第17讲 导数与函数的极值、最值

第17讲 导数与函数的极值、最值夯实基础 【p 41】【学习目标】会用导数求函数的极值和某闭区间上的最值． 【基础检测】1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．闭区间上的连续函数一定存在最值 【解析】结合本题构造一个具体函数，理解函数的极值点与最值点是不相同的两个概念．如图所示，函数y ＝f (x )在B 、D 处分别存在极值，其中B 是极大值点，但不是最大值点，D 是极小值点，但不是最小值点；C 是最值点，但不是极值点．闭区间上的连续函数一定存在最值．【答案】D2．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln (－x )C ．y ＝xe －x D ．y ＝x ＋2x【解析】A 项，y ′＝3x 2≥0，在定义域上单调递增，没有极值； B 项，y ＝ln (－x )的定义域为(－∞，0)，显然不是奇函数；C 项，设f (x )＝y ＝xe －x ，则f (－x )＝－xe x ≠－f (x )，不是奇函数； D 项，设f (x )＝y ＝x ＋2x ，则f (－x )＝－x －2x ＝－f (x )，故为奇函数，又y′＝1－2x2，当x ＝±2时，y ′＝0，原函数在区间(－∞，－2)上递增，在区间(－2，0)上递减， 所以点(－2，－22)是一个极大值点， 同理，点(2，22)是极小值点． 故D 项正确． 【答案】D3．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．0D ．不存在 【解析】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x －1x ，令x －1x＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，1)上递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上递增， 所以当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝12.【答案】A4．已知x ＝0是函数f (x )＝(x －2a )(x 2＋a 2x ＋2a 3)的极小值点，则实数a 的取值范围是__________．【解析】因为f (x )＝x 3＋(a 2－2a )x 2－4a 4，所以令f′(x )＝3x 2＋2(a 2－2a )x ＝3x ⎣⎡⎦⎤x ＋2（a 2－2a ）3＝0，可得函数f (x )＝x 3＋(a 2－2a )x 2－4a 4的两个极值点分别为x ＝0，x ＝－2（a 2－2a ）3，由题意－2（a 2－2a ）3＜0，即a 2－2a>0，解之得a<0或a>2.【答案】a>2或a<0 【知识要点】1．函数的极值与导数(1)函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在x ＝a 附近的其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，且在点x ＝a 附近的左侧__f′(x)＜0__，右侧__f′(x)＞0__，则点x ＝a 叫作函数y ＝f(x)的__极小值点__，f(a)叫作函数y ＝f(x)的__极小值__．(2)函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在x ＝a 附近的其他点的函数值都大，f ′(a)＝0，且在点x ＝a 附近的左侧__f′(x)＞0__，右侧__f′(x)＜0__，则点x ＝a 叫作函数y ＝f(x)的__极大值点__，f(a)叫作函数y ＝f(x)的__极大值__．2．函数的最值与导数若函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上必存在最大值和最小值，且f(x)max ＝max {f(a)，f 极大值(x)，f(b)}，f(x)min ＝min {f(a)，f 极小值(x)，f(b)}．典 例 剖 析 【p 41】考点1 利用导数研究函数的极值例1已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．【解析】f ′(x )＝1－aex .①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上单调递增， 所以函数f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在区间(－∞，ln a )上单调递减， 在区间(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．【小结】含参函数的极值的讨论步骤： (1)求函数的定义域； (2)求导函数；(3)以导函数的零点存在性进行讨论；(4)当导数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及与区间的位置关系； (5)画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号；(6)由上一步的草图，列出f ′(x )，f (x )随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间； (7)综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，从而可得极值．考点2 利用导数研究函数的最值例2已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对于任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x ＝x ＋12x＋2，x ∈[1，＋∞)．由f′(x )＝1－12x 2＝2x 2－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)．∴函数f (x )是增函数． ∴当x ＝1时，f (x )的最小值为72.(2)对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立， 即x 2＋2x ＋a x ＞0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立．∴x 2＋2x ＋a ＞0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立． 设g (x )＝x 2＋2x ＋a ，则g′(x )＝2x ＋2，当x ∈[1，＋∞)时，g ′(x )＞0，∴函数g (x )是增函数． ∴当x ＝1时，g (x )取得最小值3＋a ， 由题意得3＋a ＞0，∴a ＞－3.【小结】求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．