2015年高考理科数学山东卷(含答案解析)

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2430{|}A x x x =-+<，24{|}B x x =<<，则AB = （ ）A ．1,3（）B ．1,4（）C ．2,3（）D ．2,4（）2．若复数z 满足z1i-=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．要得到函数πsin(4)3y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =（ ）A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a5．不等式|||52|1x x ---<的解集是 （ ）A ．(,4)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,4)D ．(1,5)6．已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-7．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD ∥BC ，BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0，23)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为 （ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．一条光线从点（2-，3-）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 （ ）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-10．设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩＜≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．观察下列各式：001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4；；；；……照此规律，当n ∈*N 时，012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12．若“∀x ∈[0，4π]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_______. 13．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为_______.14．已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=_______.15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=：（）的渐近线与抛物线222C x py =：0p >（）交于点O ，A ，B .若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.（Ⅰ）求f x （）的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC △中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c .若2f A （）=0，a =1，求ABC △面积的最大值.17．（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45︒，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX . 20．（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是1F ，2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222144 x y E a b +=：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a ∈R .（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】2{|4+3<0}{|13}A x x x x x =-=<<，()2,3A B =I ，答案选C ．【提示】求出集合A ，然后求出两个集合的交集． 【考点】解一元二次不等式，集合间的运算． 2.【答案】A【解析】2(1i)i i +i 1+i z =-=-=，1i z =-，答案选A ．【提示】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 【考点】复数代数形式的四则运算． 3.【答案】B【解析】πsin 412y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，需将函数sin 4y x =的图象向右平移π12个单位，答案选B ．【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 【考点】三角函数的图象及其变换． 4.【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒可知18060120BAD ∠=︒-︒=︒，2223()()+cos120+2BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a =--=-=-︒=uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g g ，答案选D ．【提示】根据2()()+BD CD AD AB AB AB AD AB =--=-uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g 代入可求．【考点】向量的运算． 5.【答案】A【解析】1x <时，1(5)42x x ---=-<成立 当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<解得4x <；当5x ≥，1(5)42x x ---=<不成立，综上4x <，答案选A ．【提示】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当1x <，②当15x ≤<，③当5x ≥，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可． 【考点】绝对值符号和分类讨论的思想． 6.【答案】B【解析】由+z ax y =得+y ax z =-，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时有最大值+14a =，3a =，不满足10a -<≤；当10a -≤-<，即01a <≤时在1x y ==时有最大值+14a =，3a =，不满足01a <≤；当1a -<-时，即1a >时在2x =，0y =时有最大值24a =，2a =，满足1a >，答案选B ．第6题图【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的问题． 7.【答案】C【解析】2215ππ12π1133V =-=gg g g ，答案选C ． 【提示】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可． 【考点】空间几何体体积的计算． 8.【答案】B【解析】0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=，答案选B ． 【提示】由题意(33)68.26%P ξ-<<=，(66)95.44%P ξ-<<=， 可得0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=，即可得出结论． 【考点】正态分布．9.【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴的对称点的坐标(2,3)-，设反射光线所在的直线为+3(2)y k x =-，即230kx y k ---=，则1d ==，|5+5|k =解得43k =-或34-，答案选D ．【提示】点(2,3)--关于y 轴的对称点为(2,3)-，可设反射光线所在直线的方程为：+3(2)y k x =-，利用直线与圆相切的性质即可得出．【考点】直线与圆的位置关系． 10.【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选C ． 【提示】讨论()1f a ≥时，以及1a <，1a ≥，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【考点】函数的定义域．第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】14n - 【解析】具体证明过程可以是：012101212121212121211C +C+C ++C (2C +2C2n n n n n n n n n n ----------= 021122223121212121212121211=(C +C )+(C +C )+(C +C )++(C +C )2n n n n nn n n n n n n n ------------⎡⎤⎣⎦01212121121212121212111=(C +C +C ++C +C ++C )2422n n n n n n n n n n n ----------==【提示】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．【考点】排列组合的运算． 12.