频率与概率(一)
频率与概率的关系
频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
第1页共1页。
频率与概率
一、操作感知、建立表象1.提出问题：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都为a，向此平面任投一长度为l（l<a）的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交。
相交和不相交的可能性相同吗？你能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗？2.建立实验方案：实验用具：（1）桌子，（2）铁针若干枚，长度要求相同，粗细一致，表格。
注意：每位同学的针都一样。
实验方法：（1）将学生分成两人一组，利用课堂上的桌子，用粉笔画出等距离a的7条平行线。
（2）要求学生从一定高度随意抛针，保证投针的随意性；组内同学分工如下：一位投针，一位记录。
注意问题：在实验中有时针与线是否相交较难判断，采取的方法：（1）忽略这次实验；（2）认为相交、不相交各计半次，等等。
（3）每个小组投针200次，而后将各数据填入表格。
（4）将各组数据进行累加，估计该事件发生的概率。
学生安上述实验方案进行实验。
自主合作交流，汇总数据，探究问题的结果。
二、随堂练习课本随堂练习 1三、课堂总结1.在开展本节课实验中，你能得出哪些结论？2.联系前几节的实验，你得到哪些启示？3.你对在实验中的合作交流，动手操作，用何实践体会？有什么建议？【作业设计】课本习题6.3 1. 试一试【板书设计】【教学内容】生日相同的概率（一）【教学目标】1．经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
2．能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。
3．体会统计、实验、研讨活动的应用价值。
【教学重点】掌握实验方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。
【教学难点】对复杂事件发生的概率的体验。
【教学用具】）铁针若干枚【教学方法】合作交流法【教学过程】一、创设情境、激趣揭题情境导入：1.找出班上今天生日的学生，为他过个生日，将课堂气氛浓厚起来。
2.导入主题：400个同学中，一定有2个学生的生日相同（可以不同年）吗？300个同学呢？学生为班上过生日的同学唱“生日之歌”，活动后进入主题思考。
高中数学北师大版 必修一 频率与概率 课件
合 作 探
很大时，可以将事件 A 发生的频率mn 作为事件 A 的概率的近似值．
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
21
[跟进训练]
自 主
2．某书业公司对本公司某教辅材料的写作风格进行了
5
次“读
课 堂
预
小
习 者问卷调查”，结果如下：
结
·
探
提
新 知
被调查人数 n
1 001 1 000 1 004 1 003 1 000
合
作
课
探 个具体的事件．
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
17
·
自
[跟进训练]
课
主
堂
预
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 1 000 次，那么第 小
习
结
·
探 新
999 次出现正面朝上的概率是(
)
提 素
知
养
合 作
A．9199
B．1
1 000
C．1909090
D．12
课
探
时
究
D [抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第 999 次，有两种结果：
·
探 新
＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过
300
瓶的概率的估计值为
提 素
知
养
0.6.
合
作
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，
探
课 时
究
分
释
若最高气温不低于 25，则 Y＝6×450－4×450＝900；
频率与概率知识点总结
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念，它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到，可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法，适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中，各个事件的频率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值，所以事件发生的次数增加时，其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式：频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计，可以得到样本中各个事件发生的概率大小，从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值，表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法，适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下，各个事件的概率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示，即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中，事件的频率趋于稳定时，可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式：概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析，可以评估各种事件发生的可能性大小，为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
频率与概率(1)频率与概率的关系
正面朝上的频率稳定在0.5附近
P（正面朝上)=
1 2
在 掷 硬 币
8 随堂练习P159
再“玩”一把
用实际行动来证明 我能行
六个同学组成一个小组,根据原来的试验分别 汇总其中两人,三人,四人,五人,六人的试验数 据,相应得到试验60次,90次,120次,150次,180 次时两张牌的牌面数字和等于2的频率,并绘制 相应的统计图表.能据此估计两张牌的牌面数字 和等于2的概率大约是多少吗? 两张牌的牌面数字和等于2的理论概率等于1/4.
2,3,4
(2)每人做30次试验,依次记录每次摸得的牌面数字,并根 据试验结果填写下表:
牌面数字和 频数 2 3 4
驶向胜利 的彼岸
频率
做一做
5
是“玩家”就玩有用的
探索频率与概率的关系
(3)根据上表,制作相应的频数分布直方图. (4)你认为哪种情况的频率最大? (5)两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少? (6)六个同学组成一个小组,分别汇总其中两人,三人, 四人,五人,六人的试验数据,相应得到试验60次,90 次,120次,150次,180次时两张牌的牌面数字和等于3的 频率,并填写下表,并绘制相应的频数分布直方图.
