ）8π- （D ）82π-【答案】C【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个14圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积321221284V ππ=-⨯⨯⨯⨯=-，故选C ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（8）【2014年辽宁，文8，5分】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF的斜率为（ ）（A ）43- （B ）1- （C ）34- （D ）12-【答案】C【解析】∵点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，∴22p =，∴()2,0F ，∴直线AF 的斜率为33224=---，故选C ．【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题． （9）【2014年辽宁，文9，5分】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则（ ）（A ）0d > （B ）0d < （C ）10a d > （D ）10a d < 【答案】D【解析】∵等差数列{}n a 的公差为d ，∴1n n a a d +-=，又数列{}12na a 为递减数列，∴11112212n n a a a d a a +=<，∴10a d <，故选D ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．（10）【2014年辽宁，文10，5分】已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）（A ）1247[,][,]4334U （B ）3112[,][,]4343--U （C ）1347[,][,]3434U （D ）3113[,][,]4334--U【答案】A【解析】当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()12f x =，即1cos 2x π=，则3x ππ=，即13x =，当12x >时，由()12f x =，得1212x -=，解得34x =，则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤，（如图）则由()f x 为偶函数，∴当0x <时，不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤-，即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤-，则由31143x -≤-≤-或13134x ≤-≤，解得1243x ≤≤或4734x ≤≤，即不等式1(1)2f x -≤的解集为1243x ≤≤或4734x ≤≤，故选A ．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出0x ≥时，不等式()12f x ≤的解是解决本题的关键．（11）【2014年辽宁，文11，5分】将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增（C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 （D ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B【解析】把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：3sin 223y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．即23sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由2222232k x k πππππ-+≤-≤+， 得71212k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．取0k =，得71212x ππ≤≤． ∴所得图象对应的函数在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选B ．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．（12）【2014年辽宁，文12，5分】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[5,3]-- （B ）9[6,]8-- （C ）[6,2]-- （D ）[4,3]--【答案】C【解析】当0x =时，不等式32430ax x x -++≥对任意a ∈R 恒成立；当01x <≤时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≥--，令()23143f x x x x=--，则()()()234491189x x f x x x x x -+'=-++=-（*），当01x <≤时，()0f x '>，()f x 在(]0,1上单调递增，()()max 16f x f ==-∴6a ≥-；当20x -≤<时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x≤--，由（*）式可知，当21x -≤≤-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，()()min 12f x f =-=-，∴2a ≤-；综上所述，实数a 的取值范围是62a -≤≤-，即实数a 的取值范围是[6,2]--，故选C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）【2014年辽宁，文13，5分】执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = ． 【答案】20【解析】由程序框图知：算法的功能是求()()()112123123T i =+++++++++++L L 的值， 当输入3n =时，跳出循环的i 值为4，∴输出1361020T =+++=．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（14）【2014年辽宁，文14，5分】.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 ．【答案】18【解析】由约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩作出可行域如图，联立240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，∴()2,3C ．化目标函数34z x y =+为直线方程的斜截式，得：344zy x =-+．由图可知，当直线344zy x =-+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最大．∴max 324318z =⨯+⨯=．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．（15）【2014年辽宁，文15，5分】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．【答案】12【解析】如图：MN 的中点为Q ，易得212QF NB =，112QF AN =，∵Q 在椭圆C 上，∴1226QF QF a +==，∴||||12AN BN +=．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，基本知识的考查． （16）【2014年辽宁，文16，5分】对于0c >，当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 ．【答案】1-【解析】∵22420a ab b c -+-=，∴22221342416c b a ab b a b ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式得，()22222233223223242b b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥-++≥-+⋅=+ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎣⎦，故当2a b +最大时， 有344223b a b -=，∴12a b =，2c b =，∴22124224111142a b c b b b b ⎛⎫++=++=+- ⎪⎝⎭， 当2b =-时，取得最小值为1-．【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2014年辽宁，文17，12分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值．解：（1）由2BA BC =u u u r u u u r g 得cos 2ac B ⋅=．又1cos 3B =，所以6ac =．由余弦定理得22a c +=22cos b ac B +⋅．又因为3b =，所以22a c +=21326133+⨯⨯=．解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩．因为a c >，32a c =⎧∴⎨=⎩． （2）在ABC ∆中，2sin 1cos B B =-21221()3=-=．由正弦定理得sin sin b cB C=， 所以222sin 3sin 3c B C b⨯==42=．因为a c >，所以角C 为锐角．2cos 1sin C C =-24271()99=-=．cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+17224239=⨯+⨯2327=． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（18）【2014年辽宁，文18，12分】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽喜欢甜品 不喜欢甜品 合计南方学生60 20 80 北方学生10 10 20 合计70 30 100 （1”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，解：（1）由题意，()2210060102010 4.762 3.84170308020X ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．（2）从这5名学生中随机抽取3人，共有3510C =种情况，有2名喜欢甜品，有133C =种情况， ∴至多有1人喜欢甜品的概率710．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题． （19）【2014年辽宁，文19，12分】如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且AB BC =2BD ==，o 120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点． （1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D ﹣BCG 的体积．附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高．解：（1）∵2AB BC BD ===．120ABC DBC ∠=∠=︒，∴ABC DBC ∆∆≌，∴AC DC =，∵G 为AD 的中点，∴CG AD ⊥．同理BG AD ⊥，∵CG BG G =I ，∴AD ⊥平面BGC ， ∵//EF AD ，∴EF ⊥平面BCG ．（2）在平面ABC 内，作AO CB ⊥，交CB 的延长线于O ，∵ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，∴AO ⊥平面BCD ，∵G 为AD 的中点∴G 到平面BCD 的距离h 是AO 长度的一半．在AOB ∆中，sin 603AO AB =︒=，1111sin1203322D BCG D BCD DCB V V S h BD BC --∆===⋅⋅⋅⋅︒=．【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．（20）【2014年辽宁，文20，12分】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）． （1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：3y x =+交于A 、B 两点，若PAB ∆ 的面积为2，求C 的标准方程．解：（1）解法一：设圆半径r ，P 点上下两段线段长分别为2,,4m n r =，由射影定理得：2r mn =，三角形面积22422422421111444()168168162222s m n r m n r m n r r =++=+++≥++=++，仅当2m n ==时，s 取最大值，这时(2,2)P ．解法二：2()P k χ≥0.1000.050 0.010 k2.7063.841 6.635yxP O设切点P 的坐标为()00,x y ，且00x >，00y >．则切线的斜率为00x y -，故切线方程为()0000xy y x x y -=--， 即001x x y y +=．此时，切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形的面积000014482S x y x y =⋅⋅=⋅．再根据22004x y +=≥00x y ==P的坐标为．（2）设椭圆方程22221x y a b +=，11(,)A x y ，22(,)B x y．椭圆过点P 得：22221a b+=，则P到直线y x =+的距离d =．由题得：Δ122ABP S d AB =⋅⋅=，解得AB =．由弦长公式得()()()2222121212123214243AB k x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-=+-=⎣⎦⎣⎦，即2121216()-43x x x x +=．把点P 代入方程得：22221a b +=，由22221y x x y a b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得2210x a +-=，整理得2102x -=，12x x ∴+=，212232b x x b-=⋅，代入上式得2424831683b b b --⋅=，即4263103b b -+=，解得23b =，26a =，或26b =，23a =（舍），所以椭圆方程为：22163x y +=．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题．（21）【2014年辽宁，文21，12分】已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--．证 明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<．解：（1）2ππ()π(cos )2sin 2(0)π20,()4022f x x x x f f =---∴=--<=->Q ，()f x 在π(0)2，上有零点，()π(1sin )2osx πsin (π2osx)0f x x c x c '=+-=+->Q ，()f x ∴在π(0)2，上单调递增．（2）()(21x g x x ππ=--Q ，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()cos 211sin x x g x x x ππ-∴=-⋅+-+cos π2π(π),(0,)1sin π2x x g x x x x -∴-=-+∈+，设cos π2()1sin πx x h x x x --=++，π(0,)2x ∈，则()g x 与()h x 的零点同．22cos sin (1sin )cos 2cos 2π(-cos )2(1sin )()1sin (1sin )π1sin 1sin ππ(1sin )x x x x x x x x x h x x x x x x x -++--+'=+-=+-=+++++()π(1sin )f x x =+，π(0,)2x ∈．由（1）知，()f x 在π(0,)2上只有一个零点0x ，且在点0x 左负右正．()h x ∴在0x 点左侧递减，在0x 点右侧递增，且(0)10h =>，π()02h =，故0()0h x <，存在唯一20(0,)x x ∈，使得()20h x =，即2(π)0g x -=，12πx x ∴=-，即1210πx x x x +=<+，01πx x ∴+>，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点1x ，且01πx x +>．【点评】本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2014年辽宁，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ．（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC BD =，求证：AB ED =．解：（1）PD PG PDG PGD PD =∴∠=∠Q Q 为圆的切线，PDA DBA ∴∠=∠又PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠Q ， 9090BDA PFA AF EP PFA BDA AB ∴∠=∠⊥∴∠=︒∴∠=︒∴Q 为直径．（2）连接,BC DC 90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒Q 是直径，在Rt BDA Rt ACB ∆∆与中， ,AB BA AC BD ==，Rt BDA Rt ACB ∆≅∆，DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠Q//DAB CBA DC AB ∴∠=∠∴,90AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠=︒Q ED ∴为直径， 由（1）AB ED =．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题． （23）【2014年辽宁，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ． （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：（1）设11(,)x y 为圆221x y +=上任意一点，按题中要求变换后的点(,)x y ．根据题意得112x x y y =⎧⎨=⎩，所以112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩．由22111x y +=得2214y x +=．故C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）由2244220x y x y ⎧+=⎨+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩．不妨设1(1,0)P ，2(0,2)P，则线段中点坐标1(,1)2． 所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，即2430x y -+=．化为极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ-+=，即34sin 2cos ρθθ=-．【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题． （24）【2014年辽宁，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． （1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤．解：（1）()2|1|1f x x x =-+-33,[1,)1,(,1)x x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩．当1x ≥时，()331f x x =-≤，解得413x ≤≤；当1x <时，()11f x x =-≤，解得01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤．（2）2()16814g x x x =-+≤，解得13{|}44N x x =-≤≤．M N =I 3{|0}4x x ≤≤．当x M N ∈I 时，()1f x x =-． 22()[()]x f x x f x +=22(1)(1)x x x x -+-2x x =-211()42x =--，3{|0}4x x x ∈≤≤．221()[()]4x f x x f x ∴+≤．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．。
