数学试卷4

1．已知1)(-=
x x f ，)(1x f -是)(x f 的反函数，则=-)2(1f _______________．
2．=+-∞→)
13(1
lim 2n n n n ______________________．
3．设i 为虚数单位，计算=+-2004
)11(
i
i _____________． 4．已知平面向量a 、b ，}4,3{-=，1||=，且5=⋅b a ，则b 的坐标是__________． 5．等差数列}{n a 中，若1010=a ，10019=a ，那么当=n ________时，前n 项和0=n S ．
6．不等式
21
3
2>++x x 的解集是_____________________________________． 7．过点)0,1(-P 且与圆032422=+-++y x y x 相切的的直线方程是______________． 8．曲线x y 22=关于直线1=x 对称的曲线方程是_____________________．
9．一个二面角的大小为3
2π
，点A 、B 在棱上，点C 、D 分别在二面角的两个面内，且△ABC 和△ABD 都是正三角形，则∠CAD 的大小是____________________（用反三角
函数值表示）． 10．4
22
)11(-+
x
x 展开式中的常数项等于__________________． 11．设函数)1(log )(++=x a x f a x （0>a 且1≠a ）在区间]1,0[上的最大值与最小值之和等于a ，则a 的值是_______________．
12．有红、绿、黄三组卡片，每组10张，各组的10张卡片上分别印有从1到10的不同数字．现从这30张卡片中抽出3张卡片，卡片上的数字分别为a 、b 、c ．设a 、b 、c 之间的关系有如下四种：
（1）3=++c b a ；（2）75=abc ；（3）105=abc ；（4）2452
22>++c b a ．
取出的3张卡片颜色的可能情况有：①3张卡片的颜色相同；②卡片的颜色是2种；③卡片的颜色各不相同；④卡片的颜色有2种、3种的可能性，但不会是1种颜色；⑤卡片的颜色有1种、2种、3种的可能性．那么，分别满足（1）、（2）、（3）、（4）的3张卡片的颜色情况依次是以上五种情况中的__________________________（填写序号）．
13．函数)4
(sin )4
(sin )(22
π
π
-
-+
=x x x f 是…………………………………………（ ）
(A) 周期为π的偶函数 (B) 周期为π的奇函数 (C) 周期为π2的偶函数 (D) 周期为π2的奇函数 14．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若α⊂m ，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；
③若n =⋂βα，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；④若α⊥m 且β⊥m ，则α∥β． 其中真命题的个数是……………………………………………………………………（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 15．若ax x x f 2)(2+-=与1
)(+=
x a
x g 在区间]2,1[上都是减函数，则实数a 的取值范围是………………………………………………………………………………………（ ） (A) )1,0()0,1(⋃- (B) ]1,0()0,1(⋃- (C) )1,0( (D) ]1,0( 16．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ） (A) 56 (B) 52 (C) 48 (D) 40
三、解答题（本大题共有6题，满分52分） 17（本题6分）．
解关于x 的不等式1|1|->-a x ．
18（本题8分）．
已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足)1(4
1
n n a S -=（N n ∈）．求n n S ∞→lim ．
19（本题8分）．
给出求二面角大小的一种方法：设有二面角βα--l ，若点A 、l B ∈，α∈C 、
β∈D ，且l AC ⊥，l BD ⊥，则向量与夹角的大小等于这个二面角的大小．
如图，直三棱柱111C B A ABC -中，底面是直角三角形，0
90=∠BAC ，2=AB ，
6=AC ，61=AA ，D 是BC 的中点．试用上述方法求二面角C B A D --11的大小．
20（本题10分，第（1）题4分，第（2）题6分）．
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4
1
cos =
A ． （1）求A C
B 2cos 2
sin
22
++的值； （2）若3=a ，求bc 的最大值．
D
A 1
A B
C
B 1
C 1
21（本题10分，第（1）题4分，第（2）题6分）．
如图，P 是抛物线C ：2x y =上除原点以外的任意一点，直线l 过点P 且与OP 垂直，
l 与抛物线C 相交于另一点Q ．
（1）当点P 的横坐标为2时，求直线l
（2）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程，并求点M 到x
22（本题10分，第（1）题4分，第（2）题6分）．
已知函数a
a a x f x x
+=)(（0>a 且1≠a ）．
（1）计算)10
9
()103()102()101(
f f f f ++++ 的值； （2）设)
1()
(n f n f a a n -⋅=
，猜测对一切N n ∈，2n a n >均成立的最小自然数a ，并用
二项式定理加以证明．。