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 3
频率与概率知几何
普查,总体,个体,样本, 抽查,频数,频率
普查 为了一定的目的,而对考察对象进行全面的调查,称 为普查; 总体,个体 所要考察对象的全体,称为总体,而组成总体的 每一个考察对象称为个体; 抽样调查,样本 从总体中抽取部分个体进行调查,这种调 查称为抽样调查;其中,从总体中抽取的一部分个体叫做总 体的一个样本;
小结
拓展
回味无穷
频率与概率的关系 当试验次数很大时,一个事件发生 频率也稳定在相应的概率附近. 因此,我们可以通过多次试验, 用一个事件发生的频率来估计这 一事件发生的概率.
§6-1-1频率与概率(1)频率和概率的关系(liushuling )
(1,5) (1,6) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
概率的综合应用：
3.有长度分别为2cm，2cm，4cm，5cm的小棒 各一根，放在不透明的纸盒中，每次从中任 意取一根小棒（不放回），取了三次，取得 的三根小棒恰好能构成一个三角形的概率是 多少？
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
3
4 5 6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4)(6,5) (6,6)
(2) 取3枚硬币：在第一枚的正面贴上 红色标签，反面贴上蓝色；在第二枚的正 面贴上蓝色标签，反面贴上黄色；在第三 枚的正面贴上黄色标签，反面贴上红色， 同时抛三枚硬币，落地后颜色各不相同的 机会有多大？
概率是 2/3 ； （2）随机从中摸出一球，记录下颜色后 放回袋中，充分混合后再随机摸出一球， 两次都摸到红球的概率为 ； （3）随机从中一次摸出两个球，两球 均为红球的概率是 。
（2）随机从中摸出一球，记录下颜色后 放回袋中，充分混合后再随机摸出一球， 两次都摸到红球的概率为 4/9 ；
红球 红球 红球 红球 兰球 兰球 1 2 3 4 5 6
2一般地，不确定事件发生的可能性 是有大小的。 表示方式一：
1（或100%） 必然事件发生的可能性:_______________ 不可能事件发生的可能性:____________ 用0来表示 不确定事件发生的可能性是 大于0小于1的 。
表示方式二：
用线段图可表示为：
0
不可能 发生
½(50%)
明白了
懂得了
合作交流的重要性
1-3,4概率论
注意：概率的定义直观地描述了事件发生的 可能性大小,反映了概率的本质内容,但也有其 不足,即无法根据此定义计算某事件的概率.
概率的性质
性质1 P() 0. 性质2(有限可加性) 若随机事件 A1 , A2 ,, An 互不 相容，则
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
一、古典型概率
1.古典概型定义
如果一个随机试验E具有如下特征：
(1)试验所有可能的结果是有限个，设为n个，
即S {e1 , e2 ,, en };
(2)每一个结果在一次实验中发生的可能性相同,
即P ({e1 }) P ({e2 }) P ({en }),
则称该随机试验为等可能概型(或古典概型).
7 5 1 12 12
例2 P ( A) 0.7, P ( A B ) 0.3, 求P ( AB ). 解： P ( AB) P ( A) P( A B) 0.4
P ( AB) 1 P ( AB) 0.6
§1.4
古典概型与几何概型
一、古典概型 二、几何概型
一般地,对于任意n个事件 A1 , A2 ,, An 有
P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
i 1 n 1 i j n
P ( Ai Aj )
1 i j k n
P ( Ai Aj Ak ) (1)n1 P ( A1 A2 An ).
-P(AB)- P(BC)- P(AC)+ P(ABC)
0 ≤ P(ABC) ≤ P(AB)=0
所以有
概率论频率与概率
解 ABA BBBA B
P A B P AB P B
0.3
AB
概率论频率与概率
例6 P A 0.5,PA B0.2，求 P A B 解 P AB PAAB PAPAB
0 .50 .20 .3
P AB 1 PAB
0.7
A BS
从定﹏义﹏出﹏发﹏求﹏概﹏率﹏是﹏不﹏切﹏实﹏际﹏的﹏，下面将针对 ﹏特﹏殊﹏类﹏型的概率求事件的概率。
频率 : 设在 n 次重复试验中,事件 A出现了 nA 次 ,
则称 nA 为事件 A 在 n 次试验中出现的频数 ,比值
nA n
为事件
A
在
n
次试验中出现的频率
, 记为
fn A
,
即
fn
A
nA n
概率论频率与概率
抛掷钱币试验记录
试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼
抛币次数n “正面向上”次数
这个定义也称概率论为频率概与概率率 的统计定义 .
