22.3实践与探索__(新华东师大版__一元二次方程的应用)
22.3 实践与探索 华东师大版数学九年级上册素养提升练(含解析)
第22章 一元二次方程22.3 实践与探索基础过关全练知识点1 实际应用问题探索1.(2023河南郑州枫杨外国语学校月考)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数为73,则每个支干长出小分支的个数为( )A.7B.8C.9D.102.【跨学科·化学】在某种环境下,气体的体积V(m3)随气压p(kPa)的变化而变化,但二者的乘积等于定值k,即pV=k,V与p之间的变化满足一次函数关系式V=3p-12,求当k=96时气体的气压p的值.3.【数学文化】(2023海南海口中学月考)直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系,在中国称为“商高定理”,在国外又称为“毕达哥拉斯定理”.由此发现三个连续正整数3,4,5,满足32+42=52,即前两个数的平方和等于第三个数的平方.则是否存在五个连续正整数,满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和?若存在,请求出这五个正整数;若不存在,请说明理由.知识点2 列一元二次方程解应用题的常见类型4.【新素材·实时热点】(2023山西省实验中学月考)某市积极响应国家的号召“房子是用来住的,不是用来炒的”,在宏观调控下,商品房成交价由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8 100元,且今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致,则今年4月份的房价为每平方米( )A.7 300元B.7 290元C.7 280元D.7 270元5.【教材变式·P42练习T2】(2023山西晋中介休期中)某超市购进一批商品,单价为40元.经市场调查,销售单价为52元时,可售出180个,销售单价每增加1元,销售量就减少10个,因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180,若超市将准备获利2 000元,则销售单价为( )A.50元B.60元C.50或60元D.100元6.(2023湖南衡阳第十五中学期中)如图,社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场,其布局如图所示,已知停车场的长为26米,宽为14米,阴影部分设计为停车位,要铺花砖,其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为160平方米,则通道的宽是 米.7.【新独家原创】美丽的海滨城市山东威海的海产品非常丰富,某商场经营的一种海产品,进价是30元/kg,根据市场调查发现,每日的销售量y(kg)与售价x(元/kg)满足一次函数关系,下表记录的是某两日的有关数据:x(元/kg)3540y(kg)850800(1)y与x的函数关系式为 (不写自变量的取值范围);(2)在销售过程中销售单价不低于成本价,且不高于80元.某日该商场出售这种海产品获得了14 000元的利润,则该海产品的售价为 元/kg.8.【一题多变】(2023河南周口商水希望初级中学月考)如图,为建设美丽校园,学校准备利用一面围墙和旁边的空地,建一个面积为160平方米的长方形花坛,另三边用木质围栏围成,围栏总长36米,若墙足够长,则花坛垂直于墙的一边长应安排多少米?[变式1](2023湖南衡阳船山实验中学期中)如图,利用一面墙(墙EF最长可利用28 m)围成一个矩形花园ABCD,与墙平行的一边BC上要预留2 m宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙),现有砌60 m长的墙的材料.(1)当矩形的边BC长为多少米时,矩形花园的面积为300 m2?(2)能否围成面积为480 m2的矩形花园,为什么?[变式2](2023吉林长春东北师大附中月考)如图,利用22米长的墙为一边,用篱笆围成一个长方形仓库ABCD,中间用篱笆分割出两个小长方形,在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门,总共用去篱笆34米,为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米,求AB 和BC的长.能力提升全练9.(2022江苏南通中考,6,★☆☆)李师傅家的超市今年1月盈利3 000元,3月盈利3 630元.若从1月到3月,每月盈利的平均增长率都相同,则这个平均增长率是( )A.10.5%B.10%C.20%D.21%10.(2022河南周口郸城模拟,8,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=7 cm.点P从点B开始沿边BA向点A以2 cm/s的速度移动,同时点Q从点C开始沿边CB向点B以1 cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点随即停止.当四边形APQC 的面积为11 cm2时,点P的运动时间为( )A.1 sB.1 s或2.5 sC.2 sD.2 s或5 s11.(2022山西百校联盟模拟,14,★☆☆)如图,在一块长为40米,宽为30米的矩形荒地,小明设计出如图所示上,要建造一个花园(阴影部分),使得花园的面积为荒地面积的34的方案,则图中x的值为 .12.【新定义试题】(2022山西长治模拟,7,★★☆)对于任意一个四位数,若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍,则称这个四位数为“共生数”.例如:四位数2 156,因为2×6=2×(1+5),所以2 156是“共生数”.有一个四位数为“共生数”,它的千位上的数字与个位上的数字相等,百位上的数字比千位上的数字多3,十位上的数字比个位上数字的一半少1,则这个“共生数”的个位上的数字为 .13.(2022山东德州中考,22,★☆☆)如图,某小区矩形绿地的长,宽分别为35 m,15 m.现计划对其进行扩充,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地.(1)若扩充后的矩形绿地面积为800 m2,求新的矩形绿地的长与宽;(2)扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5∶3.求新的矩形绿地的面积.14.(2022贵州毕节中考,25,★★☆)2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A、B 两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价-进货价)A款钥匙扣B款钥匙扣 类别价格 进货价(元/件)3025销售价(元/件)4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数;(2)第一次购进的钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2 200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润?最大销售利润是多少?(3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元?素养探究全练15.【推理能力】(2023山西大同新荣期中)如图为2022年10月的月历表,在其中用一个方框圈出4个数(如图中虚框所示),设这4个数从小到大依次为a,b,c,d.(1)若用含有a的式子分别表示出b,c,d,其结果应为b= ,c= ,d= ;(2)按这种方法所圈出的四个数中,ab的最大值为 ;(3)嘉嘉说:“按这种方法可以圈出四个数,使得bc的值为135.”淇淇说:“按这种方法可以圈出四个数,使最小数a与最大数d的乘积ad为84.”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确.