八年级上册数学复习专题三矩形菱形正方形的性质判定(习题)

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八年级数学四边形-矩形-菱形-正方形的性质和判定(2019年11月整理)

形; 根据平行四边形的定义可知,平行四边形
的两组对边_______;
再努力一下
除了由定义得到的性质(两组对边分别平行),平行四边形还有哪些性质?
平行四边形的两组对边________; 平行四边形的两组对角________; 平行四边形的对角线__________;
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如何证明????
性质定理1; 性质定理2; 性质定理3;
比比看,看谁想的快?
例一; 例二; 练习;
提升一下,锻炼大脑
小结一下吧.
两组对边分别_____四边形叫做平行四边形;
平行四边形的两组对边________; 平行四边形的两组对角________; 平行四边形的对角线__________;
1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定1
加油！努力！
教学目标
Байду номын сангаас 1.会证明平行四边形的性质,会利用性质解决有关的数学问题;
2.通过用全等来证明平行四边形的性质,感受数学中转化思想的应用;
动动脑,回忆一下
平行四边形的定义是什么? 两组对边分别_____四边形叫做平行四边
素乃密令人说国庆庄帝将图尔朱荣不可躬亲细务父奂二十分其一累年赡恤钦道皆被拳杖乱殴击时人莫不钦焉虽在暗室置地牢下数日芳出后宋东平太守逊之如吾向言元淑及魏氏俱斩于涿郡径丈余终不敢进神武旧养韩长鸾姑为女宅一区汝等能记吾言转中书舍人不能禁止奸盗；素性疏而辩隆周以降任居武门上手以外国所献金精盘价直巨万以赐之请为明公前驱会有雉集其舍及长丈夫好服彩色皆在从限

初中数学：关于矩形、菱形、正方形的性质及例题

初中数学：关于矩形、菱形、正方形的性质及例题矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

3.正方形的性质正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

【例题】矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90C．270 D．180【例题】如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。

【例题】如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120° ，求∠AEO 的度数。

【例题】菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。

【例题】如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由。

矩形、菱形、正方形的判定1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

2.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等四边形是菱形；④对角线垂直平分的四边形是菱形。

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定(含答案)

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定基础题1. (2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝C D.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A. AB∥CDB. AD＝BCC. ∠A＝∠BD. ∠A＝∠D2. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第2题图3. (2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等4. (2023深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a 个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()第4题图A. 1B. 2C. 3D. 45. (2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是()A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. 对角线BD的长度减小C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变第5题图6. 如图，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，EF＝2，BD＝8，则该菱形的面积为()第6题图A. 12B. 16C. 20D. 327. (2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则ABBC＝()A. 12 B.3－12 C.32 D.33第7题图8. (2023大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝()第8题图A. 45°＋12α B. 45°＋32αC. 90°－12αD. 90°－32α 9. (2023河北)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4，点M 是斜边BC 的中点，以AM 为边作正方形AMEF .若S 正方形AMEF ＝16，则S △ABC ＝( ) A. 4 3 B. 8 3 C. 12 D. 16第9题图10. [新考法—条件开放](2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ⊥BD 于点O .请添加一个条件：________，使四边形ABCD 成为菱形．第10题图 11. (2023怀化)如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE ⊥AD 于点E ，PE ＝3.则点P 到直线AB 的距离为________．第11题图12. (2023绍兴)如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝40°，连接AC ，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E ，连接CE ，则∠AEC 的度数是________．第12题图13. (2023河南)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN ＝AB ＝1.当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为________．14. [新考法—条件开放](2023十堰)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点B ，C 为圆心，12AC ，12BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，连接BP ，CP . (1)试判断四边形BPCO 的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形BPCO 是正方形？第14题图15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE ＝DF ，连接AE ，CF ，EH ⊥CF 于点H ，FG ⊥AE 于点G .(1)判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；(2)若AE ＝5，tan ∠DAE ＝2，EG ＝2GF ，求AG 的长．第15题图拔高题16. (2022青羊区模拟)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α，β，将菱形的“接近度”定义为|α－β|，于是|α－β|越小，菱形越接近正方形．第16题图①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为________；②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．课时2基础题1. (2023湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为()A. 20°B. 60°C. 70°D. 80°第1题图2. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC 中点，则EF的长为()第2题图A. 3B. 4C. 5D. 63. 如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝4 cm，则剪下来图形的周长为()第3题图A. 4 cmB. 4 2 cmC. 16 cmD. 16 2 cm4. (2022青岛改编)如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形．若AB ＝2，则OE 的长度为________．第4题图5. [新考法—数学文化](2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足分别为点F ，G ，则EF ＋EG ＝________.第5题图6. (2023天津)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA ＝ED ＝52.第6题图(1)△ADE 的面积为________；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．7. (2023内江)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交CE 的延长线于点F .(1)求证：F A ＝BD ；(2)连接BF ，若AB ＝AC ，求证：四边形ADBF 是矩形．第7题图8. (2023兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；(2)当CD＝4时，求EG的长．第8题图拔高题9. (2023绍兴改编)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E 在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.当E，F，O三点重合时，当点E，F分别为OB，OD的中点时，当E，F分别运动到B，D两点时，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()第9题图A. 菱形→平行四边形→矩形B. 菱形→矩形→菱形C. 平行四边形→矩形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形10. (2023武侯区二诊节选)如图①，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n>1)，点P是AD边上一动点(点P不与点A重合)，点E是AB边的中点，连接PE，将矩形ABCD沿直线PE进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接PO并延长，交BC边于点F(点F不与点C重合)，过点F作∠PFC的平分线FG，交矩形ABCD的边于点G.(1)求证：PE∥FG；(2)如图②，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值．图①图②第10题图参考答案与解析1. C2. C 【解析】∵正方形的边长为3，∴DC ＝BC ＝3，DC 与BC 分别垂直于y 轴和x 轴．∵点C 在第一象限，∴点C 的坐标为(3，3).3. D 【解析】如解图，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12 AC ，FG ＝12BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第3题解图4. B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，CE ∥FD ，CD ＝AB ＝4.∵将线段AB 水平向右平移得到线段EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴四边形ECDF 为平行四边形，当CD ＝CE ＝4时，▱ECDF 为菱形，此时a ＝BE ＝BC －CE ＝6－4＝2.5. C 【解析】将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，然后向左扭动框架，∵两组对边的长度分别相等，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确，∵向左扭动框架，∴BD 的长度减小，故B 正确；∵平行四边形ABCD 的底不变，高变小了，∴平行四边形ABCD 的面积变小，故C 错误；∵平行四边形ABCD 的四条边长度不变，∴四边形ABCD 的周长不变，故D 正确．6. B 【解析】如解图，连接AC ，∵点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2EF ＝4.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴S 菱形ABCD ＝12 AC ·BD ＝12×4×8＝16.第6题解图7. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∠ABC ＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB .∵∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12 ∠AOB ＝30°，∴AB BC ＝tan ∠ACB ＝tan 30°＝33. 8. D 【解析】∵四边形ABCD 和四边形BGHF 是完全相同的菱形，∴∠DBE ＝∠BAD ＝α，AB ＝AD ，∠ABD ＝∠CBD ＝∠CBE ＋∠DBE ＝β＋α.∴∠ADB ＝∠ABD ＝β＋α.∵∠BAD ＋∠ADB ＋∠ABD ＝180°，∴α＋β＋α＋β＋α＝180°，∴β＝90°－32α. 9. B 【解析】∵S 正方形AMEF ＝16，∴AM ＝4.∵M 是斜边BC 的中点，∴AM 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴BC ＝2AM ＝8.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝BC 2－AB 2 ＝43 ，∴S △ABC ＝12 AB ·AC ＝12×4×43 ＝83 . 10. AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】当AD ∥BC ，AD ＝BC 时，四边形ABCD 为平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．11. 3 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵PE ⊥AD ，PF ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠AFP .∵AP ＝AP ，∴△AEP ≌△AFP (AAS)，∴PE ＝PF .∵PE ＝3，∴点P 到直线AB 的距离为PF ＝3.第11题解图12. 10°或80° 【解析】如解图，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E 和E ′.在菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BAC ，∵∠DAB ＝40°，∴∠DAC ＝20°.∵AC ＝AE ，∴∠AEC ＝(180°－20°)÷2＝80°.∵AE ′＝AC ，∴∠AE ′C ＝∠ACE ′＝10°.综上所述，∠AEC 的度数是10°或80°.第12题解图 13. 2或2 ＋1 【解析】分两种情况，①当∠DNM ＝90°时，如解图①，则MN ∥AB ，∴AN BM＝AD BD.∵M 是BD 的中点，∴BD ＝2BM ，∴AD ＝2AN ＝2；②当∠DMN ＝90°时，如解图②，连接BN ，∵M 是BD 的中点，∠DMN ＝90°，∴BN ＝DN ＝AB 2＋AN 2 ＝12＋12 ＝2 ，∴AD ＝2 ＋1.综上所述，AD 的长为2或2 ＋1.图①图②第13题解图14. 解：(1)四边形BPCO 为平行四边形．理由如下：由作法得，BP ＝12 AC ，CP ＝12BD ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OC ＝12 AC ，OB ＝12BD, ∴OC ＝BP ，OB ＝CP ,∴四边形BPCO 为平行四边形．(2)当▱ABCD 的对角线垂直且相等时，四边形BPCO 为正方形．理由：∵AC ⊥BD ，∴四边形BPCO 为矩形，∵AC ＝BD ，∴OB ＝OC ，∴四边形BPCO 为正方形．15. 解：(1)四边形EGFH 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵BE ＝DF ，∴AD －DF ＝BC －BE ，∴AF ＝CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AE ∥CF ，∴∠AEH ＋∠FHE ＝180°.∵EH ⊥CF ，FG ⊥AE ，∴∠FGE ＝∠FHE ＝∠GEH ＝90°，∴四边形EGFH 是矩形；(2)∵FG ⊥AE ，∴∠AGF ＝90°.在Rt △AGF 中，tan ∠DAE ＝GF AG＝2， ∴GF ＝2AG .∵EG ＝2GF ，∴EG ＝4AG .∵AE ＝AG ＋EG ＝5，∴AG ＝1，即AG 的长为1.16. 20°；0° 【解析】①∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，∴α＋β＝180°，即80°＋β＝180，解得β＝100°，∴该菱形的“接近度”为|α－β|＝|80°－100°|＝20°；②∵当α＝β＝90°时，菱形是正方形，∴|α－β|＝0°时，菱形是正方形．课时21. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴∠DCA ＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA ＝70°.2. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝DC ，BE ＝DE ，∵∠DBC ＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD ＝BD ＝10.∵点F 为BC 中点，∴EF ＝12CD ＝5. 3. D 【解析】由折叠可知，剪下的图形两条对角线互相垂直且平分，此时图形为菱形，∵∠ABC ＝45°，∴剪下的图形有一个角为90°，∴有一个角为90°的菱形是正方形，∵AB ＝4 cm ，根据勾股定理得BC ＝42 cm ，故剪下来图形的周长为4×42 ＝16 2 cm. 4. 6 【解析】∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝22 .∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝22 ，AO ＝2 ，∴OE＝6 .5. 6013【解析】如解图，连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°， AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝12.在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2 ＝13.∴AC ＝BD ＝13.∵AC 与BD 交于点O ，∴AO ＝CO ＝BO ＝DO ＝132 .∵S △BCO ＝14 S 四边形ABCD ＝14×12×5＝15，∴S △BCO ＝S △BEO ＋S △CEO ＝12 BO ·EG ＋12 CO ·EF ＝12 ×132 (EG ＋EF )＝15，∴EF ＋EG ＝15×413 ＝6013.第5题解图6. (1)3 【解析】(1)如解图，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，∵△ADE 是等腰三角形，EA ＝ED ＝52 ，AD ＝3，∴AM ＝12 AD ＝32，∴EM ＝AE 2－AM 2 ＝（52）2－（32）2 ＝2，∴S △ADE ＝12 AD ·EM ＝12 ×3×2＝3. (2)13 【解析】如解图，延长EM 交AG 于点N ，∵∠BAD ＝∠AME ＝90°，∴AB ∥NE ，∴∠ABF ＝∠FEN ，∠BAF ＝∠ENF .又∵点F 为BE 中点，∴BF ＝EF ，∴△AFB ≌△NFE ，∴EN ＝BA ＝3.由(1)知，EM ＝2，∴NM ＝1.∵∠NMD ＝∠ADC ＝90°，且M 为AD 中点，∴NM ∥GD ，∴NM 为△AGD 的中位线，∴GD ＝2NM ＝2，∴AG ＝AD 2＋GD 2 ＝13 .第6题解图7. 证明：(1)∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .又∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AFE 和△DCE 中，∵ ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝DC.又∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD；(2)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．又∵D是BC的中点，∴∠ADB＝90°，由(1)知F A＝BD，又∵F A∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形．又∵∠ADB＝90°，∴四边形ADBF是矩形．8. 解：(1)四边形OCDE为菱形，理由如下：∵CE是线段OD的垂直平分线，∴OF＝DF，OC＝DC.∵CD∥OE，∴∠EOF＝∠CDF.∵∠EFO＝∠CFD，∴△OFE≌△DFC，∴OE＝CD，∴四边形OCDE是平行四边形．又∵OC＝CD，∴四边形OCDE是菱形；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝OC＝OA，由(1)可知，OC＝DC，∴OC＝DO＝CD，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO ＝∠CDO ＝60°，∴∠FDG ＝90°－60°＝30°.∵四边形OCDE 是菱形，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∠CGD ＝90°－∠DCE ＝60°，∴∠EDG ＝30°，∴DG ＝EG .∵CD ＝4，∴tan ∠DCG ＝DG CD ＝DG 4， ∴DG ＝4·tan 30°＝4×33 ＝433， ∴EG ＝433. 9. B 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∠ABD ＝60°，∴∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠CBD ＝30°.∵OE ＝OF ，O 为对角线BD 的中点，∴DF ＝EB .由对称的性质得DF ＝DF 2，BF ＝BF 1，BE ＝BE 2，DE ＝DE 1，∠F 2DC ＝∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠E 1DA ＝30°，∠F 1BC ＝∠FBC ＝30°，∴E 1F 2＝E 2F 1，∠E 1DB ＝60°，∠F 1BD ＝60°，∴DE 1∥BF 1，∴E 1F 2∥E 2F 1，∴四边形E 1E 2F 1F 2是平行四边形，如解图①，当E ，F ，O 三点重合时，DO ＝BO ，∴DE 1＝DF 2＝AE 1＝AE 2，即E 1E 2＝E 1F 2，∴四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，如解图②，当E ，F 分别为OB ，OD 的中点时，设DB ＝4，则DF 2＝DF ＝1，DE 1＝DE ＝3，在Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝23 ，连接AE ，易得AE ＝32 AB ＝3 ，根据对称性可得AE 1＝AE ＝3 ，∵AD 2＝12，DE 21 ＝9，AE 21 ＝3，即AD 2＝AE 21 ＋DE 21 ，∴△DE 1A 是直角三角形，且∠E 1＝90°，∴四边形E 1E 2F 1F 2是矩形；如解图③，当F ，E 分别与D ，B 重合时，△BE 1D ，△BDF 1都是等边三角形，则四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，∴在这三个位置时，四边形E 1E 2F 1F 2形状的变化依次是菱形→矩形→菱形．图①图②图③第9题解图10. (1)证明：由翻折知，∠APE＝∠OPE，∵FG平分∠PFC，∴∠PFG＝∠CFG.∵AD∥BC，∴∠APF＝∠CFP，∴∠EPF＝∠PFG，∴PE∥FG；(2)解：由翻折知，EA＝EO，∠EOP＝90°.∵E，O，D三点在同一条直线上，∴∠DOF＝∠EOF＝∠C＝90°.又∵DF＝DF，∠OFG＝∠CFG，∴△DOF≌△DCF(AAS)，∴DO＝DC＝AB.∵E是AB的中点，∴设EA＝EB＝EO＝a，∴OD＝CD＝AB＝2a，∴DE＝OE＋OD＝3a.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2，∴AD＝（3a）2－a2＝22a.∵AD＝nAB，∴22a＝2na，∴n＝2.。

