2016年高考数学模拟试题及答案(3)

合集下载

2016年江苏省高考数学二模试卷(解析版)

2016年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）．（Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2016年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S 值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tan β的值为 3 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cos α，tan α的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cos α=﹣=﹣，tan α==﹣2，∴tan （α+β）===，整理可得：tan β=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为 +12 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h ，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，结合b1008=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，∵b1008=1，∴b1b2015=b2b2014=…=b1007b1009=（b1008）2=1，∴a2016=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为﹣2﹣2015．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n 的坐标为（t ，0），直线方程为y=k （x ﹣t ），代入椭圆方程x 2+2y 2=2b 2，可得（1+2k 2）x 2﹣4tk 2x +2k 2t 2﹣2b 2=0，即有x 1+x 2=，x 1x 2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP 1，AP 2，…，AP 4030的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2015．14．已知函数f （x ）=x |x ﹣a |，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则实数a 的取值范围为 [3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f （x ）=，作出函数f （x ）的图象，由图象知当x ≤a 时，函数f （x ）为凸函数，当x ≥a 时，函数f （x ）为凹函数，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则a ≥3即可，故实数a 的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC 的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系．【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ．∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x ，同理可得+≥2y ，+≥2z ，三式相加，可得+++x +y +z ≥2（x +y +z ），即为++≥x +y +z ，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，Eξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2017（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2016），∴，则a2017＜1；又，∴×2017=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2017＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2016年10月17日。

2016年新课标高考真题全国三卷文科数学

2016年新课标高考真题全国三卷文科数学一、单选题1.设集合4 = {0,2,4,6,8,10}1 = {4,8},则QB =A. {4,8}B. {0， 2,6}C. {0, 2, 6,10}D. {0，2, 4, 6, 8,10}2.若z = 4 + 3i,则高=()A. 1B. -1C. l+UD.D D D D3. (2016高考新课标HI,理3)已知向量方1 堂)前=(今］则乙4c=A. 30 °B. 45 0C. 60 °D. 120 °4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15:B点表示四月的平均最低气温约为5二.下面叙述不正确的是( )▼.均・低气* 一▼均MT*A.各月的平均最低气温都在0匚以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20：j的月份有5个5.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M, 1,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是6.若tan6 =：,则cos26 =( )D- IA. B- 一！ C.青7.已知a = = 3^c = 252,则D. c < a < b8 .执行下面的程序框图，如果输入的a=4, b=6,那么输出的n=() (W)n = =5][。

=6-0]■:[a = b + 司CWA. 3B. 4C. 5D. 69 .在△4BC 中，F = p BC 边上的高等于则sin/=10 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多11 .在封闭的直三棱柱— 内有一个体积为V 的球，若48 = 6,BC = 8,/& = 3,则该球体枳V 的最大值是932A. 4TTB. -7TC. 67rD. —n2312 .己知。

2016高考全国3数学试卷及解析

2016年普通高等学校招生全国统一考试（III）一．选择题（共12小题）1．设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．6．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．68．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8110．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三．解答题（共7小题）17．已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2018年04月22日fago的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得c osθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：A．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三．解答题（共7小题）17．已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+co sθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

高考数学文科5年高考3年模拟精品课件全国卷1地区通用：1.1 集合

A.{1}
B.{3,5}
C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}
答案 C ∵U={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5}, ∴∁UP={2,4,6}, ∵Q={1,2,4}, ∴(∁UP)∪Q={1,2,4,6}. 2.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B= ( ) A.(-1,3) B.(-1,0) C.(0,2) D.(2,3)
A.{0,2} B.{1,2}
C.{0}
D.{-2,-1,0,1,2}
答案 A 本题主要考查集合的基本运算. ∵A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={0,2},故选A.
2.(2018课标全国Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B= ( )
答案 A 本题考查集合的并集. A∪B={1,2,3}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.故选A. 5.(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B中元素的个数为2.
12.(2017浙江,1,5分)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q= ( ) A.(-1,2) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2) 答案 A 本题考查集合的概念和集合的运算. P∪Q={x|-1<x<2}.故选A. 易错警示把求并集看成求交集,而错选B,因为平时做得最多的集合运算是求两集合的交集, 从而形成思维定势. 13.(2015四川,1,5分)设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B= ( ) A.{x|-1<x<3} B.{x|-1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 答案 A 把集合A、B表示在数轴上,如图.

2016年新课标全国卷Ⅲ文科数学3卷高考试题Word文档版(含答案)

2016年新课标全国卷Ⅲ文科数学3卷高考试题Word文档版(含答案)A）a+b>c （B）a+c>b （C）b+c>a （D）a+b+c>08）已知函数f（x）=x3-3x2+2x+1，g（x）=ax2+bx+c，满足g（1）=f（1），g（2）=f（2），g（3）=f（3）。

则a+b+c的值为A）0 （B）1 （C）2 （D）39）已知函数f（x）=x2-2x+1，g（x）=f（x-1），则g（-1）的值为A）-2 （B）-1 （C）0 （D）110）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，d=3，则S10的值为A）155 （B）165 （C）175 （D）18511）已知函数f（x）=x3-3x2+2x+1，g（x）=f（x-1），则g（2）的值为A）-5 （B）-1 （C）1 （D）512）已知点A（1，2），B（3，4），C（5，6），则三角形ABC的周长为A）2 （B）4 （C）6 （D）81.设集合 $A=\{0,2,4,6,8,10\},B=\{4,8\}$。

则 $A\capB=\{4,8\}$。

2.若 $z=4+3i$。

则$\frac{z}{|z|}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$。

3.已知向量 $\overrightarrow{BA}=(1,3,3,1)$。

$\overrightarrow{BC}=(3,3,2,2)$。

则$\angle ABC=60^{\circ}$。

4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃。

下面叙述不正确的是：（A）各月的平均最低气温都在5℃以上；（B）七月的平均温差比一月的平均温差大；（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同；（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个。

5.XXX打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则XXX输入一次密码能够成功开机的概率是$\frac{2}{15}$。

2016年高考理科数学全国卷3(含答案解析)