答案全解全析基础过关全练1.B 设每个支干长出x个小分支,由题意得1+x+x2=73,即x2+x-72=0,∴(x+9)(x-8)=0,解得x1=8,x2=-9(舍去),故每个支干长出8个小分支.2.解析 ∵k=96,V=3p-12,∴p(3p-12)=96,∴3p2-12p-96=0,即p2-4p-32=0,分解因式得(p+4)·(p-8)=0,解得p1=-4(舍去),p2=8,即当k=96时气体的气压p的值为8.3.解析 存在,这五个连续正整数为10,11,12,13,14.理由如下:设这五个连续正整数分别为n,n+1,n+2,n+3,n+4,由题意得:n2+(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2+(n+4)2,整理得n2-8n-20=0,解得n1=10,n2=-2(不符合题意,舍去),故这五个连续正整数为10,11,12,13,14.4.B 设今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率为x,根据题意得10 000(1-x)2=8 100,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意,舍去),∴8 100(1-x)=8 100×(1-10%)=7 290,∴今年4月份的房价为每平方米7 290元.5.B 设销售单价为x元,根据题意得(x-40)[180-10(x-52)]=2 000,整理得x2-110x+3 000=0,解得x1=50,x2=60.当x=50时,700-10x=700-10×50=200>180,不符合题意,舍去;当x=60时,700-10x=700-10×60=100<180,符合题意,∴销售单价为60元.6.3解析 设通道的宽是x米,根据题意得(26-2x)(14-2x)=160,整理得x2-20x+51=0,解得x1=3,x2=17(不符合题意,舍去),∴通道的宽是3米.7.(1)y=-10x+1 200 (2)50解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,由表格可知,当x=35时,y=850;当x=40时,y=800,∴35k+b=850,40k+b=800,解得k=―10,b=1 200,∴y与x的函数关系式为y=-10x+1 200.(2)依题意可得(x-30)(-10x+1 200)=14 000,整理得x2-150x+5 000=0,解得x1=50,x2=100,∵30≤x≤80,∴x2=100不符合题意,舍去,∴该海产品的售价是50元/kg.8.解析 设花坛垂直于墙的一边长应安排x 米,根据题意得x (36-2x )=160,解得x 1=8,x 2=10,故花坛垂直于墙的一边长应安排8米或10米.[变式1] 解析 (1)设BC =x m,则AB =60―x +22 m,依题意得x ·60―x +22=300,整理得x 2-62x +600=0,解得x 1=12,x 2=50.∵墙EF 最长可利用28 m,∴x =12,故当矩形的边BC 长为12 m 时,矩形花园的面积为300 m 2.(2)不能围成面积为480 m 2的矩形花园,理由如下:设BC =y m,则AB =60―y +22 m,依题意得y ·60―y +22=480,整理得y 2-62y +960=0,解得y 1=30,y 2=32.∵墙EF 最长可利用28 m,∴y 1=30,y 2=32均不符合题意,舍去,∴不能围成面积为480 m 2的矩形花园.[变式2] 解析 设AB =x 米,则BC =(36-3x )米,依题意得x (36-3x )=96,解得x 1=4,x 2=8,当x =4时,36-3x =24>22(不合题意,舍去);当x =8时,36-3x =12,故AB 的长为8米,BC 的长为12米.能力提升全练9.B 设从1月到3月,每月盈利的平均增长率为x ,由题意可得3 000(1+x )2=3 630,解得x 1=0.1=10%,x 2=-2.1(舍去),故每月盈利的平均增长率为10%.10.C 设当四边形APQC 的面积为11 cm 2时,点P 的运动时间为x s,由题意得PB =2x cm,CQ =x cm,则BQ =BC -CQ =(7-x )cm,由题意得12×6×7-12·2x (7-x )=11,整理得x 2-7x +10=0,解得x 1=2,x 2=5(不符合题意,舍去),∴x =2,即当四边形APQC 的面积为11 cm 2时,点P 的运动时间为2 s,11.10解析 依题意得(40-x )(30-2x )=40×30×1―整理得x 2-55x +450=0,解得x 1=10,x 2=45(不合题意,舍去).12.4解析 设这个“共生数”的个位上的数字为x ,根据题意可得千位上的数字为x ,百位上的数字为x +3,十位上的数字为12x -1,由题意得x 2=2x +3+12x ―1,解得x 1=4,x 2=-1(不符合题意,舍去),即这个“共生数”的个位上的数字为4.13.解析 (1)设将绿地的长,宽都增加x m,则新的矩形绿地的长为(35+x )m,宽为(15+x )m,根据题意得(35+x )(15+x )=800,整理得x 2+50x -275=0,解得x 1=5,x 2=-55(不符合题意,舍去),∴35+x =35+5=40,15+x =15+5=20,故新的矩形绿地的长为40 m,宽为20 m .(2)设将绿地的长,宽都增加y m,则新的矩形绿地的长为(35+y )m,宽为(15+y )m,根据题意得(35+y )∶(15+y )=5∶3,即3(35+y )=5(15+y ),解得y =15,∴(35+y )(15+y )=(35+15)×(15+15)=1 500,故新的矩形绿地的面积为1 500 m 2.14.解析 (1)设购进A 款钥匙扣x 件,B 款钥匙扣y 件,依题意得x +y =30,30x +25y =850,解得x =20,y =10.答:购进A 款钥匙扣20件,B 款钥匙扣10件.(2)设购进m 件A 款钥匙扣,则购进(80-m )件B 款钥匙扣,依题意得30m +25(80-m )≤2 200,解得m ≤40.设再次购进的A 、B 两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w 元,则w =(45-30)m +(37-25)·(80-m )=3m +960.∵3>0,∴w 随m 的增大而增大,∴当m =40时,w 取得最大值,最大值=3×40+960=1 080,此时80-m =80-40=40.答:当购进40件A 款钥匙扣,40件B 款钥匙扣时,才能获得最大销售利润,最大销售利润是1 080元.(3)设B 款钥匙扣的销售价定为a 元/件,则B 款钥匙扣每件的销售利润为(a -25)元,平均每天可售出4+2(37-a )=(78-2a )件,依题意得(a -25)(78-2a )=90,整理得a 2-64a +1 020=0,解得a 1=30,a 2=34.答:将销售价定为每件30元或34元时,才能使B 款钥匙扣平均每天的销售利润为90元.素养探究全练15.解析 (1)a +1;a +7;a +8.(2)观察题图可知a的最大值为23,∴ab的最大值为23×(23+1)=552.(3)嘉嘉的说法错误,理由如下:根据题意得(a+1)(a+7)=135,整理得a2+8a-128=0,解得a1=8,a2=-16(不符合题意,舍去),∵2022年10月8日为星期六,由题图可知不符合题意,∴嘉嘉的说法错误.淇淇的说法正确,理由如下:根据题意得a(a+8)=84,整理得a2+8a-84=0,解得a1=6,a2=-14(不符合题意,舍去),∵2022年10月6日为星期四,由题图可知符合题意,∴淇淇的说法正确.。
22.3 实践与探索 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
例如：如图，将一块正方形的铁皮四角各剪去一个边长
为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的
容积是400 cm3，求原铁皮的边长.若设原铁皮的边长为 x
cm，则可得方程为 （ x －8）2×4＝400 .