二、概率的定义
概率的公理化定义 设 E 是随机试验 , S 是它的
样本空间 ,对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 PA ,
称之为事件 A的概率 ,如果它满足下列三个条件 :
1 PA 0; 非负性 2 PS 1; 规范性
3 对于两两互斥事件 A1, A2,, 有 PA1 A2 PA1 PA2
第二节 频率与概率
一 、频率 二、概率的统计定义 三、概率的公理化定义
概率论频率与概率
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事 件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小， 也就是事件的概率.
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
简述概率和频率的关系(一)
简述概率和频率的关系(一)
简述概率和频率的关系
1. 概率和频率的定义
•概率指的是某一事件在大量重复试验中发生的可能性或可能出现的结果。
•频率指的是某一事件在实际观察中的出现次数或出现的相对比例。
2. 概率与频率的关系
•概率和频率的基本关系：概率和频率是有着密切关系的，两者在一定条件下是可以相互靠近的。
•大数定律：根据大数定律的原理，当试验次数趋近于无穷大时，频率会无限接近概率。
换言之，当试验次数足够多时，频率会逐渐收敛于概率。
3. 概率与频率的解释和说明
•频率的解释和说明：频率是通过实际观察得到的结果，是一种直接可观察和统计的数据。
通过统计实验的结果，我们可
以计算出频率。
•概率的解释和说明：概率则是从理论上对某一事件发生的可能性进行估计和计算。
概率可以通过推理、模型、公式等
方式得出。
•概率和频率之间的关系：概率是对频率的理论估计和计算，而频率则是实际观察到的结果。
通过大数定律，我们可以认为频率是概率的一个近似值，概率可以通过频率来进行验证。
•应用概率和频率的场景：在实际问题中，我们往往通过频率来验证概率的正确性。
例如，在赌博游戏中，我们可以根据理论上的概率来计算赢钱的可能性，然后通过实际的试验和观察来验证我们的计算是否准确。
总结
概率和频率是统计学中两个重要的概念，它们描述了事件发生的可能性和实际观察到的结果。
概率是对事件理论上可能发生的估计，而频率是通过实际观察和统计得到的结果。
通过大数定律，我们可以认为频率逐渐收敛于概率。
在实际应用中，我们常常通过频率来验证概率的准确性。
频率与概率(1)练习
频率与概率（1）练习目标导航经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.基础过关1.当试验次数很大时，稳定在相应的概率附近，所以我们可以通过多次试验，同一个事件发生的来估计这事件发生概率.2.有两组完全相同的给牌，每组两张，牌面数字分别是2、3以每给牌中各摸出一张牌为一次试验，小红与小刚共做了100次试验后，将试验结果记录如下.根据试验结果，估计牌面数字和为4、5、6的概率分别是.3.袋中装有3个红球，1个白球，除颜色外完全相同.（1）用试验的方法估计，从袋中随意摸出一个球是白球概率.（2）计算从袋中任意摸出一个球是白球的理论概率是多少？（3）试验估计的结果与理论概率一样吗？为什么？你认为要得到较为准确的估计值应注意哪些问题？4.某市场设立一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那一区就可以获得相应的奖品，下列是活动进行中的一组统计数据.（1）计算并完成表格；（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？（3）假如你去转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是多少？（4）在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度？5.用试验的方法估计下列事件的频率.（1）掷一枚均匀的硬币两次，出现一正一反的概率是多少？（2）袋中有2个红球，1个白球，除颜色外都相同.第一次摸出的是红球，放回摇匀，第二次摸到的是白球的概率.6.在抛啤酒瓶盖测定落地时“正面朝上”的概率的试验中，会遇到各种情况，你觉得下面的说法正确吗？谈谈你的看法：（1）一位同学说：“我只做了10次试验就可以得出瓶盖落地后正面朝上的概率约为30％”. （2）一位同学用的啤酒瓶盖不小心滚得不见了，另一位同学出主意说：“用可乐瓶盖代替一下，就能接着试验了”.（3）一位同学说：“用一个瓶盖抛速度太慢，用5个相同型号的啤酒瓶盖同时抛，每抛一次，这样可以提高试验速度”.7.三张除数字外完全相同的纸牌，数字会别为1、2、3，每次抽取一张，为一次试验，多次试验后汇总为下表.（1（2（3）通过对表格的仔细观察，你有什么感想或启发与同伴交流.能力提升8.下列说法正确的是（）A.在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天；B.