空间点线面(必修2)知识点总结与练习

第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题（一）一、选择题1.(2010全国1文)在直三棱柱(侧面都是矩形的棱柱)中，若，，则异面直线与所成的角等于( ).A. B. C. D.考查目的：考查直三棱柱的性质，异面直线所成的角的求法.答案：C.解析：延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又∵三角形为等边三角形，∴.2.在空间中，下列命题正确的是( ).A.若∥，∥，则∥B.若∥，∥，，，则∥C.若∥，∥，则∥D.若∥，，则∥考查目的：考查直线与平面、平面与平面平行的判定.答案：D.解析：若∥，∥，则∥或，故A错误；由平面与平面平行的判定定理知，B错误；若∥，∥，则∥或，故C错误.3.设，，表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题不正确的是( ).A. B.C. D.考查目的：考查直线与平面平行、垂直的转化.答案：D.解析：由∥，⊥可得，与的位置关系有：∥，，与相交，∴D不正确．4.(2010宁夏海南)如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是( ).A. B.三棱锥的体积为定值C. D.异面直线所成的角为定值考查目的：考查空间直线、平面之间平行和垂直关系综合应用的能力.答案：D.解析：A正确，易证，从而；B正确，可用等积法求得；C 显然正确，∵，∴；D错误.5.(2012重庆理)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是( ).A. B. C. D.考查目的：考查空间直线与直线之间的位置关系，以及有关计算的能力.答案：A.解析：如图所示的四面体，设为中点，在中，，则，.6.如图，平面⊥平面，A∈，B∈，AB与两平面，所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，则( ).A.2∶ 1B.3∶ 1C.3∶2 D.4∶3考查目的：考查直线与平面所成的角，以及二面角概念的综合运用.答案：A.解析：在平面内，过作，且，连结和，因为平面⊥平面，所以和即为和平面和平面所成的角，先解和求线段和的长，再解.二、填空题7.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.考查目的：考查直线与直线、直线与平面垂直关系的判定.答案：4.解析：由直线与平面垂直关系可知，图中直角三角形共有4个.8.(2007湖北理)平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：①⊥⊥；②⊥⊥；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合.其中不正确的命题是 .考查目的：考查空间两条直线的位置关系.答案：①②③④.解析：①如图⊥，但与不垂直；②⊥⊥或与重合；③与相交与相交或重合或异面；④与平行与平行或异面，所以四个命题均不正确.9.(2010全国1文)在正方体中，与平面所成角的余弦值为________.考查目的：考查正方体的性质、直线与平面所成的角的求法.答案：.解析：∵∥，∴与平面所成的角和与平面所成的角相等.设DO⊥平面，由等体积法得，即.设，则，，∴，记与平面所成角为，则，∴.10.(2009浙江理)如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 .考查目的：考查直线与平面的位置关系，以及二面角概念的综合应用.答案：.解析：当F位于DC的中点时，；随着点F移动到与点C重合时，∵，，∴平面，∴.对于，，∴.又∵，，∴，∴，因此的取值范围是第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题（二）三、解答题11.(2012上海理改编)如图，在四棱锥中，底面是矩形，是四棱锥的高，是的中点，已知，，，求：⑴四棱锥的体积；⑵异面直线与所成的角的大小.考查目的：考查异面直线所成角的概念及其求法.答案：⑴，⑵.解析：⑴根据题意四棱锥的体积.⑵取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，∴∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.连结AC.在直角△AEF中，，∴.在△AEF中，，，AE=2，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=，∴异面直线BC与AE所成的角大小为.12.(2011湖南文)如图，在圆锥PO中，已知，⊙O的直径AB=2，点C在上，且，D为AC的中点.⑴证明：AC平面POD；⑵求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成角的计算，以及空间想象能力.答案：⑴略，⑵.解析：⑴∵OA=OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又∵PO⊥底面⊙O，底面⊙O，∴AC ⊥OD.PO是平面POD内的两条相交直线，∴AC⊥平面POD.⑵由⑴知，AC⊥平面POD.又∵，∴平面POD⊥平面PAC.在平面POD中，过O作OH⊥PD于点H，则OH⊥平面PAC.连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，∴∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角.在中，；在中，.13.(2010陕西文)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点.⑴证明：EF∥平面PAD；⑵求三棱锥E—ABC的体积V.考查目的：考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积计算.答案：⑴略；⑵.解析：⑴在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又∵BC∥AD，∴EF∥AD，∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.⑵连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则BG⊥平面ABCD，且.