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3. 列一元二次方程解决平均增长率问题，可以运用公式
几个人？
解：（2）根据题意，得1＋ x ＋ x （1＋ x ）＝144，
整理，得 x2＋2 x －143＝0，
解得 x1＝11， x2＝－13（不合题意，舍去）.
答：在每轮传染中，平均一个人传染了11个人.
典例导思
（3）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，一
共有多少人感染德尔塔病毒？
解：（3）144＋11×144＝1 728（人）.
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
典例导思
[知识总结]增长（降低）率的问题利用公式 a （1± x ）2
＝ b [其中 a 为初始数量， b 为增（或减）后的数量].
典例导思
4. 两年前生产某种药品的成本是65 400元，现在生产该
种药品的成本是55 300元.设该种药品成本的年平均下降
率为 x ，则可列方程为（ D ）
答：每件衬衫应降价20元.
典例导思
题型二 列一元二次方程解决其他问题
在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比
赛一场，共比赛36场.设有 x 个队参赛，根据题意，可列
方程为（ A ）
A. x （ x －1）＝36
C. x （ x －1）＝36
B. x （ x ＋1）＝36
D. x （ x ＋1）＝36
原九年级数学上册22.3实践与探索课件2(新版)华东师大版
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5．国家实施(shíshī)惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年提高了44%，这两年
该镇农民人均收入年增长率是( Nhomakorabea)B
A．22%
B．20%
C．10%
D．11%
6．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价
的百分率为_________．
20%
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3．商场出售某种冰箱，每台进货价 2500 元，经市场调研表明：当销售 价格为 2900 元时，平均每天售出 8 台，而当销售价每降低 50 元时，平均每 天就能多售出 4 台．若销售价格为 2700 元时，平均每天多售出16_______台， 此时一天一共售出_2_4_____台．
第四页，共14页。
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游(lǚyóu)，共支付给旅行 社旅游(lǚyóu)费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征 的黄果树风景区旅游(lǚyóu)？
解：设共有x名员工，∵27000＞25×1000＝25000，∴人数超过25人，依题意列方 程x[1000－20(x－25)]＝27000，解得x＝30，答：共有30名员工
解：(1)设月平均增长率为x，依题意列方程150(1＋x)2＝216，解得x1＝
1 5
＝20%，x2＝－151(舍去)，∴月平均增长率为20%
(2)(2800－2300)[150＋150(1＋0.2)＋150(1＋0.2)2]＝273000(元)
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12．天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征(tèzhēng)的黄果树风景区旅 游，推出了如下收费标准(如图所示)．
九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.3 实践与探索同步练习3 (新版)华东师大版-(新版)
几何问题与行程问题与一元二次方程1．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一圈金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为____________．2．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2∶1。
已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽是x m．(1)求y与x之间的关系式；(2)如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．3．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．P，Q分别在AC，BC边上，同时由A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1米/秒，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB的面积的一半?4．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P，Q 分别从A，C同时出发，点P以3厘米/秒的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2厘米/秒的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q间的距离是10厘米?5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果点P，点Q同时出发，那么几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？（2）点P，点Q在移动的过程中是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积是△ABC面积的一半，若存在，求出t；若不存在，说明理由.6.李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.你认为他的说法正确吗？请说明理由.7.如图，要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路.下面分别是小亮和小颖的设计方案.（1）求小亮设计方案中甬路的宽度；（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积.（友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x的取值相同）8.小明和同桌小聪在课后复习时，对一道思考题进行了认真的探索.【思考题】如图，一架米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，则B1，22112.50.70.42A C AC AA=-=-=.而A1B1，在Rt△A1B1C中，由2221111B C AC A B+=得方程_____________，解方程得x1＝_____________，x2＝_____________，∴点B将向外移动_____________米.（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：①在“思考题”中，将“下滑米”改为“下滑米”，那么该题的答案会是米吗？为什么？ ②在“思考题”中，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题.9.随着铁路客运量的不断增长，某地火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程.其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月.（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元.在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程.在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，最多安排甲队施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）参考答案1．(50＋2x )(30＋2x )＝1800．2．分析：(1)y ＝240x 2＋180x ＋45；(2)y ＝195时，45,2121-==x x (舍去)． ∴这面镜子长为1m ，宽为.m 213．分析：设x 秒后△PCQ 的面积为△ACB 的面积的一半． 依题意，12,2.216821)6)(8(2121==⨯⨯⨯=--x x x x (舍)． 即2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 的面积的一半．4．分析：设P ，Q 两点开始出发到x 秒时，P ，Q 距离为10cm ．(16－3x －2x )2＝102－62．⋅==524,5821x x ∴出发58秒或524秒时，点P ，Q 距离为10cm ． 5.解：（1）设ts 后△PCQ 的面积为8cm2，由题意得 ()12682t t ⋅-=，即t 2－6t+8＝0， 解得t 1＝2，t 2＝4，即2s 或4s 后△PCQ 的面积为8cm 2. （2）由题意得()1112668222t t ⋅-=⨯⨯⨯，即t 2－6t+12＝0，∆＝36－48＝－12<0，方程无解，所以不存在这样的时刻，使得△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半.6.解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm ，则另一个正方形的边长为(10－x)cm ，由题意得x 2+(10－x)2＝58.解得x 1＝3，x 2＝7，∴这两个正方形的周长分别为4×3＝12（cm ），4×7＝28（cm ）， ∴李明应该把铁丝剪成12cm 和28cm 的两段.（2）李明的说法正确.