2014年(辽宁卷)普通高等学校招生全国统一考试(文科)数学(含解析)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = （ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x <<2．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i -3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅= ，0b c ⋅= ，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 【答案】C 【解析】9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ） A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x，y满足条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y=+的最大值为.15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G分别为AC、DC、AD的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D-BCG的体积.附：椎体的体积公式13V Sh=，其中S为底面面积，h为高.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.【考点定位】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式． 21. （本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+>.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲，连接DG并延长交圆于点A，作如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG PD弦AB垂直EP，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—辽宁卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设a,b,c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．84π-B ．82π- C ．8π- D ． 82π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d > B ．0d < C ．10a d > D ．10a d <10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334-- 11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T =.14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率. 附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅱ）求三棱锥D-BCG 的体积.附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21. （本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的x 0，有01x x π+>.22. （本小题满分10分）（选修4-1：几何证明选讲如图）EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（Ⅰ）求M ； （Ⅱ）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案一、选择题1.D [解析] 由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝x |0<x <1}2.A [解析] 由(z －2i)(2－i)＝5，得z －2i ＝52－i＝2＋i ，故z ＝2＋3i.3.D [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b4.B [解析] 由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误；若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与α相交，故D 错误5.A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题6.B [解析] 由题意AB ＝2，BC ＝1，可知长方形ABCD 的面积S ＝21＝2，以AB 为直径的半圆的面积S 1＝12π12＝π2.故质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P ＝π22＝π4.7.C [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之一后余下的部分，故该几何体体积V ＝23－12π122＝8－π8.C [解析] 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2，3)在准线上，故－p 2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2，0)，这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－349.D [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以 b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1，所以a 1d <0.10.Ａ [解析] 由题可知，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，函数f (x )单调递减，由cos πx ≤12，得13≤x ≤12；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，函数f (x )单调递增，由2x －1≤12，得12<x ≤34.故当x ≥0时，由f (x )≤12，得13≤x ≤34.又因为f (x )为偶函数，所以f (x )≤12的解解集为⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，34，所以不等式f (x －1)≤12的解满足－34≤x －1≤－13或13≤x －1≤34，解得x ∈⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74. 11.B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像 ，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎤π12，7π12上单调递增12.C [解析] 当－2≤x <0时，不等式可转化为a ≤x 2－4x －3x 3，令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故函数f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤f min (x )＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，不等式恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令g (x )＝x 2－4x －3x 3(0<x ≤1)，则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4，故函数g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥g max(x )＝g (1)＝1－4－31＝－6.综上，－6≤a ≤－2.13.20 [解析] 由题意可知，第一步，i ＝1，S ＝1，T ＝1；第二步，i ＝2，S ＝3，T ＝4；第三步，i ＝3，S ＝6，T ＝10；第四步，i ＝4，S ＝10，T ＝2014.18 [解析] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z4，当直线经过点C 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，故C 点坐标为(2，3)，这时z ＝32＋43＝18.15.12 [解析] 设MN 的中点为G ，则点G 在椭圆C 上，设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12·|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.16.1- [解析] 因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab =3×2ab ≤3（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大值．故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a2＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－1，其最小值为－1.17．解：（Ⅰ）由2BA BC ⋅=得，cos 2ca B =．又1cos 3B =．所以6ca =．由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+．又3b =．所以2292213a c +=+⨯=．解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2,3a c ==或3,2a c ==．因为a c >．所以3,2a c ==．（Ⅱ）在ABC ∆中，sin B ===．由正弦定理得，2sin sin 339c C B b ==⋅=．因a b=>，所以C为锐角．因此cos C == 79=．于是cos(B )cos cos sin sin C B C B C -=+1723393927=⋅+=． 18. （Ⅰ）将22⨯列联表中的数据代入公式计算．得22112212211212(n n n n )n x n n n n ++++-=2100(60102010)70308020⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯10021= 4.762≈．由于4.762 3.841>．所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”． （Ⅱ）从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间{121122123112=(,,),(,,),(,,),(,b ,)a a b a a b a a b a b Ω，123113212(,b ,),(,b ,),(,b ,),a b a b a b 223(,b ,)a b ，213(,b ,)a b ，}123(,b ,)b b ．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i 1,2=．b j 表示不喜欢甜品的学生，j 1,2,3=． Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则{112123113212223A (,b ,),(,b ,),(,b ,),(,b ,),(,b ,),a b a b a b a b a b =}213123(,b ,),(,b ,)a b b b ．事件A 是由7个基本事件组成．因而7()10P A =． 19. （Ⅰ）证明：由已知得ABC DBC ∆≅∆．因此AC DC =．又G 为AD 中点，所以CG AD ⊥；同理BG AD ⊥；因此AD ⊥平面BGC ．又//EF AD ．所以EF ⊥平面BCG ．（Ⅱ）在平面ABC 内．作AO CB ⊥．交CB 延长线于O ．由平面ABC ⊥平面BCD ．知AO ⊥平面BDC ．又G 为AD 中点，因此G 到平面BCD 距离h 是AO 长度的一半．在AOB ∆中，s i n 603A O AB =⋅所以01111sin1203322D BCG G BCD DBC V V S h BD BC --∆==⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=． G FEB CDAO20. （Ⅰ）设切点坐标为00(x ,y )00(x 0,y 0)>>．则切线斜率为0x y -．切线方程为0000y (x x )x y y -=--．即004x x y y +=．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482S x y x y =⋅⋅=．由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y ==时，00x y 有最大值．即S 有最小值．因此点P的坐标为．（Ⅱ）设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>．点1122A(x ,y ),B(x ,y)．由点P 在C 上知22221a b +=．并由22221,x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222620b x b ++-=．又12,x x 是方程的根，因此12212262x x bx x b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由11y x =22y x =得12AB x =-=．由点P 到直线l的距离为及2PAB S AB ∆==得429180b b -+=．解得26b =或3．因此26b =，23a =（舍）或23b =，26a =．从而所求C 的方程为22163x y +=．21. （Ⅰ）当(0,)2x π∈时，'()sin 2cos 0f x x x ππ=+->，所以()f x 在(0,)2π上为增函数．又(0)20f π=--<．2()4022f ππ=->．所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =． （Ⅱ）当(,)2x ππ∈时，化简得cos 2()()11sin x xg x x x ππ=-+-+．令t x π=-．记()()u t g t π=-=- t cos 211sin t t t π-++．(0,)2t π∈．则'()()(1sin )f t u t t π=+．由（Ⅰ）得，当0(0,x )t ∈时，'()0u t <；当0(,)2t x π∈时，'()0u t >．从而在0(,)2x π上()u t 为增函数，由()02u π=知，当0[,)2t x π∈时，()0u t <，所以()u t 在0[,)2x π上无零点．在0(0,x )上()u t 为减函数，由(0)1u =及0()0u x <知存在唯一00(0,x )t ∈，使得0()0u x =．于是存在唯一0(0,)2t π∈，使得0()u t =．设10(,)2x t πππ=-∈．100()()()0g x g t u t π=-==．因此存在唯一的1(,)2x ππ∈，使得1()0g x =．由于10x t π=-，00x t <，所以01x x π+>．22. （Ⅰ）因为PG PD =．所以PDG PGD ∠=∠．由于PD 为切线，所以PDA DBA ∠=∠．又由于PGD EGA ∠=∠，故DBA EGA ∠=∠． 所以,DBA BAD EGA BAD BDA PFA ∠+∠=∠+∠∠=∠从而由于AF EP ⊥，所以090PFA ∠=，于是090BDA ∠=．故AB 为圆的直径．（Ⅱ）连接BC DC 、．由于AB 是直径，故090BDA ACB ∠=∠=．在Rt BDA ∆和Rt ACB ∆中，AB BA =，AC BD =．从而Rt BDA Rt ACB ∆≅∆．于是DAB CBA ∠=∠．又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠．故//DC AB ．由于AB EP ⊥，所以DC EP ⊥，DCE ∠为直角．于是ED 为直径．由（Ⅰ）得，ED AB =．23. （Ⅰ）设11(,y )x 为圆上的点，经变换为C 上点(x,y)．依题意，得11,2,x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=得22()12yx +=．即曲线C 的方程为2214yx +=．故C 的参数方程为cos ,2sin ,x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）． （Ⅱ）由221,4220,y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,2,x y =⎧⎨=⎩不妨设12(1,0),(0,2)P P ．则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2． 所求直线的斜率为12k =．于是所求直线方程为111(x )22y -=-．化为极坐标方程为2cos 4sin ρθρθ- 3=-，即34sin 2cos ρθθ=-．24. （Ⅰ）33,[1,),()1,(,1),x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤．故413x ≤≤；当1x <时， 由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）由2()1681g x x x =-+4≤得2116x-44≤（），解得：1344x -≤≤．因此1344N x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，故304M N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭．当x M N ∈时，()1f x x =-，故22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+()x f x =⋅(1)x x =-14=-211()24x -≤．。
2014年普通高等学校招生考试辽宁理数
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--ZXXK12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．12πD ．18 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = . ZXXK14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中， 则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += . ZXXK16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求： （1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P （1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分） 已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)x g x x x x x π=--+-. 证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =； （2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.。
2014年全国高考辽宁省数学(理)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3] 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12π D ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = . 14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x=上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中， 则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += . 16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P （1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的x 0有01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学答案1. D2. A3. C4. B5. A6. D7. B8. C9. B 10. D 11. C 12. B 13.299C 14. 2315. 12 16. 2- 17.（Ⅰ）由2BA BC⋅=得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以ac =6.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b =3，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得a =2，c =3或a =3，c =2. 因为a >c ,∴ a =3，c =2. （Ⅱ）在ABC ∆中，sin 3B ===由正弦定理，得2sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1723393927⋅+⋅=. 18.（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= . 2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 19.（Ⅰ）证明：（方法一）过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC =∠FOC =2π，即FO ⊥BC ， 又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO ， 又EF ⊂面EFO ，所以EF ⊥BC .（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A (0，-1D ，C (0,2,0),因而11(0,,0)22E F ,所以33(,0,),(0,2,0)EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥. （Ⅱ）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角；在△EOC 中，EO =12EC =12BC ·cos 30°由△BGO ∽△BFC 知，BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO =2EOOG=,从而sin ∠EGO，即二面角E -BF -C. （方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又31(,,0),(,)2B F B E ==,由220n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得其中一个2(1,n =，设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos |cos ,|||||||5n nn n n n θ⋅=<>==⋅，因sin θ，即二面角E -BF -C 的正弦值为5. 20.（Ⅰ）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为0000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y+=≥知当且仅当00x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 得坐标为 ， 由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2C 的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+， 解得b 12=3，因此C 2方程为22163x y +=显然，l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my，点1122(,),(,)A x y B x y由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y ++-=，又12,y y 是方程的根，因此1212232y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩①②，由122,3x y m y=+得12122221212122()266()32x x m y y m m x x m y y y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122(2,2),(2)AP x y BP x y =--=-由题意知0A PB P ⋅=，所以1212112()2()40x x x x yy y ++++=⑤ ，将①，②，③，④代入⑤式整理得22110m -+=，解得1m =-或1m =，因此直线l 的方程为(1)02x y --=，或(1)02x y +-=. 21.（Ⅰ）当(0,)2x π∈时，2'()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π=-++--<，函数()f x 在(0,)2π上为减函数，又2816(0)0,()0323f f πππ=->=--<，所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =. （Ⅱ）考虑函数3()cos 2()4ln(3),[,]1sin 2x x h x x x x ππππ-=--∈+，令t x π=-，则[,]2x ππ∈时，[0,]2t π∈， 记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++，则3()'()(2)(1sin )f t u t t t π=++ ，由（Ⅰ）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0(,)2t x π∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点.