在△PAB中，AD=AB，，BP=2，∴，.∴，∴.14.(2010四川理)已知正方体的棱长为1，点M是棱的中点，点O 是对角线的中点.⑴求证：OM为异面直线和的公垂线；⑵求二面角的正切值.考查目的：考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，空间想象能力和逻辑推理能力.答案：⑴略；⑵.解析：⑴连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK.∵M是棱的中点，点O是的中点，∴，∴.由⊥AK，得MO⊥.∵AK⊥BD，AK⊥，∴AK⊥平面，∴AK⊥，∴MO⊥.又∵OM与异面直线和都相交，∴OM为异面直线和的公垂线.⑵取中点N，连结MN，则MN⊥平面.过点N作NH⊥于H，连结MH，则由三垂线定理得⊥MH，从而，∠MHN为二面角的平面角.MN=1，.在Rt△MNH中，，∴二面角的正切值大小为.15.(2012湖南理)如图，在四棱锥中，⊥平面，，，，，是的中点.⑴证明：CD⊥平面PAE；⑵若直线与平面成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积.考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线和平面所成角的运用，体积计算以及综合运用立体几何知识解决问题的能力.答案：⑴略；⑵.解析：⑴连接，由，，，得.又∵，Ｅ是的中点，∴.∵，∴.而是平面内的两条相交直线，∴⊥平面.⑵过点作，分别与相交于，连接.由⑴⊥平面知，⊥平面，∴为直线与平面所成的角，且.由知，为直线与平面所成的角.，，.由题意知，.∵，∴.由知，AD ∥BC. 又∵BG∥CD，∴四边形是平行四边形，∴，∴.在中，，∴，于是.又∵梯形的面积为，∴四棱锥的体积为.《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质（2）》测试题一、选择题1.(2010山东)在空间中，下列命题正确的是( )．A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行考查目的：考查空间直线与平面的位置关系，直线与平面垂直、平行的判定和性质.答案：D.解析：选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确.2.(2012浙江文)设是直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( ).A.若∥，∥，则∥B.若∥，⊥，则⊥C.若⊥，⊥，则⊥D.若⊥，∥，则⊥考查目的：考查直线与平面平行、垂直的判定和性质.答案：B.解析：利用排除法可得选项B是正确的，选项A：当∥，∥时，⊥或∥；选项C：若⊥，⊥，则∥或；选项D：若⊥，⊥，则∥或⊥.3.(2010全国2文)已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，，那么直线与平面所成角的正弦值为( ).A. B. C.D.考查目的：考查直线与平面、平面与平面的位置关系，会求直线与平面所成的角.答案：D.解析：过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴，AS=3，∴，，∴.二、填空题4.(2010辽宁理)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.考查目的：考查直线与平面垂直的判定.答案：.解析：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为.5.(2010四川)如图，二面角的大小是，线段.，与所成的角为，则与平面所成的角的正弦值是 .考查目的：考查直线和平面所成角的概念和求法.答案：.解析：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作的垂线.垂足为D.连结AD，则平面，AD⊥，故∠ADC为二面角的平面角为.又由已知得，∠ABD＝，连结CB，则∠ABC为与平面所成的角.设AD＝2，则，CD＝1，，∴.6.(2012上海理)如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中，为常数，则四面体的体积的最大值是 .考查目的：考查直线与直线、直线与平面垂直关系，会根据几何体特点进行合理的计算.答案：.解析：过点A做AE⊥BC，垂足为E，连接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，所以.又∵，∴当时，四面体ABCD的体积最大.过E做EF⊥DA，垂足为点F，已知EA=ED，∴△ADE为等腰三角形，∴点E为AD的中点.又∵，∴，∴，∴四面体ABCD体积的最大值.三、解答题7.(2011天津改编)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为AC中点，⊥平面，PO=2，M为PD中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.考查目的：考查直线和平面所成角的概念及其求法.答案：.解析：取DO中点N，连接MN，AN.∵M为PD的中点，∴MN∥PO，且.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴是直线AM与平面ABCD所成的角.在中，，，∴，∴．在中，．即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为．8.(2010辽宁文)如图，棱柱的侧面是菱形，.⑴证明：平面平面；⑵设是上的点，且平面，求的值.考查目的：考查空间直线、平面之间的平行、垂直关系的证明，以及二面角的求法.答案：C.解析：⑴∵侧面是菱形，∴.又∵，且，∴平面.∵平面，∴平面平面.⑵设交于点E，连结DE，则DE是平面与平面的交线. ∵∥平面，∴.又∵E是的中点，∴以D为的中点，∴.《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质（1）》测试题一、选择题1.(2010湖北文)用，，表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.其中真命题的序号是( ).A.①②B.②③C.①④D.③④考查目的：考查空间直线与直线、直线与平面的平行和垂直的转化关系.