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）理科数学使用地区:广西、云南、贵州注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共6页.2. 答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.再贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.3. 答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在本试卷上无效.4. 答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.答在本试卷上无效.5. 第22、23、24小题为选考题，请按题目要求任选其中一题作答.要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|(2)(3)0}S x x x =--≥，{}0Tx x =>，则S T = （）A. []2,3B. (,2][3,)-∞+∞C. [3,)+∞D. (0,2][3,)+∞2．若12i z =+，则4i1zz =- （）A. 1B. 1-C. iD. i -3．已知向量1331()()2222BA BC ==，，，，则ABC ∠=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )----平均最低气温——平均最高气温A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个5. 若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=( )A. 6425B.4825 C. 1D. 16256. 已知432a =，254b =，1325c =，则( )A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<7. 执行如图的程序框图，如果输入的4a =，6b =，那么输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )A. 10310B.1010C. 1010-D. 31010-9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A. 18365+B. 54185+C. 90D. 8110. 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是( )A. 4πB.92π C. 6πD. 323π11. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A. 13 B.12 C. 23D. 3412. 定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，123,,......k a a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有( )A. 18个B. 16个--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无----------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________C. 14个D. 12个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题，每小题5分.13. 若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为______.14. 函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移______个单位长度得到.15. 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1，3)-处的切线方程式是______. 16. 已知直线30l mx y m ++=：与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l的垂线与x 轴交于,C D两点，若||AB =，则||CD =______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠. （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若53132S =，求λ.18.（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图.注:年份代码1～7分别对应年份2008—2014.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.552.646≈.参考公式:相关系数1()()nii i tt y y r =--=∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =121()()()nii i nii tt y y tt ==---∑∑，a y bt =-．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（Ⅰ）证明：MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（Ⅱ）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.21.（本小题满分12分）设函数()cos2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A . （Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明：()2f x A '≤.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．（Ⅰ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小;（Ⅱ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明：OG CD ⊥.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,sin ,x y αα⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= （Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a a =-+. （Ⅰ）当2a=时，求不等式()6f x ≤的解集;（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】易得(][),23,S =-∞+∞，(][)0,23,S T ∴=+∞．【考点】解一元二次不等式，交集 2.【答案】C【解析】易知12i z =-，故14zz -=，4ii 1zz ∴=-．【考点】共轭复数，复数运算 3.【答案】A【解析一】32cos 11BA BC ABC BA BC ∠===⨯，30ABC ∴∠=．【解析二】可以B 点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知60ABx ∠=，30CBx ∠=，30ABC ∴∠=．【考点】向量夹角的坐标运算4.【答案】D【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20C 的月份有七月、八月，六月为20C 左右，故最多3个．【考点】统计图的识别 5.【答案】A【解析】22222cos 4sin cos 14tan 64cos 2sin 2cos sin 1tan 25ααααααααα+++===++．【考点】二倍角公式，弦切互化，同角三角函数公式6.【答案】A【解析】423324a ==，233b =，1233255c ==，故c a b >>．【考点】指数运算，幂函数性质 7.【答案】B【考点】程序框图 8.【答案】C【解析】如图所示，可设1BD AD ==，则AB =2DC =，AC ∴=知，cos A =．【考点】解三角形9.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为2332362354⨯⨯+⨯⨯+⨯+．【考点】三视图，多面体的表面积 10.【答案】B【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，又1322AA =<⨯，所以内接球的半径为32，即V 的最大值为349ππ32R =．【考点】内接球半径的求法11.【答案】A【解析】易得ON OB aMF BF a c==+，2MF MF AF a c OE ON AO a -===，12a a c a c a c a a c --∴==++，13c e a ∴==．【考点】椭圆的性质，相似12.【答案】C【解析】011110111010111101001110011110110011101010111001111011001110101⎧⎧→⎧⎪⎪⎪→⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪→⎪⎪⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪→⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎪→⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎧⎪⎪⎪→⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎪→→⎨⎩⎩⎪⎪⎪→⎧⎪⎪→⎨⎪→⎪⎩⎩⎩【考点】数列，树状图第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】32【解析】三条直线的交点分别为(2,1)--，11,2⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)，代入目标函数可得3-，32，1，故最大值为32．【考点】线性规划14.【答案】2π3【解析】sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故可前者的图像可由后者向右平移2π3个单位长度得到．【考点】三角恒等变换，图像平移15.【答案】210x y ++=【解析一】11()33f x x x-'=+=+-，(1)2f '∴-=，(1)2f '∴=-，故切线方程为210x y ++=．【解析二】当0x >时，()()ln 3f x f x x x =-=-，1()3f x x'∴=-，(1)2f '∴=-，故切线方程为210x y ++=．【考点】奇偶性，导数，切线方程 16.【答案】3【解析】如图所示，作AE BD ⊥于E ，作OF AB ⊥于F，AB =OA =，3OF ∴=，即3=，m ∴=，∴直线l 的倾斜角为30，3CD AE ∴===．【考点】直线和圆，弦长公式三、解答题17.【答案】（Ⅰ）1n n S a λ=+，0λ≠，0n a ∴≠，当2n ≥时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-，即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠，10λ∴-≠，即1λ≠，即11n n a a λλ-=-，(2)n ≥，{}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=，即111a λ=-，1111n n a λλλ-⎛⎫∴= ⎪--⎝⎭；（Ⅱ）若53132S =，则555111131113211S λλλλλλλ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-= ⎪-⎝⎭--，1λ∴=-．【考点】等比数列的证明，由n S 求通项，等比数列的性质18.【答案】（Ⅰ）由题意得123456747t ++++++==，71 1.3317i i y y ==≈∑，7()()0.99nii i itt y y t ynt yr ---===≈∑∑，因为y与t 的相关系数近似为0．99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y 与t 的关系；（Ⅱ）121()()2.890.10328()nii i ni i tt y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.330.10340.92a y bt =-=-⨯≈，所以y 关于t 的线性回归方程为0.920.10y a bt t =+=+，将9t =代入回归方程可得， 1.82y =，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．【考点】相关性分析，线性回归 19.【答案】（Ⅰ）由已知得223AM AD ==，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN BC ∥，122TN BC ==，又AD BC ∥，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥，因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）取BC 中点E ，连接AE ，则易知AE AD ⊥，又PA ⊥面ABCD ，故可以A 为坐标原点，以AE 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A 、(0,0,4)P 、C 、N ⎫⎪⎪⎝⎭()0,2,0M，52AN ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,4)PM =-，22PN N ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，故平面PMN 的法向量(0,2,1)n =，4cos ,52AN n ∴<>==，∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为25．【考点】线面平行证明，线面角的计算20.【答案】（Ⅰ）由题设1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设1:l y a =，2:l y b =，则0ab ≠，且2,2a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2Q b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,22a b R +⎛⎫- ⎪⎝⎭，记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=，由于F 在线段AB 上，故10ab +=，记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-，所以AR FQ ∥；（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，则1111222ABF S b a FD b a x ∆=-=--，2PQF a bS ∆-=，由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍去)，11x =，设满足条件的AB 的中点为(,)E x y ，当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1y x a b x =≠+-，而2a by +=，所以21(1)y x x =-≠，当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-．【考点】抛物线，轨迹方程21.【答案】（Ⅰ）()2sin 2(1)sin f x a x a x '=---；（Ⅱ）当1a ≥时，|()||cos2(1)(cos 1)|2(1)32(0)f x a x a x a a a f =+-+≤+-=-=，因此，32A a =-，当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--，令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a t a -=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >． ①当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-； ②当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>；又1(1)(17)|(1)|048a a a g g a a --+⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以216148a a a A g a a -++⎛⎫==⎪⎝⎭，综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩（Ⅲ）由（Ⅰ）得|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a '=---≤+-，当105a <≤时，|()|1242(23)2f x a a a A '≤+≤-<-=，当115a <<时，131884a A a =++≥，所以|()|12f x a A '≤+<，当1a ≥时，|()|31642f x a a A '≤-≤-=，所以|()|2f x A '≤．【考点】导函数讨论单调性，不等式证明22.【答案】（Ⅰ）连结PB ，BC ，则BFD PBA BPD ∠=∠+∠，PCD PCB BCD ∠=∠+∠，因为AP BP =，所以PBA PCB ∠=∠，又BPD BCD ∠=∠，所以BFD PCD ∠=∠，又180PFD BFD ∠+∠=，2PFB PCD ∠=∠，所以3180PCD ∠=，因此60PCD ∠=；（Ⅱ）因为PCD BFD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此OG CD ⊥．【考点】几何证明23.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-，当且仅当π2π()6k k Z α=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭．【考点】坐标系与参数方程24.【答案】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+，解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤，因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12||212||1|f x g x x a a x x a x a a a +=-++-≥-+-+=-+，当12x =时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥①．当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解；当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥；所以a 的取值范围是[2,)+∞．【考点】不等式。

广东省佛山市高考数学一模试卷理(含解析)

2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（）A．0 B．1 C．D．22．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．555．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A． +1 B．2 C．D．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13π B．16π C．25π D．27π11．给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=e x+x；③f（x）=ln（﹣x）；∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（﹣）5的展开式的常数项为（用数字作答）．14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=3S n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．（Ⅰ）计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．选修4-5：不等式选讲24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（）A．0 B．1 C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：∵z（l﹣i）=﹣1﹣i，∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）2，∴2z=﹣2i，∴z=﹣i，∴z+1=1﹣i，则|z+1|=，故选：C．【点评】本题考查了复数的化简与模的计算．2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；综合法；集合．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，故函数y=ln（1﹣x）的定义域为M=（﹣∞，1），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴M∩N=N，故选：A．【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．【解答】解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，而＞，如a=1，b=0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．5．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由极值点可得φ=﹣，解2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），故选：B．【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A． +1 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，由此能求出双曲线C的离心率．【解答】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，∴2a=，2c=2x，∴双曲线C的离心率e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）==，P（B）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【专题】操作型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量a值，并输出满足条件的累乘积关于2的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：执行循环体前，S=1，a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×20=20，a=1，当S=2°，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×21=21，a=2当S=21，a=2，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=21×22=23，a=3当S=23，a=3，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=23×23=26，a=4当S=26，a=4，满足退出循环的条件，则z==6故输出结果为6故选：D【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13π B．16π C．25π D．27π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．11．给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=e x+x；③f（x）=ln（﹣x）；∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】特称命题．【专题】对应思想；转化法；导数的综合应用；简易逻辑．【分析】①求出f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使f（x）dx=0成立；②求出（e x+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．【解答】解：对于①，f（x）=xsinx，∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，令2sina﹣2acosa=0，∴sina=acosa，又cosa≠0，∴tana=a；画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；在（0，）内，两函数的图象有交点，即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①满足条件；对于②，f（x）=e x+x，（e x+x）dx=（e x+x2）=e a﹣e﹣a；令e a﹣e﹣a=0，解得a=0，不满足条件；对于③，f（x）=ln（﹣x）是定义域R上的奇函数，且积分的上下限互为相反数，所以定积分值为0，满足条件；综上，∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是①③．故选：B．【点评】本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为0，是综合性题目．12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c ﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c﹣a的值进行判断．【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（﹣）5的展开式的常数项为﹣10 （用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在（﹣）5展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式的常数项．【解答】解：由于（﹣）5展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出+λ和的坐标，根据向量垂直列出方程解出λ．【解答】解：+λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（+λ）•=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为2．【考点】余弦定理．【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值．【解答】解：在△ABM中，由余弦定理得：cosB==．在△ABC中，由余弦定理得：cosB==．∴=．即b2+c2=4bc﹣8．∵cosA==，∴sinA==．∴S=sinA=bc=．∴当bc=8时，S取得最大值2．故答案为2．【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=3S n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过a n=3S n﹣2与a n﹣1=3S n﹣1﹣2（n≥2）作差、整理可知a n=﹣a n﹣1（n≥2），进而可知数列{a n}是首项为1、公比为﹣的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知na n=（﹣1）n﹣1•，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵a n=3S n﹣2，∴a n﹣1=3S n﹣1﹣2（n≥2），两式相减得：a n﹣a n﹣1=3a n，整理得：a n=﹣a n﹣1（n≥2），又∵a1=3S1﹣2，即a1=1，∴数列{a n}是首项为1、公比为﹣的等比数列，∴其通项公式a n=（﹣1）n﹣1•；（2）由（1）可知na n=（﹣1）n﹣1•，∴T n=1•1+（﹣1）•2•+…+（﹣1）n﹣2•（n﹣1）•+（﹣1）n﹣1•，∴﹣T n=1•（﹣1）•+2•+…+（﹣1）n﹣1•（n﹣1）•+（﹣1）n•n•，错位相减得： T n=1+[﹣+﹣+…+（﹣1）n﹣1•]﹣（﹣1）n•n•=1+﹣（﹣1）n•n•=+（﹣1）n﹣1••，∴T n= [+（﹣1）n﹣1••]=+（﹣1）n﹣1••．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．（Ⅰ）计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；茎叶图．【专题】转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（I）利用平均值与标准差的计算公式即可得出μ，σ；（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），分别计算出满足满足2σ的概率及其3σ的概率，即可得出．【解答】解：（I）平均值μ=100+=105．标准差σ==6．（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），∴P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=P（93＜Z＜117）=0.9544，可知：落在区间（93，117）的数据有3个：95、103、109，因此满足2σ的概率为：0.95443×0.04562≈0.0017．P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=P（87＜Z＜123）=0.9974，可知：落在区间（87，123）的数据有4个：95、103、109、118，因此满足3σ的概率为：0.99744×0.0026≈0.0026．由以上可知：此打印设备不需要进一步调试．【点评】本题考查了茎叶图、平均值与标准差、正态分布，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】方程思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量坐标，利用线面垂直的性质建立方程关系即可证明D 为BB1的中点；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，∴三角形ACC1是正三角形，∵H是CC1的中点，∴AH⊥CC1，从而A H⊥AA1，∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，∴AH⊥ABB1A1，以A为原点，建立空间直角坐标系如图，设AB=，则AA1=2，则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），则=（，2，0），=（，t﹣2，0），∵A1D丄平面AB1H．AB1⊂丄平面AB1H．∴A1D丄AB1，则•=（，2，0）•（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，即D（，1，0），∴D为BB1的中点；（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），则由•=x﹣y=0），•=﹣y+z=0，得，令x=3，则y=3，z=， =（3，3，），显然平面A1DA的法向量为==（0，0，），则cos＜，＞===，即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E的坐标，由两直线垂直可得F的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，b==，则椭圆的标准方程为+=1；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+x E=，可得x E=，y E=k（x E﹣2）=，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得x F=，y F=，由2=+，可得P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；当s＜0时，t=≥﹣，综上可得直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；导数的概念及应用．【分析】（1）当a=λ时，函数f（x）=﹣（x＞0）．f′（x）=，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究其单调性，即可得出最小值．（2）函数f（x）=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】（1）解：当a=λ时，函数f（x）=﹣alnx=﹣（x＞0）．f′（x）=﹣=，∵λ＞0，x＞0，∴4x2+9λx+3λ2＞0，4x（λ+x）2＞0．∴当x＞λ时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜λ时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=λ时，函数f（x）取得极小值，即最小值，∴f（（λ）==0，解得λ=．（2）证明：函数f（x）=﹣alnx=﹣alnx=x﹣﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx．令u（x）=x﹣λ﹣alnx．u′（x）=1﹣=，可知：当x＞a时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增，x→+∞，u（x）→+∞．一定存在x0＞0，使得当x＞x0时，u（x0）＞0，∴存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞u（x）＞u（x0）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC （Ⅰ）求证：PD=2AB；（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；方程思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明：△APD∽△CPB，利用AB=AD，BP=2BC，证明PD=2AB；（Ⅱ）利用割线定理求AB的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠PAD=∠PCB，∴∠APD=∠CPB，∴△APD∽△CPB，∴=，∵BP=2BC∴PD=2AD，∴AB=AD，∴PD=2AB；（Ⅱ）解：由题意，BP=2BC=4，设AB=t，由割线定理得PD•PC=PA•PB，∴2t×5=（4﹣t）×4∴t=，即AB=．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；转化思想；消元法；坐标系和参数方程．【分析】（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．【解答】解：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为：x2+（y﹣2）2=4，联立，解得或．可得极坐标分别为：，．（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，∴P到直线l的距离d的最大值为+r=+2．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）问题转化为解不等式|x﹣2|＜|x+4|，两边平方，解出即可；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x﹣2|+|x+4|的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x﹣2|＜|x+4|，两边平方得：x2﹣4x+4＜x2+8x+16，解得：x＞﹣1，∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6，∴a2﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3，∴a的范围是（﹣2，3）．【点评】本题考察了解绝对值不等式问题，考察转化思想，是一道基础题．。