在0(,)2x π上()u t 是减函数，由0()0,()4ln 202u x u π>=-<，存在唯一的10(,)2t x π∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10(,)2t x π∈使1()0u t =.因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当(,)2x ππ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1(,)2x ππ∈，使1()0g x =.因1110,x t t x π=->，所以01x x π+<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A .由于AF 垂直EP ，所以∠PF A =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°， 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB . 由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角 于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .23.（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x ty t⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）.(Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-， 化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24.（Ⅰ）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<； 所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4MN x x =≤≤.当x MN ∈时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014辽宁,理1)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=().A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案:D解析:∵A∪B={x|x≤0或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.故选D.2.(2014辽宁,理2)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=().A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i答案:A解析:∵(z-2i)(2-i)=5,∴z-2i=.∴z=2i+=2i+=2i+2+i=2+3i.故选A.3.(2014辽宁,理3)已知a=,b=log2,c=lo,则().A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a答案:C解析:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo>lo=1,∴c>a>b.故选C.4.(2014辽宁,理4)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是().A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案:B解析:对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面α内,故C不正确.对D:n还可能在α内,故D 不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.5.(2014辽宁,理5)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是().A.p∨qB.p∧qC.( p)∧( q)D.p∨( q)答案:A解析:对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p∨q 为真命题.故选A.6.(2014辽宁,理6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为().A.144B.120C.72D.24答案:D解析:插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为=24.故选D.7.(2014辽宁,理7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.8-2πB.8-πC.8-D.8-答案:B解析:由三视图知,原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1,高为2的四分之一圆柱,故几何体的体积为8-2×π×2×=8-π.故选B.8.(2014辽宁,理8)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则().A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0答案:C解析:∵数列{}为递减数列,∴,n∈N*,∴a1a n>a1a n+1,∴a1(a n+1-a n)<0.∵{a n}为公差为d的等差数列,∴a1d<0.故选C.9.(2014辽宁,理9)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数().A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增答案:B解析:设平移后的函数为f(x),则f(x)=3sin=3sin=-3sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得f(x)的递减区间为,k∈Z,同理得递增区间为,k∈Z.从而可判断得B正确.10.(2014辽宁,理10)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF的斜率为().A.B.C.D.答案:D解析:由题意可知准线方程x=-=-2,∴p=4,∴抛物线方程为y2=8x.由已知易得过点A与抛物线y2=8x相切的直线斜率存在,设为k,且k>0,则可得切线方程为y-3=k(x+2).联立方程消去x得ky2-8y+24+16k=0.(*) 由相切得Δ=64-4k(24+16k)=0,解得k=或k=-2(舍去),代入(*)解得y=8,把y=8代入y2=8x,得x=8,即切点B 的坐标为(8,8),又焦点F为(2,0),故直线BF的斜率为.11.(2014辽宁,理11)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是().A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3]答案:C解析:∵当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,即当x∈[-2,1]时,不等式ax3≥x2-4x-3(*)恒成立.(1)当x=0时,a∈R.(2)当0<x≤1时,由(*)得a≥恒成立.设f(x)=,则f'(x)=-.当0<x≤1时,x-9<0,x+1>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在(0,1]上单调递增.当0<x≤1时,可知a≥f(x)max=f(1)=-6.(3)当-2≤x<0时,由(*)得a≤.令f'(x)=0,得x=-1或x=9(舍).∴当-2≤x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<0时,f'(x)>0,∴f(x)在[-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.∴x∈[-2,0)时,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.∴可知a≤f(x)min=-2.综上所述,当x∈[-2,1]时,实数a的取值范围为-6≤a≤-2.故选C.12.(2014辽宁,理12)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为().A.B.C.D.答案:B解析:不妨令0≤x<y≤1,则|f(x)-f(y)|<|x-y|.法一:2|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(x)-f(y)-[f(y)-f(1)]|≤|f(x)-f(0)|+|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(1)|<|x-0|+|x-y|+|y-1|=x+(y-x)+(1-y)=,即得|f(x)-f(y)|<,对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,只需k大于|f(x)-f(y)|的最大值即可.故k≥.因此k的最小值为.法二:当|x-y|≤时,|f(x)-f(y)|<|x-y|≤,当|x-y|>时,|f(x)-f(y)|=|[f(x)-f(1)]-[f(y)-f(0)]|≤|f(x)-f(1)|+|f(y)-f(0)|<|x-1|+|y-0|=(1-x)+y=(y-x)<,对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,只需k大于|f(x)-f(y)|的最大值即可.故k≥.因此k的最小值为.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014辽宁,理13)执行右侧的程序框图,若输入x=9,则输出y=.答案:解析:输入x=9,则y=5,|y-x|=4>1,执行否,x=5,y=,|y-x|=>1,执行否,x=,y=,|y-x|=<1,执行是,输出y=. 14.(2014辽宁,理14)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是.答案:解析:由题意可知空白区域的面积为[x2-(-x2)]d x=x3.又正方形的面积为4,∴阴影部分的面积为4-,∴所求概率为.15.(2014辽宁,理15)已知椭圆C:=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案:12解析:如图,设MN的中点为P,则由F1是AM的中点,可知|AN|=2|PF1|.同理可得可知|BN|=2|PF2|.∴|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|).根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.16.(2014辽宁,理16)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,的最小值为.答案:-2解析:要求|2a+b|最大值,只需求(2a+b)2的最大值.∵4a2-2ab+4b2-c=0,∴4a2+b2=c+2ab-3b2.∴(2a+b)2=4a2+b2+4ab=c+2ab-3b2+4ab=c+6ab-3b2=c+3b(2a-b)=c+·2b(2a-b)≤c+=c+,即(2a+b)2≤c,当且仅当2b=2a-b,即3b=2a时取到等号,即(2a+b)2取到最大值.故3b=2a时,|2a+b|取到最大值.把3b=2a,即b=代入4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=a2.∴-2.∴当时,取到最小值-2.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014辽宁,理17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.分析:(1)将条件中的·=2,转化为边角的量表示,可得a与c的关系,再结合余弦定理列方程组求解.(2)由(1)及正弦定理可得sin C,进而求出cos C,再由两角差的余弦公式求出cos(B-C)的值.解:(1)由·=2,得c·a cos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2ac cos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B=,由正弦定理,得sin C=sin B=·.因a=b>c,所以C为锐角,因此cos C=.于是cos(B-C)=cos B cos C+sin B sin C=··.18.(本小题满分12分)(2014辽宁,理18)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).分析:(1)先由频率分布直方图计算出日销售量不低于100和日销售量低于50的概率.再由3天中连续2天日销售量不低于100,可分为第1,2天或第2,3天日销售量不低于100两种情况,从而由独立事件概率公式求值.(2)由题意知随机变量X服从二项分布,则可列出分布列及求出期望、方差.解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=·0.63=0.216.分布列为X0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216因为X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.19.(本小题满分12分)(2014辽宁,理19)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.(1)求证:EF⊥BC;(2)求二面角E-BF-C的正弦值.分析:法一:几何法.(1)证明线线垂直,可由线面垂直证得,可寻求过EF的平面与BC垂直即可.(2)由面面垂直可得线面垂直,再利用线面垂直性质构造二面角求解.法二:建立空间直角坐标系.(1)求各点坐标,利用向量垂直的条件证明线线垂直.(2)平面BFC的法向量易求出,平面BEF的法向量可运用法向量条件求得,再运用公式求出两法向量夹角的余弦值,进而求出所求正弦值.(1)证明:(方法一)过E作EO⊥BC,垂足为O,连OF,由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC.图1所以∠EOC=∠FOC=,即FO⊥BC.又EO⊥BC,因此BC⊥面EFO.又EF⊂面EFO,所以EF⊥BC.图2(方法二)由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系.易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0),因而E,F,所以,=(0,2,0),因此·=0.从而,所以EF⊥BC.(2)解:(方法一)在图1中,过O作OG⊥BF,垂足为G,连EG.由平面ABC⊥平面BDC,从而EO⊥面BDC.又OG⊥BF,由三垂线定理知EG⊥BF.因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角.在△EOC中,EO=EC=BC·cos30°=,由△BGO∽△BFC知,OG=·FC=,因此tan∠EGO==2.从而sin∠EGO=,即二面角E-BF-C正弦值为.(方法二)在图2中,平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面BEF的法向量n2=(x,y,z).又.由得其中一个n2=(1,-,1).设二面角E-BF-C大小为θ,且由题意知θ为锐角,则cosθ=|cos<n1,n2>|=.因此sinθ=,即所求二面角正弦值为.20.(本小题满分12分)(2014辽宁,理20)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).双曲线C1:=1过点P且离心率为.(1)求C1的方程;(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点.若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.分析:(1)设出切点P的坐标,利用直线和圆相切的性质,求出切线,进而求出切线与坐标轴的交点,运用基本不等式求出取最值时P的坐标代入双曲线方程求得结果.(2)运用待定系数法求出椭圆方程,将以AB为直径的圆过点P转化为·=0,运用韦达定理求解.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··.由=4≥2x0y0,知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值.因此点P的坐标为().由题意知解得a2=1,b2=2.故C1方程为x2-=1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为=1,其中b1>0.由P()在C2上,得=1,解得=3.因此C2方程为=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2).由得(m2+2)y2+2my-3=0.又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因为=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由题意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤将①,②,③,④代入⑤式整理,得2m2-2m+4-11=0.解得m=-1或m=-+1.因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.21.(本小题满分12分)(2014辽宁,理21)已知函数f(x)=(cos x-x)(π+2x)-(sin x+1),g(x)=3(x-π)cos x-4(1+sinx)ln.证明:(1)存在唯一x0∈,使f(x0)=0;(2)存在唯一x1∈,使g(x1)=0,且对(1)中的x0,有x0+x1<π.分析:(1)先判断f(x)的单调性,再运用根的存在性定理证明.(2)可构造函数h(x)=,再换元后,结合(1)可求出x0与x1的关系.证明:(1)当x∈时,f'(x)=-(1+sin x)(π+2x)-2x-cos x<0,函数f(x)在上为减函数.又f(0)=π->0,f=-π2-<0,所以存在唯一x0∈,使f(x0)=0.(2)考虑函数h(x)=-4ln,x∈.令t=π-x,则x∈时,t∈.记u(t)=h(π-t)=-4ln,则u'(t)=.由(1)得,当t∈(0,x0)时,u'(t)>0.当t∈时,u'(t)<0.在(0,x0)上u(t)是增函数.又u(0)=0,从而当t∈(0,x0]时,u(t)>0.所以u(t)在(0,x0]上无零点.在上u(t)为减函数,由u(x0)>0,u=-4ln2<0,知存在唯一t1∈,使u(t1)=0.所以存在唯一的t1∈,使u(t1)=0.因此存在唯一的x1=π-t1∈,使h(x1)=h(π-t1)=u(t1)=0.因为当x∈时,1+sin x>0,故g(x)=(1+sin x)h(x)与h(x)有相同的零点,所以存在唯一的x1∈,使g(x1)=0,因为x1=π-t1,t1>x0,所以x0+x1<π.请考生在第22,23,24三题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2014辽宁,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.分析:(1)证明AB是直径,即证明∠BDA=90°.由∠PFA=90°,从而寻求∠BDA=∠PFA就可证明.(2)要证AB=DE,即证DE为直径,连DC,即证∠DCE=90°,从而只需证明AB∥DC即可.证明:(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA.又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°.于是∠BDA=90°.故AB是直径.(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角.于是ED为直径.由(1)得ED=AB.23.(本小题满分10分)(2014辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.分析:(1)利用相关点法先求出直角坐标方程,再写出参数方程.(2)先联立方程求出P1,P2两点的坐标,进而求出P1P2的中点坐标,得到与l垂直的直线方程,再化为极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得由=1,得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.24.(本小题满分10分)(2014辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.分析:(1)分类讨论去绝对值符号即可.(2)在x∈M∩N的条件下,先化简x2f(x)+x[f(x)]2,再配方求其最大值即可.解:(1)f(x)=当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=.(2)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4,得16≤4,解得-≤x≤.因此N=.故M∩N=.当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=.。
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(辽宁卷带解析)答案解析