设其中一个正方形的边长为ycm ，则另一个正方形的边长为(10－y)cm ，由题意得y 2+(10－y)2＝48，整理得y 2－10y+26＝0，∵∆＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，∴此方程无实数根.即这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2.∴李明的说法是正确的.7.解：（1）根据小亮的设计方案列方程，得(52－x)(48－x)＝2300. 解这个方程，得x 1＝2，x 2＝98（舍去）. ∴小亮设计的方案中甬路的宽度为2m.（2）如图，作AI ⊥CD ，HJ ⊥EF ，垂足分别为I ，J. ∵AB ∥CD ，∠1＝60°，∴∠ADI ＝60°.∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形，∴BC＝AD．由（1）得x＝2，∴BC＝HE＝2m＝AD．AI=m.在Rt△ADI中，利用勾股定理可得3HJ=.同理可得3∴小颖设计的方案中四块绿地的总面积为()2524852248232299⨯-⨯-⨯=（m2）.（1）要求出点B向外移动的距离，即求BB1的长，直接把B1C，A1C，A1B1的值代入进行解答即可.（2）把（1）中的换成可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，由题意列方程，根据求出x的值是否符合题意进行判断.解：（1）(x+0.7)2x=或（舍去）故x=（2）①不会是米，若AA1＝BB1，则A1，B1，22，2，∵A1C2+B1C2≠A1B12，∴该题的答案不会是米.②有可能.设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x+0.7)2+(2.4－x)22，解得或x＝0（舍）.∴当梯子顶端从A 处下滑米时，点B 向外也移动米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等.9.解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x 个月，则乙队单独完成这项工程需要(x －5)个月，由题意得x(x －5)＝6(x+x －5)，整理得x 2－17x+30＝0.解得x 1＝2，x 2＝15，x ＝2不合题意，舍去，故x ＝15，x －5＝10.答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月. （2）设在完成这项工程中甲队做了m 个月，则乙队做了2m个月，由题意知，乙队每月的施工费为150万元，根据题意列不等式，得10015015002mm +⋅≤. 解得487m ≤.∵m 为整数，∴m 的最大值为8.答：最多安排甲队施工8个月才能使工程款不超过1500万元.。
九年级数学上册 22.3 实践与探索教案 (新版)华东师大版
22．3 实践与探索第1课时利用一元二次方程解决面积、经济类问题【知识与技能】在已有的一元二次方程学习的基础上，知道现实生活中的一些数量关系，能够对生活中的实际问题转化为数学模型，利用一元二次方程解决实际问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效模型．【过程与方法】通过自主探索和合作交流，发现问题、提出问题并尝试解决问题，经历和体验数学发现的过程，培养学生的数学应用能力．【情感态度】在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性，在发现的过程中提高思维品质．【教学重点】列一元二次方程解决实际问题．【教学难点】寻找实际问题中的相等关系，并分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案．一、创设情境，导入新知问题1：小明家里要建如图所示的一个长方形鸡场，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35 m，所围的面积为150 m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少呢？问题2：某服装商场将每件进价为30元的内衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，经过试销发现，若每件内衣涨价10元，其销量就减少10件，为了实现每月8700元的销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？[解决此类问题要明确的关系式：商品利润＝每件商品利润×销售件数＝(售价－进价)×销售件数]出示问题，教师倾听学生的交流，指导学生探究，重点关注学生能否找到解决问题的正确方案，帮助分析并提示学生要考虑问题的实际情况．学生分组讨论，交流合作，探求方法，并完成问题．二、合作探究，理解新知探究问题一：与面积有关的问题例1：某林场计划修一条长750 m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2，上口宽比渠深多2 m，渠底比渠深多0.4 m.(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？(2)如果计划每天挖土48 m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m ，则上口宽为x ＋2，渠底为x ＋0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：(1)设渠深为x m ，则渠底为(x ＋0.4) m ，上口宽为(x ＋2) m ，依题意，得：12(x ＋2＋x ＋0.4)x ＝1.6， 整理，得：5x 2＋6x －8＝0，解得：x 1＝45＝0.8，x 2＝－2(舍去)． ∴上口宽为2.8 m ，渠底为1.2 m.(2)1.6×75048＝25天． 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8 m 和1.2 m ；需要25天才能挖完渠道．教师可现场让学生画出图形，点拨问题，引导学生，总结结论．探索思考(1)解决面积问题的关键是什么？(2)怎样快速而准确地解决这类型的题目？引导、点拨、教师点评：准确画出几何图形是解决几何问题的关键．先自主探索，再小组合作，交流总结．探究问题二：与经济有关的问题例2：某水果批发商经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？师生互动分析：本题中涉及的关系有总利润、每千克的利润及销售量的关系、涨价与销售量的关系，因此，涨价与总利润之间有变化关系，设每千克应涨价x 元，为了清楚地说明它们之间的关系列表如下：由学生完成解答过程，并根据题意(商场每天盈利，同时又要顾客得到实惠)对答案进行取舍．老师提问题：如果不这样设未知数(设每千克应涨价x 元)，设间接未知数又怎样来解决这些问题呢？学生分组讨论，展示结果，师生共同点评．本题是日常生活中经常遇到的商品经营问题．把其中的已知量与未知量之间的关系，用方程这种工具来表达时，就建立了它的数学模型，转化纯数学知识，通过解方程达到了解决问题的目的．互动训练1．要学生独自完成“创设情境”提出的问题，并展示解题过程．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售2件．(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？解：(1)故列方程为：(20＋2)(40－)＝1200，整理得：________________，解之得：x1＝________，x2＝________．因为要尽快减少库存，所以x1＝________(舍去)．(2)这个问题的解决由学生通过分组讨论，找到答案，最后师生共同点评，老师通过此题把二次函数的思想透露给学生，激起学生的求知欲，为以后进一步学习二次函数打下伏笔．三、尝试练习，掌握新知1．教材第40页练习第1、2题．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．四、课堂小结，梳理新知1．构建一元二次方程数学模型，通过审题弄清实际问题中已知量与未知量之间的关系是构建数学模型、解决实际问题的关键．2．注重解法和验根．在具体问题中要注意恰当地选择解法，以保证解题过程简单流畅，特别要注意对方程的解进行检验，根据实际情况作出正确取舍，以保证结论的准确性．3．在解决利润方面问题时，常用的关系式有：商品利润＝每件商品利润×销售件数＝(售价－进价)×销售件数．售价＝进价×(1＋利润率)．总利润＝每件商品利润×销售数量＝收入－总支出．五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．教材第42页习题22.3的第1、3、4、5题．第2课时用一元二次方程解决增长率及其他问题【知识与技能】1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．【过程与方法】1．经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．2．通过解决平均增降率问题，学会将实际问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．【情感态度】通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．【教学重点】列一元二次方程解有关平均增降率问题的应用题．【教学难点】发现平均增降率问题中的等量关系．一、创设情境，导入新知问题：1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为60000 kg，第二年的产量为________kg，第三年的产量为________，三年总产量为________．2．某糖厂2015年食糖产量为a吨，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2017年的产量将是________．教师给出题目，学生口答，教师点评．二、合作探究，理解新知例题讲解例：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000元，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面通过计算来说明．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5000(1－x)2元，依题意，得5000(1－x)2＝3000，解得x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去)．设乙种药品成本的年平均下降率为y，则6000(1－y)2＝3600，解得y≈0.225.答：两种药品成本的年平均下降率一样大．思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？学生分组讨论解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意的问题．教师演示问题，指导解答，总结规律．三、尝试练习，掌握新知1．教材第40页练习第3题．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．四、课堂小结，梳理新知本节课你学到了什么知识？你感受最深的是什么？五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．教材第42～43页习题22.3的第2、6题．。