2016年高考江苏卷数学试题解析(正式版)(解析版)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2016年江苏卷数学高考试题数学I 试题参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差211()n i i s x x n ==-∑2，其中11=n i i x x n =∑.棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高. 棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲ . 【答案】{}1,2- 【解析】试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-考点：集合运算2. 复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ . 【答案】5考点：复数概念3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ▲ .【答案】210 【解析】试题分析：222227,3,7310,10,2210a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=．故答案应填：210考点：双曲线性质4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ▲ . 【答案】0.1【解析】试题分析：这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15⨯++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15s ⎡⎤∴=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0.1 考点：方差5. 函数y =232x x --的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-考点：函数定义域6. 右图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .【答案】9【解析】试题分析：第一次循环：5,7a b ==，第二次循环：9,5a b ==，此时a b >，循环结束，输出的a 的值是9，故答案应填：9. 学科&网考点：循环结构流程图7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ . 【答案】56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 考点：古典概型8. 已知{n a }是等差数列，n S 是其前n 项和.若2123a a +=-，5S =10，则9a 的值是 ▲ .【答案】20【解析】由510S =得32a =，因此2922(2)33,23620.d d d a -+-=-⇒==+⨯=故考点：等差数列的性质9. 定义在区间[0，3π]上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ▲ . 【答案】7考点：三角函数图象10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0 的右焦点，直线2by = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ，则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)【答案】63【解析】由题意得33(,),C(,),2222b b B a a -，故BF⃗⃗⃗⃗⃗ =3(,)22b c a --，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(,)22b c a +-，又90BFC ∠=，所以2222236()()032.223b c a c a e -+=⇒=⇒= 考点：椭圆离心率11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 ▲ . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=，因此32(5)(3)(1)(1)1.55f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质12. 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，，则22x y +的取值范围是 ▲ .【答案】4[,13]5考点：线性规划13. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=---==（）（），2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=---==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=---===（）（）考点：向量数量积14. 在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ . 【答案】8考点：三角恒等变换，切的性质应用二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ，（1）求AB 的长；（2）求πcos(6A)的值.【答案】（1）52(2) 72620- 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ，再利用正弦定理求AB 的长；(2)利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-考点：同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式 16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .（第16题）【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理. 学科&网试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C ∥AC ，在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以//DE AC ，于是11//DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ，所以直线DE //平面11AC F .考点：直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍. （1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？（第17题）【答案】（1）312（2）123PO =考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积 18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围.（第18题）【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22212221t -≤≤+所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算 19. （本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设12,2a b ==. ①求方程()f x =2的根；②若对任意x ∈R ，不等式(2)()6f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 【答案】（1）①0 ②4 （2）1 【解析】试题分析：（1）①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根；②根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，最后根据基本不等式求最值；（2）根据导函数零点情况，确定函数单调变化趋势，结合图象确定唯一零点必在极值点取得，从而建立等量关系，求出ab 的值.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而0(0)(0)220g f a b =-=+-=，所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln xxg x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>，所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=.因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02xg g <=，又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=，且函数()g x 在以2x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又002x<，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =. 于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点 20. （本小题满分16分）记{}1,2,100U =…,.对数列{}()*n a n ∈N 和U的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,k T t t t =…，，定义12k T t t t S a a a =+++.例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,T k ⊆…，，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析考点：等比数列的通项公式、求和数学II（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．．．．．．若多做，．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4—1几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析考点：相似三角形B. [选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵12,02A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦矩阵B的逆矩阵111=202B-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB.【答案】5 14 01⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆：11412B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，再根据矩阵运算求矩阵AB.考点：逆矩阵，矩阵乘法C.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为11,23x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），椭圆C的参数方程为cos,2sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.【答案】16 7【解析】试题分析：将参数方程化为普通方程，再根据弦长公式或两点间距离公式求弦长.试题解析：解：椭圆C的普通方程为2214yx+=，将直线l的参数方程1123x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214yx+=，得223()12(1)124t t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-.所以1216||7AB t t =-=.考点：直线与椭圆的参数方程D .[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）设a ＞0，|x -1|＜3a ，|y -2|＜3a，求证：|2x +y -4|＜a . 【答案】详见解析考点：含绝对值的不等式证明【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px (p ＞0). （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0( 【解析】试题分析：（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：0)44(4422>--=∆p p p ，解出p 的取值范围.试题解析：解：（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p =所以抛物线C 的方程为28.y x =考点：直线与抛物线位置关系 23. （本小题满分10分）（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .【答案】（1）0（2）详见解析考点：组合数及其性质学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http://xkw.so/wksp。