【答案】1【解析】“0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan x m ≤”是真命题，则πtan 14m ≥=，于是m 的最小值是1.【提示】求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围． 【考点】三角函数的运算和命题真假．数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）13.【答案】116【解析】112011111++1++236T xdx x dx ===⎰⎰．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，T 的值，当3n =时不满足条件3n <，退出循环，输出T 的值为116．【考点】程序框图． 14.【答案】32-【解析】当1a >时，10+1+0a b a b -⎧=-⎪⎨=⎪⎩，无解；当01a <<时10+0+1a b a b -⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得2b =-，12a =，则13+222a b =-=-【提示】对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组 【考点】指数函数的定义域和值域的应用． 15.【答案】32【解析】1C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的渐近线为b y x a =±则点2222,pb pb A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222,pb pb B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22:2(0)C x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222pb p a pb aa kb -==，即2254b a =，22222+94c a b a a ==，32c e a ==． 【提示】求出A 的坐标，可得22244AC b a k ab-=，利用OAB 的垂心为C 2的焦点，可得22414b a b ab a -⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，由此可求C 1的离心率． 【考点】双曲线的离心率． 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【解析】（Ⅰ）由11π()sin 21+cos 2+222f x x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111sin 2+sin 2222x x =- 1sin 22x =-由ππ2π22π+22k x k -≤≤，k ∈Z ，得ππππ+44k x k -≤≤，k ∈Z ，则()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ； 由π3π2π+22π+22k x k ≤≤，k ∈Z ，得π3ππ+π+44k x k ≤≤，k ∈Z ，则()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （Ⅱ）在锐角ABC △中，1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，1sin 2A =，π,6A =而1a =，由余弦定理可得22π12cos 2(26b c bc bc bc =+-≥=，当且仅当b c =时等号成立．即bc =11π1sin sin2644ABC S bc A bc bc ===≤△，故ABC △ 【提示】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得1()sin 22f x x =-，由ππ2π22π+22k x k -≤≤，k ∈Z 可解得()f x 的单调递增区间，由π3π2π+22π+22k x k ≤≤，k ∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由1s i n 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得sinA ，cos A ，由余弦定理可得：bc ≤且当b c =时等号成立，从而可求1sin 2bc A ≤【考点】三角函数单调区间，三角形的面积公式． 17.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）60︒【解析】（Ⅰ）证明：如图1，连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点O ．在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，则2AC DF =， 而G 是AC 的中点，DF AC ∥，则DF GC ∥， 所以四边形DGCF 是平行四边形，O 是DC 的中点，DG FC ∥．又在BDC △中，H 是BC 的中点，则OH DB ∥，又BD FGH ⊄平面，OH FGH ⊂平面， 故BD FGH ∥平面．第17题图1（Ⅱ）由,C F A B C ⊥平面可得DG ABC ⊥平面而AB BC ⊥，45BAC ∠=︒，则,GB AC ⊥ 于是GD ，GB ，GC 两两垂直，以点为G 坐标原点，GA，GB GD 所在的直线分别为,x ,y z 轴建立空间直角坐标系，如图2，2AB =，1DE CF ==，AC =，AG =B，(C ，(F ，22H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =u r ， 设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r则2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u ur uuu r g u u r uuu r g 即22220,22+0,yx z -=⎪⎨⎪=⎩取21x =，则21y =，2z =2n =u u r121cos ,2n n 〈〉==u r u u r ，故平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小为60︒．数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）第17题图2【提示】（Ⅰ）根据2AB DE =便可得到2BC EF =，从而可以得出四边形EFHB 为平行四边形，从而得到BE HF ∥，便有BE FGH ∥平面，再证明DE FGH ∥平面，从而得到BDE FGH 平面∥平面，从而BD FGH ∥平面；（Ⅱ）连接HE ，根据条件能够说明HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG ，可说明1n BG=u r uuu r为平面ACFD 的一条法向量，设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，根据2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r uuu r g u u r uuu r g 即可求出法向量2n u u r ，设平面FGH 与平面ACFD 所成的角为θ，根据12cos cos ,n n θ=〈〉u r u u r即可求出平面FGH 与平面ACFD 所成的角的大小． 【考点】线面的位置关系，两平面所夹的角 18.【答案】（Ⅰ）13,1,3,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩，n *∈N（Ⅱ）1132+11243n n n T -=-g ，n *∈N 【解析】（Ⅰ）由23+3nn S =得111(3+3)32a S === 11111(3+3)(3+3)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=-=≥，而11133a -=≠，则13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩n *∈N ．（Ⅱ）由3log n n n a b a =及13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩可得311,1,log 31, 1.3n n nn n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩.n *∈N 23111231+++++33333n n n T --=L ①223411112321++++++3333333n n n n n T ---=L ② 由①－②得，223121111111+++++33333333n n n n T --=--L223111111113333333n n n --⎛⎫=-+++++- ⎪⎝⎭L 113313212131+91392233n n n n n n ---=+-=---g 132+11823nn =-g 1132+11243n n n T -=-g ，n *∈N ． 【提示】（Ⅰ）利用23+3n n S =，可求得13a =；当1n >时，1123+3n n S --=，两式相减1222n n n a S S -=-，可求得13n n a -=，从而可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）依题意，3log n n n a b a =，可得113b =，当1n >时，31113log 313n n n n b n ---==-g ，于是可求得1113T b ==；当1n >时，121121++++13+23++(1)3)3n n n T b b b n ---=⋯⨯⨯⋯-⨯=（，利用错位相减法可求得{}n b 的前n 项和n T ．