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科（辽宁卷）数学答案解析1、【答案】D【解析】试题分析：由已知得，或，故．考点：集合的运算．2、【答案】A【解析】试题分析：由已知得，．考点：复数的运算．3、【答案】C【解析】试题分析：因为，，，故.考点：指数函数和对数函数的图象和性质．4、【答案】B【解析】试题分析：若则或相交或异面，故A错；若，，，由直线和平面垂直的定义知，，故B正确；若，，则或，故C错；若，，则与位置关系不确定，故D错．考点：空间直线和平面的位置关系．5、【答案】A【解析】试题分析：若，，则，故，故命题是假命题；若，则，故命题是真命题，由复合命题真假判断知，是真命题，选A．考点：1、平面向量的数量积运算；2、向量共线．6、【答案】B【解析】试题分析：将一个质点随机投入长方形ABCD中，基本事件总数有无限多个，故可考虑几何概型求概率．由已知得，以AB为直径的半圆的面积为．又长方形ABCD的面积为，故质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，选B．考点：几何概型．7、【答案】B【解析】试题分析：由三视图还原几何体，得该几何体是棱长为2的正方体，切去底面半径为1、高为4的两个四分之一圆柱得到的几何体，故体积为，选Ｂ．考点：三视图．8、【答案】C【解析】试题分析：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．9、【答案】C【解析】试题分析：由已知得，，即，，又，故，从而，选C．考点：1、等差数列的定义；2、数列的单调性．10、【答案】Ａ【解析】试题分析：先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．考点：１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．11、【答案】B【解析】试题分析：将函数的图象向右平移个单位长度，得到，令，解得，故递增区间为（），当时，得递增区间为，选B．考点：1、三角函数图象变换；2、三角函数的单调性．12、【答案】C【解析】试题分析：不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数a的取值范围是．考点：利用导数求函数的极值和最值．13、【答案】【解析】试题分析：输入，在程序执行过程中，的值依次为；；；；，程序结束．输出．考点：程序框图．14、【答案】【解析】试题分析：画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．考点：线性规划．15、【答案】【解析】试题分析：如图所示，由已知条件得，点分布是椭圆的左、右焦点，且，分别是线段的中点，则在和中，，，又由椭圆定义得，，故．16、【答案】【解析】试题分析：设，则，代入到中，得，即……①因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，取最大值时，或，当时，，当时，，综上可知当时，的最小值为．考点：1、一元二次方程根的判别式；2、二次函数求值域．17、【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由及向量数量积的定义，得，从而，故再寻求关于的等式是解题关键．由，不难想到利用余弦定理，得，进而联立求；（2）利用差角余弦公式将展开，涉及的正弦值和余弦值．由可求，因为三角形三边确定，故可利用正弦定理或余弦定理求值，代入即可求的值．（1）由得，．又．所以．由余弦定理，得．又．所以．解得或．因为．所以．（2）在中，．由正弦定理得，．因，所以为锐角．因此．于是．考点：1、平面向量数量积定义；2、正弦定理；3、余弦定理．18、【答案】（1）有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）【解析】试题分析：（1）将列联表中的数据代入公式计算，得的值，然后与表格中的比较，若小于，则有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）从5名学生中随机抽取3人，有10种结果，构成基本事件空间，其中“至多有1人喜欢甜品”这个事件包含7个基本事件，代入古典概型的概率计算公式即可．（1）将列联表中的数据代入公式计算．得．由于．所以有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．（2）从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间，，，．其中表示喜欢甜品的学生，．表示不喜欢甜品的学生，．由10个基本事件组成，切这些基本事件出现是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则．事件A是由7个基本事件组成．因而．考点：1、独立性检验；2、古典概型．19、【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由已知得，是的中位线，故，则可转化为证明平面BCG．易证，则有，则在等腰三角形和等腰三角形中，且是中点，故，．从而平面BCG，进而平面BCG；（2）求四面体体积，为了便于计算底面积和高，往往可采取等体积转化法．由平面平面，利用面面垂直的性质，易作出面的垂线，同时求出点到面的距离，从而可求出点到平面距离，即四面体的高，进而求四面体体积．（1）证明：由已知得．因此．又为中点，所以；同理；因此平面．又．所以平面BCG．（2）在平面内．作．交延长线于．由平面平面．知平面．又为中点，因此到平面距离是长度的一半．在中，．所以．考点：1、直线和平面垂直的判定；2、面面垂直的性质；3、四面体的体积．20、【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．考点：1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．21、【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）依题意，只需证明函数在区间上存在唯一零点．往往转化为利用导数判断函数单调性、极值点，从而判断函数大致图象，进而说明零点分布情况．本题当时，，故在上为增函数，再说明端点函数值异号；（2）与（1）类似，只需证明函数在区间上存在唯一零点．但是不易利用导数判断函数大致图象，考虑到结论中，故需考虑第二问与第一问的关系，利用（1）的结论，设，则，，根据第一问中的符号，从而可判断函数的单调性，进而判断函数大致图象，确定函数的零点，寻求函数的零点与零点的关系，从而证明不等式．证明：（1）当时，，所以在上为增函数．又．．所以存在唯一，使．（2）当时，化简得．令．记．．则．由（1）得，当时，；当时，．从而在上为增函数，由知，当时，，所以在上无零点．在上为减函数，由及知存在唯一，使得．于是存在唯一，使得．设．．因此存在唯一的，使得．由于，，所以．考点：１、函数的零点；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．22、【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要证明为圆的直径，只需证明，结合，在和中，只需证明，从而转化为证明，由弦切角定理以及很容易证明；（2）要证明，由（1）得，只需证明为圆的直径．连接，只需证明．只需证明．因为，故，根据同弧所对的圆周角相等得，故，从而．得证（1）因为．所以．由于为切线，所以．又由于，所以．由于，所以，．故为圆的直径．（2）连接．由于是直径，故．在和中，，．从而．于是．又因为，所以．又因为，所以．故．由于，所以，为直角．于是为直径．由（1）得，．考点：1、三角形全等；2、弦切角定理；3、圆的性质．23、【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】试题分析：（1）由平面直角坐标系中的伸缩变换得变换前后对应的坐标关系．即，反解并代入圆中，得曲线C的普通方程．进而写出参数方程；（2）将直线与圆联立，求的交点的坐标，从而可确定与垂直的直线方程．再利用化直线的直角坐标方程为极坐标方程．（1）设为圆上的点，经变换为上点．依题意，得由得．即曲线的方程为．故C的参数方程为（为参数）．（2）由解得或不妨设．则线段的中点坐标为．所求直线的斜率为．于是所求直线方程为．化为极坐标方程为，即．考点：1、伸缩变换；2、曲线的参数方程；2、曲线的极坐标方程．24、【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）不等式变形为，然后分类讨论去绝对号解不等式得不等式解集；（2）解不等式，得．故．当时，，此时．代入中为二次函数，求其最大值即可．（1）当时，由得．故；当时，由得，故．所以的解集为．（2）由得．，故．当时，，故．考点：1、绝对值不等式解法；2、二次函数最值．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试 英语试题 (辽宁卷)附答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试英语（辽宁卷）第I卷第一部分听力（共两节，满分30分）（略）第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A ，B，C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑AA new study shows students who write notes by hand during lectures perform better on exams than those who use laptops(笔记本电脑)Students are increasingly using laptops for note-taking because of speed and legibility(清晰度). But the research has found laptop users are less able to remember and apply the concepts they have been taught.Researchers performed experiments that aimed to find out whether using a laptop increased the tendency to make notes “mindlessly”by taking down word for word what the professor said.In the first experiment, students were given either a laptop or pen and paper. They listened to the same lecturers and were told to use their usual note-taking skills. Thirty minutes after the talk, they were examined on their ability to remember facts and on how well they understood concepts.The researchers found that laptop users took twice as many notes as those who wrote by hand. However, the typists performed worse at remembering and applying the concepts. Both groups scored similarly when it came to memorizing facts.The researcher’s report said, “While more notes are beneficial, if the notes are taken mindlessly, as is more likely the case on a laptop, the benefit disappears.”In another experiment aimed at testing long-term memory, students took notes as before but were tested a week after the lecture. This time, the students who wrote notes by hand performed significantly better on the exam.These two experiments suggested that hand written notes are not only better for immediate learning and understanding, but that they also lead to superior revision in the future.21. More and more students favor laptops for note-taking, because they can________.A. write more notesB. digest concepts betterC. get higher scoresD. understand lectures better22. While taking notes, laptop users tend to be ________.A. skillfulB. mindlessC. thoughtfulD. tireless23. The author of the passage aims to ________.A. exams the importance of long-term memoryB. stress the benefit of taking notes by handC. explain the process of taking notesD. promote the use of laptops24. The passage is likely to appear in ________.A. a newspaper advertisementB. a computer textbookC. a science magazineD. a finance reportB(Q=Question; A=Answer)Situation IQ：If someone sits right next to me in an empty movie theater, is it rude to move?A : Maybe, but nobody will fault you for it. Chances are that the close sitter doesn’t realize hedisturbs you, so he may miss your annoyance. You undoubtedly aren’t the first person he’s met who needs enough room .Forgive his bad judgment, move quietly and enjoy the show. Situation IIQ: If I use the bathroom at a store, do I need to buy something?A: Consider frequency and urgency. Is this a one-time thing or an emergency? If so, you don’t have to buy anything, but it would be kind you did. However , if you regularly use the bathroom at this place, then you are a customer, and you should act like one .Situation IIIQ: If someone is talking loudly on the bus, is there a nice way to ask him to keep it down?A: No. Try other means :1) Stare at him until he gets aware of it and quiets down. 2) Lift your finger in a silence motion(动作) and smile. 3) Put on earphones and ignore him.Situation IVQ: If I remember my friend’s birthday a day late, should I apologize or just wish her a happy birthday like nothing happened ?A: This is the reason why the word belated was invented. “Happy belated birthday!” is short for : “Well, I know I forgot , but then I remembered. Forgive me and happy birthday.”Situation VQ: Can I lie about seeing a text because I was too busy or lazy to respond (回复) to it ?A: Don’t lie .Receiving a text does not mean you need to respond to it. Why waste a perfectly good lie when the truth will serve? “yes,”you can say if ever asked , “I saw it.”No explanation is needed as to why you don’t respond.25. You will get annoyed in a theater when _______.A. a person is too active.B. a person is too rude to you.C. a person talks too loudly.D. a person sits too close to you.26. How will you quiet someone down in a public place?A. By making fun of him continuously.B. By looking purposefully at him.C. By talking to him directly.D. By pointing angrily at him.27.The underlined word “belated ” in Situation IV probably means ______.A. predictedB. returnedC. cancelledD. delayed.28. What is the passage mainly about?A. Modern ways to mind your manners.B. Different ways to change other’s manners.C. Proper manners to offer help to others.D. Good manners to talk to people.CWould it surprise you to learn that, like animals, trees communicate with each other and pass on their wealth to the next generation?UBC Professor Simard explains how trees are much more complex than most of us ever imagined. Although Charles Darwin thought that trees are competing for survival of the fittest, Simard shows just how wrong he was. In fact, the opposite is true: trees survive through their co-operation and support, passing around necessary nutrition “depending on who needs it.”Nitrogen(氮) and carbon are shared through miles of underground fungi(真菌) networks, making sure that all trees in the forest ecological system give and receive just the right amount to keep them all healthy. This hidden system works in a very similar way to the networks of neurons(神经元) in our brains, and when one tree is destroyed, it affects all.Simard talks about “mother trees,” usually the largest and oldest plants on which all other trees depend. She explains how dying trees pass on the wealth to the next generation, transporting important minerals to young trees so they may continue to grow. When humans cut down “mother trees” with no awareness of these highly complex “tree societies” or the networks on which they feed, we are reducing the chances of survival for the entire forest.“We didn’t take any notice of it.” Simard says sadly. “Dying trees move nutrition into the young trees before dying, but we never give them chance.” If we could put across the message to the forestry industry, we could make a huge difference towards our environmental protection efforts for the future.29.The underlined sentence “the opposite is true”in Paragraph 2 probably means that trees__________ .A. compete for survivalB. protect their own wealthC. depend on each otherD. provide support for dying trees.30. “ Mother trees” are extremely important because they_______.A. look the largest in size in the forestB. pass on nutrition to young treesC. seem more likely to be cut down by humansD. know more about the complex “tree societies”31. The underlined word “it” in the last paragraph refers to_______.A. how “tree societies” workB. how trees grow oldC. how forestry industry developsD. how young trees survive32. What would be the best title for the passage?A. Old Trees Communicate Like HumansB. Young Trees Are In Need Of ProtectionC. Trees Are More Awesome Than You ThinkD. Trees Contribute To Our Society.3DTravis is the manager of G&G where he is responsible for forty employees (雇员) and profits (利润) of over &2 million per year. He's never late to work. He does not get upset on the job. When one of his employees started crying after a customer screamed at her. Travis took her away. “Your working uniform is your shelter, ”he told her. “Nothing anyone says will ever hurt you. You will always be as strong as you want to be.”Travis picked up that lecture in one of his G&G training courses, an education program that began on his first day and continues throughout