2016年高考山东文科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年山东，文1，5分】设集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,{3,4,5}U A B ===，则()U A B =U ð（）（A ）{}2,6 （B ）{}3,6 （C ）{}1,3,4,5 （D ）{}1,2,4,6 【答案】A【解析】={1,34,5}A B U ，，()={2,6}U A B U ð，故选A ．【点评】考查集合的并集及补集运算，难度较小．（2）【2016年山东，文2，5分】若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z =（）（A ）2i - （B ）2i （C ）2- （D ）2 【答案】B【解析】22(1i)=1i 1i 2z -==+-，1i z =-，故选B ．【点评】复数的运算题目，考察复数的除法及共轭复数，难度较小．（3）【2016年山东，文3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（）（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140 【答案】D【解析】由图可知组距为2．5，每周的自习时间少于22．5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=，所以，每周自习时间不少于22．5小时的人数是()20010.30140⨯-=人，故选D ．【点评】频率分布直方图题目，注意纵坐标为频率/组距，难度较小．（4）【2016年山东，文4，5分】若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是（）（A ）4（B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--，所以()3,1-是最优解，22x y +的最大值是10，故选C ．（5）【2016年山东，文5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）（A ）1233+π （B ）1233+π （C ）1236+π （D ）216+π【答案】C【解析】由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，体积为3142112111+=+3323ππ⨯⨯⨯⨯（），故选C ．【点评】考察三视图以及几何体的体积公式，题面已知是半球和四棱锥，由三视图可看出是正四棱锥，难度较小．（6）【2016年山东，文6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线相交，一定有一个交点，该点一定同时属于两个平面，即两平面相交，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意（平行、相交、异面），即充分不必要条件，故选A ．（7）【2016年山东，文7，5分】已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)+(1)=1N x y --的位置关系是（）（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离【答案】B【解析】圆()22:200M x y ay a +-=>化成标准形式222()(0)x y a a a +-=>解法1：圆心(0, )a 到直线0x y +=的距离为2ad =，由勾股定理得2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2,0,2a a a =±>∴=Q ，圆M 与圆22:(1)+(1)=1N x y --的圆心距为22(10)(12)2-+-=，圆M 半径12R =，圆N 半径212121,2,R R R R R =-<<+∴Q 圆M 与圆N 相交，故选B ．解法2：直线0x y +=斜率为1-，倾斜角为135︒，可知2,2BM OB OM a ==∴==，B 点坐标为()1,1-，即为圆N 的圆心．圆心在圆M 中，且半径为1，即两圆相交，故选B ．（8）【2016年山东，文8，5分】ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知b c =，222(1sin )a b A =-，则A=（）（A ）34π （B ）3π （C ）4π （D ）6π【答案】C【解析】222222(1sinA),2cos 2(1sinA),a b b c bc A b =-∴+-=-Q 又b c =Q ，2222cos b b A ∴-22(1sin )b A =-，cos sin A A ∴=，在ABC ∆中，(0,),A 4A ππ∈∴=，故选C ．（9）【2016年山东，文9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =（）（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2 【答案】D【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知当12x >时，()f x 的周期为1，所以()()61f f =．又当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦，故选D ．（10）【2016年山东，文10，5分】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）x y e = （D ）3y x = 【答案】A【解析】因为函数ln y x =，x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．（11）【2016年山东，文11，5分】执行右边的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为．【答案】1【解析】根据题目所给框图，当输入3n =时，依次执行程序为：1,0i S ==，021=21S =+--，13i =≥不成立，12i i =+=，213231S =-+-=-，23i =≥不成立，13i i =+=，3143211S =-+-=-=，33i =≥成立，故输出的S 的值为1．（12）【2016年山东，文12，5分】观察下列等式：2224sin sin 12333ππ--⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222344sin sin sin sin 2355553ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222364sin sin sin sin 3477773ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222384sin sin sin sin 4599993ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2222232sin sin sin sin 21212121n n n n n ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．【答案】()413n n+【解析】由题干中各等式左端各项分母的特点及等式右端所表现出来的规律经过归纳推理即得．（13）【2016年山东，文13，5分】已知向量()1,1a =-r ，()6,4b =-r ．若()a tab ⊥+r r r，则实数t 的值为．【答案】5-【解析】由已知条件可得()6,4ta b t t +=+--r r，又因()a ta+b ⊥r r r 可得()=a ta+b ⋅r r r 0，即()()()6141642100t t t t t +⨯+--⨯-=+++=+=，即得5t =-．（14）【2016年山东，文14，5分】已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率为．【答案】2【解析】由题意BC 2c =，所以2AB 3BC =，于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．（15）【2016年山东，文15，5分】在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是．【答案】()3,+∞【解析】因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =，所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增，只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时，关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤，0m >时，存在实数b ，使方程()f x b =在x m ≤时有两个根，只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可，解之，注意0m >，得3m >，故填()3+∞，．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2016年山东，文16，12分】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y ．奖励规矩如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy ≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此活动．（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：（1）设获得玩具记为事件A ，获得水杯记为事件B ，获得一瓶饮料记为事件C ，转盘转动两次后获得的数据记为(),x y ，则基本事件空间为()()()()()()()()1,11,21,31,42,12,22,32,4、、、、、、、、()()()()()()()()3,13,23,33,44,14,24,34,4、、、、、、、共16种，事件A 为()()()()()1,11,21,32,13,1、、、、，共5种，故小亮获得玩具的概率()516A P =．（2）事件B 为()()()()()()2,43,33,44,24,34,4、、、、、共6种，故小亮获得水杯的概率()63168B P ==，获得饮料的指针2431A概率()()()5116C A B P P P =--=．因为()()B C P P >，所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大．（17）【2016年山东，文17，12分】设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求6y g π⎛⎫= ⎪⎝⎭的值．解：（1）()()()2sin sin sin cos 2sin sin cos 2sin cos ()2sin 21f x x x x x x x x x x x x π=---=-+-+-sin 2212sin 2212sin 12213x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（2）经变换()2sin1g x x =，6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（18）【2016年山东，文18，12分】在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，//EF DB ．（1）已知AB BC =，AE EC =．求证：AC FB ⊥；（2）已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点．求证：//GH ABC 平面．解：（1）连接ED ，AB BC =Q ，AE EC =．AEC ∴∆和ABC ∆为等腰三角形．又D Q 是AC 的中点，ED AC ∴⊥，BD AC ⊥；AC ∴⊥平面EDB ．又//EF DB Q ， ∴平面EDB 与平面EFBD 为相同平面；AC ∴⊥平面EFBD ．FB ⊆Q 平面EFBD ；AC FB ∴⊥．（2）取ED 中点I ，连接IG 和IH ．在EDC ∆中I 和G 为中点；//IG CD ∴．//EF DB Q ；∴四边形EFBD 为梯形．I Q 和H 分别为ED 和FB 中点；//IH BD ∴．又IH Q 和IG 交与I 点，CD 与BD 交与D 点；∴平面//GIH 平面BDC ．又GH ⊆Q 平面GIH ； //GH ∴平面ABC ．（19）【2016年山东，文19，12分】已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，所以111a =，当2n ≥时，221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，又65n a n =+对1n =也成立，所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时，1211b d =-；当2n =时，2217b d =-，解得3d =，所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+．（2）由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++，于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅L ，两边同乘以２，得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅L ，两式相减，得 2341262323232(33)2n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅L 22232(12)32(33)212n n n +⋅-=⋅+-+⋅-2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．（20）【2016年山东，文20，13分】设2()ln (21)f x x x ax a x =-+-，a R ∈．AA（1）令()'()g x f x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 取值范围．解：（1）定义域()0+∞,，()()ln 1221g x f x x ax a '==+-+-，()12g x a x'=-． ①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0+∞,上单调递增； ②当0a >时，令()0g x '=，得12x a =．()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上所述，当0a ≤时，单调递增区间为()0+∞,，当0a >时，单调递增区间为10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）∵()f x 在1x =处取得极大值，∴()10g =，ln112210a a +-+-=在a 取任何值时恒成立．①当0a ≤时，()g x 在()0+∞,上单调递增，即()0,1x ∈时，()0g x <；()1,x ∈+∞时，()0g x >，此时()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意；②当0a >时，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．只需令112a <，即12a >．综上所述，a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（21）【2016年山东，文21，14分】已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的长轴长为4，焦距为（1）求椭圆C 的方程；（2）过动点()()0,0M m m >的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P （P 在第一象限），且M是线段PN 的中点，过点P 做x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ．（i ）设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，'k ，证明'k k为定值；（ii ）求直线AB 的斜率的最小值．解：（1）由题意得222242a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=．（2）（i ）设(,0),(,),N P P N x P x y 直线:+PA y kx m =，因为点N 为直线PA 与x 轴的交点，所以N mx k=-，因为点()0,M m 为线段PN 的中点，所以00,22N P P x x y m ++==，得,2P P mx y m k==，所以点,2m Q m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()2=30m m k k m k--=--’，故3k k =-’为定值．（ii ）直线:+PA y kx m =与椭圆方程联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：222(21)4240k x kmx m +++-=，所以222222164(21)(24)328160k m k m k m ∆=-+-=-+>① 12122242,2121kmx mx x y y k k -+=+=++，所以222264,(21)21k m m k m A k k k ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭，直线:3+QM y kx m =-与椭圆方程联立223142y kx mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22218112240k x kmx m +-+-=，所以121222122,181181km mx x y y k k +=+=++，所以()()22224916,181181m k k m m B k k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪++⎝⎭，26131424B A ABB A y y k k k x x k k -+===+-，因为点P 在椭圆上，所以2224142m m k +=，得2224k m =② 将②代入①得()2240k >+1恒成立，所以20k ≥，所以0k ≥，所以3124AB k k k =+≥k =时取“=”），所以当k 时，AB k ．。

广东省江门市2016届高考数学4月模拟试题理(含解析)