九年级数学上册 22.3 实践与探索教案1 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九年级上册数学
实践与探索教学内容：课本Ｐ38页~Ｐ４０页。
教学目标：１、通过具体的实例，建立起用一元二次方程解决实际问题的方法体系；２、利用平移改变图形的组合方式，从而突出本质特性；３、形成率类问题的解题经验；教学重点：应用题的分析方法；教学难点：找等量关系；教学准备：课件教学方法：讲授法一、练习１、不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积；（１）(x+１)(x-２)=２(２) ３x２+７x=６，求方程的另一个根和m的值。
２、已知方程３x２-５x+m=０的一个根是22二、学习１、学习问题１：学校生物小组有一块长３２cm，宽２０cm的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道。
要使种植面积为５４０m２，小道的宽是多少？分析：设小道宽为xcm，则两条小道的面积分别为３２xm２和２０m２,其中重叠部分小正方形的面积为x２m２.解：设小道宽为xcm，根据题意，得３２×２０－３２x－２０x+x２＝５４０整理，得x２-５２x+１００=０(x-５０)(x-２)=０解得：x１=５０(舍去), x２=２答：小道宽为２m。
如果设想把小道平移到两边，如图所示，小道所占面积不变。
种植面积就是一个矩形，矩形的长为（３２－x）m，宽为（２０－x）m，于是可以列出方程：（３２－x）（２０－x）＝５４０２、学习问题２：某药品经过两次降价，每瓶零售价由５６元降为３１.５元。
已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
分析：设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为56（１－x），第二次降价后的价格为５６（１－x）(１-x)=５６（１－x）２;解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得５６（１－x）２解这个方程，得x１=0.25, x２=1.75.因为降价的百分率不可能大于１，所以x２=1.75不符合题意。
经检验，x=0.25=２５%符合题要求。
答：每次降价的百分率为25%。
３、例１、（2016某某Ｂ卷）近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．分析：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；（2）设5月20日两种猪肉总销量为m千克，根据题意列出方程，解方程即可．时间单价（元/千克）数量（千克）金额（元）５月２０日４０m ４０m５月２１日４０m（1+a%）×４０（1+a%）×４０（１－a%）m（1+a%）×４０（1+a%）×解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，解得：x≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；（2）设5月20日两种猪肉总销量为m千克；根据题意得：40m（1﹣a%）×（1+a%）+40×m（1+a%）=40m（1+a%），令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+y），整理得：5y2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20；答：a的值为20．练习：课本Ｐ４０页第３、４题；三、小结１、学生小结；２、老师小结。
22.3实践与探索课件华东师大版数学九年级上册
为起始量， 为终止量， 为增长（或降低）的次数，平均增长率公式： （ 为平均增长率）；平均降低率公式： （ 为平均降低率）.
常见问题
等量关系
利润问题
利润 售价-进价；利润率 ；售价 进价 （ 利润率）；总利润 总售价-总成本 单件利润×总销量.
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点1：几何图形的面积问题.
★★★★
选择题、填空题或解答题
考点2：平均增长率（降低率）问题.
★★★
解答题
考点3：商品销售问题.
★★★★
解答题
考点1 几何图形的面积问题
考点2 平均增长率（降低率）问题
典例4 000万元，2021年投入资金1 440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.
数字问题
若一个两位数的十位上的数字是 ,个位上的数字是 ，则这个数可以表示为 ；若一个三位数的百位上的数字是 ,十位上的数字是 ，个位上的数字是 ，则这个数可以表示为 .
续表
常见问题
等量关系
传播问题
设 为传染源， 为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为 .
循环问题
单循环，如握手问题、单循环赛（每两队之间打一场比赛）等，进行的次数为 ；双循环，如互赠卡片问题、双循环赛（每两队之间打两场比赛）等，进行的次数为 .
销售价（元/件）
45
37
第22章 一元二次方程
实践与探索
学习目标
1.掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤.2.能正确分析问题中的数量关系，列出一元二次方程求解，并能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理.3.通过对实际问题中数量关系的探索，进一步体验“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.
九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.3 实践与探索(一)教案 (新版)华东师大版
实践与探索课题名称实践与探索（一）三维目标1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。
3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
重点目标利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题难点目标学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案导入示标能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题目标三导学做思一：小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？ （长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？ （长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。
4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。
（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为381181cm ⨯=）5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。
九年级数学上册第22章一元二次方程22.3实践与探索教案新版华东师大版
22．3 实践与探索使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程．重点列一元二次方程解决实际问题．难点寻找实际问题中的等量关系．一、情境引入问题1 学校生物小组有一块长32 m，宽20 m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540 m2，小道的宽应是多少？问题2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．二、探究新知教师引导学生分析解决问题，并让学生一题多解，同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义．问题1 【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为540 m2来列方程，设小道的宽为x m，如何来表示种植面积？方法一：如图，由题意得32×20－32x－20x＋x2＝540.方法二：如图，采用平移的方法更简便．由题意可得(20－x)(32－x)＝540，解得x1＝50，x2＝2，由题意可得x<20，∴x＝2.问题2 【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了，即原价56元经过两次降价降为31.5元，设每次降价的百分率为x，由题意得56(1－x)2＝31.5，解得x1＝0.25，x2＝1.75(舍去)．三、练习巩固1．青山村种的水稻前年平均每公顷产量为7200 kg，今年平均每公顷产量为8450 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．2．用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm2.(1)求此长方形的宽；(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？如能，说明围法；(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大，最大面积为多少？四、小结与作业小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义．2．用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有a(1±x)n＝b(常见n＝2)．布置作业从教材相应练习和“习题22.3”中选取．本课时从创设情境入手，让学生体会数学建模思想，学会分析问题并利用一元二次方程解决实际问题，举一反三，培养学生的创新意识和实践能力，同时通过合作交流培养学生参与合作的意识．。