彩标中将的机会是1％，买100张一定会中奖；C.天气预报说明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半的时间在下雨；D.抛一枚图钉钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大.9.某足球评论员预测：“6月13日进行的世界杯小组赛意大利队对加纳队的比赛，意大利队有80％的机会获胜”.与“有80％的机会获胜”意思最接近的是（）A.意大利队步定会赢这场比赛B.意大利队肯定会输这场比赛C.假如这两支球队进行10场比赛，意大利队会赢8场左右D.假如这两支球队进行10场比赛，意大利队恰好会赢8场10.如图，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆组成，其中阴影部分铺黑色石子，其余部分铺白色石子.小鹏在规定地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过多次试验，发现落在一、三、五球（阴影）内的概率分别是0.04、0.2、0.36，如果最大圆的半径是1m，那么黑色石子区域的总面积约为m2（精确到0.01m2）.11.下列事件是必然事件的是（）A.小婷上学一定坐公交车B.买一张电影票，座位正好是偶数C.小红期末考试数学成绩一定得满分D.将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上聚沙成塔将一枚硬币抛起，使其自然下落，每抛两次作为一次实验，当硬币落定后，一面朝上，我们叫做“正”，另一面朝上，我们叫做“反”.（1）一次实验中，硬币两次落地后可能出现几种情况图片来源，百度搜索→硬币.（3）根据上表，制作相应的频数分布直方图.（4）经观察，哪种情况发生的频率较大.（5）实验结果为“正反”的频率是多大.（6）5个同学结成一组，分别汇总其中两人，三人，四人，五人的实验数据，得到40次，（7）依上表，绘制相应的折线统计图.（8）计算“正反”出现的概率.（9）经过以上多次重复实验，所得结果为“正反”的频率与你计算的“正反”的概率是否相近.。
高中数学频率与概率
况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A
的( )
A.概率为 4
5
C.频率为8
B.频率为 4
5
D.概率接近于8
2.下面是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数 50 优等品数 45
优等品出 现的频率
100 200 500 1000 2000 92 194 470 954 1902
(1)在上表中填上优等品出现的频率. (2)中常常用随机事件发生的概率来估 计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产 品中不合格产品的数量等.
【习练·破】某中学为了了解高中部学生的某项行为 规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟 随机抽取一名学生,登记佩戴胸卡的学生的名字.结 果,150名学生中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调查了 高中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该 中学高中部一共有多少名学生.
C.任意取定10 000个标准班,其中大约9 700个班A发生 D.随着抽取的标准班数n不断增大,A发生的频率逐渐稳 定在0.97,在它附近摆动
【思维·引】 抓住事件的概率是在大量试验基础上得到,它只反映事 件发生的可能性大小来判断.
【解析】1.选D.一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男, 女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是 说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可 能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不 正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能 性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1, 所以C不正确,D正确.
提示:概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大 小,概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规 律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.