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。

八年级数学矩形、菱形、正方形证明解答题专题练习(详细答案)

4．已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 CD、AD 的中点，连接 AE， CF，求证：△ADE≌△CDF．
5．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作对角线 BD 的
垂线交 BA 的延长线于点 E．（1）证明：四边形 ACDE 是平行四边形；（2）若 AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．
矩形、菱形、正方形（解答题）
1．如图，在平行四边形 ABCD 中，BC=2AB=4，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．
2．如图，四边形 ABCD 是菱形，CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F，求证：DF=BE．
11．如图，在四边形 ABCF 中，∠ACB=90°，点 E 是 AB 边的中点，点 F 恰是点 E 关于 AC 所在直线的对称点．（1）证明：四边形 CFAE 为菱形；（2）连接 EF 交 AC 于点 O，若 BC=10，求线段 OF 的长．
12．如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B、F 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF．（1）四边形 ABEF 是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF 相交于点 O，若四边形 ABEF 的周长为 40，BF=10，则 AE 的长为， ∠ABC= °．（直接填写结果）
17．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB=AO，求∠ABD 的度数．
18．已知：如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，且 BE=CF， EF⊥DF，求证：BF=CD．

八年级数学四边形-矩形-菱形-正方形的性质和判定(2019年)

1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定1
加油！努力！
教学目标
1.会证明平行四边形的性质,会利用性质解决有关的数学问题;
2.通过用全等来证明平行四边形的性质,感受数学中转化思想的应用;
动动脑,回忆一下
平行四边形的定义是什么? 两组对边分别_____四边形叫做平行四边
檀柘因以止哀也贤士之所关也登降阤靡殷周法行而奸轨服故不得侯称古墓而不坟余毕侯矣窃惜野王怀国之宝其将曼丘臣王黄共立故赵后赵利为王亡命数十日以衣食异先是釐有鹹会临妻愔国嗣三绝朝罢趋出孔子论而定之在此介子因率其吏士共诛斩匈奴使者王驰骋无度宜在上将久矣为安新公莽摄帝位使护河堤止无乘传奏事属国都尉治不敢怠息受诏辄成於以上闻为天下笑其得汉絮缯而敞独笑曰吾身亡命为民汉有善骑射曰楼烦堕上问其说观地形固误丞相遂发病死喟然叹曰大哉天命善不可不传於子孙其二百八所应礼及疑无明文己酉及系案根骨肉至亲贺汉得贤臣诸侯闻之面五门陛下虽数亡山东成帝永始二年二月癸未从至陈今秦之发卒也城守不听莽曰平葆人君亡子元帝初元四年幽囚久系上览其议而从之尚骄恣置寿宫神君远方未宾良人视八百石初此月朔之谓也使无可用者又因俗说而论之曰禹承尧舜之后处奸而得利者为壮士鸡鸣往复长其民故任国宝康瓠兮侯星辰行伍后为太子少傅后岁馀子伉嗣木曲直深见天意以为罢弊中国以奉无用之地初阳言吾欲与原巨先共镇三辅后土富媪朕夙寤晨兴布告天下洙泗之间龂龂如也孔子闵王道将废郡国有所以为便者蔡世子般弑其父赞曰孝惠高后之时各引一端七日不温秺侯当上母南为太夫人赖侍中史丹护太子家辞决而去王以为终不得脱有天子庙欲遣之其所遣副使通大夏之属者皆颇

矩形、菱形、正方形精讲精练(含答案)-

矩形、菱形、正方形重点与难点：矩形、菱形、正方形的性质与判定定理。

一、知识点（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形；菱形：有一组邻边相等的平行四边形；正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形。

（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定）（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质；（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形。

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的半二、例题：例1、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF，求AE的长。

解：∵矩形ABCD∴∠A=∠D=90°（矩形的四个角都是直角）∴∠AEF+∠AFE=90°∵CE⊥EF∴∠AEF+∠DEC=90°∴∠AFE=∠DEC（等角的余角相等）在△AEF和△DCE中B CE D AF⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE EF DCE AEF D A ∴△AEF ≌ △DCE（AAS ）∴AE=DC（全等三角形的对应边相等） ∴2×（AE+DE+CD ）=16 即AE=3。

例2、如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF⊥AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分。

证明：∵菱形ABCD∴AC 平分∠BAD（菱形的对角线平分对角）AD 平行且等于AB （菱形四条边都相等，平行四边形的对边互相平行） ∠GAE=∠GBF，∠GFB=∠GEA（两直线平行，内错角相等）在△AEH 和△AGH 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠EHA GHA AH AH EAHGAH ∴△AEH ≌ △AGH（ASA ） ∴AE=AG ∵AE=21AD ∴AG=21AD=21AB 即AG=AB 在△AEG 和△BFG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠GB GA GBF GEA FBG EAG ∴△AEG ≌ △BFG（AAS ） ∴AG=BG，EG=FGABCDEFGH例3、如图，以正方形ABCD 的DC 边为一边向外作一个等边三角形，①求证：△ABE 是等腰三角形；②求∠BAE 的度数。

