高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2第1课时抛物线及其标准方程学案新人教A版选修

第1 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．知识点一双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1)x2－y2＝1；(2)4x2－4y2＝1.答案(1)的实半轴长1，虚半轴长1(2)的实半轴长12，虚半轴长12.它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为 2.(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的形状相同．(√)(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同．(×)(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(×) (4)离心率是2的双曲线为等轴双曲线．(√)类型一 双曲线的性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±23x .引申探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的性质求标准方程例 2 (1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.x 28－y 24＝1 D.y 28－x 24＝1 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 B解析 由已知，得双曲线的焦点在y 轴上，从而可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵一个顶点为(0,2)，∴a ＝2.又实轴长与虚轴长之和等于焦距的2倍，∴2a ＋2b ＝22c . 又a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝4， ∴所求双曲线的方程为y 24－x 24＝1.(2)求与双曲线x 216－y 29＝1有共同的渐近线，并且经过点A (23，－3)的双曲线的方程．考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 解 双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为y ＝±34x .当所求双曲线的焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为b a ＝34，所以b ＝34a .①因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以12a 2－9b2＝1.②联立①②得方程组无解． 当所求双曲线的焦点在y 轴上时，设所求双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为a b ＝34，所以a ＝34b .③因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以9a 2－12b2＝1.④由③④，得a 2＝94，b 2＝4，所以所求双曲线的方程为y 294－x 24＝1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 (1)求与双曲线y 24－x 23＝1有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程． 考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 解 (1)设所求双曲线的方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．∵点M (3，－2)在双曲线上， ∴44－93＝λ，即λ＝－2. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0， ∴d ＝|ab |a 2＋b2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．② 解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.类型三 求双曲线的离心率例3 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，所以b 2a＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0， 即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋ 2.反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法： (1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝c a求解． (2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练3 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率 答案 2解析 如图所示，在△OAB 中， |OA |＝a ，|OB |＝b ，|OE |＝34c ， |AB |＝a 2＋b 2＝c .因为|AB |·|OE |＝|OA |·|OB |， 所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ， 两边同除以a 2，得34⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－b a ＋34＝0， 解得ba ＝3或b a ＝33(舍去)， 所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.1．已知双曲线方程为x 2－8y 2＝32，则( )A ．实轴长为42，虚轴长为2B ．实轴长为82，虚轴长为4C ．实轴长为2，虚轴长为4 2D ．实轴长为4，虚轴长为8 2 考点 双曲线的简单几何性质 题点 由双曲线方程求a ，b ，c 答案 B解析 双曲线方程x 2－8y 2＝32化为标准方程为x 232－y 24＝1，可得a ＝42，b ＝2，所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为4.2．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±12x 的是( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 答案 D解析 从选项知，焦点在y 轴上的双曲线有y 24－x 2＝1与y 2－x 24＝1，而y 24－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±2x ，y 2－x 24＝1的渐近线方程是y ＝±12x ，故选D.3．(2017·浙江余姚中学期中)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 的右支上的点，射线PT 平分∠F 1PF 2，过原点O 作PT 的平行线交PF 1于点M ，若|MP |＝13|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( )A.32B ．3C.2D. 3 答案 A4．与双曲线x 24－y 29＝1共渐近线且经过点M (26，6)的双曲线的标准方程为__________．答案x 28－y 218＝1 解析 设双曲线的标准方程为x 24－y 29＝t (t ≠0)，又经过点M (26，6)， ∴244－369＝t ，即t ＝2， 故所求双曲线的标准方程为x 28－y 218＝1.5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 考点 双曲线的简单几何性质 题点 由双曲线方程研究其他问题 答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1在一条直线上时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝1AF FS－1F PFS＝12 6.1．随着x 和y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a 与b 或b 与a 的比值，但无法确定焦点位置．2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx ＋ny ＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为x 2n 2－y 2m2＝λ(λ≠0)求解．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，a ＞0，b ＞0).一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．4 2 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 C解析 将双曲线化成标准形式为x 24－y 28＝1，得2a ＝4.2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 B 解析 由e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.故渐近线方程为y ＝±2x ，故选B.3．