频率与概率练习题(1)
频率与概率练习题一、〖预习练习〗1、指出下列事件是必然事件，还是随机事件，还是不可能事件？①5张卡片上各写2，4，6，8，10中的一个数，从中任取一张是偶数；②从（1）题的5张中任取一张是奇数；③从（1）题的5张卡片中任取一张是3的倍数.2、下列事件，哪些是必然发生的事件？哪些是不可能发生的事件？哪些是随机事件？（1）13人至少有两人出生的月份是相同的（）（2）十五的月亮像一条弯弯的小船（）（3）小明买彩票，中500万奖金（）（4）打开书本任意翻开一页，其页码是85页（）（5）2006年我们将搬到太阳上去（）（6）你在一大串中随便选中一把，用它打开了门（）（7）一个有理数的绝对值是负数（）（8）闭上眼睛，从装了1万只标有1～10000的小球的口袋中一次任意某处三个球，它们的号吗是3，33，333（）3、下列事件中，是确定事件的是（）A、掷一枚6个面分别标有1～6的数字的均匀骰子，骰子停止运动后偶数点超上；B、从一副扑克牌中任意抽出一张牌，花色是红桃；C、任意选中电视的某一个频道，正在播放动画片；D、在一年出生的367名学生中，至少有两个人的生日在同一天4、从一副扑克牌中抽取5张红桃，4张梅花、3张黑桃放在一起，洗匀后，从中抽取10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事（）A、可能发生B、不可能发生C、很可能发生D、必然发生5、下列事件，哪些是必然发生的事件？哪些是不可能发生的事件？哪些是随机事件？（1）有一副洗好的只有数字1～10的10张扑克牌。
①任意抽取一张牌，它比6小②一次任意抽出两张牌，它们的和是24 。
③一次任意抽出两张牌，它们的和不小于2 。
（2）在一个不透明的口袋中，装有10个大小和外形一模一样的小球，其中有5个红球，3个蓝球，2个白球，并在口袋中搅匀。
①从口袋中摸出一个球，它们恰好是白球②从口袋中任意抽出2个球，它们恰好是白球③从口袋中一次摸出3个球，它们的颜色分别是红色、蓝色、白色④从口袋中一次摸出5个球，它们恰好是1个红色、1个蓝色和3个白色6、同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是( )(A)点数之和为12. (B)点数之和小于3.(C)点数之和大于4且小于8. (D)点数之和为13.7、掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概率（1）点数为2 （2）点数为奇数（3）点数大于2且小于5 8、一副扑克牌共有54张，含大、小王，大王看成红色，小王看成是黑色，任意抽出一张回答下列问题。
8.3频率和概率(1)
0 不可能事件 P(A)=0 随机事件 P(A)是0 和1之间 的数
1 必然事件 P(A)=1
对于一个随机事件,它发生的概率是由它自 身决定的,并且是客观存在的,概率是随机事 件自身的属性.
概率反映这个随机事件发生的可能性大小
但是我们用什么方法知道 一个随机事件发生的概率 呢?
抛掷硬币试： 将试验数据汇 总填入下表
从表以及图中 可以看出，当 抽查的足球数 很多时，抽到 优等品的频率 m/n接近于某 一个常数，并 在它附近摆动
某种绿豆在相同条件下的发芽实验结果表
每批 粒数n 2 10 50 100 500 1000 1500 2000
发芽的 粒数m 发芽的
2 9
44
92
463
928
1396 1866
m 1 0.9 0.88 0.92 0.926 0.928 0.931 0.931 频率 n
（1） 从一副扑克牌（除去大小王） 中任抽一张。 １ － P （抽到红心） = ４ ； １ － P （抽到黑桃） = ４ ； １ P （抽到红心3）= － 52 ； １ P （抽到5）= － 。 13
（2）有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标 有1，2，2，3，4。现将它们的背面朝上，从中任意摸到 一张卡片，则：
0.47 0.49 0.46 0.52 0.48 0.51 0.49 0.49
当抛掷硬 币次数很 大时,正面 朝上的频 率是否比 较稳定?
频率
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
抛掷次数
根据上表，完成下面的折线统计图：
事件的相互独立性、概率与频率知识点 (人教A版2019选择性必修第二、三册)
事件的相互独立性、概率与频率屾一1事件的相互独立性＠独立事件对任意两个事件A与B,如果P(A B)= P(A)P(B)成立，则我们称事件A与事件B相互独立，简称独立。
@ n个事件独立n个事件A1,A2,…,A n两两独立时，等式P(A1A2…儿）＝P(A1)P(A2)... P(A n)成立。
2频率与概率(I)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离的概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率几(A)会逐渐稳定千事件A发生的概率P(A)我们称频率的这个性质为频率的稳定性。
因此，我们可以用频率儿(A)估计概率P(A)。
案例我扔骰子前3次都是6,那第4次投出骰子是6的可能性有多大呢？理性分析，应该是－，因为第4次投骰子的概率与前三次无关；那假如我扔骰子前300次都是6,那第301次是6的可能性又有多大呢？此时，频率的稳定性会告诉你第301次是6的可能性很大，只能说明骰子是有问题的，这数学不就告诉你赌博十赌九输的原因了么！案例估值兀值。
（可百度下“用概率计算圆周率旷＇）(2)随机模拟蒙特卡洛方法：利用随机模拟解决问题的方法。
硌)＿【题型一】概率与频率【典题1】下列说法中，正确的是（）A概率是频率的稳定值，频率是概率的近似伯B做n次随机试验，事件发生m次，则事件发生的频率巴就是事件的概率C频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖千试验次数的理论值D任意事件A发生的概率P(A)总满足0< P(A) < 1。
【解析】根据题意，依次分析选项：对千A,由概率与频率的关系，A正确；对千B,概率是频率的稳定值，B错误；对千C,由概率与频率的关系，C正确；对千D,任意事件A发生的概率率P(A)总满足0:5 P(A)三1,D错误；故选：AC。
【点拨】正确理解概率与频率之间的关系。