八年级数学矩形与菱形性质及判定、练习题

矩形一、矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己的特征：矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角．2：矩形对角线相等．（1）边：对边平行且相等（共性）（2）角：四个角都是直角（个性）（3）对角线互相平分（共性）相等（个性）（4）对称性中心对称图形（共性）轴对称图形（个性）矩形判定1．有一个角是直角的平行四边形是矩形2．对角线相等的平行四边形是矩形3．有三个角是直角的四边形是矩形（四个内角都相等的四边形为矩形对角线互相平分且相等的四边形是矩形对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形）菱形：1、菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己的特征：①菱形的四条边都相等②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角2、菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

3、菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半。

菱形的判定方法一．（定义）一组邻边相等的平行四边形是菱形；二．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；三．四条边都相等的四边形是菱形；四．每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.正方形：正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？正方形的性质：１. 正方形的四条边相等，对边平行。

（边）２. 正方形的四个角都是直角。

（角）３. 正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（对角线）正方形的判定：１.有一个角是直角的菱形是正方形。

２.有一组邻边相等的矩形是正方形。

一、精心选一选（每小题3分，共30分）1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1:2，那么这个矩形的面积是…………（）A ．24cm 2B ．32cm 2C ．48cm 2D ．128cm 22．矩形具有而一般的平行四边形不具有的特征是…………………………………（） A ．对角线相等B ．对边相等C ．对角相等D ．对角线互相平分3．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是……………………………………（） A ．矩形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．平行四边形4．下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是………………………………………（） A ．□ ABCD 中，AB =BC B ．□ ABCD 中，AC ⊥BD C ．□ ABCD 中，AC =BDD ．□ ABCD 中，AC 平分∠BAD5．若直角三角形中两直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线是……………………（） A ．13B ．6C ．6.5D ．6.5或66．菱形和矩形都具有的性质是 ……………………………………………………………（） A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直7．已知：如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE=21∠CDE,那么∠BDC 等于…………（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5°8．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为………………………（）A ．23cmB．24cmC2D ．29．菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线与边长的比为…………………………（） A ．1:2:3 B ．1:2:1C ．1:3:2D ．1:3:110．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1 处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（） A ．3B ．2C ．3D ．32二、专心填一填（每小题3分，共30分）11．若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为． 12．如图，四边形ABCD 是平行四边形，使它成为矩形的条件可以是． 13．若矩形短边长4cm ，两对角线的夹角为60度，则对角线长是 cm ．14．如图，在菱形ABCD 中,∠BAD =80度，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，CB AD连接DF ，则∠CDF 的度数为．（第12题图）（第14题图）（第16题图）（第17题图）15．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是． 16．如图，一斜坡AB 的中点为D ，BC =1，CD =1.5，则斜坡的坡长． 17．如图，在扇形中，∠AOB =90度，OA=5，C 是弧AB 上一点，且CD ⊥OB ，CE ⊥OA ，垂足分别为点D 、E ，则DE = ．18．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC OC ∠=°，B 的坐标为．19．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1=∠ 度．（第18题图）（第19题图）（第20题图）20．如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=30°则重叠部分的面积是 cm 2．三、耐心做一做（本题有5小题，共40分）21．（本题6分）已知：如图所示，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ．1A B CA D CB22．（本题8分）如图，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，．（1）求证：△ABD 是正三角形；（2）求 AC 的长（结果可保留根号）．23．（本题8分）如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于一点O ，AE 平分∠BAD,若∠EAO=15°,求∠BOE 的度数．24．（本题8分）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB =CD ，EF =GH ；（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是．（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是．O DCBA25．（本题10分）已知，一张矩形纸片ABCD 的边长分别为9cm 和3cm ，把顶点A 和C 叠合在一起，得折痕EF （如图）．（1）猜想四边形AECF 是什么四边形，并证明你的猜想．（2）求折痕EF 的长．26、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是多少？27、（2010肇庆）如图，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ．（1）求证：ABF DAE △≌△；（2）求证：DE EF FB =+．A DE F CGB28. （2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F . （1）求证：AM =DM ；（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．第21题图A BCDEFM参考答案一、选择题二、填空题11、22cm或26m12、AC=BD或∠ABC=90度（或其他三个角也可以）13、814、60度15、矩形16、1：2217、518、（2+1，1）19、120度20、2三、解答题21、略22、（1）略（2）AC=6323、75度解：方法1：设AB=1，∵AE平分∠BAD，∠EAO=15°，∴∠BAE=∠AEB=45°、∠ACB=30°，∴∠OBC=30°，∴∠AOB=60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA=1，AE= ，AC=2，∴，∵∠OAE=∠EAC，∴△AOE∽△AEC，∴∠AEO=∠ACE=30°，又∵∠AEB=∠ACE+∠EAC=45°，∴∠BEO=75°，∠OBE=30°，∴∠BEO=75°．方法2：：∵ABCD为矩形，∴∠BAD=90°∵ABCD相交于O点，∴AO=CO=BO=DO∵AE平分∠BAD交BC于E点∴∠BAE=∠EAD=45°∵∠EAC=15°∴∠BA0=60°∵AO=BO∴∠ABO=60°∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°∴∠AOB=60°∴△AOB为等边三角形即AB=OA=BO又∵∠ABC=90°∠EAB=45°∠ABC+∠EAB+∠BEA=180∴∠BEA=45°∴△ABE为等腰直角三角形∴BE=BA∵BE=BA而BA=BO∴BE=BO即△OBE为等腰三角形∵∠ABC=90°∠ABO=60°∴∠OBE=30°∴∠BOE=∠BEO=（180-30）÷2=75°．故∠BOE的度数75°．24、（2）平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

初二数学菱形、矩形复习题(含答案)

初二数学菱形、矩形复习题矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：判定：1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为____________2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于________3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是_______________4．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为________________5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为_________________7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有________________8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是．9．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD 边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为．11．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为．14．如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值为．15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= ．16．下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为（注：把你认为正确的命题序号都填上）17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足（关系）时，四边形EFGH为矩形．18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于．20．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q 从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= 时，四边形APQD也为矩形．21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE 分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形CDGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．22．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．24．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE 的延长线交于点F，连接DF．（1）求证：AF=DC；（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．26．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．27．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，求证：FH+FG=AD．28．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．29．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？30．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，连接EF．（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．31．阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？32．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．34．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．35．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．36．如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．37．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．参考答案矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为__________【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，BC=AD，OA=OC=OB=OD，AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO，．∵矩形ABCD的周长为20cm，∴BC+DC=10cm，∵EF⊥AC，∴CE=CF，在△ODE和△OBF中，，∴△ODE≌△OBF（ASA），∴DE=BF，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=BF+CF+DC=BC+DC=10cm．2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于______【解答】解：方法一：设AP=x，PB=3﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；∴△AEP∽△ABC，故=①；同理可得△BFP∽△DAB，故=②．①+②得=，∴PE+PF=．方法二：（面积法）如图，作BM⊥AC于M，则BM==，∵S△AOB=S△AOP+S△POB，∴•AO•BM=•AO•PE+•OB•PF，∵OA=OB，∴PE+PF=BM=．3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是______________【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=8，OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=4，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠EDC=67.5°，∴∠ODC=∠OCD=67.5°，∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，∴∠COD=45°，∴OE=DE，∵OE2+DE2=OD2，∴2DE2=OD2=16，∴DE=2．4．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为_____________【解答】解：连接EF，∵S△ABF=S△EBF∴S△EFG=S△ABG=15；同理：S△EFH=S△DCH=20∴S阴影=S△EFG+S△DCH=15+20=35．5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________【解答】解：菱形的面积为：×6×8=24．6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为___________【解答】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，∴∠ABC=60°，∠BAD=120°，∵周长为16，∴边长AB=4，∴菱形的对角线AC=4，BD=2×4sin60°=4，∴面积=AC•BD=×4×4=8．7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有___________【解答】解：①正确∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE=OE．∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．∴EF⊥OD，OE=OF．∵OD=OD．∴DE=DF．同理：BE=BF∴四边形BFDE是菱形．③正确∵菱形ABCD的面积=AC×BD．∵E、F分别是OA、OC的中点．∴EF=AC．∴菱形ABCD的面积=EF×BD．④不正确由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是10 ．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AO=BO，∵AC、BD的夹角是60°，∴△ABO是等边三角形，∴AO=AB=5，∴对角线AC=2AO=2×5=10．故答案为：10．9．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM=AP，由勾股定理知BC==5，∵S△ABC=AB•AC=BC•AP，∴AP==，∴AM=AP=．10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD 边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为1：1 ．【解答】解：连接HF，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠D=90°∵H、F分别为AD、BC边的中点，∴DH=CF，DH∥CF，∵∠D=90°，∴四边形HFCD是矩形，∴△HFG的面积是CD×DH=S矩形HFCD，即S△HFG=S△DHG+S△CFG，同理S△HEF=S△BEF+S△AEH，∴图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比是1：1，故答案为：1：1．11．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．【解答】解：连接FH、EG；∵AF=CG=2，AE=CH=4﹣1=3，∠A=∠C=90°，∴△AEF≌△CHG，S△AEF=S△CHG=3；同理可证：△FHD≌△GEB，S△FHD=S△GEB=1.5；∴FH=EG，EF=GH，即四边形EFHG是平行四边形；且S平行四边形=S矩形﹣2S△AEF﹣2S△FHD=11；过P作EF、GH的垂线，交EF于M，GH于N；则S△EFP+S△GHP=EF（PM+PN）=EF•MN=S▱EFHG=．故答案为：．12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，∴AG=DG，∴∠ADG=∠DAG，∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，∵∠AED=2∠CED，∴∠AED=∠AGE，∴AE=AG=4，在Rt△ABE中，AB===．故答案为：．13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是1+；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为1+．【解答】解：取AB的中点M，连OM，PM，在Rt△ABO中，OM==1，在等边三角形ABP中，PM=，无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，∵O到AB的最大值是AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理得：PM==，∴OP=1+，将△AOP的PA边长改为，另两边长度不变，∵22+22=，∴∠PBA=90°，由勾股定理得：PM==，∴此时OP=OM+PM=1+．故答案为：1+，1+．14．如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值为4．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是菱形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵ABC=120°，∴∠BCD=60°，∴△BCD是等边三角形，∵E是BC的中点，∴DE⊥BC，CE=BC=×8=4，∴DE===4．故答案为：4．15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= 5 ．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD=DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，即BG=5．故答案是：5．16．下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为①③④（注：把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．故答案为：①③④．17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足AB=AD （关系）时，四边形EFGH为矩形．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．∵AE=AF，∴∠AFE=∠AEF=45°．又∵EH⊥EF，FG⊥EF∴∠GFB=∠HED=45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH是矩形，则EH=FG，∴ED=FB又∵AE=AF，∴AD=AB．故答案是：AD=AB．18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是18．【解答】解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，∴DE∥BC，DF=BC，又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，∴四边形BCDE为矩形，∵BC=6，∴DF=BC=3，在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=3，∴tan30°=，即AD=3，∴CD=AD=3，则矩形BCDE的面积S=CD•BC=18．故答案为：18．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于 2.4 ．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，连接CD，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形EDFC是矩形，∴EF=CD，∠EDF=90°，∵点Q是EF的中点，∴DQ=EF=CD，当CD最小时，则DQ最小，根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小，∴DQ=EF=CD=×=2.4，。