an employee's occupation. The training has, Travis says, changed his life. G&G has taught him how to live, how to focus, how to get to work on time, and how to master his emotions (情绪). Most importantly, it taught him willpower.At the center of that education is an extreme focus on an all-important habit: willpower. Dozens of cases show that willpower is the single most important habit for a person's success.And the best way to strengthen willpower is to make it into a habit. “Sometimes it looks like people with great self-control aren’t working hard---–but that’s because they’ve made it automatic,” Angela Duckworth, one of the University of Pennsylvania researchers said, “Their willpower occurs without them having to think about it.”The company spent millions of dollars developing programs of study to train employees on self-control. Managers wrote workbooks that serve as guides to how to make willpower a habit in workers' lives. Those courses are, in part, why G&G has grown from a sleepy company into a large one with more than seventeen thousand stores and profits of more than &10 billion a year.33. We learn from Paragraph 2 that employees in G&G must ________.A. learn to give lecturesB. attend education programsC. design a working uniformD. develop a common hobby34. Willpower will become a habit when employees can _________.A. focus on the profitsB. benefit from the jobC. protect themselves wellD. control their feelings well35. What can we infer from the passage?A. G&G has grown into a large companyB. G&G will spend half its profits training employeesC. G&G may become more successful in the future.D. G&G has to produce more workbooks for managers.第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。
2014年高考辽宁理科科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一测试（辽宁）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年辽宁，理1，5分】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合U ()A B =U ð（ ）（A ）{|0}x x ≥ （B ）{|1}x x ≤ （C ）{|01}x x ≤≤ （D ）{|01}x x << 【答案】D【分析】{}10A B x x x =≥≤U 或，∴{}U ()01A B x x =<<U ð，故选D ．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法． （2）【2014年辽宁，理2，5分】设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ）（A ）23i + （B ）23i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】A【分析】由(2i)(2i)5z --=，得：()()()52i 52i 2i 2i 2i 2i z +-===+--+，∴23i z =+，故选A ． 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．（3）【2014年辽宁，理3，5分】已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>【答案】C【分析】∵1030221a -<=<=，221log log 103b =<=，12221log log 3log 213c ==>=，∴c a b >>，故选C ．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．（4）【2014年辽宁，理4，5分】已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） （A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥（C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【分析】A ：若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错，故选B ．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，考查直线和平面的平行、垂直的判断和性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线和平面的模型．（5）【2014年辽宁，理5，5分】设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0=g a b ，0=g b c ，则0=g a c ；命题q ：若a b P ，b c P ，则a c P ，则下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∨⌝ 【答案】A【分析】若0=g a b ，0=g b c ，则g g a b =b c ，即()0-=g a c b ，则0g a c =不一定成立，故命题p 为假命题，若a b P ，b c P ，则a c P ，故命题q 为真命题，则p q ∨，为真命题，p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ∨⌝都为假命题，故选A ．【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假是解决本题的关键．（6）【2014年辽宁，理6，5分】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）（A ）144 （B ）120 （C ）72 （D ）24 【答案】D【分析】3人全排，有336A =种方法，形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种，故选D ．【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键． （7）【2014年辽宁，理7，5分】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）82π-（B ）8π-（C ）82π-（D ）84π-【答案】B【分析】由三视图知：几何体是正方体切去两个14圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底 面半径为1，高为2，∴几何体的体积321221284V ππ=-⨯⨯⨯⨯=-，故选B ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． （8）【2014年辽宁，理8，5分】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则（ ）（A ）0d < （B ）0d > （C ）10a d < （D ）10a d > 【答案】C【分析】∵等差数列{}n a 的公差为d ，∴1n n a a d +-=，又数列{}12na a 为递减数列，∴11112212n n a a a d a a +=<，∴10a d <，故选C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识和基本技能方法，属于中档题．（9）【2014年辽宁，理9，5分】将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增（C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 （D ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B【分析】把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，得到的图象所对应的函数分析式为：3sin 223y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．即23sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由2222232k x k πππππ-+≤-≤+， 得71212k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．取0k =，得71212x ππ≤≤． ∴所得图象对应的函数在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选B ．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．（10）【2014年辽宁，理10，5分】已知点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线和C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）43【答案】D【分析】∵点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上，即准线方程为：2x =-，∴0p >，22p-=-即4p =，∴抛物线C ：28y x =，在第一象限的方程为22y x =，设切点(),B m n ，则22n m =，又导数1222y x '=⋅⋅，则在切点处的斜率为2m，∴322n m m -=+即222223m m m +=-，22m = （2舍去），∴切点()8,8B ，又()2,0F ，∴直线BF 的斜率为804823-=-，故选D ． 【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线和抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．（11）【2014年辽宁，理11，5分】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[5,3]-- （B ）9[6,]8-- （C ）[6,2]-- （D ）[4,3]--【答案】C【分析】当0x =时，不等式32430ax x x -++≥对任意a ∈R 恒成立；当01x <≤时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≥--，令()23143f x x x x=--，则()()()234491189x x f x x x x x -+'=-++=-（*），当01x <≤时，()0f x '>，()f x 在(]0,1上单调递增，()()max 16f x f ==-∴6a ≥-；当20x -≤<时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x≤--，由（*）式可知，当21x -≤≤-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，()()min 12f x f =-=-，∴2a ≤-；综上所述，实数a 的取值范围是62a -≤≤-，即实数a 的取值范围是[6,2]--，故选C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类和整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．（12）【2014年辽宁，理12，5分】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-．若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） （A ）12 （B ）14 （C ）12π （D ）18【答案】B【分析】依题意，定义在[0,1]上的函数()y f x =的斜率12k <，不妨令0k >，构造函数()kx f x k kx ⎧=⎨-⎩102k ⎛⎫<<⎪⎝⎭，满足()()010f f ==，()()12f x f y x y -<-． 当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且10,2y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()1110224f x f y kx ky k x y k k -=-=-≤-=⨯<；当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()()111224k f x f y kx k ky k x y k k k ⎛⎫-=--=+-≤+-=< ⎪⎝⎭；当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且10,2y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，同理可得，()()14f x f y -<；当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()()111224k f x f y k kx k ky k x y k ⎛⎫-=---=-≤⨯-=< ⎪⎝⎭；综上所述，对所有[],0,1x y ∈，()()14f x f y -<，∵对所有[],0,1x y ∈，()()f x f y k -<恒成立，∴14k ≥，即k 的最小值为14，故选B ．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想和等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）【2014年辽宁，理13，5分】执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = ．【答案】299【分析】由程序框图知：第一次循环9x =，9253y =+=，5941-=>； 第二次循环5x =，511233y =+=，1145133-=>；第三次循环113x =，1129299y =+=．1111421939+-=<， 满足条件1y x -<，跳出循环，输出299y =．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（14）【2014年辽宁，理14，5分】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物 线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 ． 【答案】23【分析】∵(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----，∴正方体的ABCD 的面积224S =⨯=，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积()12311111148212211233333S x dx x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=---+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是82343=．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．（15）【2014年辽宁，理15，5分】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 和C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．【答案】12【分析】如图：MN 的中点为Q ，易得212QF NB =，112QF AN =，∵Q 在椭圆C 上，∴1226QF QF a +==，∴||||12AN BN +=．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的使用，基本知识的考查． （16）【2014年辽宁，理16，5分】对于0c >，当非零实数,a b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c -+的最小值为 ．【答案】2-【分析】∵224240a ab b c -+-=，∴222211542416c b a ab b a b ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式得，222222151522241641515b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++≥-+⋅=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故当2a b +最大时， 有15446215b a b-=，∴32a b =，210c b =，∴2223453451121122310222a b c b b b b b b ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12b =时，取得最小值为2-．【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2014年辽宁，理17，12分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值．解：（1）由2BA BC =u u u r u u u r g 得cos 2ac B ⋅=．又1cos 3B =，所以6ac =．由余弦定理得22a c +=22cos b ac B +⋅．又因为3b =，所以22a c +=21326133+⨯⨯=．解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩．因为a c >，32a c =⎧∴⎨=⎩． （2）在ABC ∆中，2sin 1cos B B =-21221()3=-=．由正弦定理得sin sin b cB C=， 所以222sin 3sin 3c B C b⨯==429=．因为a c >，所以角C 为锐角．2cos 1sin C C =-24271()99=-=． cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+17224239=⨯+⨯2327=． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（18）【2014年辽宁，理18，12分】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为 概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X ．解：（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”， 2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”．1()(0.0060.0040.002)50P A =++⨯0.6=，2()0.003500.15P A =⨯=．()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=．（2）X 可能取的值为0,1,2,3．相应概率为0033(0)0.60.40.064P X C ==⨯⨯=；123(1)0.60.40.288P X C ==⨯⨯=； 223(2)0.60.40.432P X C ==⨯⨯=；330(3)0.60.40.216P X C ==⨯⨯=．X 的分布列为：X0 1 2 3 P 0.0640.288 0.432 0.216 因为(3,0.6)X B :0.40.72=．【点评】在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望和方差公式，考查分布列的求法．（19）【2014年辽宁，理19，12分】如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且AB BC =2BD ==， o 120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点． （1）求证：EF BC ⊥； （2）求二面角E BF C --的正弦值．解：解法一： （1）过E 作EO BC ⊥，垂足为O ，连OF ．由ABC DBC V V≌， 可证出EOC FOC V V ≌．所以2EOC FOC π∠=∠=，即FO BC ⊥，又EO BC ⊥，因此BC EFO ⊥面．又EF EFO ⊂面，所以EF BC ⊥．（2）在图1中，过O 作OG BF ⊥，垂足为G ，连结EG ．由ABC BCD ⊥平面平面，从 而EO BCD ⊥面，又OG BF ⊥，由三垂线定理可知EG BF ⊥，因此，EGO ∠为二面角E-BF-C 的平面角． 在EOC V中，113cos3022EO EC BC ⋅===o，由BGO BFC VV∽知，3BO OG FC BC ==g ，因此tan 2EOEGO OG∠==，从而25sin EGO ∠=，即二面角E-BF-C 正弦值为25． FEA DB图1FEBA OG解法二：（1）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示 空间直角坐标系． 易得(0,0,0)B ，(0,3)A -，(3,1,0)D -，(0,2,0)C ，因而13(0,2E ，31(,0)2F ，所以33(EF =u u u r ，(0,2,0)BC =u u u r ，因此0EF BC =u u u r u u u r g ，从而,EF BC EF BC ⊥⊥u u u r u u u r所以．（2）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又3113(,0),(0,)22BF BE ==u u u r u u u r ，由2200n BF n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg ，得其中一个 2(1,3,1)n =-．