【题型二】独立事件【典题1】已知事件A,B,且P(A)= 0.4, P(B) = 0.2,则下列结论正确的是()A 如果B c;;;A,那么P(AUB)= 0.4, P(AB) = 0.2B如果A与B互斥，那么P(AUB)= 0.6, P(AB) = 0C如果A与B相互独立，那么P(AUB)= 0.6, P(AB) = 0D如果A与B相互独立，那么P(AB)= 0.48, P(AB) = 0.12【解析】事件A,B,且P(A)= 0.4, P(B) = 0.2,对千A,若BgA，则P(AUB)= P(A) = 0.4, P(AB) = P(B) = 0.2,故A正确；对千B,若A与B互斥，则P(AUB)= P(A) + P(B) = 0.6, P(AB) = 0,故B正确；对于C,若A与B相互独立，则P(AB)= P(A)P(B) = 0.08,P(AUB) = P(A) + P(B) -P(AB) = 0.4 + 0.2 -0.08 -0.52,故C错误；对千D,若A与B相互独立，则P（刀B)= P(A)P(B) = 0.6 x 0.8 = 0.48,P（AB) = P(A)P(B) = 0.6 x 0.2 = 0.12,故D正确。
1.1频率与概率
普查年份 1953
总人口/万 59 435
男/万 30 799
女/万 28 636
性别比（以女性为100） 107.55
1964
69 458
35 652
33 806
105.46
1982
100 818
51 944
48 874
106.28
1990
113 368
58 495
54 873
106.60
2000
990 993 994 101 1 022 811 964 573 934 663 5 865 874
513 654 514 765 528 072 496 986 482 431 3 032 452
频率m/n 0.518 0.518 0.518 0.516 0.515 0.516 0.517
我国历次人口普查总人口性别构成情况，它们 与拉普拉斯得到的结果非常接近.
（重点、难点） 3.会列重复试验的结果.
为了研究这个问题，2013年北京市某学校高 一（5）班的学生做了如下试验：
在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察出 现“钉尖朝上”的频率的变化情况如图:
频率
1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00
投掷次数 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130
0.518 1 0.506 9 0.497 9 0.500 5 0.498 2
我们可以设想有1 000人抛掷硬币，如果每人抛5 次，计算每个人抛出正面的频率，在这1 000个频率中， 一般来说，0，0.2，0.4，0.6，0.8，1都会有,而且会 有不少是0或1.
学案1：10.3 频率与概率(一)
10.3 频率与概率(一)【自主预习】1．频率的稳定性一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率f n (A )会逐渐 事件A 发生的概率P (A )，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 2．频率稳定性的作用可以用频率f n (A )估计概率P (A )． 思考：频率和概率有什么区别和联系？【基础自测】1．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 的( ) A ．概率为45B ．频率为45C ．频率为8D ．概率接近于82．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是14，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话( ) A ．正确B ．错误C ．有一定道理D ．无法解释3．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有()A．64个B．640个C．16个D．160个【合作探究】【例1】下列说法正确的是()A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1【规律方法】理解概率与频率应关注的三个方面(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．【跟踪训练】1．“某彩票的中奖概率为1100”意味着()A．买100张彩票就一定能中奖B．买100张彩票能中一次奖C．买100张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性为1100【例2】某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．[思路探究]根据频率的定义计算，并利用频率估计概率．【规律方法】1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．【跟踪训练】2．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[探究问题]1．判断某种游戏规则是否公平的标准是什么？2．小明和小红通过抓阄决定谁代表班级参加学校举行的演讲比赛，规则如下：在一个不透明的盒子里有三个质地完全相同的小卡片，上面分别写有“参加”“不参加”“谢谢参与”，小明和小红分别从中摸取一个小卡片，摸到“参加”者代表班级参加学校举行的演讲比赛．这个游戏规则公平吗？请说明理由．【例3】 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？[思路探究] 计算和为偶数时的概率是否为12，概率是12就公平，否则不公平．[母题探究]1．在例3中，若把游戏规则改为：两人各自转动转盘一次，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？2．若在例3中，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：A．猜“是奇数”或“是偶数”；B．猜“不是4的整数倍数”．请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？