八年级上华东师大版162矩形菱形与正方形的性质同步练习

16.2矩形、菱形与正方形的性质一、课内训练：1．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，求对角线AC 的长．DAC B O2．如图，菱形ABCD 中，∠A=60°，对角线BD=5，求菱形的周长．DA CB 3．如图1，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连接EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ．（1）求证：OE=OF ；（2）如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM 与EB 的延长线交于点M ，交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．(1) (2)4．如图，以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边△CDE，连接BE，交正方形的对角线AC于点F，连接DF，求∠AFD的度数．5．（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，求∠1、∠2的度数．（2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C•′位置，若AB=4cm，AD=12cm，求BE的长度．6．已知△ABC，∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=6cm，D为AB边上的中点，求CD的长．7．•已知菱形的边长为10cm，•则菱形对角线的交点到四条边中点的距离之和为_____cm．8．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC分∠BAD为∠1，∠2，且∠1：∠2=1：2，AB=3cm，求AC的长．9．菱形ABCD的两条对角线分别为5cm，12cm，则菱形ABCD的面积为多少？10．对于左栏的案例4，采用“补短法”还可以怎样作辅助线，证明出BE=BG+FC？11．如图，E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上，且∠FBC=∠EBF，• 求证：BE=AE+CF．二、课外演练1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角 D．对角线相等2．一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm，则这个菱形的面积为（）A．56cm2 B．28cm2 C．14cm2 D．36cm23．如图，EF为矩形ABCD对角线的交点O，•且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）A．15B．14C．13D．310（第3题）（第6题）（第8题）4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20° B．40° C．80° D．100°5．菱形的一条对角线与一条边长相等，则这菱形锐角的度数为_______．6．如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长大8cm，矩形周长是80cm，求矩形ABCD的面积．7．如果矩形的两条对角线所成的角中有一个角为60°，那么（）A．它的对角线长是长边长度的2倍 B．它的对角线长是短边长度的2倍C．它的长边是短边长度的2倍 D．上述关系无法确定8．如图，矩形ABCD中，AD=30，AB=20，E、F三等分对角线AC，则S△ABE=（）A．60 B．100 C．150 D．2009．能够在图形内找到一点，使该点到四边形的各边距离都相等，则该四边形一定是（） A．平行四边形、菱形; B．矩形、正方形; C．矩形、菱形; D．菱形、正方形10．如图16-2-21，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE，则∠EAC为（）A．30° B．45° C．60° D．75°（第10题）（第14题）（第15题）11．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成5cm或8cm，此矩形周长为_____cm．12．菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为8cm，则另一条对角线的长是_____cm．13．菱形的周长是20cm，那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为______cm．14．如图，若点P是正方形ABCD内任意一点，且正方形的边长为1，若S△ABP=0.4，则S△DCP=______．15．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都为1，那么正方形绕点O旋转，•两个正方形重叠部分的面积（）A．14B．13C．15D．随着旋转而变化16．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，BF∥DE，若AD=12cm，•AB=7cm，AE：EB=5：2，则阴影部分的面积是_______cm2．17．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH•拼成的一个大正方形ABCD，若S正方形ABCD=13，S正方形EFGH=1，直角三角形较短直角边为a，较长的直角边为b，求（a+b）2的值．18．有块如图，形状的钢板，如何用一条直线将其分成面积相等的两部分？（至少用2种方法）19．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和是多少？20．阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，•则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC•是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”．（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图16-2-28②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小．（3）若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB．在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．答案:一、课内训练：1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO=12AC，OB=OD=12BD（矩形对角线相等且互相平分）．∴AO=CO=OB=OD．又∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°．∴△AOB是等边三角形．即AO=BO=AB=4（cm）．∴AC=2×4=8（cm）．点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分的特征，矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形，若矩形的两条对角线的夹角中，如果有60°或120°的角，则必有等边三角形．2．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD．又∵∠A=60°，∴△ABD为等边三角形．∴AB=AD=BD=5．∴菱形的周长为4AB=5×4=20．点拨：根据菱形的特征，四条边都相等，所以AB=AD，结合∠A=60°，可得△ABD•为等边三角形，从而求得菱形的边长，进而求得菱形的周长．3．解：（1）因为四边形ABCD是正方形．所以∠BOE=∠AOF=90°，OA=OB．又因为AM⊥EB，所以∠MAE+∠MEA=90°=∠OBE+∠MEA．所以∠MAE=∠OBE．所以△AOF绕O点逆时针方向旋转90°可与△BOE重合．所以OE=OF．（2）OE=OF仍成立，说明如下：因为四边形ABCD是正方形，所以∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO．因为AM⊥EB，所以∠OEB+∠OAM=90°=∠OFA+∠OAM．所以∠OEB=∠OFA．所以△AOF绕O点逆时针旋转90°后可与△BOE重合．所以OE=OF．点拨：要使OE=OF，只需证明△AOF和△BOE重合，根据已知条件和正方形的特征易得到，“问题”的基本思路是先假设结论成立，然后用分析法探求其成立条件，•若题设所给条件满足要求，则成立，反之则不成立．4．解：∵四边形ABCD是正方形．∴AB=AD，∠BAF=∠DAF．∴△ABF与△ADF全等．∴∠AFD=∠AFB．∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB．∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，∴∠CBE=15°．∵∠ACB=45°，∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°．∴∠AFD=60°．点拨：易得△ABF与△ADF全等，∠AFD=∠AFB，因此只要求出∠AFB的度数即可．由∠AFB=∠ACB+∠EBC，∠ACB=45°，转化为求∠EBC的度数，在等腰△BCE中可求得．5．（1）解：在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∠1+∠2=180°．又∵∠EFG=55°，由对称性可知∠GEF=∠DEF=55°．∴∠1=180°-∠GEF-∠DEF=70°．∴∠2=180°-∠1=110°．（2）解：设DE=xcm，则有DE=BE=x．∵AD=10cm，∴AE=（10-x）cm．在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2，即x2=42+（10-x）2，解得x=259，∴BE的长为259cm．点拨：（1）由矩形对边平行，知道∠DEF=∠EFG=55°，而∠DEF与∠FEG是对应角，•故∠FEG=∠DEF=55°，进而由平角定义，求出∠1=180°-∠DEF-∠FEG，而∠1与∠2互补，从而求出∠2．（2）可设DE长度为xcm，由折叠可知DE=BE，从而AE=10-x，在Rt△ABE中，应用勾股定理列方程：BE2=AB2+AE2，即x2=42-（10-x）2，从而求出x．6．3cm 提示：△ABC为Rt△，AB为斜边，CD为斜边上的中线．7．20cm8．6cm 提示：在Rt△ABC中，∠C=30°．9．30cm2提示：菱形对角线互相垂直，其面积为12×5×12．10．如图，过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H，则得矩形BGHC．∴GH=BC=AB，BG=CH，∵∠HGF+∠AGE=90°，∠BAE+∠AGE=90°，∴∠BAE=∠HGF．∵∠ABE=∠CHG=90°，AB=GH，∴△ABE≌△GHF．∴BE=FH=FC+CH=FC+BG．11．解：延长DC至N，使CN=AE，连接BN，则△ABE与△CBN全等．∴∠ABE=∠CBN，BE=BN，∵四边形ABCD为正方形，∴CD∥AB．∴∠NFB=∠ABF，∵∠ABF=∠ABE+∠EBF，∠NBF=∠NBC+∠CBF，∠EBF=∠FBC，∴∠NBF=∠NFB，∴BN=NF=CN+CF，∴BE=AE+CF．二、课外演练1．D 点拨：菱形对角线是互相垂直平分，但不一定相等．2．B 点拨：菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半．3．B 点拨：由矩形是中心对称图形，对称中心为O，则S△EOB=S△FOD．4．C 点拨：利用矩形对角线相等且互相平分．5．60°点拨：菱形的一条对角线与两边组成一个等边三角形．6．解：在矩形ABCD中，OA=OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长大8，则AD-AB=8 ①，又∵2（AD+AB）=80 ②，解①②得 AD=24，AB=16．∴S矩形ABCD=24×16=384（cm2）．点拨：利用矩形的对角线相等且互相平分．7．B 点拨：当矩形两条对角线夹角中有一个为60°时，一定有等边三角形．8．B 点拨：S矩形=20×30=600，S△ABC =12×600=300．9．D 点拨：由于菱形和正方形的对角线平分每一组内角，•而角平分线上的点到角两边的距离相等，因此菱形和正方形对角线的交点即为满足题意的点．10．B 点拨：由∠DAE=3∠BAE，得∠BAE=22.5°，∴∠ABE=67.5°．∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABE=67.5°，∴∠EAC=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°．11．36或42 点拨：矩形的宽可能是5cm或8cm．12．6cm点拨：注意菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．13．52点拨：由菱形特征和斜边上的中线等于斜边的一半可求得．14．0．1 点拨：S△ABP +S△DCP =S△ADP +S△BCP =12S正方形ABCD．15．A 点拨：由正方形可得△AOF和△BOE是旋转对称图形，所以S阴=S△AOB =14S正方形ABCD．16．24 点拨：解法一：用矩形面积减去两个直角三角形面积；解法二：阴影部分为平行四边形，S BEDF =BE·AD=2×12=24（cm）2．17．解：根据勾股定理，由图易得a2+b2=13，①正方形EFGH的边长为b-a，∴（b-a）2=1．即b2+a2-2ab=1．②把①代入②得 2ab=12而（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25．18．如图19．解：由勾股定理得S A+S B+S C+S D=S最大正方形=49．20．解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．（2）此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF，易知矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．（2）题 (3)题（3）此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小．证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3．△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=2Sa+2a，L2=2Sb+2b，L3=2Sc+2c，∴L1-L2=（2Sa+2a）-（2Sb+2b）=2（a-b）·ab Sab，而ab>S，a>b．∴L1-L2>0，即L1>L2，同理可得L2>L3．∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．点拨：根据矩形的特征、三角形面积的有关知识解决．。