设二面角E-BF-C 大小为θ，且由题意知θ为锐角， 则121212cos cos ,=5n n n n n n θ⋅=<>=⋅25sin θ=25．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．（20）【2014年辽宁，理20，12分】圆224x y +=的切线和x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且3（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且和1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且和2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．解：（1）设切点坐标为00(,)x y （000,0x y >>），则切线斜率为00x y -，切线方程为0000()xy y x x y -=--，即004,x x y y +=此时两个坐标轴的正半轴和切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=．由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此P 坐标为(2,2)，由题意知222222213a ba b a⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=． （2）由（1）知2C 的焦点坐标为(3,0),(3,0)-，由此设2C 的方程为22221113x y b b +=+，10>其中b ， 由P (2,2)在2C 上，得22112213b b +=+，解得213b =，因此2C 方程为22163x y +=，显然，l 不是直线0y =，设l 的方程为3x my =11(,)A x y ，22(,)B x y由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)2330,m y my ++-=，又12,y y 是方程的根，因此12122233 (2)2m y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 由11223,3x my x my =+=121222121212243()23663()3 (4)2x x m y y m x x m y y m y y m ⎧+=++⎪⎪⎨-⎪=+++=⎪+⎩因11(22)AP x y =u u u r ，22(22)BP x y =u u u r，由题意可知0AP BP ⋅=u u r u u u r，所以121212122()2()40x x x x y y y y -++++= （5）yxPO图2zyFEB (O )CAF G B E CD将（1）（2）（3）（4）代入（5）整理得，222646110m m -+=，解得361m =-或61+， 因此直线方程为36(1)30x y --=或6(1)30x y +=． 【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直和数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线和椭圆相交问题转化为方程联立可得根和系数的关系等基础知识和基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题．（21）【2014年辽宁，理21，12分】已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x x π=--+-．证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<．解：（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π'=-++--<，函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为减函数，又8(0)03f π=->，216()023f ππ=--<，所以存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0f x =．（2）考虑函数3()cos 2()4ln(3)1sin x x h x x x ππ-=--+，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令t x π=-，则,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++,则3()()(2)(1sin )f t u t t t π'=++ 由（1）得，当()00,t x ∈时，()0u t '>，当0(,)2t x π∈时，()0u t '<， 在()00,x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当(]00,t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在(]00,x 无零点． 在0(,)2x π上()u t 是减函数，由0()0u x >，()4ln202u π=-<，知存在唯一10(,)2t x π∈，使()10u t =．所以存在唯一的1(0,)2t π∈，使()10u t =，因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==，因为当(,)2x ππ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+和()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1(,)2x ππ∈使得1()0g x =．因为1110,x t t x π=->，所以01x x π+<．【点评】本题考查了导数的综合使用问题，解题时应根据导数来研究函数的单调性和最值问题，利用函数的单调性研究函数的零点问题，是较难的题目．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2014年辽宁，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ． （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC BD =，求证：AB ED =．解：（1）PD PG PDG PGD PD =∴∠=∠Q Q 为圆的切线，PDA DBA ∴∠=∠ 又PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠Q ， 9090BDA PFA AF EP PFA BDA AB ∴∠=∠⊥∴∠=︒∴∠=︒∴Q 为直径．（2）连接,BC DC 90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒Q 是直径，在Rt BDA Rt ACB ∆∆与中，,AB BA AC BD ==，Rt BDA Rt ACB ∆≅∆，DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠Q //DAB CBA DC AB ∴∠=∠∴,90AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠=︒Q ED ∴为直径， 由（1）AB ED =．F G E C D【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题． （23）【2014年辽宁，理23，10分】（选修4-4：坐标系和参数方程）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ． （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=和C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且和l 垂直的直线的极坐标方程．解：（1）设11(,)x y 为圆221x y +=上任意一点，按题中要求变换后的点(,)x y ．根据题意得112x x y y =⎧⎨=⎩，所以112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩．由22111x y +=得2214y x +=．故C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）由2244220x y x y ⎧+=⎨+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩．不妨设1(1,0)P ，2(0,2)P，则线段中点坐标1(,1)2． 所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，即2430x y -+=．化为极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ-+=，即34sin 2cos ρθθ=-．【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题． （24）【2014年辽宁，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ．（1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤．解：（1）()2|1|1f x x x =-+-33,[1,)1,(,1)x x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩．当1x ≥时，()331f x x =-≤，解得413x ≤≤；当1x <时，()11f x x =-≤，解得01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤．（2）2()16814g x x x =-+≤，解得13{|}44N x x =-≤≤．M N =I 3{|0}4x x ≤≤．当x M N ∈I 时，()1f x x =-． 22()[()]x f x x f x +=22(1)(1)x x x x -+-2x x =-211()42x =--，3{|0}4x x x ∈≤≤．221()[()]4x f x x f x ∴+≤．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．。
2014年高考理数真题试卷(辽宁卷)
第1页，总22页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2014年高考理数真题试卷（辽宁卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. （2014•辽宁）已知全集U=R ，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U （A∁B ）=（ ） A . {x|x≥0} B . {x|x≤1} C . {x|0≤x≤1} D . {x|0＜x ＜1}2. （2014•辽宁）已知a=，b=log 2 ，c=log，则（ ）A . a ＞b ＞cB . a ＞c ＞bC . c ＞a ＞bD . c ＞b ＞a3. （2014•辽宁）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A . 若m∁α，n∁α，则m∁nB . 若m∁α，n∁α，则m∁nC . 若m∁α，m∁n ，则n∁αD . 若m∁α，m∁n ，则n∁α4. （2014•辽宁）将函数y=3sin （2x+ ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A . 在区间[，]上单调递减 B . 在区间[，]上单调递增 C . 在区间[﹣ ， ]上单调递减 D . 在区间[﹣ ， ]上单调递增5. （2014•辽宁）设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{ }为递减数列，则（ ）A . d ＜0B . d ＞0C . a 1d ＜0D . a 1d ＞06. （2014•辽宁）当x∁[﹣2，1]时，不等式ax 3﹣x 2+4x+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）答案第2页，总22页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . [﹣5，﹣3]B . [﹣6，﹣ ]C . [﹣6，﹣2]D . [﹣4，﹣3]7. （2014•辽宁）设复数z 满足（z ﹣2i ）（2﹣i ）=5，则z=（ ） A . 2+3i B . 2﹣3i C . 3+2i D . 3﹣2i8. （2014•辽宁）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A . B . C . D .9. （2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ） A . 144 B . 120 C . 72 D . 24 10. （2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f （x ）满足：①f （0）=f （1）=0； ②对所有x ，y∁[0，1]，且x≠y ，有|f （x ）﹣f （y ）|＜ |x ﹣y|．若对所有x ，y∁[0，1]，|f （x ）﹣f （y ）|＜m 恒成立，则m 的最小值为（ ） A . B . C . D .11. （2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A . 8﹣2πB . 8﹣πC . 8﹣D . 8﹣12. （2014•辽宁）设 ， ， 是非零向量，已知命题p ：若 • =0， • =0，则 • =0；命题q ：若 ∁ ， ∁ ，则 ∁ ，则下列命题中真命题是（ ）。
2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(辽宁卷带解析)试题
2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（辽宁卷）数学试题1、【题文】已知全集，则集合（）A．B．C．D．2、【题文】设复数z满足，则（）A．B．C．D．3、【题文】已知，，则（）A．B．C．D．4、【题文】已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5、【题文】设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）A．B．C．D．6、【题文】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247、【题文】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8、【题文】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．9、【题文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增10、【题文】已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11、【题文】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）C．D．A．B．12、【题文】已知定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有.若对所有，，则k的最小值为（）A．B．C．D．13、【题文】执行右侧的程序框图，若输入，则输出 .14、【题文】正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 .15、【题文】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .16、【题文】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .17、【题文】在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.18、【题文】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.19、【题文】如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.20、【题文】圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为. （1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.21、【题文】已知函数，.证明：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且对（1）中的.22、【题文】如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC=BD，求证：AB=ED.23、【题文】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24、【题文】设函数，，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.。
14年高考真题——理科数学(辽宁卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）卷数学（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U R =，{}|0A x x =≤，{}|1B x x =≥，则集合()U AB =ð( )（A ）{}|0x x ≥ （B ）{}|1x x ≤ （C ）{}|01x x ≤≤ （D ）{}|01x x <<2．设复数z 满足()()225z i i --=，则z =( )（A ）23i + （B ）23i - （C ）32i + （D ）32i -3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则( ) （A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>4．已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） （A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ （C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//a b ，//b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是 ( )（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∨⌝ 6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为( ) （A ）144 （B ）120 （C ）72 （D ）247．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) （A ）82π- （B ）8π- （C ）82π-（D ）84π-8．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12na a 为递减数列，则( ) （A ）0d < （B ）0d > （C ）10a d < （D ）10a d >9．将函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应函数( ) （A ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 （C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 （D ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增10．已知点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）4311．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是( )（A ）[]5,3-- （B ）[]6,9-- （C ）[]6,2-- （D ）[]4,3--12．定义在[]0,1上的函数()f x 满足：①()()010f f ==；②对所有[],0,1x y ∈，且x y ≠，有()()1||||2f x f y x y -<-。
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2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）卷
数学（理科）
一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给也的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U R ， A x | x 0， B x | x 1，则集合 ðU A B ( )
（A）x | x 0 （B）x | x 1 （C）x | 0 x 1 （D）
x | 0 x 1
2．设复数 z 满足 z 2i2 i 5 ，则 z ( )
（A） 2 3i （B） 2 3i （C） 3 2i （D） 3 2i
2
（B）在区间
个单位长度，所得图象对应函数(
12
,
7 12
（D） c b a
上单调递增
辽宁
)
2014 年高考真题理科数学（解析版） 卷
（C）在区间
6
,
3
上单调递减
10．已知点 A2, 3在抛物线 C ： y2 2 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象
1
（B）
4
1 （C） 2
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1
（D）
8
13．执行右侧的程序框图，若输入 x 9 ，则输出 y
。
14．正方形的四个顶点 A1, 1， B 1, 1， C 1,1，
D 1,1分别在抛物线 y x2 和 y x2 上，如图所示，若将
1 3
，则(
)
（C） c a b
2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题(理科)解析版
【答案】C
【解析】
a
=
-1
23
∈
(
1 2
，1),
b
=
log
2
1 3
∈
(-2，-1),
c
=
log
1 2
1 3
∈
(1,2).∴
c > a > b.选C.
4.已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 m / / , n / / , 则 m / /n
B．若 m ， n ，则 m n
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集U R, A {x | x 0}, B {x | x 1} ，则集合 CU (A B) （
若 a / /b,b / /c ，则 a / /c ，则下列命题中真命题是（ ）
A． p q B． p q C． (p) (q) D． p (q)
【答案】A 【解析】命题 p 为假，命题 q 为真，所以 A 正确。选 A
6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）
8.设等差数列{an} 的公差为 d，若数列{2a1an } 为递减数列，则（ ）
A． d 0 B． d 0 C． a1d 0 D． a1d 0
【答案】C 【解析】
由同增异减知，a1an递减,即a1an+1 < a1an.分情况解得 : a1 > 0且d < 0;或a1 < 0且d > 0. ∴ a1d < 0.选C.