【规律方法】游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．【课堂小结】1．概率与频率的区别：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率，因此可以用随机事件的频率来估计其概率．【当堂达标】1．判断正误(1)随机事件的频率和概率不可能相等．( )(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．( ) (3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．( ) 2．给出下列3种说法：①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 其中正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．33．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为( ) A ．160B ．7 840C ．7 998D ．7 8004．试解释下面情况中概率的意义：(1)某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20； (2)一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98.【参考答案】【自主预习】2．思考： [提示] 区别：(1)在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率．(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性． 联系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．【基础自测】1．B [做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率为m n .如果多次进行试验，事件A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A 的概率．故810＝45为事件A 的频率．]2．B [从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，14是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．]3．C [由题意得80×(1－80%)＝80×20%＝16个．]【合作探究】【例1】D [一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B 不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C 不正确，D 正确．] 【跟踪训练】1．D [某彩票的中奖率为1100，意味着中奖的可能性为1100，可能中奖，也可能不中奖．][解](1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042. (2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600.所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是6001 000＝0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.【跟踪训练】2．[解](1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12，由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.[探究问题]1．[提示]如果参加比赛的双方获胜(或失败)的概率是一样的，那么就说明这个游戏规则是公平的；否则就是不公平的．2．[提示]公平．因为每个人摸到“参加”的概率都是1 3.【例3】[解]该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P 1＝612＝12，(2)班代表获胜的概率P 2＝612＝12，即P 1＝P 2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的． [母题探究]1．[解] 不公平．因为乘积出现奇数的概率为412＝13，而出现偶数的概率为812＝23.2．[解] (1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B.猜“不是4的整数倍”， 这是因为“不是4的整数倍”的概率为810＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A ，这是因为方案A 是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5， 从而保证了该游戏的公平性．【当堂达标】1．[提示] (1)错误．二者可能相等．(2)错误．频率会发生变化，是变量，而概率是不变的，是客观存在的． (3)错误．频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小． [答案] (1)× (2) × (3) ×2．A [由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确．]3．B [次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840.] 4．[解] (1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%. (2)是说该厂生产的产品合格的可能性是98%.。
概率与统计中的频率与概率的概念
概率与统计中的频率与概率的概念在概率与统计学领域，频率和概率是两个关键的概念。
频率是指在一系列观察或试验中，某个事件发生的次数与总观察次数之比。
而概率是指在相同条件下，某个事件发生的可能性。
频率和概率的概念在实际应用中起到了重要的作用，帮助我们推断和预测事件发生的可能性。
下面将对频率和概率的概念进行更详细的论述。
一、频率的概念频率是一种描述事件发生次数的统计量。