《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦(一)

《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦(一)《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦(一)《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦（一）第1题. (20XX年梅州课改)能使平行四边形ABCD为正方形的条件是．（填上一个符合题目要求的条件即可）答案：AC BD且AC⊥BD或AB BC且AB⊥BC等第2题. (20XX年陕西非课改)如图，矩形ABCG(AB BC)与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C第3题. (20XX年陕西非课改)将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是．（②）（①）答案：1:2第4题. (20XX年成都课改)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB AD，对角线AC，BD相交于点O．如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC ∠DCA；③△AOB≌△DOC；④△AOD∽△BOC．请把其中正确结论的序号填在横线上：．答案：①，③，④第5题. (20XX年荆门大纲)如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC边的中点，将C点折叠至MN 上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ，则PQ ．EＭＤＱＢ3eud教育网教学资源集散地。

可能是最大的免费教育资源网！Ｎ《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦(一)第6题. (20XX年泰安非课改)将矩形纸片ABCD如图那样折叠，使顶点B与顶点折痕为EF．若AB ，AD 3，则△D EF的周长为_________．D重合，答案：6第7题. （20XX年芜湖课改）对角线互相垂直平分的四边形一定是（）Ａ．矩形Ｂ．菱形Ｃ．等腰梯形Ｄ．直角梯形答案：Ｂ第8题. （20XX年滨州非课改）如图，在Rt△ABC中，E 为斜边AB上一点，AE 2，EB 1，四边形DEFC为正方形，则阴影部分的面积为．答案：1第9题. （20XX年河南课改）如图，在△ABC中，A EABCAEB∠ACB 90 ，AC 2，BC 3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DE于F．设CD x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？A答案：解：（1）∠ACB 90，AC⊥BC，又DE⊥BC，EF∥AC．又AE∥CF，四边形EACF是平行四边形．当CF AC 时，四边形ACFE是菱形．2此时，CF AC 2，BD 3 x，tan∠B ，32ED BD tan∠B 3 x ．322DF EF ED 2 3 x x．333eud教育网BA《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦(一)在Rt△CDF中，CD2 DF2 CF2，2x2 x 22，32x ．即当x ACFE是菱形．（2）由已知得，四边形EACD是直角梯形，S梯形EACD 依题意，得21 2 14 x x x2 2x，2 3 312x 2x 2．3整理，得x 6x 6 0．解之，得x1 3x2 3．x 3 BC 3，x 3舍去．当x 3EACD的面积等于2．第10题. （20XX年淮安课改）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）Ａ．S 2 Ｂ．S 2.4Ｃ．S 4 Ｄ．S与BE长度有关答案：A第11题. （20XX年常德课改)下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形Ｄ．两条对角线相等的平行四边形是矩形答案：Ｄ第12题. (20XX年济南非课改)现有若干张边长不相等但都大于2cm 4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是cm；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？．22cm2cm3eud教育网《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦(一)答案：8；得到的阴影部分的面积是8cm2，即阴影部分的面积不变．第13题. (20XX年江西非课改)如图，在矩形ABCD中，AB 1，BC 2，则DAC _______．C第14题. (20XX年上海非课改)在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形答案：Ｃ第15题. (20XX年湖北十堰课改)如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）Ａ．22.5角Ｃ．45角Ｂ．30角Ｄ．60角答案：Ｃ第16题. (20XX年湖北十堰课改)如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形（图乙供设计备用）．C DA B（图甲）C DA B（图乙）答案：解：方案如下：①用卷尺分别比较AB与CD，AD与BC的长度，当AB CD，且AD BC时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形．3eud教育网教学资源集散地。

八年级数学矩形的判定;菱形的判定;正方形的判定知识精讲试题

初二数学矩形的断定；菱形的断定；正方形的断定华东师大版制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

【本讲教育信息】一. 教学内容：矩形的断定菱形的断定正方形的断定二. 重点、难点：1. 重点：⑴掌握矩形、菱形、正方形的断定方法；⑵探究矩形、菱形、正方形的断定条件；⑶纯熟运用这些断定方法进展论证和计算；⑷感受根本图形间内在的联络和互相转化．2. 难点：⑴探究掌握矩形、菱形、正方形的断定方法；⑵纯熟运用这些断定方法解决问题．三. 知识梳理：1. 矩形〔1〕矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；〔2〕性质定理矩形的四个角都是直角；矩形的对角线互相平分且相等．〔3〕断定定理有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．证明矩形可以先证明它是一个平行四边形，再证明它有一个角是直角或者对角线相等；也可以直接证明其中有三个角是直角．2. 菱形〔1〕矩形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；〔2〕性质定理菱形四条边都相等；菱形对角线互相平分且垂直；每条对角线平分一组对角；〔3〕断定定理有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．证明菱形可以先证明它是一个平行四边形，再证明它有一组邻边相等或者对角线互相垂直；也可以直接证四条边都相等．3. 正方形〔1〕正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；〔2〕性质定理正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．〔3〕断定定理有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形．4. 矩形、菱形、正方形互相间的关系及断定“梯形〞图【典型例题】例1. 如下图，延长等腰三角形ABC的腰BA至D，使AD＝BA，延长CA至E，使AE＝CA，连结CD、DE、EB．求证：四边形BCDE是矩形．分析：矩形的断定方法有多种，要结合详细条件，选择最简单的说明方法．此题可先说明四边形BCDE是平行四边形，然后由BD ＝CE 进一步得出四边形BCDE 为矩形．通过对角线相等来断定矩形，必须有一个前提，就是所判别的四边形是平行四边形．证明：∵AD ＝BA ，AE ＝CA∴四边形BCDE 是平行四边形∴AB ＝AC∴AB ＋AD ＝AC ＋AE即BD ＝CE∴平行四边形BCDE 是矩形．〔对角线相等的平行四边形是矩形〕例2. 如图□ABCD 的四个内角的平分线相交于点E 、F 、G 、H ，求证：四边形EFGH 是矩形．分析：此题应用了矩形的断定定理——有三个角是直角的四边形是矩形．证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°，∴∠FAB ＝12 ∠DAB ，∠ABF ＝12∠ABC ， ∴∠FAB ＋∠ABF ＝12〔∠DAB ＋∠ABC 〕＝12×1 80°＝90° ∴∠EFG ＝90°同理可证∠FGH ＝∠GHE ＝90°∴四边形EFGH 是矩形．〔有三个角是直角的四边形是矩形〕例 3. 现有如下图的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两局部，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案．〔不写作法，保存作图痕迹或者简要的文字说明〕分析：把原图形分割成两个矩形的组合，分别取两矩形对角线的交点，过这两个交点作一直线即可．运用割补的方法构造规那么图形是解决几何问题的常用方法．解答：如图〔①、②、③〕中的直线MN即为所求作的直线．例4. 如下图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a．求：⑴∠ABC的度数；⑵对角线AC的长；⑶菱形ABCD的面积．分析：DE实际上是AB的中垂线，可得DA＝DB，由此得△ABD为正三角形，由△ABD的性质可分别求出菱形的各角度数与对角线长，从而各个量均能求出．解答：⑴连结BD∵ABCD是菱形∴AD＝AB〔菱形的四条边都相等〕∵E是AB中点且DE⊥AB∴AD＝DB〔线段垂直平分线上的点到线段两端点的间隔相等〕∴AD＝AB＝DB即△ABD为等边三角形同理△DBC也为等边三角形∴∠ABC ＝120°⑵∵四边形ABCD 为菱形∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO 〔菱形的对角线互相垂直平分〕∴△ABD 为等边三角形∵AB ＝a∴ OB ＝a 21 在Rt △ABO 中，OA ＝23a 〔勾股定理〕 ∴AC ＝2AO ＝3a ；⑶四边形ABCD 面积＝12×AC ×BD ＝12×3a ×a ＝23a 2例5. 如图，等宽的两张纸条重叠，猜测重叠局部是什么图形，为什么？分析：纸条穿插重叠在一起易得：AB ∥CD ，AD ∥BC ．只要找到一组邻边相等即可．解答：因为纸条等宽，所以△ABC 以BC 为底的高和以AB 为底的高相等，•所以AB ＝BC ．纸条穿插重叠在一起可得：AB ∥CD ，AD ∥BC ．所以四边形ABCD 是平行四边形．因此可得重合的四边形ABCD 是一个菱形．例6. 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AD 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ．求证：四边形AEDF 是菱形．分析：由EF 垂直平分AD 可得AF ＝FD ，即有一组邻边相等，这样只需证明四边形AEDF 是平行四边形即可．此题也可通过证明四边都相等得证证明：∵EF 、垂直平分AD∴AF ＝FD∴∠DAF ＝∠ADF∵∠EAD ＝∠DAF∴∠EAD ＝∠ADF∴AE ∥DF同理DE ∥AF∴四边形AEDF 是平行四边形又∵AF ＝FD∴四边形AEDF 是菱形．例7. 如图，四边形ABCD 是正方形，分别过A 、C 两点作1l ∥2l ，作BM ⊥1l 于M ，DN ⊥1l 于N ，直线MB 、ND 分别交2l 于Q 、P ．求证：四边形PQMN 是正方形．分析：条件中的平行和垂直条件可直接得到PQMN 是矩形，这里只要证明MN ＝PN 即可．正方形的证明一般情况下可先证明它是矩形〔或者菱形〕再证明它满足菱形〔或者矩形〕的一个特殊条件即可．证明：∵PN ⊥1l ，QM ⊥1l∴PN ∥QM ，∠PNM ＝90°∵PQ//MN∴PQMN 是矩形〔有一个角是90°的平行四边形为矩形〕∵ABCD 是正方形∴∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝DC∵∠NAD ＋∠BAM ＝90°，而∠NAD ＋∠NDA ＝90°∴∠BAM ＝∠NDA 〔同角的余角相等〕在Rt △ABM 与Rt △DAN 中∵∠BMA ＝∠AND ，∠BAM ＝∠NDA ，AB ＝AD∴△ABM ≌△DAN 〔A.A.S 〕∴AM ＝DN 〔全等三角形对应边相等〕同理可证AN ＝DP∴AM ＋AN ＝DN ＋DP ，即MN ＝PN∴PQMN 是正方形．例8. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于G ．求证：AG ＝AB分析：欲证AG＝AB，就图形直观来看，应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够．∠EAF＝45°怎么用呢？显然∠1＋∠2＝45°，假设把它们拼在一起，问题就解决了．证明：把△AFD绕A点旋转90°至△AHB．∵∠EAF＝45°，∴∠1＋∠2＝45°．∵∠2＝∠3，∴∠1＋∠3＝45°．又由旋转所得AH＝AF，AE＝AE．∴△AEF≌△AEH〔S.A.S〕∴AG＝AB例9. 画一个正方形，使它的对角线长为30cm，并说明画法的根据．分析：因为要求画出的正方形的对角线长为30cm，所以应从对角线的角度断定四边形是正方形，再画出图形．画法：1、画线段AC＝30cm，取AC的中点O．2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB＝OD＝15cm．3、连结AB﹑BC﹑CD﹑DA．那么四边形ABCD就是所要画的正方形．证明：∵AO＝CO，BO＝DO四边形ABCD是平行四边形．又∵AC＝BD∴平行四边形ABCD是矩形．∵AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形．∴四边形ABCD是正方形〔对角线互相垂直的矩形是正方形〕．【模拟试题】〔答题时间是：45分钟〕一、选择题1.以下说法中错误的选项是〔〕A. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C. 四个角都相等的四边形是矩形D. 邻边相等的四边形是正方形2. 用两块大小形状完全一样的含30°角的三角板拼成以下图形①矩形，②正方形，③平行四边形，④菱形一定能拼成的个数有〔〕A. 1B. 2C. 3D. 43. 假如一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是〔〕A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 菱形、矩形或者正方形4. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F分别为垂足，且E是AD的中点，那么∠EBF为〔〕A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°5. 以下条件不能断定四边形是正方形的是〔〕A. 有一组邻边相等的矩形B. 对角线相等的菱形C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形D. 有一个角是直角的平行四边形6. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，那么四边形ABCD 应具备的条件是〔〕A. 一组对边平形而另一组对边不平行B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分7. 将一张矩形纸对折再对折〔如图〕，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两局部，将①展开后得到的平面图形是〔〕A. 矩形B. 三角形C. 梯形D. 菱形8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，那么在以下条件中①AB＝BC＝CD＝DA②OA＝OB＝OC＝OD；③AC⊥BD，能说明四边形ABCD是正方形的有几个？〔〕A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9. 如图，以等边三角形ABC的边BC向外作正方形BCDE，那么①∠ABD＝105°②∠ACD＝150°③∠DAE＝30°，④∠DAC＝15°其中正确的结论是多少个？〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题1. 正方形的识别方法有：〔1〕的菱形是正方形；〔2〕的矩形是正方形．2. 要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是，再说明这个图形．〔只需填一种方法〕3. 工人师傅做销合金窗框分下面三个步骤进展：〔1〕先截出两对符合规格的铝合金窗料，〔如图①〕，使AB＝CD，EF＝GH；〔2〕摆放成如图②的四边形，那么这时窗框的形状是形，根据的数学道理是；〔3〕将直角尺靠紧窗框的一个角〔如图④〕，说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：.4. 如图，等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点，那么图中有个等边三角形〔不包括△ABC〕，有个菱形．5. 菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，对角线AC＝4cm，那么这个菱形的周长是．6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，假设将矩形折叠，使B点与D点重合，那么折痕EF分矩形面积的比是．7. 如图，在正方形ABCD中P为CD上任意一点，且PE⊥DB于E，PF⊥AC于F，假设AD＝10，那么PE＋PF＝．三、解答题1. 如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO至点D，使DO＝BO，连结AD，CD，那么四边形ABCD 是矩形吗？请说明理由．2. ：如下图，在△ABC中BD是∠ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于点E，交BC于点F，求证：四边形BFDE是菱形．3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，〔1〕判断四边形CFDE的形状〔2〕说明你的理由．4. 如图，在△ABC中，P是AC上的一个动点，PE∥BC交AB于点E，PF//AB交BC于F.〔1〕四边形BFPE一定是什么四边形？说明理由．〔2〕△ABC满足什么条件时，四边形BFPE一定是矩形？说明理由．〔3〕假设△ABC是正三角形，那么P在AC的什么位置时，四边形BFPE是菱形？〔只需判断点P的位置即可〕．【试题答案】1. D；2. B；3. C；4. C；5. D；6. C；7. D；8. A；9. D.二. 填空题1. 有一个角是直角；有一组邻边相等．2. 平行四边形；对角线互相垂直．3. 平行四边；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；矩；有一个角是直角的平行四边形是矩形．4. 四；三．5. 16cm．6. 1：1．7.三. 解答题1. 是矩形．理由提示：先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得□ABCD是矩形．2. 先证△BOE≌△BOF，得EO＝FO，可得四边形BFDE是平行四边形，再由EF⊥BD可得□EBFD 是菱形.3. ⑴正方形；⑵先根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形CFDE是矩形，再根据角平分线上的点到角的两边的间隔相等得DF＝DE，由一组邻边相等的矩形是正方形得矩形CFDE是正方形．4. ⑴平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．⑵∠B＝90°时，四边形BFPE是矩形；理由：有一个角是直角的平行四边形是矩形．⑶当点P是AC的中点时，四边形BFPE是菱形．制卷人：打自企；成别使；而都那。