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( ) A. 2B.32C. 3D.62考点 双曲线的简单几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 C解析 不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角，为30°， ∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 2F 1|2－2|PF 1||F 2F 1|cos 30°， ∴(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ×32， 化为e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.4．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线 答案 A解析 ∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a＝1， ∴渐近线方程为y ＝±3－a x ， ∴3－a ＝32，解得a ＝－4. 5．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( )A.x 29－y 29＝1B.y 29－x 29＝1C.y 218－x 218＝1D.x 218－y 218＝1 考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距求方程答案 D解析 ∵等轴双曲线的一个焦点为F 1(－6,0)，∴c ＝6，∴2a 2＝36，a 2＝18，∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1. 6．(2017·浙江名校联盟联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点(B 在第四象限)，若△ABF 1是B 为直角顶点的等腰直角三角形，设该双曲线的离心率为e ，则e 2为( ) A ．5－2 2 B ．5＋2 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 答案 A 7．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( )A.103B.52C.5D.343 考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 D解析 设F (c,0)，则过双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )，而渐近线方程是y ＝±b ax ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝－b a x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a －b ，－bc a －b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝b ax ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2， AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ， 由AB →＝－3AF →，得⎝⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ， 则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b， 即b ＝53a ， 则c ＝a 2＋b 2＝343a ， 则e ＝ca ＝343，故选D. 二、填空题8．(2017·嘉兴一中期末)双曲线C ：x 2－4y 2＝1的焦距是________，双曲线C 的渐近线方程是__________． 答案 5 y ＝±12x 9．已知双曲线y 2－x 2m＝1(m ＞0)的离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围是________． 考点 双曲线的离心率与渐近线题点 双曲线离心率的取值范围答案 (0,3)解析 由双曲线y 2－x 2m ＝1(m ＞0)知，a ＝1，b ＝m ，所以e ＝c a ＝1＋m ， 又e ∈(1,2)，所以1＜1＋m ＜2，解得0＜m ＜3. 10．(2017·金华一中月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为______________．答案 y ＝±2x11．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线离心率答案 102解析 如图，设双曲线的右焦点为M ，连接PM .∵OE ⊥PF ，∴在Rt △OEF 中，|EF |＝c 2－a 24. 又OE →＝12(OF →＋OP →)， ∴E 是PF 的中点，∴|PF |＝2|EF |＝2c 2－a 24， |PM |＝2|OE |＝a .由双曲线的定义知，|PF |－|PM |＝2a ，∴2 c 2－a 24－a ＝2a ， ∴e ＝ca ＝102. 三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解 椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3.①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36，b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1； ②当双曲线的焦点在y 轴上时， 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝12，b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为 x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1.13．已知点A (0,1)，点P 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上． (1)当|PA |最小时，求点P 的坐标；(2)过点A 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN 的面积为23，求直线l 的方程．考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)设P (x ，y )，则|PA |＝x 2＋(y －1)2 ＝2＋2y 2＋(y －1)2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＋83， 当y ＝13时，|PA |最小， 故所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±253，13. (2)由题知直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与双曲线方程联立得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，则Δ＝16(1－k 2)＞0且－41－2k 2＜0，即k 2＜12. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 1－2k 2，x 1x 2＝－41－2k2， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16(1－k )21－2k 2， S △OMN ＝12×1×|x 1－x 2|＝12·16(1－k 2)1－2k2＝23， 解得k 2＝14或k 2＝23(舍去)，即k ＝±12， ∴l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.四、探究与拓展 14．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2B.32C. 3D ．2考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 A解析 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a. 又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13， 即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a， 所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2. 15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，直线l ：x ＋y ＝1，双曲线C 与直线l 有两个不同交点A ，B ，直线l 与y 轴交点为P .(1)求离心率e 的取值范围；(2)若PA →＝512PB →，求a 的值． 考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解， 消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0， 解得－2＜a ＜2且a ≠±1. 又∵a ＞0，∴0＜a ＜2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0＜a ＜2且a ≠1，∴e ＞62且e ≠2，∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫62， 2∪(2，＋∞)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得P (0,1)． ∵PA →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此可得x 1＝512x 2. ∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2. x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169. 又∵a ＞0，∴a ＝1713.。