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)文
2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014辽宁,文1)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=().A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案:D解析:∵A∪B={x|x≤0或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.故选D.2.(2014辽宁,文2)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=().A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i答案:A解析:∵(z-2i)(2-i)=5,∴z-2i=52-i=2+i.∴z=2+3i.故选A.3.(2014辽宁,文3)已知a=2-13,b=log213,c=lo g1213,则().A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b 答案:D解析:∵0<a=2-13<20=1,b=log213<log21=0,c=lo g1213>lo g1212=1,∴c>a>b.故选D.4.(2014辽宁,文4)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是().A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案:B解析:对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面α内,故C不正确.对D:n还可能在α内,故D不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.5.(2014辽宁,文5)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是().A.p∨qB.p∧qC.( p)∧( q)D.p∨( q)答案:A解析:对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p∨q为真命题.故选A.6.(2014辽宁,文6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是().A.π2B.π4C.π6D.π8答案:B解析:所求概率为S半圆S长方形=12π·122×1=π4,故选B.7.(2014辽宁,文7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.8-π4B.8-π2C.8-πD.8-2π答案:C解析:由几何体的三视图可知,原几何体为棱长是2的正方体挖去两个底面半径为1,高为2的14圆柱,故该几何体的体积是正方体的体积减去半个圆柱,即V=23-12π·12·2=8-π.故选C .8.(2014辽宁,文8)已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( ). A.-43B.-1C.-34D.-12答案:C解析:由已知,得准线方程为x=-2,∴F 的坐标为(2,0). 又A (-2,3),∴直线AF 的斜率为k=3-0-2-2=-34.故选C .9.(2014辽宁,文9)设等差数列{a n }的公差为d.若数列{2a 1a n }为递减数列,则( ). A.d>0 B.d<0 C.a 1d>0 D.a 1d<0答案:D解析:∵{2a 1a n }为递减数列,∴2a 1a n+12a 1a n=2a 1a n+1-a 1a n =2a 1(a n+1-a n )=2a 1d <1.∴a 1d<0.故选D .10.(2014辽宁,文10)已知f (x )为偶函数,当x ≥0时,f (x )={cos πx ,x ∈[0,12],2x -1,x ∈(12,+∞),则不等式f (x-1)≤12的解集为( ). A.[14,23]∪[43,74] B.[-34,-13]∪[14,23]C.[13,34]∪[43,74]D.[-34,-13]∪[13,34]答案:A 解析:令t=x-1.当t ∈[0,12]时,πt ∈[0,π2],由f (t )≤12,即cos πt ≤12,得π3≤πt ≤π2,解得13≤t ≤12. 当t ∈(12,+∞)时,由f (t )≤12,即2t-1≤12,解得12<t ≤34.综上,t ∈[0,+∞)时,f (t )≤12的解集为[13,34].∵f (x )为偶函数,∴f (|x|)=f (x ). 故t ∈R 时,由f (t )≤12可得13≤|t|≤34, 即-34≤t ≤-13或13≤t ≤34.∴由f (x-1)≤12得-34≤x-1≤-13或13≤x-1≤34,解得14≤x≤23或43≤x≤74.故选A.11.(2014辽宁,文11)将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数().A.在区间[π12,7π12]上单调递减B.在区间[π12,7π12]上单调递增C.在区间[-π6,π3]上单调递减D.在区间[-π6,π3]上单调递增答案:B解析:由题意知,平移后的函数f(x)=3sin[2(x-π2)+π3]=3sin(2x-π+π3)=-3sin(2x+π3).令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,解得f(x)的递减区间为[kπ-5π12,kπ+π12],k∈Z.令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+32π(k∈Z),解得f(x)的递增区间为[kπ+π12,kπ+712π],k∈Z.从而可判断选项B正确.12.(2014辽宁,文12)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是().A.[-5,-3]B.[-6,-98]C.[-6,-2]D.[-4,-3]答案:C解析:∵当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,即当x∈[-2,1]时,不等式ax3≥x2-4x-3(*)恒成立.(1)当x=0时,a∈R.(2)当0<x≤1时,由(*)得a≥x 2-4x-3x3=1x−4x2−3x3恒成立.设f(x)=1x −4x2−3x3,则f'(x)=-1x2+8x3+9x4=-x2+8x+9x4=-(x-9)(x+1)x4.当0<x≤1时,x-9<0,x+1>0,∴f'(x)>0, ∴f(x)在(0,1]上单调递增.当0<x≤1时,可知a≥f(x)max=f(1)=-6.(3)当-2≤x<0时,由(*)得a≤1x −4x2−3x3.令f'(x)=0,得x=-1或x=9(舍).∴当-2≤x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<0时,f'(x)>0,∴f(x)在[-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.∴x∈[-2,0)时,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.∴可知a≤f(x)min=-2.综上所述,当x∈[-2,1]时,实数a的取值范围为-6≤a≤-2.故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014辽宁,文13)执行下面的程序框图,若输入n=3,则输出T=.答案:20解析:由程序框图可知,当i=0≤3时,i=1,S=1,T=1;当i=1≤3时,i=2,S=3,T=4;当i=2≤3时,i=3,S=6,T=10;当i=3≤3时,i=4,S=10,T=20;可知i=4>3,退出循环.故输入n=3时,输出T=20.14.(2014辽宁,文14)已知x,y满足约束条件{2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0,则目标函数z=3x+4y的最大值为.答案:18解析:画出x,y满足约束条件的可行域如图阴影部分.由{3x-y-3=0,x-2y+4=0得{x=2,y=3,∴A点坐标为(2,3).作直线l0:3x+4y=0,可知当平移l0到l(l过点A)时,目标函数有最大值,此时z max=3×2+4×3=18.15.(2014辽宁,文15)已知椭圆C:x 29+y24=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案:12解析:如图,设MN的中点为P,则由F1是AM的中点,可知|AN|=2|PF1|.同理可得可知|BN|=2|PF2|.∴|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|).根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.16.(2014辽宁,文16)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,1a +2b+4c的最小值为.答案:-1解析:要求|2a+b|的最大值,只需求(2a+b)2的最大值.∵4a2-2ab+b2-c=0,∴4a 2+b 2=c+2ab ,∴(2a+b )2=4a 2+b 2+4ab=c+2ab+4ab=c+6ab ≤c+3(2a+b 2)2,即(2a+b )2≤4c ,当且仅当2a=b 时,取得等号,即(2a+b )2取到最大值,即2a=b 时,|2a+b|取到最大值.把2a=b 代入4a 2-2ab+b 2-c=0,可得c=4a 2.∴1a +2b +4c =1a +22a +44a 2=2a +1a 2=(1a +1)2-1. ∴当1a =-1时,1a +2b +4c取到最小值-1.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014辽宁,文17)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a>c.已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B=13,b=3,求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B-C )的值.分析:(1)由数量积定义及余弦定理,可列出a ,c 的方程组,解方程组即可求出a ,c 的值.(2)由已知及正弦定理可分别求出B ,C 角的正、余弦值,再利用两角差的余弦公式可求出cos(B-C )的值.解:(1)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2得c ·a cos B=2. 又cos B=13,所以ac=6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B. 又b=3,所以a 2+c 2=9+2×2=13. 解{ac =6,a 2+c 2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2. 因为a>c ,所以a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sin B=√1-cos 2B=√1-(13)2=2√23,由正弦定理,得sin C=c b sin B=23·2√23=4√29. 因为a=b>c ,所以C 为锐角, 因此cos C=√1-sin 2C=1-(4√29)2=79.于是cos(B-C )=cos B cos C+sin B sin C =13×79+2√23×4√29=2327. 18.(本小题满分12分)(2014辽宁,文18)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率. 附:χ2=n (n 11n 22-n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2.分析:(1)由表中数据及χ2公式可求出χ2值,再与3.841比较即可.(2)可用列举法写出基本事件总数及“3人中至多有1人喜欢甜品”的基本事件数.再由古典概型的概率公式计算即可. 解:(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2=n (n 11n 22-n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762. 由于4.762>3.841,所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异.(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.其中a i表示喜欢甜品的学生,i=1,2,b j表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3.Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.事件A是由7个基本事件组成,因而P(A)=710.19.(本小题满分12分)(2014辽宁,文19)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.附:锥体的体积公式V=13Sh,其中S为底面面积,h为高.分析:(1)由三角形全等证出AC=DC,再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直,最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论.(2)由面面垂直得线面垂直,从而确定出点到平面的距离,即三棱锥G-BCD的高,由等体积法可求三棱锥D-BCG的体积.(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC,因此AC=DC.又G为AD中点,所以CG⊥AD;同理BG⊥AD;因此AD⊥面BGC.又EF∥AD,所以EF⊥面BCG.(2)解:在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB延长线于O.由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥面BDC.又G为AD中点,因此G到平面BDC距离h是AO长度的一半.在△AOB中,AO=AB·sin60°=√3,所以V D-BCG=V G-BCD=13·S△DBC·h=13·12·BD·BC·sin120°·√32=12.20.(本小题满分12分)(2014辽宁,文20)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+√3交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.分析:(1)设出切点P的坐标,用此坐标表示三角形的面积.又由切点P在圆上,利用基本不等式求最值的方法,可求出点P 的坐标.(2)设出椭圆C的标准方程,由点P在椭圆C上,及直线l与C相交于A,B两点且S△PAB=2,可求出a,b的值.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-x0y0,切线方程为y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=12·4x0·4y0=8x0y0,由x02+y02=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=√2时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(√2,√2).(2)设C 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由点P 在C 上知2a 2+2b2=1,并由{x 2a 2+y 2b2=1,y =x +√3,得b 2x 2+4√3x+6-2b 2=0, 又x 1,x 2是方程的根, 因此{x 1+x 2=-4√3b2,x 1x 2=6-2b2b 2,由y 1=x 1+√3,y 2=x 2+√3, 得|AB|=√2|x 1-x 2|=√2·√48-24b 2+8b 4b2.由点P 到直线l 的距离为√3√2及S △PAB =12×√3√2|AB|=2得b 4-9b 2+18=0,解得b 2=6或3,因此b 2=6,a 2=3(舍)或b 2=3,a 2=6.从而所求C 的方程为x 26+y 23=1. 21.(本小题满分12分)(2014辽宁,文21)已知函数f (x )=π(x-cos x )-2sin x-2,g (x )=(x-π)√1-sinx 1+sinx +2xπ-1,证明: (1)存在唯一x 0∈(0,π2),使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈(π2,π),使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1>π.分析:(1)利用求导数方法判断函数f (x )在(0,π2)上的单调性,再利用函数零点的存在性定理进行判断,证出结论.(2)先化简函数g (x )在[π2,π]上的解析式,再用求导法判断函数单调性,结合函数零点的存在性定理,即可证明. 证明:(1)当x ∈(0,π2)时,f'(x )=π+πsin x-2cos x>0,所以f (x )在(0,π2)上为增函数, 又f (0)=-π-2<0,f (π2)=π22-4>0, 所以存在唯一x 0∈(0,π2),使f (x 0)=0.(2)当x ∈[π2,π]时,化简得g (x )=(π-x )·cosx 1+sinx +2xπ-1. 令t=π-x ,记u (t )=g (π-t )=-tcost 1+sint −2πt+1,t ∈[0,π2], 则u'(t )=f (t )π(1+sint ).