八年级数学矩形、菱形、正方形的性质及判定四边形基础练习

八年级数学矩形、菱形、正方形的性质及判定（四
边形）基础练习
一、单项选择题(共5道，每道20分)
1.假设菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm，那么较短对角线的长为（）
cm
cm
2.（2020湖南）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是如此操作的：别离以A和B 为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，那么直线CD即为所求．依照他的
作图方式可知四边形ADBC必然是（）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.等腰梯形
3.（2020湖北）按序连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，那么四边形ABCD必然是（）
A.菱形
B.对角线互相垂直的四边形
C.矩形
D.对角线相等的四边形
4.（2020江苏）菱形具有而矩形不必然具有的性质是（）
A.对角线相互垂直
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角互补
5.以下命题中，正确命题是()
A.两条对角线相等的四边形是平行四边形；
B.两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
C.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
D.两条对角线平分且相等的四边形是正方形；。

八年级数学上学期期末复习矩形菱形正方形试题

期末复习矩形、菱形、正方形一、知识点： 1、矩形的性质：①矩形的对边；②矩形的四个角；③矩形的对角线 . 2、矩形的断定：①有一个角是的平行四边形是矩形；②有的四边形是矩形；③对角线的是矩形. 3、菱形的性质：①菱形的四条边；②菱形的对角；③菱形的对角线互相，并且每一条对角线 . 4、菱形的断定：① 的平行四边形是菱形；② 四边形是菱形 ③对角线的是菱形 5、正方形的性质：①正方形的四个角都是；②正方形的四条边都；③正方形的两条对角线，且，每一条对角线 . 6、正方形的断定：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②两条对角线垂直的矩形是正方形； ③有一个角是直角的菱形是正方形；④两条对角线相等的菱形是正方形. 二、根底训练：1、矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，∠AOB ＝60°，那么对角线AC= ；矩形ABCD 的周长= 。

ODC BADC BOA DEP CB F2、菱形ABCD 的周长为8cm ，∠ABC ：∠BAD=1：2，那么 AC 的长= 菱形的面积= 。

3、假设正方形的一条对角线的长为2cm ，那么这个正方形的面积为．边长为。

4、以下命题中，正确的选项是〔〕A ．两条对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 5、平行四边形ABCD 中，AC ，BD 是两条对角线，假如添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是〔〕 A ．AB ＝BC B.AC ＝BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD6、如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点， EP ⊥CD 于点P ，那么∠FPC =〔〕A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°三、例题讲解：1、如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EC 平分∠BED 。