江门市2016年高考模拟考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．是（）1．复数（是虚数单位）的共轭复数．．．．A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．2．等比数列的前项和为，若，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，∴，．3．已知向量，，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵．4．若的最小正周期为，，则（）A．在单调递增B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递减【答案】D【解析】∵，，∴,∴，∴，取．∴，故选D．5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积，则它的体积（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为圆锥，设底面圆半径为，则高为，母线长．∵该几何体的表面积，∴，∴．∴．6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A．份B．份C．份D．份【答案】B是否开始结束输出【解析】， ∴应从120分以上的试卷中抽取．7．执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由程序框图可知：∴周期为3，由，得输出的结果为．8．若的展开式中常数项为，则实数（） A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】，令，解得． ∴常数项为，∴，．9．如果某射手每次射击击中目标的概率为，每次射击的结果相互独立，那么他在次射击中，最有可能击中目标的次数是（） A ．B ．C ．或D ．【答案】B…………【解析】∵，∴，∴，，∴．10．在平面直角坐标系中，是由不等式组所确定的平面区域内的动点，是圆上的动点，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】 B 【解析】设圆心，当时，最小，如图：∴． 11．函数的导函数为，若，且，则（）A ．的最小值为B ．的最大值为C ．的最小值为D ．的最大值为【答案】A 【解析】设，∴，∴为常数函数． ∵，∴， ∴，，当时，，当时，，∴．ABC QP O xy12．过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于、两点，若，则双曲线离心率的值所在区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，取，∴点在上，∴，．∴，∴，∴，，令，且，，∴的零点，故．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设：，：，若是的充分不必充要条件，则实数的取值X围是．【答案】【解析】：，∴，：，或，∵是的充分不必充要条件，∴，或，即，或．14．三边的长分别为，，，若，，则．【答案】【解析】．15．对大于或等于的自然数的次方可以做如下分解：，，，……，根据上述规律，的分解式中，最大的数是．【答案】【解析】设分解式中的第一个数为，∵，，…，∴，∴，∴最大的数是．16．已知平面区域，，的概率．【答案】【解析】∵，∴．∴．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知是正项等差数列，，数列的前项和．（1）求；（2）设，，求数列的前项和．【解析】（1）依题意，设（、是常数，且）．，即．，即．解，得（舍去），或，．（2）由（1）得，．为偶数时，，为奇数时，，∴18．（本小题满分12分）某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了名男生、名女生，理科班推荐了3名男生、名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这名学生随机抽取名男生、名女生组队集训．（1）求理科班至少有名学生入选集训队的概率；（2）若先抽取女生，每次随机抽取人，设表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求的分布列和均值（数学期望）．【解析】（1）理科班没有学生入选集训队的概率为，理科班有1名学生入选集训队的概率为，理科班至少有名学生入选集训队的概率为．（2），，．，，，的分布列为：∴．19．（本小题满分12分）如图，是四棱柱，侧棱底面，底面是梯形，，．（1）求证：平面平面；（2）是底面所在平面上一个动点，与平面夹角的正弦值为，试判断动点在什么样的曲线上．【解析】（1）证明：取的中点，连接，则，是平行四边形．，是正三角形，，，． ∵侧棱，，，∴面，平面，∴平面平面．（2）以为原点，、、为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，设，设平面的一个法向量为，则，，取．CDBA B 1C 1D 1E yxzF ACDBA 1B 1C 1D 1E，依题意，，即，化简整理得，，动点的轨迹是一条抛物线．20．（本小题满分12分）已知椭圆：的焦距为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）、是椭圆上两点，线段的垂直平分线经过，求面积的最大值（为坐标原点）．【解析】（1）依题意，，椭圆的焦点为，，，∴，椭圆的方程为．（2）根据椭圆的对称性，直线与轴不垂直，设直线：，由，得，设，，则，，，到直线的距离，的面积．依题意，，，，，，代入整理得，，若，则，等号当且仅当时成立．若，则，，等号当且仅当，时成立．综上所述，面积的最大值为．21．（本小题满分12分）已知函数，是常数，且．（1）讨论零点的个数；（2）证明：，．证明：（1）．解得，或．①时，，若，，，若，，，有一个零点．②时，，＋0 －0 ＋↗↘↗由上表可知，在区间有一个零点．，又，任取，，在区间有一个零点，从而有两个零点．③时，，在上单调递增，有一个零点．④＋0 －0 ＋↗↘↗有一个零点，从而有两个零点．（2）取，由⑴知在上单调递增，取（），则，化简得．取，由⑴知在区间上单调递减，取（），由，得，即（），综上，，．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙的弦、相交于，过点作⊙的切线与的延长线交于点．，．（1）求；（2）求⊙的半径．【解析】（1）∵是⊙的切线，∴，∴，∴，∴．∴，．∵，∴，∴．（2）在中，∴，在中，，∴．在中，∵,∴，∴，∴，∴．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；（2）是曲线上任意一点，求到直线的距离的最大值．【解析】（1）由消去参数得，．由得．（2）由（1）得曲线：，圆心为，半径为．圆心到直线的距离，到直线的距离的最大值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知非零常数、满足，求不等式的解集；（2）若，恒成立，求常数的取值X围．【解析】（1），∴，∴，或，当时，，，当时，，∴，或，∴或，综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．（2）由，得，∴或，∴或，∵，，若，恒成立，∴，或．。

高中高考数学二模试卷理(含解析)-人教版高三全册数学试题

2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．23．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或05．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．56．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=17．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．3010．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．212．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为_______．14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为_______．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为_______．16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 520．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，求出A的补集，再计算（∁U A）∩B．【解答】解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U A={x|x＜﹣1或x＞1}，∴（∁U A）∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：C．2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先求出+z，再求出其模即可．【解答】解：∵z=1+i，∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2，故|+z|=2，故选：A．3．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】选择题，对x+2进行分类讨论，可直接利用绝对值不等式公式解决：|x|＞a等价于x＞a或x＜﹣a，最后求并集即可．【解答】解：当x+2＞0时，不等式可化为2x﹣1＞x+2或2x﹣1＜﹣（x+2），∴x＞3或2x﹣1＜﹣x﹣2，∴x＞3或﹣2＜x＜﹣，当x+2≤0时，即x≤﹣2，显然成立，故x的X围为x＞3或x＜﹣故选：B．4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（+x）=f（﹣x），可得x=是函数f（x）的对称轴，利用三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），∴x=是函数f（x）的对称轴，即此时函数f（x）取得最值，即f（）=±2，故选：B5．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解．【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=，∴sin（）=∴=2kπ+，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．∴当k=0时，有x=1．故选：C．6．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c﹣a=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，可得c﹣a=1，由双曲线的渐近线方程为y=x，则焦点（c，0）到渐近线的距离为d==b=，又c2﹣a2=b2=3，解得a=1，c=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故选：A．7．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；故选：D．8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．【考点】几何概型．【分析】若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积，即可求出概率．【解答】解：这是一个几何概率模型．若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，面积为2[﹣（﹣）]= +，故|OM|≤2的概率为．故选：D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解．【解答】解：∵a1+a17=2a9，∴s17==17a9=170，∴a9=10，∴a7+a9+a11=3a9=30；故选D．10．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知根据三角形内角和定理得3α＞π，从而解得α＞，妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），利用余弦定理可得cosα=2﹣＞﹣1，结合三角形内角的X围即可得解．【解答】解：∵α为△ABC最大内角，∴3α＞π，即α＞，由题意，不妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），则由余弦定理可得，cosα===2﹣=2﹣，又∵三角形两边之和大于第三边，可得a﹣d+a＞a+d，可得a＞2d，即，∴cosα=2﹣＞﹣1，又α为三角形内角，α∈（0，π），可得：α∈（，π）．故选：B．11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据分段函数，分别讨论x的X围，求出函数的最小值，根据题意得出不等式a2＜a+2，求解即可．【解答】解：∵f（x）=，当x≤0时，f（x）的最小值为a2，当x＞0时，f（x）的最小值为2+a，∵在x=0处取得最小值，∴a2＜a+2，∴﹣1≤a≤2，故选D．12．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）=e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．即有f（x）=e x﹣2（e y+e﹣y）+2≥e x﹣2•2+2=2+2e x﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax≤2+2e x﹣2，即有a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）e x﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）e x﹣2，h′（x）=xe x﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）e x﹣2=1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a≤．当x=2，y=0时，a取得最大值．故选：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为存在x0≤0，都有．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为：存在x0≤0，都有；故答案为：存在x0≤0，都有；14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为 1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x3项的系数为20，得到ab的值．【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•a6﹣r•b r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20，∴ab=1．故答案为：1．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．【考点】三角形的形状判断；函数的值．【分析】不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得，结合a2+b2≥2ab可求c的X围，进而可求M的X围，即可求解【解答】解：不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c∴ab＞M2由题意可得，∴∵a2+b2≥2ab＞2c∴c2＞2c即c＞2∴ab＞2∴M2≥2∴故答案为：16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于 3 ．【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．【分析】先根据=0，可得⊥，又因为===|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴，两式相比可得： =3．故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），可得a1=5，a2=3，a3=1．利用等差数列的通项公式即可得出．由点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，可得b n=a•2n．利用b1=1，解得a，即可得出．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），∴a1=5，a2=3，a3=1．∴d=3﹣5=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n．∵点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，∴b n=a•2n．∵b1=1，∴1=a×21，解得a=．∴b n=2n﹣1．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．∴数列{}的前n项和S n=5×1+3×2+1×22+…+（7﹣2n）•2n﹣1．∴2S n=5×2+3×22+…+（9﹣2n）•2n﹣1+（7﹣2n）•2n，∴﹣S n=5﹣2（2+22+…+2n﹣1）﹣（7﹣2n）•2n=5﹣﹣（7﹣2n）•2n=9﹣（9﹣2n）•2n，∴S n=（9﹣2n）•2n﹣9．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．（2）利用四点共面， =x+y，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），则=（2，0，2），=（0，2，4），设平面AEF的法向量为=（x，y，z）则令z=1．则x=﹣1，y=﹣2，即=（﹣1，﹣2，1），平面ABC的法向量为=（0，0，1），则cos＜，＞===即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，则G（1，1，0），∵=，∴==λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ），=+=（λ，λ，6﹣6λ）∵A，E，F，H四点共面，∴设=x+y，即（λ，λ，6﹣6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），则，得λ=，x=y=，故λ的值为．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 5【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得；（2）由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A，则，而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，由题意可以分析出该随机变量ξ～B（3，），再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得．【解答】解：（1）依题意，解x=4，由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定．（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，随机变ξ的可能取值为0、1、2、3，ξ～B（3，），，其k=0、1、2、3．所以变ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P20．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E 的方程（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0，由韦达定理得，，若使得点（，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式：则有∴（x﹣2）2=x2﹣7x+y2+4，整理可得y2=3x∴曲线E的方程为y2=3x．（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tc osα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0由韦达定理得，，==═令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0得n=0，，此时为定值故存在．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论．（Ⅲ）求出函数g（x）在[0，a]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及基本不等式求出f（x）的最小值，对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，等价于f（x）min＞h（a），在上只要找到一a值满足该不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，经检验x=±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：x （0，x0）x0（x0，a）g'（x）+ 0 ﹣g（x）↗↘∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，∴函数f（x）的最小值为，要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分．【解答】证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，∴∠FGA+∠DAB=90°，∴∠FGA=∠DBA．∵∠FGA=∠DGP，∴∠DGP=∠PDA，∴∠DGP=∠PDG，∴PG=PD；（2）连接AE，则∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，∴AE=AC=BD，∴∠EDA=∠DAB，∵∠DEA=∠DBA，∴△BDA≌△EAD，∴DE=AB，∴DE为圆的一条直径，∴线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C 在直角坐标系下的普通方程．将其化为极坐标方程为，分别代入和，可得|OA|，|OB|，，利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，∵，故△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得x﹣y﹣2=0，联立方程，解得x=2，y=0，或，∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）若a=﹣1，不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，去掉绝对值解不等式f（x）≤5；（2）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即可某某数a的取值X围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|3x﹣1|+3﹣x，所以不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，讨论：当时，3x﹣1﹣x+3≤5，解之得；当时，﹣3x+1﹣x+3≤5，解之得，综上，原不等式的解集为…（2），分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3…。