由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u'(t )<0, 当t ∈(x 0,π2)时,u'(t )>0. 在(x 0,π2)上u (t )为增函数,由u (π2)=0知,当t ∈[x 0,π2)时,u (t )<0, 所以u (t )在[x 0,π2)上无零点.在(0,x 0)上u (t )为减函数,由u (0)=1及u (x 0)<0知存在唯一t 0∈(0,x 0),使u (t 0)=0. 于是存在唯一t 0∈(0,π2),使u (t 0)=0. 设x 1=π-t 0∈(π2,π), 则g (x 1)=g (π-t 0)=u (t 0)=0,因此存在唯一的x 1∈(π2,π),使g (x 1)=0, 由于x 1=π-t 0,t 0<x 0,所以x 0+x 1>π.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2014辽宁,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG=PD ,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F.(1)求证:AB 为圆的直径; (2)若AC=BD ,求证:AB=ED.分析:(1)证明AB 是直径,即证明∠BDA=90°.由∠PFA=90°,从而寻求∠BDA=∠PFA 就可证明.(2)要证AB=DE ,即证DE 为直径,连DC ,即证∠DCE=90°,从而只需证明AB ∥DC 即可. 证明:(1)因为PD=PG ,所以∠PDG=∠PGD.由于PD 为切线,故∠PDA=∠DBA.又由于∠PGD=∠EGA ,故∠DBA=∠EGA ,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD ,从而∠BDA=∠PFA. 由于AF ⊥EP , 所以∠PFA=90°.于是∠BDA=90°.故AB 是直径.(2)连接BC ,DC. 由于AB 是直径, 故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中,AB=BA ,AC=BD , 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB.于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB ,所以∠DCB=∠CBA , 故DC ∥AB.由于AB ⊥EP ,所以DC ⊥EP ,∠DCE 为直角. 于是ED 为直径.由(1)得ED=AB.23.(本小题满分10分)(2014辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程 将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C 的参数方程;(2)设直线l :2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.分析:(1)利用相关点法先求出直角坐标方程,再写出参数方程.(2)先联立方程求出P 1,P 2两点的坐标,进而求出P 1P 2的中点坐标,得到与l 垂直的直线方程,再化为极坐标方程.解:(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为C 上点(x ,y ),依题意,得{x =x 1,y =2y 1.由x 12+y 12=1,得x 2+(y 2)2=1,即曲线C 的方程为x 2+y 24=1.故C 的参数方程为{x =costy =2sint (t 为参数).(2)由{x 2+y 24=1,2x +y -2=0,解得{x =1,y =0,或{x =0,y =2.不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为(12,1), 所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12(x -12), 化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=34sinθ-2cosθ.24.(本小题满分10分)(2014辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲设函数f (x )=2|x-1|+x-1,g (x )=16x 2-8x+1.记f (x )≤1的解集为M ,g (x )≤4的解集为N.(1)求M ;(2)当x ∈M ∩N 时,证明:x 2f (x )+x [f (x )]2≤14.分析:(1)分类讨论去绝对值符号即可.(2)在x ∈M ∩N 的条件下,先化简x 2f (x )+x [f (x )]2,再配方求其最大值即可.解:(1)f (x )={3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1),当x ≥1时,由f (x )=3x-3≤1得x ≤43,故1≤x ≤43;当x<1时,由f (x )=1-x ≤1得x ≥0,故0≤x<1. 所以f (x )≤1的解集为M={x |0≤x ≤43}. (2)证明:由g (x )=16x 2-8x+1≤4,得16(x -14)2≤4,解得-14≤x ≤34.因此N={x |-14≤x ≤34}.故M ∩N={x |0≤x ≤34}.当x ∈M ∩N 时,f (x )=1-x ,于是 x 2f (x )+x ·[f (x )]2=xf (x )[x+f (x )] =x ·f (x )=x (1-x )=14−(x -12)2≤14.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷英语试题
2014年普通高等学校招生全国统一考试英语试题(辽宁卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅰ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷第一部分听力(共两节,满分30分)做题时,先将答案标在试卷上。
录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题;每小题1.5分,满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例:How much is the shirt?A.￡19.15.B.￡9.18.C.￡9.15.答案是C。
1.What does the woman want to do?A.Find a place.B.Buy a map.C.Get an address.2.What will the man do for the woman?A.Repair her car.B.Give her a ride.C.Pick up her aunt.3.Who might Mr.Peterson be?A.A new professor.B.A department head.C.A company director.4.What does the man think of the book?A.Quite difficult.B.Very interesting.C.Too simple.5.What are the speakers talking about?A.Weather.B.Clothes.C.News.第二节(共15小题;每小题1.5分,满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前,你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟;听完后,各小题给出5秒钟的作答时间。
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额定阻抗为 8。 （3） 麦克风和喇叭可以直接购买，在设计报告中必须附有所购买的麦克
风和喇叭的产品说明书或性能参数。 （4） 作品要求拾音电路的输入接口，以及功率放大电路连接到喇叭的接
口必须外露，可方便进行连接，以便测试时使用。 （5） 作品评测由赛区统一准备测试平台，并统一使用由测试专家准备的
台式麦克风和喇叭进行测试。 （6） 作品要求（1） 、 （2）和（3）的指标测试，使用音频信号源外加正弦
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玻璃板下
50cm×50cm
图1 金属物体探测环境示意图
铁丝方框
控制在 5mm 以内；完成定位时给出声-光指示，此后探头不得再移动， 探测定位总时间应不超过 3 分钟。 （30 分） （4） 其他自主发挥功能。 （10 分） （5） 设计报告。 （20 分）
项 系统方案 目 主要内容 系统结构、方案比较与选择 探测器组成方案与工作原理分析、 检测与控 制算法 电路设计，程序结构与设计 测试结果及分析 摘要，设计报告正文的结构，公式、图表的 规范性 总分 分数 4 6 5 3 2 20
2．要求
（1）外接信号源提供频率为 1kHz 的正弦波信号，幅度自定，输入至参考信号 R(t)端。 R(t)通过自制电阻分压网络降压接至被测信号 S(t)端，S(t)端幅度 有效值为 10μV~1mV。 （5 分） （2）参考通道的输出 r(t)为方波信号，r(t)的相位相对参考信号 R(t)可连续或 步进移相 180 度，步进间距小于 10 度。 （20 分） （3）信号通道的 3dB 频带范围为 900Hz~1100Hz。误差小于 20%。 （10 分） （4）在锁定放大器输出端，设计一个能测量并显示被测信号 S(t)幅度有效值 的电路。所测量的显示值与 S(t)有效值的误差小于 10%。 （15 分） （5）在锁定放大器信号 S(t)输入端增加一个运放构成的加法器电路，实现 S(t) 与干扰信号 n(t)的 1:1 叠加，如图 2 所示。 （5 分）
a） 在不进行啸叫抑制时 （图 1 的选择开关 K1 连接 A 端， K2 连接 C 端） ， 将麦克风与喇叭相隔 1m 面对面放置，见图 2（b） ，从小到大调整功 率放大器的输出功率，直到产生啸叫时停止； b）啸叫检测电路能实时监测所产生啸叫，并计算啸叫的频率。实时显示 啸叫频率和相应的功率放大器输出功率； c）启动啸叫抑制电路（图 1 的选择开关 K1 连接 B 端，K2 连接 D 端） ， 音频功率放大器应能有效抑制啸叫，并正常播放音频信号。 （6）进一步改进啸叫抑制电路。在保障无啸叫的前提下，尽量提高音频功 率放大器的输出功率； 如果输出功率达到 5W 功率， 啸叫抑制电路仍能正常工作， 进一步缩短面对面放置的麦克风与喇叭之间的距离。 （7）其他。 （8）设计报告
信号和外加 8纯电阻负载的方式进行测试。要求 TPA3112D1 的功率放大电路 带有 LC 滤波，输出的正弦信号无明显失真。 （7） 作品要求（4） 、 （5）和（6）的指标测试，使用电脑 USB 喇叭（功
率不超过 1W）播放音乐作为信号源，放置在距麦克风 20cm 的位置。具体测试 的框图如图 2 所示。
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2014 年 TI 杯大学生电子设计竞赛题 B 题：金属物体探测定位器 1. 任务
设计并制作一个可自主移动的金属物体探测定位器（以下简称探测器） ，可 探测置于玻璃板下的金属物体并给出定位指示。该探测器需采用 TI 公司 LDC1000 电感/数字转换器评估板（AY-LDC1000）作为金属物体探头，探头上应 有定位指针，以给出明显定位指示。探头可在水平放置的玻璃板上移动。用直径 Φ2（mm）的铁丝围成约 50cm×50cm 的正方形闭合框作为探测区边界置于玻璃 板下，示意图见图 1。
理论分析与计算 电路与程序设计 测试方案与测试结果 设计报告结构及规范性
3. 说明
（1） 金属物体探测定位装置探头采用 AY-LDC1000 板（由 TI 公司提供） ， 可直接用 AY-LDC1000 板上的覆铜线圈，也可自制线圈；不得安装其 他传感与摄像装置。探测开始后，不得手动或遥控探测器。 （2） 玻璃板可采用普通无色玻璃（玻璃边沿需贴上胶带以防划伤） ，也可用 无色透明有机玻璃板；玻璃板长宽尺寸应大于 50cm、厚度约 3mm。 （3） 探头从“探头进入区”一侧进入时探头的起始位置和摆放方向，以及探 测区域内的被测金属物体摆放位置均由测试专家在现场指定。
满分 3 5 5 5 2 20
3．说明
（1） 作品使用的麦克风应为台式全向麦克风，其灵敏度要大于
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-45dBV/P，插头直径为 3.5mm，输出阻抗为 1k ~ 2.2k。关于麦克风灵敏度 的定义是馈给 1Pa（94dB）的声压时，麦克风输出端的电压（dBV） 。有些麦克 风给出的灵敏度单位为 dB/Bar，注意之间的转换。 （2） 作品使用的喇叭应为组合纸盆方式的电动式喇叭，额定功率为 5W，
项 系统方案 设计与论证 测试 设计报告结构及规范性 小计 目 主要内容 方案比较，方案描述 飞行器姿态测量方法 飞行控制器控制方法与参数计算 测试方法与测试结果 摘要，正文结构完整性、内容规范性 分数 5 8 5 2 20
3. 说明
（1） 飞行器的姿态检测及飞行控制必须使用 TI 公司的 TIVA M4 、 C2000 或 MSP430 等系列控制器。 （2） 飞行器在完成每一项飞行动作期间不得以任何方式进行人为干预， 如遥控等。 （3） 飞行器的尺寸可自行选定。 （4） 飞行方向以正北方向为 0°、东北方向为 45°、正东方向为 90°等，以此类 推；距离的单位为厘米（cm） 。 （5） 指定的降落地点是指降落地点距起飞地的水平距离及方向。 （6） 平稳降落是指在降落过程中无明显的跌落、弹跳及着地后滑行等情况出现。 （7） 能够完成要求（2）时，要求（1）可以免测。 （8） 为确保安全，飞行器应在安全网中或在系留方式下工作（即以绳索将飞行器 拴在地面固定物上） 。
项 系统方案 理论分析与计算 电路与程序设计 测试方案与测试结果 设计报告结构及规范性 目 总体方案设计 锁定放大器各部分指标分析与计算 总体电路图,程序设计 测试数据完整性,测试结果分析 摘要,设计报告正文的结构、图表的规范性 总分 主要内容 满分 4 6 4 4 2 20
3．说明
（1）各信号输入、输出端子必须预留测量端子，以便于测量。 （2）要求（1）和（6）中的电阻分压网络的分压比例自行定义。由于μV 级信 号常规仪器难以测量，可通过适合加大输入信号幅度的方法，测量并标 定其分压比。 （3）关于锁定放大器的原理可参考《微弱信号检测》 。高晋占编著，清华大学 出版社 2004 年。
2014 年 TI 杯大学生电子设计竞赛题 A 题：四旋翼飞行器 1. 任务
设计制作一架能够自主飞行的四旋翼飞行器。
2. 要求
四旋翼飞行器能够完成以下飞行动作： （1） 飞行器能够根据起飞前预置的指令起飞，飞离地面高度应超过 30cm，飞行距 离（水平）应超过 60cm，然后飞行器应能平稳降落。 （30 分） （2） 飞行器能够根据指定（键盘设定）的飞行高度及降落地点（方向及距离）连续 稳定地完成起飞、指定高度水平飞行、平稳降落等动作。 （20 分） （3） 飞行器能够根据起飞前预置的指令垂直起飞，起飞后能够在 50cm 以上高度平 稳悬停 5s 以上，然后再平稳缓慢降落到起飞地点；起飞与降落地点水平距离 不超过 30cm。 （30 分） （4） 其他自主发挥设计的飞行动作。 （20 分） （5） 设计报告（20 分）
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（4）将台式麦克风与喇叭相隔 1m 背靠背放置，见图 2（a） ，使用电脑播放 音乐作为音频信号源。音频功率放大器能通过麦克风采集信号，经功率放大电路 送喇叭输出，输出的音频信号清晰。 （5 分）
（5）设计并制作图 1 所示的啸叫检测电路和啸叫抑制电路，完善音频功率 放大器。要求： （15 分）
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2014 年 TI 杯大学生电子设计竞赛题 C 题：锁定放大器的设计 1．任务
设计制作一个用来检测微弱信号的锁定放大器（LIA） 。锁定放大器基本组成 框图见图 1。
信号通道 信号 交流 放大器 S(t) 参考通道 参考 触发 R(t) 整形 移相器 方波 驱动 图 1 锁定放大器基本组成结构框图 r(t) 带通 滤波器 x(t) 相敏 检波器 低通 滤波器 直流 放大器 输出 显 示
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2014年TI杯大学生电子设计竞赛 D 题：带啸叫检测与抑制的音频功率放大器 1．任务
基于 TI 的功率放大器芯片 TPA3112D1，设计并制作一个带啸叫检测与抑制 功能的音频放大器，完成对台式麦克风音频信号的放大，通过功率放大电路送喇 叭输出。电路示意图如图 1 所示。 音频功率放大器
电脑喇叭 20cm 100cm 功放喇叭
无色透明普通玻璃板或有机玻璃板 玻璃板下 探头进入区 区域内某处（距探测边界≥5cm）玻璃下放置一枚直径约 19mm 的镀镍钢芯 1 角硬币（第五套人民币的 1 角硬币） 。探头能从“探头进入 区”一侧任意指定位置和方向自行进入探测区（铁丝框包围区域） 。通过 探测，定位指针应指在硬币边沿之内，探测定位速度越快越好，且探测 定位总时间应不超过 2 分钟。完成定位时给出声-光指示，此后探头不 得再移动。 （30 分） （2） 将 1 角硬币更换成直径约 25mm 的镀镍钢芯 1 元硬币（第五套人民币 1 元硬币） ，重复要求（1）的探测过程。定位完成后，定位指针与硬币圆 心之间的定位误差应控制在 5mm 以内；探测定位速度越快越好，探测 定位总时间不应超过 2 分钟。完成定位时给出声-光指示，此后探头不 得再移动。 （30 分） （3） 将硬币改为自制圆铁环（用 Φ2 铁丝绕制） ，铁环外直径 4cm。重复要 求（1）的探测过程，应使定位指针尽可能指向铁环圆心，定位误差应
项 方案论证 理论分析与计算 电路与程序设计 测试方案与测试结果 设计报告结构及规范性 目 主要内容 比较与选择,方案描述 系统相关参数设计 系统组成，原理框图与各部分的电路图，系 统软件与流程图 测试结果完整性，测试结果分析 摘要，正文结构规范，图表的完整与准确性 总 分