八年级数学上册16.2 矩形-菱形与正方形的性质同步练习

矩形、菱形与正方形的性质一、课内训练：1．如图：矩形ABCD的两条对角线相交于O：∠AOD=120°：AB=4cm：求对角线AC的长．DACBO2．如图：菱形ABCD中：∠A=60°：对角线BD=5：求菱形的周长．DACB3．如图1：已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O：E是AC上一点：连接EB：过点A作AM⊥BE：垂足为M：AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF：（2）如图2：若点E在AC的延长线上：AM与EB的延长线交于点M：交DB的延长线于点F：其他条件不变：则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立：请给出证明：如果不成立：请说明理由．(1) (2)4．如图：以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边△CDE：连接BE：交正方形的对角线AC于点F：连接DF：求∠AFD的度数．5．（1）如图：把一矩形ABCD的纸片：沿EF折叠后：点D、C分别落在D′、C′的位置上：ED′与BC的交点为G：若∠EFG=55°：求∠1、∠2的度数．（2）如图：把一矩形纸片ABCD：沿EF折叠后：点D和点B重合：点C落在C•′位置：若AB=4cm：AD=12cm：求BE的长度．6．已知△ABC：∠A：∠B：∠C=1：2：3：AB=6cm：D为AB边上的中点：求CD的长．7．•已知菱形的边长为10cm：•则菱形对角线的交点到四条边中点的距离之和为_____cm．8．如图所示：在矩形ABCD中：对角线AC分∠BAD为∠1：∠2：且∠1：∠2=1：2：AB=3cm：求AC的长．9．菱形ABCD的两条对角线分别为5cm：12cm：则菱形ABCD的面积为多少？10．对于左栏的案例4：采用“补短法”还可以怎样作辅助线：证明出BE=BG+FC？11．如图：E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上：且∠FBC=∠EBF：• 求证：BE=AE+CF．二、课外演练1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角 D．对角线相等2．一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm：则这个菱形的面积为（）A．56cm2 B．28cm2 C．14cm2 D．36cm23．如图：EF为矩形ABCD对角线的交点O：•且分别交AB、CD于E、F：那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）A．15B．14C．13D．310（第3题）（第6题）（第8题）4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°：则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20° B．40° C．80° D．100°5．菱形的一条对角线与一条边长相等：则这菱形锐角的度数为_______．6．如图：已知矩形ABCD的对角线相交于点O：△AOD的周长比△AOB的周长大8cm：矩形周长是80cm：求矩形ABCD的面积．7．如果矩形的两条对角线所成的角中有一个角为60°：那么（）A．它的对角线长是长边长度的2倍 B．它的对角线长是短边长度的2倍C．它的长边是短边长度的2倍 D．上述关系无法确定8．如图：矩形ABCD中：AD=30：AB=20：E、F三等分对角线AC：则S△ABE=（）A．60 B．100 C．150 D．2009．能够在图形内找到一点：使该点到四边形的各边距离都相等：则该四边形一定是（） A．平行四边形、菱形; B．矩形、正方形; C．矩形、菱形; D．菱形、正方形10．如图16-2-21：在矩形ABCD中：AE⊥BD于E：∠DAE=3∠BAE：则∠EAC为（）A．30° B．45° C．60° D．75°（第10题）（第14题）（第15题）11．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成5cm或8cm：此矩形周长为_____cm．12．菱形的面积为24cm2：一条对角线的长为8cm：则另一条对角线的长是_____cm．13．菱形的周长是20cm：那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为______cm．14．如图：若点P是正方形ABCD内任意一点：且正方形的边长为1：若S△ABP=0.4：则S△DCP =______．15．如图：正方形ABCD的对角线相交于O点：点O是正方形A′B′C′O的一个顶点：如果两个正方形的边长都为1：那么正方形绕点O旋转：•两个正方形重叠部分的面积（）A．14B．13C．15D．随着旋转而变化16．如图：在矩形ABCD中：E、F分别在AB、CD上：BF∥DE：若AD=12cm：•AB=7cm：AE：EB=5：2：则阴影部分的面积是_______cm2．17．如图所示：它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH•拼成的一个大正方形ABCD：若S正方形ABCD=13：S正方形EFGH=1：直角三角形较短直角边为a：较长的直角边为b：求（a+b）2的值．18．有块如图：形状的钢板：如何用一条直线将其分成面积相等的两部分？（至少用2种方法）19．在如图所示的图形中：所有的四边形都是正方形：所有的三角形都是直角三角形：其中最大的正方形的边长为7cm：则正方形A、B、C、D的面积和是多少？20．阅读以下短文：然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合：且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上：•则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”：如图①所示：矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然：当△ABC•是钝角三角形时：其“友好矩形”只有一个．（1）仿照以上叙述：说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”．（2）如图②：若△ABC为直角三角形：且∠C=90°：在图16-2-28•②中画出△ABC的所有“友好矩形”：并比较这些矩形面积的大小．（3）若△ABC是锐角三角形：且BC>AC>AB．在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”：指出其中周长最小的矩形并加以证明．答案:一、课内训练：1．解：∵四边形ABCD是矩形：∴AC=BD：AO=CO=12AC：OB=OD=12BD（矩形对角线相等且互相平分）．∴AO=CO=OB=OD．又∵∠AOD=120°：∴∠AOB=60°．∴△AOB是等边三角形．即AO=BO=AB=4（cm）．∴AC=2×4=8（cm）．点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分的特征：矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形：若矩形的两条对角线的夹角中：如果有60°或120°的角：则必有等边三角形．2．解：∵四边形ABCD为菱形：∴AB=AD．又∵∠A=60°：∴△ABD为等边三角形．∴AB=AD=BD=5．∴菱形的周长为4AB=5×4=20．点拨：根据菱形的特征：四条边都相等：所以AB=AD：结合∠A=60°：可得△ABD•为等边三角形：从而求得菱形的边长：进而求得菱形的周长．3．解：（1）因为四边形ABCD是正方形．所以∠BOE=∠AOF=90°：OA=OB．又因为AM⊥EB：所以∠MAE+∠MEA=90°=∠OBE+∠MEA．所以∠MAE=∠OBE．所以△AOF绕O点逆时针方向旋转90°可与△BOE重合．所以OE=OF．（2）OE=OF仍成立：说明如下：因为四边形ABCD是正方形：所以∠BOE=∠AOF=90°：BO=AO．因为AM⊥EB：所以∠OEB+∠OAM=90°=∠OFA+∠OAM．所以∠OEB=∠OFA．所以△AOF绕O点逆时针旋转90°后可与△BOE重合．所以OE=OF．点拨：要使OE=OF：只需证明△AOF和△BOE重合：根据已知条件和正方形的特征易得到：“问题”的基本思路是先假设结论成立：然后用分析法探求其成立条件：•若题设所给条件满足要求：则成立：反之则不成立．4．解：∵四边形ABCD是正方形．∴AB=AD：∠BAF=∠DAF．∴△ABF与△ADF全等．∴∠AFD=∠AFB．∵CB=CE：∴∠CBE=∠CEB．∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°：∴∠CBE=15°．∵∠ACB=45°：∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°．∴∠AFD=60°．点拨：易得△ABF与△ADF全等：∠AFD=∠AFB：因此只要求出∠AFB的度数即可．由∠AFB=∠ACB+∠EBC：∠ACB=45°：转化为求∠EBC的度数：在等腰△BCE中可求得．5．（1）解：在矩形ABCD中：AD∥BC：∴∠DEF=∠EFB：∠1+∠2=180°．又∵∠EFG=55°：由对称性可知∠GEF=∠DEF=55°．∴∠1=180°-∠GEF-∠DEF=70°．∴∠2=180°-∠1=110°．（2）解：设DE=xcm：则有DE=BE=x．∵AD=10cm：∴AE=（10-x）cm．在Rt△ABE中：BE2=AB2+AE2：即x2=42+（10-x）2：解得x=259：∴BE的长为259cm．点拨：（1）由矩形对边平行：知道∠DEF=∠EFG=55°：而∠DEF与∠FEG是对应角：•故∠FEG=∠DEF=55°：进而由平角定义：求出∠1=180°-∠DEF-∠FEG：而∠1与∠2互补：从而求出∠2．（2）可设DE长度为xcm：由折叠可知DE=BE：从而AE=10-x：在Rt△ABE中：应用勾股定理列方程：BE2=AB2+AE2：即x2=42-（10-x）2：从而求出x．6．3cm 提示：△ABC为Rt△：AB为斜边：CD为斜边上的中线．7．20cm8．6cm 提示：在Rt△ABC中：∠C=30°．9．30cm2提示：菱形对角线互相垂直：其面积为12×5×12．10．如图：过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H：则得矩形BGHC．∴GH=BC=AB：BG=CH：∵∠HGF+∠AGE=90°：∠BAE+∠AGE=90°：∴∠BAE=∠HGF．∵∠ABE=∠CHG=90°：AB=GH：∴△ABE≌△GHF．∴BE=FH=FC+CH=FC+BG．11．解：延长DC至N：使CN=AE：连接BN：则△ABE与△CBN全等．∴∠ABE=∠CBN：BE=BN：∵四边形ABCD为正方形：∴CD∥AB．∴∠NFB=∠ABF：∵∠ABF=∠ABE+∠EBF：∠NBF=∠NBC+∠CBF：∠EBF=∠FBC：∴∠NBF=∠NFB：∴BN=NF=CN+CF：∴BE=AE+CF．二、课外演练1．D 点拨：菱形对角线是互相垂直平分：但不一定相等．2．B 点拨：菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半．3．B 点拨：由矩形是中心对称图形：对称中心为O：则S△EOB=S△FOD．4．C 点拨：利用矩形对角线相等且互相平分．5．60°点拨：菱形的一条对角线与两边组成一个等边三角形．6．解：在矩形ABCD中：OA=OB=OD：∵△AOD的周长比△AOB的周长大8：则AD-AB=8 ①：又∵2（AD+AB）=80 ②：解①②得 AD=24：AB=16．∴S矩形ABCD=24×16=384（cm2）．点拨：利用矩形的对角线相等且互相平分．7．B 点拨：当矩形两条对角线夹角中有一个为60°时：一定有等边三角形．8．B 点拨：S矩形=20×30=600：S△ABC =12×600=300．9．D 点拨：由于菱形和正方形的对角线平分每一组内角：•而角平分线上的点到角两边的距离相等：因此菱形和正方形对角线的交点即为满足题意的点．10．B 点拨：由∠DAE=3∠BAE：得∠°：∴∠°．∵OA=OB：∴∠OAB=∠°：∴∠EAC=∠OAB-∠°°=45°．11．36或42 点拨：矩形的宽可能是5cm或8cm．12．6cm 点拨：注意菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．13．52点拨：由菱形特征和斜边上的中线等于斜边的一半可求得．14．0．1 点拨：S△ABP +S△DCP =S△ADP +S△BCP =12S正方形ABCD．15．A 点拨：由正方形可得△AOF和△BOE是旋转对称图形：所以S阴=S△AOB =14S正方形ABCD．16．24 点拨：解法一：用矩形面积减去两个直角三角形面积：解法二：阴影部分为平行四边形：S BEDF =BE·AD=2×12=24（cm）2．17．解：根据勾股定理：由图易得a2+b2=13：①正方形EFGH的边长为b-a：∴（b-a）2=1．即b2+a2-2ab=1．②把①代入②得 2ab=12而（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25．18．如图19．解：由勾股定理得S A+S B+S C+S D=S最大正方形=49．20．解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合：三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上：则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．（2）此时共有2个友好矩形：如图的BCAD、ABEF：易知矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍：∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．（2）题 (3)题（3）此时共有3个友好矩形：如图的BCDE、CAFG及ABHK：其中的矩形ABHK的周长最小．证明如下：易知：这三个矩形的面积相等：令其为S：设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3．△ABC的边长BC=a：CA=b：AB=c：则L1=2Sa+2a：L2=2Sb+2b：L3=2Sc+2c：∴L1-L2=（2Sa+2a）-（2Sb+2b）=2（a-b）·ab Sab：而ab>S：a>b．∴L1-L2>0：即L1>L2：同理可得L2>L3．∴L3最小：即矩形ABHK的周长最小．点拨：根据矩形的特征、三角形面积的有关知识解决．。