湖南省高考数学模拟试卷(三)理(含解析)

2016年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4） B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，925．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当S n取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．27．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B．C．D．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是（用数字作答）14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）= ．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X 的分布列和数学期望E（X）19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．21．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2016年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件列式求得a值．【解答】解：由（2+ai）（a﹣2i）=8，得4a+（a2﹣4）i=8，∴，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4） B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，∴“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，92【考点】茎叶图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当S n取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式，可求得公差d=2，从而可得其前n项和为S n的表达式，配方即可求得答案．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣9，a2+a8=2a1+8d=﹣18+8d=﹣2，解得d=2，所以，S n=﹣9n+=n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25，故当n=5时，S n取得最小值，故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查其通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．2【考点】循环结构．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环k的值，当k=5时，大于4，计算输出S的值为，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k=2，k=3，k=4，k=5，大于4，可得S=sin=，输出S的值为．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结果的程序框图，模拟执行程序正确得到k的值是解题的关键，属于基础题．7．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数的图象，通过坐标（，0）代入解析式，结合φ求出φ值，得到答案．【解答】解：由已知中函数y=sin（2x+φ）（φ）的图象过（，0）点代入解析式，结合五点法作图，sin（+φ）=0， +φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，∴k=0，∴φ=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，特殊点是解答本题的关键．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×=，故组合体的体积V=1﹣=，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】余弦定理；平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据三角形重心的性质得到，可得．由已知向量等式移项化简，可得=，根据平面向量基本定理得到，从而可得a=b=c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D【点评】本题给出三角形中的向量等式，求角A的大小，着重考查了三角形重心的性质、平面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M 坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合隐含条件求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|=|BM|，∠AMB=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，在Rt△BMN中，∵BM=AB=2a，∠MBN=60°，∴|BN|=a，，故点M的坐标为M（2a，），代入双曲线方程得a2=b2，即c2=2a2，∴．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是10 （用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；二项式定理．【分析】由展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r即可得出．【解答】解：展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r=2，∴（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）= ﹣．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；分类法．【分析】由函数f（x）=且f（a）=﹣3，求出a值，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴当a≤1时，2a﹣2﹣2=﹣3，无解；当a＞1时，﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣2﹣2=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，方程思想，难度中档．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 1 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x数形结合可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（4，﹣1）时，目标函数取最大值，代值计算可得z的最大值为：2×4﹣3=1，故答案为：1．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（0，+∞）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数令g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．【解答】解：由题意令g（x）=，则=，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上是单调递减函数，∵y=f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）＜e x等价为＜1=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角形面积公式及余弦定理化简已知等式可得，解得：sinA+2cosA=2，又sin2A+cos2A=1，从而解方程组即可得解．（Ⅱ）由tanC=2，可得sinC，cosC的值，可得，从而由正弦定理即可解得．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由题意可得：，…所以解得：sinA+2cosA=2，又因为sin2A+cos2A=1，解方程组可得．…（Ⅱ）∵tanC=2，C为三角形的内角，∴易得，…∴…∴．…【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，同角三角函数关系式的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X 的分布列和数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，由此利用等可能事件概率计算公式能求出其中只有一个优秀成绩的概率．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，∴其中只有一个优秀成绩的概率p==．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=+=，P（X=3）==，∴X的分布列为：EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）①由已知得AD⊥平面APB，从而PB⊥AD，由此能证明平面PAD⊥平面PBC．②取PB中点M，连结RM，SM，由已知推导出平面PAD∥平面SMR，由此能证明RS∥平面PAD．（Ⅱ）由已知得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）①证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面APB，又PB⊂平面APB，∴PB⊥AD，∵PD⊥PB，AD∩PD=D，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．②证明：取PB中点M，连结RM，SM，∵R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，∵RS⊂平面SMR，∴RS∥平面PAD．（Ⅱ）解：由已知得，解得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（0，0，0），P（），D（0，﹣，1），C（0，，2），∴，， =（0，，2），设平面PDQ的法向量，则，取y=2，得，设平面PCQ的法向量，则，取b=4，得=（0，4，﹣3），设二面角C﹣PQ﹣D的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，f（x）≤f（1）=0，合题意．故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），∴＜2（﹣1）．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．21．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），∴c=1，又b2=1，∴∴椭圆方程为： +x2=1．…（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx﹣1由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0∵直线l1与抛物线C2相切于点A．∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．…∵切点A在第一象限．∴k=1…∵l∥l1∴设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，…△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，解得．设B（x1，y1），C（x2，y2），则，．…又直线l交y轴于D（0，m）∴…=当，即时，．…所以，所求直线l的方程为．…【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB 的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△CO B和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（Ⅱ）解：设OA=1，AD=x，则AB=2，AE=x+3，由AB2=AD•AE得x（x+3）=4，∴x=1，∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及射影定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．。