答案：C.解析：由公理4知①是真命题.在空间内，⊥，⊥，直线，的关系不确定，故②是假命题．由∥，∥，不能判定，的关系，故③是假命题.④是直线与平面垂直的性质定理.2.(2011浙江理)下列命题中错误的是( ).A.如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面D.如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面考查目的：本题考查空间平面与平面垂直的性质.答案：D.解析：如果平面⊥平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其它与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的.3.(2011北京理)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( ).A.8B.C.10D.考查目的：考查直线与平面垂直的判定，和空间想象能力.答案：C.解析：该四面体的直观图，如图，，，PA=4，AB=4，BC=3，该四面体的四个面都是直角三角形，四个面的面积分别为，，故最大面积为10.二、填空题4.(2007四川理)如图，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是．考查目的：考查直线和平面所成角的求法.答案：.解析：作于点，则为与侧面所成的角，在直角中，，，∴，∴．5.(2007江苏理改编)已知两条直线，，两个平面，，给出下面四个命题：①∥，⊥⊥；②∥，，∥；③∥，∥∥；④∥，∥，⊥⊥.其中正确命题的序号是 .考查目的：考查空间直线与平面的垂直和平行关系的判定.答案：①④.解析：①，④可由直线和平面垂直的定义和性质推证，根据②中的条件可得与平行或异面，③中有可能在内.6.(2012辽宁理)已知正三棱锥，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________.考查目的：考查空间几何体中直线与平面的位置关系.答案：.解析：∵在正三棱锥中，PA，PB，PC两两互相垂直，∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分(如图)，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点.球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥在面ABC上的高.已知球的半径为，∴正方体的棱长为2，可求得正三棱锥在面ABC上的高为，∴球心到截面ABC的距离为.三、解答题7.(2011天津改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD. 证明：AD⊥平面PAC.考查目的：考查直线和平面垂直的判定.答案：(略).解析：∵∠ADC＝，且AD＝AC＝1，∴∠DAC＝，即AD⊥AC.又∵PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，∴AD⊥平面PAC.8.(2011江苏)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝，E，F分别是AP，AD的中点．求证：⑴直线EF∥平面PCD；⑵平面BEF⊥平面PAD.考查目的：考查直线与平面，平面与平面的垂直关系间的联系与转化.解析：⑴在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴EF∥PD.又∵EF平面PCD，PD?平面PCD，∴直线EF∥平面PCD.⑵如图，连结BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝，∴△ABD为正三角形. ∵F是AD的中点，∴BF⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面PAD.又∵BF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.《2.1 点、直线、平面之间的位置关系》测试题一、选择题1.(2011四川)，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ).A.⊥，⊥?∥B.⊥，∥?⊥C.∥∥?，，共面D.，，共点?，，共面考查目的：考查空间中直线与直线的位置关系及有关性质.答案：B.解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线有可能相交或异面，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错.2.若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( ).A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分考查目的：考查空间平面的位置关系和空间想象能力.答案：C.解析：如图所示，三个平面，，两两相交，交线分别是，，，且∥∥.观察图形，可得，，把空间分成7部分.3.(2010重庆文)到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点( ).A.只有1个B.恰有3个C.恰有4个D.有无穷多个考查目的：考查异面直线的概念、性质和空间想象能力.答案：D.解析：可以将异面直线放在正方体中研究，显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，所以排除A、B、C，选D.也可以在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等.二、填空题4.(2010江西改编)过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，所成的角都相等，这样的直线可以作_______.A.1条B.2条C.3条D.4条考查目的：考查空间直线所成的角概念与求法.答案：8.解析：如图，连结体对角线，显然与棱AB、AD，所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连结，则与棱BC、BA、所成的角都相等，∵∥，BC∥AD，∴体对角线与棱AB、AD、所成的角都相等，同理，体对角线、也与棱AB、AD、所成的角都相等，过A点分别作、、的平行线都满足题意，故这样的直线可以作4条.5.