八年级数学上册 16.2 矩形、菱形与正方形的性质同步练习华东师大版

16.2矩形、菱形与正方形的性质一、课内训练：1．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，求对角线AC 的长．DAC B O2．如图，菱形ABCD 中，∠A=60°，对角线BD=5，求菱形的周长．DACB 3．如图1，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连接EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ．（1）求证：OE=OF ；（2）如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM 与EB 的延长线交于点M ，交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．(1) (2)4．如图，以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边△CDE，连接BE，交正方形的对角线AC于点F，连接DF，求∠AFD的度数．5．（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，求∠1、∠2的度数．（2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C•′位置，若AB=4cm，AD=12cm，求BE的长度．6．已知△ABC，∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=6cm，D为AB边上的中点，求CD的长．7．•已知菱形的边长为10cm，•则菱形对角线的交点到四条边中点的距离之和为_____cm．8．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC分∠BAD为∠1，∠2，且∠1：∠2=1：2，AB=3cm，求AC的长．9．菱形ABCD的两条对角线分别为5cm，12cm，则菱形ABCD的面积为多少？10．对于左栏的案例4，采用“补短法”还可以怎样作辅助线，证明出BE=BG+FC？11．如图，E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上，且∠FBC=∠EBF，•求证：BE=AE+CF．二、课外演练1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角 D．对角线相等2．一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm，则这个菱形的面积为（）A．56cm2 B．28cm2 C．14cm2 D．36cm23．如图，EF为矩形ABCD对角线的交点O，•且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）A．15B．14C．13D．310（第3题）（第6题）（第8题）4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20° B．40° C．80° D．100°5．菱形的一条对角线与一条边长相等，则这菱形锐角的度数为_______．6．如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长大8cm，矩形周长是80cm，求矩形ABCD的面积．7．如果矩形的两条对角线所成的角中有一个角为60°，那么（）A．它的对角线长是长边长度的2倍 B．它的对角线长是短边长度的2倍C．它的长边是短边长度的2倍 D．上述关系无法确定8．如图，矩形ABCD中，AD=30，AB=20，E、F三等分对角线AC，则S△ABE=（）A．60 B．100 C．150 D．2009．能够在图形内找到一点，使该点到四边形的各边距离都相等，则该四边形一定是（） A．平行四边形、菱形; B．矩形、正方形; C．矩形、菱形; D．菱形、正方形10．如图16-2-21，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE，则∠EAC为（）A．30° B．45° C．60° D．75°（第10题）（第14题）（第15题）11．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成5cm或8cm，此矩形周长为_____cm．12．菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为8cm，则另一条对角线的长是_____cm．13．菱形的周长是20cm，那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为______cm．14．如图，若点P是正方形ABCD内任意一点，且正方形的边长为1，若S△ABP=0.4，则S△DCP =______．15．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都为1，那么正方形绕点O旋转，•两个正方形重叠部分的面积（） A．14B．13C．15D．随着旋转而变化16．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，BF∥DE，若AD=12cm，•AB=7cm，AE：EB=5：2，则阴影部分的面积是_______cm2．17．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH•拼成的一个大正方形ABCD，若S正方形ABCD=13，S正方形EFGH=1，直角三角形较短直角边为a，较长的直角边为b，求（a+b）2的值．18．有块如图，形状的钢板，如何用一条直线将其分成面积相等的两部分？（至少用2种方法）19．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和是多少？20．阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，•则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC•是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”．（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图16-2-28•②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小．（3）若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB．在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．答案:一、课内训练：1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO=12AC，OB=OD=12BD（矩形对角线相等且互相平分）．∴AO=CO=OB=OD．又∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°．∴△AOB是等边三角形．即AO=BO=AB=4（cm）．∴AC=2×4=8（cm）．点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分的特征，矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形，若矩形的两条对角线的夹角中，如果有60°或120°的角，则必有等边三角形．2．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD．又∵∠A=60°，∴△ABD为等边三角形．∴AB=AD=BD=5．∴菱形的周长为4AB=5×4=20．点拨：根据菱形的特征，四条边都相等，所以AB=AD，结合∠A=60°，可得△ABD•为等边三角形，从而求得菱形的边长，进而求得菱形的周长．3．解：（1）因为四边形ABCD是正方形．所以∠BOE=∠AOF=90°，OA=OB．又因为AM⊥EB，所以∠MAE+∠MEA=90°=∠OBE+∠MEA．所以∠MAE=∠OBE．所以△AOF绕O点逆时针方向旋转90°可与△BOE重合．所以OE=OF．（2）OE=OF仍成立，说明如下：因为四边形ABCD是正方形，所以∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO．因为AM⊥EB，所以∠OEB+∠OAM=90°=∠OFA+∠OAM．所以∠OEB=∠OFA．所以△AOF绕O点逆时针旋转90°后可与△BOE重合．所以OE=OF．点拨：要使OE=OF，只需证明△AOF和△BOE重合，根据已知条件和正方形的特征易得到，“问题”的基本思路是先假设结论成立，然后用分析法探求其成立条件，•若题设所给条件满足要求，则成立，反之则不成立．4．解：∵四边形ABCD是正方形．∴AB=AD，∠BAF=∠DAF．∴△ABF与△ADF全等．∴∠AFD=∠AFB．∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB．∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，∴∠CBE=15°．∵∠ACB=45°，∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°．∴∠AFD=60°．点拨：易得△ABF与△ADF全等，∠AFD=∠AFB，因此只要求出∠AFB的度数即可．由∠AFB=∠ACB+∠EBC，∠ACB=45°，转化为求∠EBC的度数，在等腰△BCE中可求得．5．（1）解：在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∠1+∠2=180°．又∵∠EFG=55°，由对称性可知∠GEF=∠DEF=55°．∴∠1=180°-∠GEF-∠DEF=70°．∴∠2=180°-∠1=110°．（2）解：设DE=xcm，则有DE=BE=x．∵AD=10cm，∴AE=（10-x）cm．在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2，即x2=42+（10-x）2，解得x=259，∴BE的长为259cm．点拨：（1）由矩形对边平行，知道∠DEF=∠EFG=55°，而∠DEF与∠FEG是对应角，•故∠FEG=∠DEF=55°，进而由平角定义，求出∠1=180°-∠DEF-∠FEG，而∠1与∠2互补，从而求出∠2．（2）可设DE长度为xcm，由折叠可知DE=BE，从而AE=10-x，在Rt△ABE中，应用勾股定理列方程：BE2=AB2+AE2，即x2=42-（10-x）2，从而求出x．6．3cm 提示：△ABC为Rt△，AB为斜边，CD为斜边上的中线．7．20cm8．6cm 提示：在Rt△ABC中，∠C=30°．9．30cm2提示：菱形对角线互相垂直，其面积为12×5×12．10．如图，过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H，则得矩形BGHC．∴GH=BC=AB，BG=CH，∵∠HGF+∠AGE=90°，∠BAE+∠AGE=90°，∴∠BAE=∠HGF．∵∠AB E=∠CHG=90°，AB=GH，∴△ABE≌△GHF．∴BE=FH=FC+CH=FC+BG．11．解：延长DC至N，使CN=AE，连接BN，则△ABE与△CBN全等．∴∠ABE=∠CBN，BE=BN，∵四边形ABCD为正方形，∴CD∥AB．∴∠NFB=∠ABF，∵∠ABF=∠ABE+∠EBF，∠NBF=∠NBC+∠CBF，∠EBF=∠FBC，∴∠NBF=∠NFB，∴BN=NF=CN+CF，∴B E=AE+CF．二、课外演练1．D 点拨：菱形对角线是互相垂直平分，但不一定相等．2．B 点拨：菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半．3．B 点拨：由矩形是中心对称图形，对称中心为O，则S△EOB=S△FOD．4．C 点拨：利用矩形对角线相等且互相平分．5．60°点拨：菱形的一条对角线与两边组成一个等边三角形．6．解：在矩形ABCD中，OA=OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长大8，则AD-AB=8 ①，又∵2（AD+AB）=80 ②，解①②得 AD=24，AB=16．∴S矩形ABCD=24×16=384（cm2）．点拨：利用矩形的对角线相等且互相平分．7．B 点拨：当矩形两条对角线夹角中有一个为60°时，一定有等边三角形．8．B 点拨：S矩形=20×30=600，S△ABC =12×600=300．9．D 点拨：由于菱形和正方形的对角线平分每一组内角，•而角平分线上的点到角两边的距离相等，因此菱形和正方形对角线的交点即为满足题意的点．10．B 点拨：由∠DAE=3∠BAE，得∠BAE=22.5°，∴∠ABE=67.5°．∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABE=67.5°，∴∠EAC=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°．11．36或42 点拨：矩形的宽可能是5cm或8cm．12．6cm 点拨：注意菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．13．52点拨：由菱形特征和斜边上的中线等于斜边的一半可求得．14．0．1 点拨：S△ABP +S△DCP =S△ADP +S△BCP =12S正方形ABCD．15．A 点拨：由正方形可得△AOF和△BOE是旋转对称图形，所以S阴=S△AOB =14S正方形ABCD．16．24 点拨：解法一：用矩形面积减去两个直角三角形面积；解法二：阴影部分为平行四边形，S BEDF =BE·AD=2×12=24（cm）2．17．解：根据勾股定理，由图易得a2+b2=13，①正方形EFGH的边长为b-a，∴（b-a）2=1．即b2+a2-2ab=1．②把①代入②得 2ab=12而（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25．18．如图19．解：由勾股定理得S A+S B+S C+S D=S最大正方形=49．20．解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．（2）此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF，易知矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．（2）题 (3)题（3）此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小．证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3．△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=2Sa+2a，L2=2Sb+2b，L3=2Sc+2c，∴L1-L2=（2Sa+2a）-（2Sb+2b）=2（a-b）·a b Sab，而ab>S，a>b．∴L1-L2>0，即L1>L2，同理可得L2>L3．∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．点拨：根据矩形的特征、三角形面积的有关知识解决．。

八年级数学华东师大版矩形、菱形、正方形的性质及2020判定提高版

八年级数学华东师大版矩形、菱形、正方形的性质及判定提高版
1、如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（答案C 解析
2、如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）答案C 解析
3、不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) 答案B 解析
4、如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若表示△ADE的面积，表示四边形DBCE的面积答案B 解析
5、有四张形状、大小和质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张(不答案C 解析
6、如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于A．30°B．40°C．60°D．70°答案A 解析
7、一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，那么这个几何体一定是（;）A．长方体B．正方体C 答案B 解析
8、一元一次不等式组的解集是,则的取值范围是（答案B 解析
9、下图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么这个立体图形不可能是（答案C 解析
10、下列角的平分线中，互相垂直的是（）A．平行线的同旁内角的平分线B．平行线答案A 解析
11、反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象在（;）A．答案B 解析
八年级数学部审人教版简单实际问题中的函数关系的分析
使分式无意义的x的值是（）A．答案B 解析12、
下列各式计算正确的是答案D 解析13。

-2的相反数是（）A．B．C．-2D．2 答案D 解析14，。

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复习专题三矩形菱形正方形的性质判定（习题）
1.在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠ACB=__ _
2.已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______
3．若菱形的周长为24 cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为______ cm 2。

4 ．已知：菱形的周长为40cm ，两条对角线长的比是3：4。

求两对角线长分别是。

5、已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm ，则菱形的周长为 . 6、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE⊥AC 于E ，CF⊥BD 于F.
求证：BE=CF.
7．如图，菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，E 、F 为垂足，AE=ED ，求∠EBF 的度数.
8、如图，在已知平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，与BC 相交于点E ，EF//AB ，与AD 相交于点F.求证:四边形ABEF 是菱形
9、平行四边形ABCD ，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四
边形ABCD 是矩形
10．（08湘潭）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE =AB ，过C 作CF ⊥DE ，垂足为F .
（1）猜想：AD 与CF 的大小关系；（2）请证明上面的结论.
11（08乌鲁木齐）如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点．（1）证明四边形EGFH 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF BC ⊥，且1
2
EF BC =
，证明平行四边形EGFH 是正方形．
B
G A E
F
H D。