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第三章导数及其应用2 文-人教版高三全册数学试题

第二节导数的应用A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·某某，6)已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )A.－4B.－2C.4D.22.(2015·某某，9)设f(x)＝x－sin x，则f(x)( )A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数3.(2015·某某，10)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<04.(2014·新课标全国Ⅱ，11)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值X围是( )A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)5.(2014·某某，9)若0＜x1＜x2＜1，则( )A．e2x－e1x＞ln x2－ln x1B．e2x－e1x＜ln x2－ln x1C．x2e1x＞x1e2x D．x2e1x＜x1e2x6.(2014·新课标全国Ⅰ，12)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值X围是( )A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)7.(2016·新课标全国卷Ⅱ，20)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1).(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值X围.8.(2016·新课标全国Ⅲ，21)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ；(3)设c >1，证明：当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x. 9.(2016·某某，20)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值.某某数a 的取值X 围.10.(2016·某某，21)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立. 11.(2016·，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值X 围； (3)求证：a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件. 12.(2015·新课标全国Ⅱ，21)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值X 围． 13.(2015·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.14.(2015·某某，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1)． 15.(2015·某某，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型． (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．16.(2015·某某，21)已知a >0，函数f (x )＝a e xcos x (x ∈[0，＋∞))．记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点． (1)证明：数列{f (x n )}是等比数列；(2)若对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，求a 的取值X 围．17.(2015·某某，20)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x . 已知曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行． (1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值． 18.(2015·某某，20)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值X 围． 19.(2015·某某，20)已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a3＋134.20.(2015·某某，21)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)． (1)若f (0)≤1，求a 的取值X 围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．21.(2014·某某，20)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 22.(2014·某某，21)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 23.(2014·某某，19)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值X 围．24.(2014·某某，21)设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f (b)－f (a )b －a＜1恒成立，求m 的取值X 围．25.(2014·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线斜率为0. (1) 求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值X 围．B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·某某某某第二次模拟)已知函数f (x )＝x 2－2cos x ，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25的大小关系是( )A.f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0) D.f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 2.(2016·某某师大附中检测)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1，4]上单调递减，则实数t 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B.(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D.[3，＋∞)3.(2016·某某某某第三次诊断模拟)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，都有xf ′(x )<f (x )成立，则( )A.3f (2)>2f (3)B.3f (2)＝2f (3)C.3f (2)<2f (3)D.3f (2)与2f (3)大小不确定4.(2016·某某某某诊断)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1 （x ≤0），e ax （x ＞0）在[－2，2]上的最大值为2，则a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12ln 2C.(－∞，0]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 25.(2015·某某省实验中学二诊)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<13，则f (x )<x 3＋23的解集是( )A.{x |－1<x <1}B.{x |x <－1}C.{x |x <－1或x >1}D.{x |x >1}6.(2015·某某某某调研)若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2]上有极小值，则实数a 的取值X 围是( ) A.(－5，1)B.[－5，1)C.[－2，1)D.(－2，1)7.(2015·某某市十二县联考)若函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋(3－a )x ＋b 有三个不同的单调区间，则实数a 的取值X 围是________.8.(2015·某某某某三模)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )＜0恒成立，则x 的取值X 围为________.9.(2015·某某某某中学模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3，其中 a 为实数. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2. 答案 D2.解析 f (x )＝x －sin x 的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )＝－x －sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－sin x ≥0恒成立，所以f (x )在其定义域内为增函数，故选B. 答案 B3.解析由已知f (0)＝d >0，可排除D ；其导函数f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c 且f ′(0)＝c >0，可排除B ；又f ′(x )＝0有两不等实根，且x 1x 2＝c a＞0，所以a ＞0.故选A. 答案 A4.解析因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x ＞1，所以0＜1x＜1，所以k ≥1.故选D.答案 D5.解析构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x －1x，故f (x )＝e x－ln x 在(0，1)上有一个极值点，即f (x )＝e x－ln x 在(0，1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A 、B 错；构造函数g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x－e xx 2＝e x（x －1）x 2，故函数g (x )＝exx在(0，1)上单调递减，故g (x 1)＞g (x 2)，x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C. 答案 C6. 解析由题意知f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，当a ＝0时，不满足题意．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增，在 ⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减．又f (0)＝1，此时f (x )在(－∞，0)上存在零点，不满足题意；当a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上单调递增，要使f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＞0，即a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋1＞0，解得a ＜－2，故选C. 答案 C7.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y－2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a （x －1）x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a （x －1）x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a （x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2，g (1)＝0.(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>0；(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0得，x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0，综上，a 的取值X 围是(－∞，2].8.(1)解由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. (2)证明由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)证明由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x，则g ′(x )＝c －1－c xln c ，令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c.当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.由(2)知1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x. 9.解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a .可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )＞0时，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减. 所以当a ≤0时，g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增.可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意. ③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减.所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意. ④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减. 所以f (x )在x ＝1处取极大值，合题意 .综上可知，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.10.(1)解 f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a .当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)证明令s (x )＝ex －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.(3)解由(2)知，当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a >1，由(1)有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0.所以f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立；当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)，当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)单调递增.又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立.综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.11.(1)解由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，切线斜率k ＝f ′(0)＝b . 又f (0)＝c ，所以切点坐标为(0，c ).所以所求切线方程为y －c ＝b (x －0)，即bx －y ＋c ＝0. (2)解由a ＝b ＝4得f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ∴f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4＝(3x ＋2)(x ＋2) 令f ′(x )＝0，得(3x ＋2)(x ＋2)＝0，解得x ＝－2或x ＝－23，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－∞，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.(3)证明当Δ＝4a 2－12b ＜0时，即a 2－3b ＜0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点.当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )不可能有三个不同零点.综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b ＞0，故a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要条件.当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b ＞0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b ＞0不是f (x )有三个不同零点的充分条件. 因此a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件. 12.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值X 围是(0，1)．13.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点．当a >0时，因为e 2x单调递增，－a x单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明由(1)可设f ′(x )在(0，＋∞)的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.14.解 (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0.解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x2x.当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意．当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)，则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意．当k ＜1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x.由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －（1－k ）2＋42＜0，x 2＝1－k ＋（1－k ）2＋42＞1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )＞0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增．从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )＞G (1)＝0，即f (x )＞k (x －1)．综上，k 的取值X 围是(－∞，1)．15.解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．16.解 (1)f ′(x )＝a e x cos x －a e x sin x ＝2a e xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令f ′(x )＝0，由x ≥0，得x ＋π4＝m π－π2，即x ＝m π－3π4，m ∈N *.而对于cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当k ∈Z 时，若2k π－π2＜x ＋π4＜2k π＋π2，即2k π－3π4＜x ＜2k π＋π4，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＞0. 若2k π＋π2＜x ＋π4＜2k π＋3π2，即2k π＋π4＜x ＜2k π＋5π4，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0.因此，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫（m －1）π，m π－3π4与⎝ ⎛⎭⎪⎫m π－3π4，m π＋π4上，f ′(x )的符号总相反．于是当x ＝m π－3π4(m ∈N *)时，f (x )取得极值，所以x n ＝n π－34π(n ∈N *)．此时，f (x n )＝a e n π－3π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π－3π4＝(－1)n ＋12a 2e n π－3π4.易知f (x n )≠0，而f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋22a 2e （n ＋1）π－3π4（－1）n ＋12a 2e n π－3π4＝－e π是常数，故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝2a 2e π4，公比为－e π的等比数列． (2)对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，即n π－3π4≤2a 2e n π－3π4恒成立，亦即2a ≤e n π－3π4n π－3π4恒成立(因为a ＞0)．设g (t )＝e tt (t ＞0)，则g ′(t )＝e t（t －1）t2. 令g ′(t )＝0得t ＝1.当0＜t ＜1时，g ′(t )＜0，所以g (t )在区间(0，1)上单调递减；当t ＞1时，g ′(t )＞0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增．因为x 1∈(0，1)，且当n ≥2时，x n ∈(1，＋∞)，x n ＜x n ＋1，所以[g (x n )]min ＝min{g (x 1)，g (x 2)}＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4πe π4. 因此，x n ≤|f (x n )|恒成立，当且仅当2a ≤4πe π4，解得a ≥2π4e －π4. 故a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π4e －π4，＋∞.17.解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋a x＋1，所以a ＝1. (2)k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根．设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0，1]时，h (x )＜0.又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2＞1－1＝0，所以存在x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x （x －2）e x，所以当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1e ＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根． (3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0. 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )，所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）ln x ，x ∈（0，x 0]，x 2e x ，x ∈（x 0，＋∞）.当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0；若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x＋1＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)；故m (x )≤m (x 0)．当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x （2－x ）ex，可得x ∈(x 0，2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减；可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)＜m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.18.解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－32≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值X 围是[－3，9－45]．19.(1)解由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3. 当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明设点P 的坐标为(x 0，0)，则x 0＝413，f ′(x 0)＝－12.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)．令函数F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)，则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减，故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减，又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )＞0，当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0，即对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )． (3)证明由(2)知g (x )＝－12(x －413)．设方程g (x )＝a 的根为x 2′，可得x 2′＝－a 12＋413.因为g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)，因此x 2≤x 2′.类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )，可得h (x )＝4x .对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，有f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即f (x )≤h (x )．设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a4.因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)≤h (x 1)，因此x 1′≤x 1，由此可得x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝－a 3＋413.20.解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1，当a ≤0时，|a |＋a ＝－a ＋a ＝0≤1，显然成立；当a >0，则有|a |＋a ＝2a ≤1，所以a ≤12，所以0<a ≤12，综上所述，a 的取值X 围是a ≤12.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（2a －1）x ，x ≥a ，x 2－（2a ＋1）x ＋2a ，x <a .对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 1＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减.综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减，(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2.(ⅰ)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x(x >0)，因为f (x )在(0，2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2，而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y <f (2)＝2，所以y ＝f (x )与y ＝－4x在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x，即x 3－3x 2＋4＝0，所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0，因为x ≥2，所以x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x有一个零点x ＝2.(ⅱ)当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增，当x ＝a 时，y ＝－4a，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a的大小，因为a －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ＝－（a 3－a 2－4）a ＝－（a －2）（a 2＋a ＋2）a <0所以f (a )＝a －a 2<－4a.结合图象不难得当a >2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个交点，综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2；当a >2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个零点．21.解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0＜a ＜4时，x 2＜1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 22.解 (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上，方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )，若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．若a ＜1，则Δ＞0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＞0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．综上所述，当a ≥1时，f (x )在R 上单调递增；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．(2)当a ＜0时，Δ＞0，且f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3124＋a2，f (1)＝73＋a ，此时x 1＜0，x 2＞0，令x 2＝12得a ＝－54.①当－54＜a ＜0时，x 1＜0＜x 2＜12，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫x 2，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增．(ⅰ)若－54＜a ＜－712，则f (0)＝1＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴存在x 0∈(0，x 2)，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(ⅱ)当－712≤a ＜0时，f (0)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.②当a ＝－54时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.③当－2512＜a ＜－54时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.④当a ≤－2512时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥f (1)， ∴不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 综上，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－712，0∪{－54}∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512时，不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2512，－54∪⎝⎛⎭⎪⎫－54，－712时，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 23.解 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，＋∞.当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝13a2. (2)由f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＝0及(1)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a 时，f (x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，＋∞时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （x ）|x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B . 显然，0∉B .下面分三种情况讨论：(1)当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．(2)当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值X 围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B . (3)当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝⎝⎛⎭⎪⎫1f （1），0，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32. 24.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，则f ′(x )＝x －ex2，∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点． ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x (x ＞0)， ∴(*)式等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h ′(x )＝1x －mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ＞0)恒成立，∴m ≥14(对m ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)，∴m 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.25.解 (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞). 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x (x －a1－a)(x －1)．①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1. ②若12＜a ＜1，则a1－a＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0. f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1＞a a －1，所以不合题意． ③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜a a －1.综上，a 的取值X 围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 f ′(x )＝2x ＋2sin x ，当x ∈[0，1]时f ′(x )>0.∴f (x )为增函数，所以f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，又f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25. 答案 A2.解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1，4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1，4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1，4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1，4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案 C3.解析令F (x )＝f （x ）x ，则F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0，所以F (x )为减函数，f （2）2>f （3）3，所以3f (2)>2f (3).答案 A4.解析当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，易知函数f (x )在(－∞，0]上的极大值点是x ＝－1，且f (－1)＝2，故只要在(0，2]上，e ax≤2即可，即ax ≤ln 2在(0，2]上恒成立，即a ≤ln 2x在(0，2]上恒成立，故a ≤12ln 2.答案 D5.解析构造函数F (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23，F (1)＝f (1)－1＝0， ∵f ′(x )＜13，∴F ′(x )＝f ′(x )－13＜0，∴F (x )在R 上单调递减，f (x )＜x 3＋23的解集即F (x )＜0＝F (1)的解集，得x ＞1.答案 D6.解析 f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，解得x ＝±1，可以判断当x ＝1时函数有极小值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，6－a 2≥1，6－a 2＞a ，解得a ∈[－5，1)， ∴选B. 答案 B7.解析 f ′(x )＝x 2－ax ＋3－a ，要使f (x )有三个不同单调区间，需Δ＝(－a )2－4(3－a )＞0，即a ∈(－∞，－6)∪(2，＋∞). 答案 (－∞，－6)∪(2，＋∞)8.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋1＞0恒成立，∴f (x )在R 上是增函数. 又f (－x )＝－f (x )，∴y ＝f (x )为奇函数.由f (mx －2)＋f (x )＜0得f (mx －2)＜－f (x )＝f (－x )， ∴mx －2＜－x ，即mx －2＋x ＜0在m ∈[－2，2]上恒成立. 记g (m )＝xm －2＋x ，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2＋x ＜0，2x －2＋x ＜0，解得－2＜x ＜23.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 9.解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增. ①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，无解；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e 时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，故函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值f (x )min ＝f (t )＝t ln t .综上可知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ＜1e ，t ln t ，t ≥1e .(2)由题知2x ln x ≥－x 2＋ax －3，即a ≤2ln x ＋x ＋3x对一切x ∈(0，＋∞)恒成立.设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）x2，当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，故h (x )在(0，1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增.所以h (x )在(0，＋∞)上有唯一极小值h (1)，即为最小值，所以h (x )min ＝h (1)＝4，因为对一切x ∈(0，＋∞)，a ≤h (x )恒成立，所以a ≤4.。