正方体中，P、Q、R分别是AB、AD、的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是 .考查目的：考查空间几何的公理３，判断空间点线的共面关系.答案：六边形.解析：如图，作RG∥PQ交于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交于F，连接QF，FG，∴截面为六边形PQFGRE.6.(2012安徽文)若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则____________(写出所有正确结论编号).①四面体每组对棱相互垂直②四面体每个面的面积相等③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于④连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长考查目的：考查空间直线与直线的位置关系.答案：②④⑤.解析：①连接四面体每组对棱中点构成菱形；②四面体每个面是全等三角形，面积相等；③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于；④连接四面体每组对棱中点构成菱形，菱形对角线垂直平分；⑤连结四面体棱的中点可得，该三角形三边分别等于长度的一半.三、解答题7.正方体中，E、F分别是AB和的中点．求证：⑴E，C，，F四点共面；⑵CE，，DA三线共点.考查目的：考查空间几何公理，会证明共线、共面问题.解析：⑴如图，连接EF，，.∵E、F分别是AB、的中点，∴EF∥.又∵∥，∴EF∥，∴E、C、、F四点共面.⑵∵EF∥，EF＜，∴CE与必相交.设交点为P，则由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面.又∵平面ABCD∩平面＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、、DA三线共点.8.A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.⑴求证：直线EF与BD是异面直线；⑵若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角.考查目的：考查异面直线的判定，求异面直线所成角的基本方法.答案：⑴略；⑵.解析：⑴假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾，故直线EF 与BD是异面直线. ⑵如图，设G为CD的中点，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF 与EG所成的，即等于异面直线EF与BD所成的角.同理即为异面直线AC和BD所成的角，又∵AC⊥BD，∴为直角，在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝，即异面直线EF与BD所成的角为.《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》测试题一、选择题1.下面命题中正确的是( )．①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A.①③B.②④C.②③④D.③④ 考查目的：考查平面与平面平行的判定. 答案：D.解析：①②中两个平面可以相交，③是两个平面平行的定义，④是两个平面平行的判定定理.2.(2011浙江)若直线不平行于平面，且，则( )．A.内的所有直线与异面B.内不存在与平行的直线C.内存在唯一的直线与平行D.内的直线与都相交 考查目的：考查直线与平面的位置关系. 答案：B.解析：如图，在内存在直线与相交，所以A 不正确；若内存在直线与平行，又∵，则∥，与题设相矛盾，∴B 正确，C 不正确；在内不过与交点的直线与异面，D 不正确.3.(2012全国理)已知正四棱柱中 ，AB=2，，E 为的中点，则直线与平面BED 的距离为( )．A.2B.C.D.1考查目的：考查直线与平面平行的性质. 答案：D ．解析：连结交于点，连结，∵是的中点，∴，且，∴∥平面，即直线与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做于，则即为所求距离. ∵底面边长为2，高为，∴，，，利用等积法得.二、填空题4.平面∥平面，，，则直线，的位置关系是________.考查目的：考查平面与平面平行的性质. 答案：平行或异面.解析：直线与直线没有公共点，所以直线与平行或异面.5.在正方体中，E 是的中点，则与平面ACE 的位置关系为________.考查目的：考查直线与平面平行的判定.答案：平行.解析：如图，连接AC、BD交于O点，连结OE，∵OE∥，而OE?平面ACE， BD平面ACE，∴∥平面ACE.6.(2011福建文)如图，正方体中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面，则线段EF的长度等于_____________.考查目的：考查直线与平面平行的性质.答案：.解析：∵∥平面，平面，平面平面，由线面平行的性质定理，得.又∵E为AD的中点，∴F是CD的中点，即EF为的中位线，∴.又∵正方体的棱长为2，∴，∴.三、解答题7.(2011天津改编)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点．求证：.考查目的：考查直线与平面平行的判定.解析：连接，.在平行四边形中，∵为的中点，∴为的中点.又∵为的中点，∴.∵平面，?平面，∴.8.如图，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：⑴B，C，H，G四点共面；⑵平面∥平面BCHG.考查目的：考查平面与平面平行的判定．答案：(略).解析：⑴∵GH是的中位线，∴GH∥.又∵∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.⑵∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵=EB且∥EB，∴四边形是平行四边形，∴∥GB.∵平面BCHG，GB?平面BCHG，∴∥平面BCHG.∵EF＝E，∴平面∥平面BCHG.。