华东师大版初中数学九年级上册第22章一元二次方程22.3.1实践与探索（三）教案
华东师大版初中数学九年级上册第22章一元二次方程22.3.1实践与探索（三）教案预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制22.3.1实践与探索(三)教学目标：1、引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。
2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从发现问题，发现关系的过程。
3、在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。
重点难点：1、重点：启发学生，观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系，猜想一般性质、指导学生用求根公式加以确证。
2、难点：对根与系数这一性质进行应用。
教学过程：一、提出问题解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？（1）x2－2x＝0；（2）x2＋3x－4＝0；（3）x2－5x＋6＝二、尝试探索，发现规律1、完成如上表格。
2、猜想一元二次方程的两个解的和与积和原来的方程有什么联系？小组交流。
同学各抒已见后，老师总结：两个根的和等于一元二次方程的一次项系数的相反数，两个根的积等于一元二次方程的常数项。
3、一般地，对于关于x方程20(,x px q p q++=为已知常数，240)p q-≥，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1?x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致。
解：2222212222212444444444b ac p qp p qxp p q p p qx xp p q p p q p p q p p qx x p -=--±-=-+----==-+-----+----+===-222221244()(4)224p p q p p q p p q x x q +-----+-?=?==所以与上面猜想的结论一致。
九年级数学上册 第22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 22.3.1 实践与探索导学案 (新版)华东师大版
22.3.1 实践与探索【学习目标】1、使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.2、通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活,通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力,经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤3、通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
【学习重难点】建立数学模型，找等量关系，列方程.【学习过程】一、课前准备1、列方程解应用题的步骤是什么？2、解方程的方法有几种？通常如何进行选择？3、请同学们总结列一元二次方程解应用题的步骤。
二、学习新知自主学习：问题1、学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2，问道路的宽为多少m？分析1：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图22.3.1，不难发现小道的占地面积与位置无关，设小道宽为x m，则两条小道的面积分别为32xm2和20 xm2，其中重叠部分小正方形的面积为x2 m2，根据题意，得32×20-32x-20x+x2=540分析2：如果设想把小道平移到两边，如图22.3.2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，所列方程是否符合题目要求？处理问题是否方便些？在应用一元二次方程解决实际问题时，与应用一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决，求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答。
探究课本39页问题2分析：若每次降价的百分率为x，则第一次降价后的零售价为原来的（1-x）倍，即56（1-x）元，第二次降价后的零售价为56（1-x）的（1-x）倍。
根据题意，得方程56（1-x）2=31.5 归纳：通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？归纳：以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．实例分析：例1、学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2，问道路的宽为多少m？解：例2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.解：【随堂练习】1、一个长方体的长与宽的比为5：2，高为5厘米，表面积为40平方厘米。
九年级数学上册第22章实践与探索3用一元二次方程解一般应用问题说课稿新版华东师大版
九年级数学上册新版华东师大版:用一元二次方程解一般应用说课稿今天我说课的内容是华师版初中数学九年级上册第22.3节《用一元二次方程解一般应用》的第3课时实践与探索。
它是继几何问题、营销问题这几个基本问题的学习后的探索活动课，对于本节课我将从教材分析与学生现实分析、教学目标分析，教法的确定与学法指导，教学过程这四个方面加以阐述。
（一）教材分析与学生现实分析一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。
本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
一元二次方程解实际问题的应用相当广泛，在几何、物理及其他学科中都有应用，因此它成为了初中数学学习的重点。
这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。
本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。
对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，这就构成了本节课的难点。
数学新课程标准要求：人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
我根据新课标对方程的具体要求和初三学生的认知的特点，确定了如下教学目标的:1、知识与技能：能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
以一元二次方程解决实际问题为载体，加强学生对数学建模的基本方法的掌握。
2、过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
22.3.3实践与探索__(新华东师大版__一元二次方程的应用)
解得 x1=0.2，x2=-2.2
检验：因为 x2=-2.2＜0不符合题意，舍去. 所以 x1=0.2=20%.
答:这两年的年平均增长率为20%．
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降 为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每 次降价的百分率.
分析：若每次降价的百分率为x,
2.水果店花1500元进了一批水果，按50% 的利润定价，无人购买。决定打折出售，但 仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经 结算，这批水果共盈利500元。若两次打折 相同，每次打了几折？
作业
3.为了绿化学校附近的荒山，某校 初三年级学生连续三年春季上山植 树，至今已成活了2000棵。已知 这些学生在初一时种了400棵，若 平均成活率95%，求这个年级每年 植树的平均增长率？
答：每次降价的百分率为25%。
2.问题4中，（1）翻一番是什么意思？设原 值为1，方程应该如何列？设原值为A，方程 又应该如何列？
（2）若调整计划，两年后的财政净收入值 为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的 平均年增长率相应地调整为多少？
又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么 第一年的增长率为多少时可以实现市财政净 收入翻一番？
(2)设：理清题意下设未知量(分为直接与间接设)； (3)列：根据等量关系列出方程（组）； (4)解：解就是解所列的方程（组）求出未知量； (5)验：是指检验所求的解是否符合方程及题意，并
把不符合题意的解（曾根）舍去； (6)答：即写出答案，一般为所问，注意单位。
作业
1.一块长30米、宽20米的长方形操场，现要 将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状， 问长和宽各应增加多少米？
第一次降价后 每瓶零售价为 56(1 x) 元
九年级数学上册 22.3 实践与探索小组合作探究素材 (新版)华东师大版
实践与探索
小组合作，探究新知
1、传播问题
（1）若A同学患流感每轮能传染3人，受感染的其他同学也每轮以相同的速度传播。