【考点】等比数列的通项公式，数列前n 项和的问题． 19.【答案】（Ⅰ）125，135，145，235，245，3450+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯【解析】（Ⅰ）125，135，145，235，245，345.（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为3984C =，随机变量X 的取值为：0，1-，1，当0X =时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即38C ； 当1X =-时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即24C ；当1X =时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即24C ；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即1144C C ． 则3839C 2(0)C 3P X ===，2439C 1(1)C 14P X =-==，1124443C C +C 11(1)C 42P X ===g ，0+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯．【提示】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1-，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【考点】排列与组合的有关问题．20.【答案】（Ⅰ）22+14x y =（Ⅱ）（ⅰ）2（ⅱ）【解析】（Ⅰ）由椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率为，可知c e a ==，而222+a b c =，则2a b =，c =，左，右焦点分别是1(,)F 0，2,0)F ，圆1:F 22()+9x y =，圆2:F 22()+1x y =，有两圆相交可得24<<，即12<<，交点⎛，在椭圆C 上，则224134b b =g ，整理得4245+10b b -=，解得21b =，214b =（舍去）． 故21b =，24a =，椭圆C 的方程22+14x y =．数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）（Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为22+1164x y =，设点P 00(,)x y 满足22+14x y =，射线PO ：000(0)y y x xx x =<代入22+1164x y =可得点00(2,2),Q x y --于是||2||OQ OP ==．（ⅱ）点00(2,2),Q x y --到直线AB 距离等于圆点O 到直线AB 距离的3倍d == 22+,+1164y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩得22+4(+)16x kx m =整理得222(1+4)+8+4160k x kmx m -= 2222226416(4+1)(4)16(16+4)0k m k m k m ∆=--=->||AB =2222211||+16+4=||3612221+42(4+1)ABQ m m k m S AB d k k -=≤=g g g g △当且仅当||m =228+2m k =等号成立．而直线+y kx m =与椭圆C ：222+14xy =有交点P ，则222++14y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩有解，即224|+|4x kx m +=，222(14)+8+440k x kmx m +-=有解， 其判别式22222216416(4+1)(1)16(4+1)0k m k m k m ∆=--=-≥，即221+4k m ≥，则上述228+2m k =不成立，等号不成立，设(]0,1t ，则ABQ S =△(]0,1为增函数， 于是当221+4k m =时max S ==△ 故ABQ △面积的最大值为【提示】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，计算即可得到b ，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）求得椭圆E 的方程，（ⅰ）设P 00(,)x y ，||||OQ OP λ=，求得Q 的坐标，分别代入椭圆C ，E 的方程，化简整理，即可得到所求值；（ⅱ）将直线+y kx m =代入椭圆E 的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线+y kx m =代入椭圆C 的方程，由判别式大于0，可得t 的范围，结合二次函数的最值，又ABQ △的面积为3S ，即可得到所求的最大值．【考点】椭圆的标准方程，圆交点连线所形成三角形的有关问题 21.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）01a ≤≤【解析】（1）2()ln(+1)+()f x x a x x =-，定义域为(1,+)-∞21(21)(+1)+12++1()+(21)+1+1+1a x x ax ax af x a x x x x --'=-==设2()2++1g x ax ax a =-当0a =时，()1g x =，1'()01f x x =>+函数()f x 在(1,+)-∞为增函数，无极值点． 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a ≥>时，0∆≤，()0g x ≥，'()0f x ≥函数()f x 在(1,+)-∞为增函数，无极值点． 若89a >时，0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12,x x <且121+2x x =-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,)x x ∈-，()0g x >，()0f x '>()f x 单调递增； 当12(,)x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减； 当2(,+)x x ∈∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 因此此时函数()f x 有两个极值点；若0a <时，0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<， 所以当1(1,)x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 当2(,+)x x ∈∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减； 所以函数()f x 只有一个极值点．综上所述：当809a ≥≥时()f x 无极值点；当0a <时()f x 只有一个极值点；当89a >时()f x 有两个极值点． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当809a ≥≥时，()f x 在(0,+)∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,+)x ∈∞时，()0f x >，符合题意； 当819a ≥≥时，(0)0g ≥，20x ≤，()f x 在(0,+)∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,+)x ∈∞时，()0f x >符合题意；当1a >时，(0)0g <，20x >所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,+)x ∈∞时，1'()101+1+xh x x x=-=>，()h x 在(0,+)∞单调递增，因此当(0,+)x ∈∞时，()(0)h x h >=，ln(+1)0x <于是22()+()+(1)f x x a x x ax a x <-=-，当11x a>-时，2+(1)0ax a x -<此时()0f x <不符合题意．综上所述：a 的取值范围是01a ≤≤【提示】（Ⅰ）函数2()ln(+1)+()f x x a x x =-，其中a ∈R ，(1)x ∈-+∞，．212++1()+(21)+1+1ax ax a f x a x x x -'=-=．令2()2++1g x ax ax a =-.对a 与△分类讨论可得：（1）当0a =时，此时()0f x '>，即可得出函数的单调性与极值的情况． （2）当0a >时，(98)a a =-△．①当809a ≥>时，0≤△，②当89a >时，0>△，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当0a <时，0>△.即可得出函数的单调性与极值的情况． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：（1）当809a ≥≥时，可得函数()f x 在(0,+)∞上单调性，即可判断出． （2）当819a ≥>1时，由(0)0g ≥，可得20x ≤，函数()f x 在(0,+)∞上单调性，即可判断出．（3）当1a <时，由(0)0g <，可得20x >，利用2(0,)x x ∈时函数()f x 单调性，即可判断出；（4）当0a <时，设()ln(+1)h x x x =-，(0,+)x ∈∞，研究其单调性，即可判断出【考点】函数的极值，函数恒成立求未知数的取值范围数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。