2016年贵州省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅲ)

2016年贵州省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）B=（）1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AA．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10} 2．（5分）若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A． B． C．D．7．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C． D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8111．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4π B．C．6π D．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|= ．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知各项都为正数的数列{an }满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：yi =9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年贵州省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．C．2．D．3．A4．D5．C．6．D．7．A8．B．9．D10．B．11．B12．解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH =kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（﹣1，﹣1）．化目标函数z=2x+3y﹣5为．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10．故答案为：﹣10．14．解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），=，当k=0时，正数φmin故答案为：．15．解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，∴|AB|=2=2，∵直线l：x﹣y+6=0∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．16．解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解答】解：（1）根据题意，an 2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=，当n=2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，又由a2=，解可得a3=，故a2=，a3=；（2）根据题意，an 2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，变形可得（an ﹣2an+1）（an+1）=0，即有an =2an+1或an=﹣1，又由数列{an}各项都为正数，则有an =2an+1，故数列{an }是首项为a1=1，公比为的等比数列，则an=1×（）n﹣1=n﹣1，故an=n﹣1．18．解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．．19．解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S===2，△BCM∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM===．20．解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为 x=﹣，S△PQF =|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF =|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．21．解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c x，G′（x）=c﹣1﹣c x lnc，可令G′（x）=0，可得c x=，由c＞1，x∈（0，1），可得1＜c x＜c，即1＜＜c，由（1）可得f（x）的增区间为（0，1），可得c x=恰有一解，设为x=x0是G（x）的最大值点，且0＜x＜1，由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x0）递增，在（x，1）递减，可得G（x0）=1+（c﹣1）x﹣c x0＞0成立，则c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]的参数方程为（α为参数），23．解答】解：（1）曲线C1移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，：+y2=1；即有椭圆C1曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，2即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；即有C2（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．。

2016年高考全国数学卷三及答案解析

2016年高考全国数学卷三班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共12小题）1．设集合，则=( )A．B．C．D．2．若，则=( )A．1B．-1C．D．3．已知向量 ,则（）B．C．D．A．4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为，B点表示四月的平均最低气温约为。

下面叙述不正确的是（）A ．各月的平均最低气温都在以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均气温高于的月份有5个5．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I,N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B． C． D． 6．若，则=( )A．B． C． D．7．执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的( )A．3B ．4C ．5D ．6 8．在中，，BC 边上的高等于,则（）A．B ．C ．D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．B．C．9D．8110．在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，则的最大值是( )A B C D．．．．11．已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点为上一点，且⊥轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（）A．B． C． D． 12．已知，则（）A ．b<a<c B ．a<b<c C ．b<c<a D ．c<a<b二、填空题（共4小题）13.设满足约束条件则的最小值为______.14.函数的图像可由函数的图像至少向右平移_________个单位长度得到。

15.已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则________.16.已知为偶函数，当时，，则曲线在点(1,2)处的切线方程式______________．三、解答题（共8小题）17.已知各项都为正数的数列满足，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的通项公式.18.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

2016年高考数学试卷附标准答案与解析

高考数学试卷一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2016•真题）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）3．（5分）（2016•真题）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）=1 ．﹣y2=1﹣x2=1=15．（5分）（2016•真题）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正6．（5分）（2016•真题）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）7．（5分）（2016•真题）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）+++228．（5分）（2016•真题）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）|=1 ．⊥•=1 4+）⊥9．（5分）（2016•真题）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）10．（5分）（2016•真题）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2016•真题）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）（2016•真题）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）（2016•真题）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（2016•真题）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）（2016•真题）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2016•真题）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）（2016•真题）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）18．（12分）（2016•真题）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．19．（13分）（2016•真题）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．20．（13分）（2016•真题）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）（2016•真题）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b﹣满足条件D≤1时的最大值．高考数学试卷一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2016•真题）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）=i3．（5分）（2016•真题）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）=1 ．﹣y2=1﹣x2=1=1y=5．（5分）（2016•真题）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正6．（5分）（2016•真题）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）则对应的标准差为=7．（5分）（2016•真题）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）+++22×2×1+2××+×2×1．8．（5分）（2016•真题）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）|=1．⊥•=1 4+）⊥，根据已知三角形为等边三角形解之．的等边三角形，，满足=2，=2+，又，，=4×1×2×cos120°=﹣，=4，所以4），所以9．（5分）（2016•真题）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（），∴b＞﹣﹣10．（5分）（2016•真题）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）x=2x+=2x=∴2×+φ=2kπ+，，可解得：φ=2kπ+（2x+2kπ+）2x+））﹣4+2π）＞4+=Asin＞＞﹣4+2π＞＞，而2x+）在区间（，二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2016•真题）（x3+）7的展开式中的x5的系数是35 （用数字填写答案）=；∴r=4，可得：12．（5分）（2016•真题）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是 6 ．θ=y=xθ=θ=y=xd=（ρ∈13．（5分）（2016•真题）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为 4时不满足条件，，，14．（5分）（2016•真题）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1 ．项和为：15．（5分）（2016•真题）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2016•真题）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．解：∵∠A=AC=3…4中，由正弦定理可得：，…8AD=== (12)17．（12分）（2016•真题）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）=．=．=．=200 300 400+300×+400×18．（12分）（2016•真题）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．，时，时，因为=19．（13分）（2016•真题）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．=的一个法向量为===，，得=∴cos（，==的余弦值为20．（13分）（2016•真题）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．即，可得=1，线段，∴=．，∴==1NS，解得∴a=3的方程为：21．（13分）（2016•真题）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b﹣满足条件D≤1时的最大值．的最大值．，）递增，，f′（（；或，当时，参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；changq；双曲线；maths；742048；w3239003；qiss；孙佑中；雪狼王；cst（排名不分先后）菁优网2016年6月13日。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2016年高考数学模拟试题及答案（3）题型一古典概型问题例1某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：(1)选取的2位学生都是男生;(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生.破题切入点先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解.解(1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种.从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4).所以选取的2位学生全是男生的概率为P1==.(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种.所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2=.题型二几何概型问题例2(2013·四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________.破题切入点由几何概型的特点，利用数形结合即可求解.答案解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y 相互独立，由题意可知，如图所示.∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x-y|≤2)====.题型三古典概型与几何概型的综合问题例3已知关于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0，a，b∈R.(1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率;(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率.破题切入点本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题.第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解.第(2)问将a，b满足的不等式转化为可行域——平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式求解.解设事件A为“方程9x2+6ax-b2+4=0有两个不相等的实数根”;事件B为“方程9x2+6ax-b2+4=0有实数根”.(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.由Δ=36a2-36(-b2+4)=36a2+36b2-36×4>0，得a2+b2>4.事件A要求a，b满足条件a2+b2>4，可知包含6个基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，所以方程有两个不相同实根的概率P(A)==.(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分，故所求概率为：P(B)==1-.总结提高(1)求解古典概型问题的三个步骤①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A.②分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.③利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域.几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关.1.从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是________.答案2.已知实数a，b满足x1，x2是关于x的方程x2-2x+b-a+3=0的两个实根，则不等式00，f(1)<0，即建立平面直角坐标系如图.满足题意的区域为图中阴影部分，故所求概率P==.3.(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________.答案解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为=.4.有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________.答案解析设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1===，故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=.5.在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是________.答案解析如图，M，N分别为AB，CD中点，当点P位于阴影部分时，△PBC的面积小于，根据几何概型，其概率为P==.6.已知点A在坐标原点，点B在直线y=1上，点C(3,4)，若AB≤，则△ABC 的面积大于5的概率是________.答案解析设B(x,1)，根据题意知点D(，1)，若△ABC的面积小于或等于5，则×DB×4≤5，即DB≤，所以点B的横坐标x∈[-，]，而AB≤，所以点B的横坐标x∈[-3,3]，所以△ABC的面积小于或等于5的概率为P==，所以△ABC的面积大于5的概率是1-P=.7.(2013·湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=________.答案 3解析由|x|≤m，得-m≤x≤m.当m≤2时，由题意得=，解得m=2.5，矛盾，舍去.当2n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m=n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P=.9.(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为______.答案解析P==.10.平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________.答案解析如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.11.已知向量a=(-2,1)，b=(x，y).(1)若x、y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b=-1的概率;(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率.解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6=36(个);由a·b=-1有-2x+y=-1，所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个;故满足a·b=-1的概率为=.(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6};满足a·b<0的基本事件的结果为A={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};画出图形如图，矩形的面积为S矩形=25，阴影部分的面积为S阴影=25-×2×4=21，故满足a·b<0的概率为.12.某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物成绩获得等级A和获得等级不是A的机会相等，且三个学科成绩获得等级A的事件分别记为W1，W2，W3，获得等级不是A的事件分别记为，，.(1)试列举该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果(如三科成绩均为A记为(W1，W2，W3));(2)求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率;(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由.解(1)该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的可能结果有8种，分别为(W1，W2，W3)，(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，).(2)由(1)，知有两个A的情况为(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，共3种，从而所求概率为P=.(3)方法一该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大于85%.理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A的事件有如下7种情况：(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，，)，故物理、化学、生物成绩不全为A的概率是P1==0.875>85%.方法二该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩至少一个为A的事件概率大于85%.理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩全不为A的事件有1种情况，即(，，)，其概率为，则物理、化学、生物成绩至少一个为A的概率为P2=1-=>85%.。