在统计学中，我们经常进行一系列观察或试验，并记录事件发生的次数。
假设某事件发生了n 次，那么该事件的频率就可以表示为n/N，其中N为总的观察次数。
频率的计算能够帮助我们了解事件发生的模式和趋势。
通过频率分析，我们可以得到事件发生的相对频率，从而能够对未来的事件进行预测。
然而，频率只是对事件发生次数的描述，并不能直接用于确定事件发生的可能性。
二、概率的概念概率是一种描述事件发生可能性的数值。
在数学中，概率被定义为事件发生的可能性与所有可能事件发生的总数之比。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率的计算需要基于一定的假设和模型。
根据概率论的基本原理，我们可以使用频率作为估计量来计算概率。
当我们进行大量观察或试验，并记录事件发生的次数后，事件的频率会逐渐趋近于真实的概率值。
三、频率与概率的关系频率和概率在某种程度上是相互关联的。
概率可以看作是频率的理论上的极限。
当观察次数足够多时，频率会逐渐接近概率。
通过频率可以估计概率，而通过概率可以预测频率。
频率和概率之间的转化关系为实际问题的解决提供了便利。
以掷硬币为例，假设我们进行了100次掷硬币的观察实验，其中正面朝上的次数为50次。
那么正面朝上的频率为50/100=0.5。
根据频率的计算，我们可以估计掷硬币正面朝上的概率为0.5。
在实际应用中，频率和概率经常结合使用。
通过观察事件发生的频率，我们可以估计事件的概率，并基于概率进行预测和决策。
总结起来，频率和概率是概率与统计学中的两个重要概念。
频率与概率
P( A B) P( A (B AB)) P( A) P(B AB) P( A) + P(B) P( AB)
性质6还可推广到三个事件的情形。例如，设 A1，A2，A3 为 任意三个事件，则有
P( A1 A2 A3) P( A1) + P( A2 ) + P( A3) P( A1A2 ) P( A1A3) P( A2 A3) P( A1A2 A3)
再由概率的有限可加性有
P(B) P( A (B A)) P( A) + P(B A)
即
P(B A) P(B) P( A)
又由 p(B A) 0 ，得 P( A) P(B) 。
性质4 对任一事件 A，P( A) 1 。 证 因为 A ，由性质3得 P( A) P( ) 1 。
性质5 对任一事件 A，有
解 P( AB) P( A B) P( A AB) P( A) P( AB) 0.4
P( AB) P(B AB) P(B) P( AB) 0.2 P( A B) 0.5 0.3 0.1 0.7
P( AB) P( A B) 1 P( A B) 1 0.7 0.3
时，由可列可加性，得
n
n
n
P( Ak ) P( Ak ) P( Ak ) P( Ak )
k 1
k 1
k 1
k 1
性质3 设A，B 是两个事件，若 A B ，则有
P(B A) P(B) P( A) 或 P( A) P(B)
证 由 A B，知 B A (B A) 且 A (B A) 。
2. 规范性: P( ) = 1 ;
3. 可列可加性:对于两两互不相容的可列无穷多个事件 A1，A2， ,An ，有
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【知识要点】
必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
频数：每个对象出现的次数。
频率：每个对象出现的次数与总次数的比值。
【精典例题】
例1 指出下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件：
（1）任取两个正整数，和大于1；
（2）在标准大气压下，水在90℃沸腾；
（3）某射手射击一次，击中10环；
（4）掷两颗骰子，出现点子和为3；
（5）导体通电时，发热。
试题相关题：
1-1．下列的事件是随机事件的有（）
（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上；
（2）异性电荷，相互吸引；
（3）在标准大气压下，水在10℃结冰。
A．（2） B．（3） C．（1） D．（1）（3）
1-2．下面的事件：（1）如果a，b R，那么a·b=b·a；（2）某人买彩票中奖；（3）3+5>10；其中是必然事件的是（）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（1）（2）
次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问他中靶概率约为多少？
试题相关题：
2-1．某人射击一次，中靶的概率为0.8，则它射击9次，中靶的次数最多能为。
【知识要点】
基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
m总是接近一个常数，在事件A的概率：在大量地重复进行同一试验时，事件A发生的频率
n
它的附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为P（A）。
1，问任意抽取其中20件产品是否一定会发现一件次品？为什例 3 某厂一批产品的次品率为
20
1，问这20件中必有一件次品的说法是否正确？为什么？
么？20件产品中次品率为
20
试题相关题：
现有30件产品，其中3件是次品，则该30件产品的正品率为。
从中任选一件，它为次品的概率为。
（1）班级里分到一张现场演唱会的门票，为公平起见，班长让每个人来抽签，这样每个人都有50%的机会。
（2）某彩票的中奖率为1%，买一张一定不会中奖，买100张一定会中奖。
例5 世界杯乒乓球决赛在中国队与瑞典队之间进行。
它们之间最多要打7场比赛，赢得4场比赛的队伍就能得到世界杯冠军的称号。
一个队要获得最后的胜利，会有多少方法？
巩固练习
一、请按要求各举一个例子。
1．一个发生可能性极大的不确定事件（随机事件）；
2．一个发生可能性极小的不确定事件（随机事件）；
3．一个发生可能为100%的必然事件；
5．一个发生可能性为50%的不确定事件。
二、两个做转盘游戏，每人选择一个转盘，自由转的：
1．当转盘停止转动时，指针指向几就逆时针向前走几格，这时指针指向的数字是偶数就得10分，否则不得分。
2．每人转动转动盘10次，得分高者获胜。
3．这个游戏公平吗？若不公平，请修改游戏规则。
1
2 3
4 5 6
7
8 8
1 3 5 7 2
4
6。