则第一轮传染过后共有人患流感，第二轮过后共
有人患流感。
【设计意图：由具体的问题并配合具体的数字，简单的推导从而激起学生的兴趣，多媒体辅助演示将找规律的难点分开化解。
】
（2）咱班60位同学，照这样的速度几轮后就全部“牺牲”了？
【设计意图：此问让学生直观感性地认识到传播是以几何级数递增，速度非常快，从而让学生明白预防传染病的重要性，这样增加了数学课堂的人文教育，让学生不但学到知识，更能明白知识对生活的指导作用。
】
接下来将问题一般化：（3）若一人患流感每轮能传染x人，则第一轮传染过后共
有人患流感，第二轮过后共
有人患流感。
若按照这样的传染速度N轮后有多少人患流感？
最后教师利用多媒体引导学生总结出传播N轮后的传播总数为：。
【设计意图：这样设计体现了知识的传递性，由特殊到一般，提高学生的数学思维。
】
有了这些铺垫后，出示
探究1：有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人？
学生能很快列出两轮传播的方程 =121，解出x1=10; x2=-12，根据实际意义x2=-12舍去。
顺利突破教学难点。
1。
九年级数学上册 22.3 实践与探索《一元二次方程》复习指导与考点例析素材 (新版)华东师大版
《一元二次方程》复习指导与考点例析【本章概述】一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位，它和二次函数的联系非常密切.这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方，是历年各地中考的必考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例.考试中不仅基础题会考查，更重要的是后面的综合题也会重点考查，一般以函数等知识为背景进行综合考查，因此同学们应对这部分内容予以高度重视.【课标要求】1.了解一元二次方程的概念，对本章所学的解一元二次方程的配方法、公式法、分解因式法有个全面的了解，会合理选择方法解具体的一元二次方程，并在解方程的过程中体会转化等数学思想.2.能够利用一元二次方程的有关知识解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.3.理解一元二次方程的根的判别式，会根据判别式判别一元二次方程的根的情况(注：本部分内容虽然不作为考试重点，但对同学们今后的学习非常重要，一定要认真复习).【知识网络】【知识要点解读】1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式：20ax bx c ++=(0a ≠).(1)判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程(即含有未知数的式子是整式).三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程.(2)20ax bx c ++=(a ，b ，c 为常数，0a ≠)称为一元二次方程的一般形式，其中0a ≠是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程. 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆.2.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是降次，一般可采用下面几种方法：(1)配方法①基本思路先将方程转化为2()x m n +=的形式(它的一边是一个关于x 的完全平方式，另一边是一个常数)，再利用平方根的定义求解.当0n ≥时，两边开平方便可求得方程的根；当0n <时，方程在实数范围内无解，因为负数没有平方根.②配方步骤：化：.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；移：移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；配：配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式； 求：若0c ≥，两边同时开平方，求得方程的解；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解.注意：“在方程的两边都加上一次项系数一半的平方”的前提是二次项系数为1.(2)公式法①求根公式：一般地，对于一个一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)，当240b ac -≥时，它的根是2b x a-±=. ②基本步骤：化：将方程化为一般形式：200ax bx c a ++=≠（）；定：正确确定a b c 、、的值；求：代入公式2b x a-=求解，若240b ac -≥则方程有实数根，若240b ac -<则方程无实数解即无解.(3)因式分解法①基本思想：利用“若0a b =，则0a =或0b =”的性质求方程的根.②基本步骤：化：将方程的右边化为零；分：将方程的左边分解为两个一次因式的积；转：令每个因式分别为零，转化为两个一元一次方程；解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.③注意事项：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积的形式时，可用分解因式法.用此法解方程时，要深入观察方程的特点，并且要对分解因式的方法非常熟练.解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法.公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础(公式法是直接利用了配方法的结论).分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程.掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本.一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法.没有特别说明，一般不用配方法.3.一元二次方程的是实际应用方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义.利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性.列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；设：设元，也就是设未知数；列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；答：写出答语.相等关系的寻找应从以下几方面入手：①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确(v t s =). ②注意总结各类应用题中常用的等量关系.如工作量(工程)问题.常常是以工作量为基础得到相等关系(如各部分工作量之和等于整体1等).③注意语言与代数式之间的转化.题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式.④从语言叙述中寻找相等关系.如甲比乙大5应理解为“甲=乙＋5”等.⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键.【复习指引】1.配方法、公式法、分解因式法分别适用于解不同特点的方程，具体求解时，应在观察方程特点和综合考虑各种方法适用范围的基础上合理选择解方程的方法.2.在用一元二次方程解决实际问题的过程中，要抓住问题的数学本质，尽量避免实际情境的干扰；同时要明确：数学问题与实际问题的区别.在用方程知识解决完实际问题后，一定要检验所求结果是否符合实际情况，对不适合实际情况的解一定要舍去；同时对适合实际情况的解绝对不能丢掉.【考点例析】考点一：一元二次方程的定义构成一元二次方程的条件：①必须是整式方程；②二次项系数不能为0；③只含有一个未知数；④未知数的最高次数是2.只有同时具备这三个条件的方程才是一元二次方程.例1.(甘肃)下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )(A)23(1)2(1)x x +=+ (B)21120x x +-= (C)20ax bx c ++= (D)2221x x x +=-析解：由一元二次方程的判定条件可知：(B)不满足条件①，(C)不满足条件②，(D)不满足条件②，只有(A)同时满足这几个条件.故选(A).考点二：一元二次方程的相关概念基本形式：20ax bx c ++=(0a ≠)；其中2ax bx c 、、分别叫做二次项、一次项、常数项，a b ，分别称为二次项系数和一次项系数.例2.①(吉林)将方程2352x x =+化为一元二次方程的一般形式为___________. ②(吉林)一元二次方程22410x x +-=的二次项系数、一次项系数及常数项之和为___________.析解：①为23520x x --=(莫忘移项要变号)；②为5，要特别注意项和系数的符号. 考点三：方程根的定义及其应用若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根，则必有2000ax bx c ++=，反之，若2000ax bx c ++=，则0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，这就是一元二次方程根的定义.利用这个根的定义解题时，要特别注意二次项系数不为0的条件.例3.①(兰州)已知m 是方程x ２－x －1＝0的一个根，则代数m ２－m 的值等于( )(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2②(北京海淀)关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为( )(A)1 (B)－1 (C)1或－1 (D)12析解：①选(C)；②根据方程根的定义，将0x =代入原方程中，则原方程变形为关于a 的一元二次方程：210a -=，1a =±，又由于10a -≠，1a ≠，所以1a =-，应选(B).本题极易忽视二次项系数10a -≠这一内含条件，容易错选为(C).因此解这类题目时，若二次项系数中含有字母已知数，一定要使其不为0.