考点3 函数的极值与最值的综合应用例3已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．【解析】(1)∵f′(x )＝a ＋2x 2－3x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫23＝a ＝1，故f (x )＝x －2x －3ln x ，则f′(x )＝（x －1）（x －2）x 2.由f′(x )＝0得x ＝1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：从而在⎣⎡⎦⎤32，3上，f (x )有最小值， 且最小值为f (2)＝1－3ln 2.(2)f′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x 2(x ＞0)，由题设可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，则⎩⎨⎧Δ＝9－8a ＞0，x 1＋x 2＝3a ＞0，x 1x 2＝2a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a ＞0，－－32a＞0，h （0）＞0，解得0＜a ＜98.故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，98. 【小结】求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值3步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【能力提升】例4已知函数f (x )＝xln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)若函数y ＝f (x )＋g (x )有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)且x 2－x 1＞ln 2，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由题意f′(x )＝ln x ＋1＝0，得x ＝1e.①当0<t<1e 时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫t ，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，t ＋2上单调递增， 此时函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . ②当t ≥1e 时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，此时函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值为f (t )＝tln t. (2)由题意y ＝f (x )＋g (x )＝xln x －x 2＋ax －2， 则y′＝ln x －2x ＋a ＋1，知y′＝ln x －2x ＋a ＋1＝0有两个不同的实根x 1，x 2， 等价于a ＝－ln x ＋2x －1有两个不同的实根x 1，x 2，等价于直线y ＝a 与函数G (x )＝－ln x ＋2x －1的图象有两个不同的交点．由G′(x )＝－1x ＋2，知G (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， 画出函数G (x )图象的大致形状如图， 由图易知，当a>G (x )min ＝G ⎝⎛⎭⎫12＝ln 2时，x 1，x 2存在，且x 2－x 1的值随a 的增大而增大． 而当x 2－x 1＝ln 2时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－2x 1＋a ＋1＝0，ln x 2－2x 2＋a ＋1＝0.两式相减可得ln x 2x 1＝2(x 2－x 1)＝2ln 2，得x 2＝4x 1，代入x 2－x 1＝ln 2得x 2＝4x 1＝43ln 2，此时实数a ＝23ln 2－ln ⎝⎛⎭⎫ln 23－1， 所以实数a 的取值范围为a>23ln 2－ln ⎝⎛⎭⎫ln 23－1.方 法 总 结 【p 42】1．求函数的极值可分为以下几步：①求出可疑点，即f′(x )＝0的解x 0与不可导的点；②用求极值的方法确定极值； ③计算求值． 2．函数的最值①连续函数f (x )在闭区间[a ，b ]上必有最大值与最小值；②最值的求法：先求f (x )在(a ，b )上的极值，再将各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．极值与最值的区别和联系①函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较；②函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值；③如果连续函数在区间[a ，b ]内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是[a ，b ]上的最大值，极小值即是[a ，b ]上的最小值．走 进 高 考 【p 42】1．(2018·北京)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． 【解析】(1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 所以f′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2，由题设知f′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)方法一：由(1)得f′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a>1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． 方法二：f′(x )＝(ax －1)(x －1)e x . 当a ＝0时，令f′(x )＝0得x ＝1.f ′(x )，f (x∴f (x )在x 当a>0时，令f′(x )＝0得x 1＝1a，x 2＝1.①当x1＝x2，即a＝1时，f′(x)＝(x－1)2e x≥0，∴f(x)在R上单调递增，∴f(x)的无极值，不合题意．②当x1>x2，即0<a<1时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：∴f(x)在x＝1处取得极大值，不合题意．③当x1<x2，即a>1时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：当a<0时，令f′(x)＝0得x1＝1a，x2＝1.∴f(x)在x＝1处取得极大值，不合题意．综上所述，a的取值范围为(1，＋∞)．。