考点四：一元二次方程的解法直接开平方法：课本上虽然没有介绍，但这是解一元二次方程的一种方法，它建立在数的开方的基础上，当把方程整理成2()x m n -=的形式时，就可以用此法求解.但要注意当0n <时，方程无实根；配方法：它建立在直接开平方的基础上，将方程20ax bx c ++=(0a ≠)的左边恒等变形为2()a x m n ++的形式，从而整理得2()x m k +=，通过开平方法求得方程的根.它适用于任何一个有解的一元二次方程，而且在今后的学习和复习中，它始终是一种很重要的思想方法；公式法：它适用于任何一个有解的一元二次方程.公式法抓住了配方法的结论，使其公式化，变求解问题为已知a b c 、、因式分解法：对于系数比较特殊的一元二次方程，用因式分解法求解比较快捷，其实质就是降次法.它将一元二次方程化为一元一次方程来求解.这四种方法既有区别，又有联系.公式法比配方法简单，但不如直接开平方法和因式分解法快捷，在具体解方程时，要根据题目的特点，选择适当的方法求解.一般顺序为先特殊后一般.即直接开平方法→因式分解法→公式法，没有特别说明一般不采用配方法.例4. (福州)解方程：24810x x ++= .解析：本题可用公式法或配方法求解，答案：12x =-±考点五：一元二次方程在实际中的应用一元二次方程的应用常常以当今社会所关注的热点问题和焦点问题为素材，这类问题虽然贴近生活，却不拘一格.因此，平时热心关注社会、积累生活经验是学好本部分内容的一个前提，在较复杂的社会背景中，运用方程的思想，寻找等量关系式，列出方程，是解题的一个关键.下面就近几年的中考试题中选取几道典型的经典考题，加以评析，供参考.例5. (常州)春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解：设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景取旅游.因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人，可得方程[100020(25)]27000x x --=.解得145x =，230x =.当145x =时，1000－10(x －25)=600＜700，故舍取1x ；当230x =时，1000－10(x －25)=900＞700，符合题意；答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.例6.(黄冈)黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天售出20件，每件赢利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上赢利1 200元，那么，每件童装应降价多少元？误解：设每件童装应降价元，依题意，得(40)(202)1200x x -+=，整理，得2302000x x -+=.解得121020x x ==，.答：每件童状应降价10元或20元.剖析：从表面上看，本题的解答天衣无缝，但本题要求在赢利相同的情况下，尽快减少库存，就是使童装尽快地销售.因为每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则降价20元比降价10元卖的多，可尽快减少库存，故正确答案应为每件童装降价20元.说明：随着市场经济的发展，经济决策型应用题逐渐成为各地中考题的新宠，这类应用题与实际生活密切相关，解题时一定要全面考虑题设条件，要对题意进行检验，使求解出来的根不仅适合方程，也得符合题意.考点六：创新题展示例7. (茂名)先阅读，再填空解题：(1)方程：x 2-x-2=0 的根是：x 1=-3, x 2=4，则x 1+x 2=1，x 1·x 2=12；(2)方程2x 2-7x+3=0的根是：x 1=12, x 2=3，则x 1+x 2=72，x 1·x 2=32； (3)方程x 2-3x+1=0的根是：x 1= , x 2= .则x 1+x 2= ，x 1·x 2= ；根据以上(1)(2)(3)你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0(m ≠0且m 、n 、p 为常数)的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2、x 1、x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.分析：近几年来，以一元二次方程为背景的探索创新题不断涌现，这类问题形式新颖、富有趣味性，极好地考查了同学们的发散思维能力和开拓探究能力.本题难度不大，属中等题.解：(3)1x =，2x =123x x +=，121x x ⋅=. 猜想：12nx x m +=-，12px x m ⋅=.∵一元二次方程mx 2+nx+p=0(m ≠0且m 、n 、p 为常数)的两实数根为：∴1x =，2x =，∴12x x +=22n nm m -==-.12x x ∙=222(4)4n n mp p m m --===.。
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0.92
D 1.12×1000元
1000 元 C 1.12
2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几?
解 设平均每次降价x%，由题意得 4(1-x%)2=2.56
3.某公司计划经过两年把某种商品的生 产成本降低19%，那么平均每年需降 低百分之几?
解 设平均每年需降低x%，由题意得 (1-x%)2=1-19%
4.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计 到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年 平均增长率.
解 设这两年的年平均增长率为x,由题意得 5(1+x)2=7.2
5.某公司一月份的营业额为100万元，第一 季度总营业额为331万元，求二、三月份 平均每月的增长率是多少？
x
32
20
解: 如图，设道路的宽为x米， 20m 2 32 x 米 则横向的路面面积为 ， 2 20 x 米 纵向的路面面积为 。
x米
32m
32 20 32 x 20 x x 则有：
2
2
540
0 x 32
x 52x 100 0, x1 2, x2 50
三月份的利润是_____元.
a(1+x)2
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降 为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每 次降价的百分率.
分析：若每次降价的百分率为x, 第一次降价后 每瓶零售价为 56(1 x ) 2 元 第二次降价后 每瓶零售价为 56(1 x) 元
解：设每次降价的百分 率为x, 则根据题意得
1.用一元二次方程解决较简单的几何问题 （面积、周长、体积......）
问题1
学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田， 为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各 开辟一条等宽的小道要使种植面积为540m2 ，问道 2 路的宽为多少m？
（1）题目中的已知量和未知量分别是什么? （2）题目中相等关系式什么? （3）设道路宽为x米，则横向小道的面积为 纵向小道的面积为 ，重叠部分面积为 x 由此可列方程：
x1 0.25 、x2 1.75 56(1 x) 31.5 解这个方程得
2
因为降价的百分率不可 能大于1，所以x2 1.75 不符合题意，经检验 x 0.25 25%符合本题要求 答：每次降价的百分率 为25%。
新兴电视机厂由于改进技术， 降低成本,电视机售价连续两次降 价10﹪,降价后每台售价为1000元, 问该厂的电视机每台原价应为 ( ) B 1000元
2、反之，若为两次降低，则 平均降低率公式为 a(1-x)2=b
解 设二、三两月的平均增长率为x,由题意得 100+100(1+x)+100(1+x)2=331
总结: 1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2 若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b 则 第1次增长后的量是a(1+x) =b 第2次增长后的量是a(1+x)2=b …… 第n次增长后的量是a(1+x)n=b 这就是重要的增长率公式.
解得：x1 2、x2 50
0 x 32
x2 50不符合题意，经检验 x 2符合题意
答：小道的宽应是 2米。
归纳：列方程解应用题的一般步骤 第一步：分析题意 （弄清题意和题目中的已知数、
未知数，用字母表示题目中的一个未知数；）
第二步：抓住等量关系
第三步：列出方程
第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：检验（检查求得的答数是否符合应用 题的实际意义）
22.3实践与探索
一、复习 列方程解应用题的一般步骤？
第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数， 用字母表示题目中的一个未知数；
第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等 关系； 第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式 （简称关系式）从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的 实际意义后，写出答案（及单位名称）。
Hale Waihona Puke x2 50不符合题意，经检验 x 2符合题意
答：所求道路的宽为2米。
试一试：
如果设想把小道平移到两边，如 图，小道所占的面积是否保持不 变？
20 m 32m
不变
问题1有了另一种解法，将四小块地合成一个整体来解决问题
解：设小道的宽为x米，根据题意得：
32 x 20 x 540
第六步：答
2.用一元二次方程解决较简单的增降率问题
知识装备:
1.某商店一月份的利润是500元，如果平 均每月利润的增长率为10﹪. 则二月份的利润是_____元. 500(1 10%)
三月份的利润是_____元.
500(1 10%)
2
2.某商店一月份的利润是a元，如果平均 每月利润的增长率为 x . 则二月份的利润是_____元. a(1+x)