人教版九年级数学上第21章一元二次方程单元测试题(带答案和解释)
人教新版 九年级(上)数学 第21章 一元二次方程 单元测试卷 (解析版)
第21章一元二次方程单元测试一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝02．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣1 3．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0 4．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3＝24.2B．20（1﹣x）2＝24.2C．20+20（1+x）2＝24.2D．20（1+x）2＝24.25．（3分）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥16．（3分）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是（）A．1B．﹣1C．0D．以上答案都不是7．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的只有（）A．①②B．②③C．③④D．①④8．（3分）解方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法9．（3分）以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或23B．17C．23D．以上都不对10．（3分）已知（x+y）（x+y+2）﹣8＝0，则x+y的值是（）A．﹣4或2B．﹣2或4C．2或﹣3D．3或﹣2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．12．（3分）将方程x2﹣2x+1＝4﹣3x化为一般形式为．13．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x＝1，则b2﹣4ac＝．14．（3分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值．15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m 的值为．16．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（16分）用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．20．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？21．（7分）某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？22．（7分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？铅笔的零售价每支多少元？批发价每支应为多少元？（用含x、m的代数式表示）（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值．23．（7分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？24．（8分）已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1＝0，②x2+x﹣2＝0，③x2+2x﹣3＝0，④x2+3x﹣4＝0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①，②，③，④．（2）猜想：第n个方程为，其解为．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．25．（9分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝0解：A．x+2y＝0含有两个未知数，不合题意；B．x2﹣4y＝0含有两个未知数，不合题意；C．x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意；D．x+1＝0中未知数的最高次数不是2次，不合题意；故选：C．2．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣1解：∵（x﹣1）2＝0，∴x﹣1＝0，x＝1，即x1＝x2＝1，故选：C．3．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0解：∵方程的两根分别为2和3，∴2+3＝5，2×3＝6，∴方程为x2﹣5x+6＝0．故选：D．4．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3＝24.2B．20（1﹣x）2＝24.2C．20+20（1+x）2＝24.2D．20（1+x）2＝24.2解：设这个增长率为x，由题意得，20（1+x）2＝24.2．故选：D．5．（3分）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥1解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，∴△＝（﹣6）2﹣4×9k＞0，解得k＜1．故选：A．6．（3分）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是（）A．1B．﹣1C．0D．以上答案都不是解：∵方程x2+bx+a＝0有一个根是1，∴1+b+a＝0，∴a+b＝﹣1．故选：B．7．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的只有（）A．①②B．②③C．③④D．①④解：①因为a+c＝0，a≠0，所以①a、c异号，所以△＝b2﹣4ac＞0，所以方程有两个实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，所以方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；若c＝0，则方程cx2+bx+a＝0为一次，没有两个不等实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，当c＝0时，ac+b+1＝0不一定成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以有am2+bm+c＝0，即am2＝﹣（bm+c），而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2＝﹣4abm﹣4ac+4abm+b2＝b2﹣4ac．所以①④成立．故选：D．8．（3分）解方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法解：方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是直接开平方法．故选：A．9．（3分）以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或23B．17C．23D．以上都不对解：x2﹣14x+40＝0，（x﹣4）（x﹣10）＝0，x﹣4＝0或x﹣10＝0，所以x1＝4，x2＝10，因为4+4＜9，不符合三角形三边的关系，所以三角形的第三边长是10，所以三角形的周长＝4+9+10＝23．故选：C．10．（3分）已知（x+y）（x+y+2）﹣8＝0，则x+y的值是（）A．﹣4或2B．﹣2或4C．2或﹣3D．3或﹣2解：设x+y＝a，原方程可化为a（a+2）﹣8＝0即：a2+2a﹣8＝0解得a1＝2，a2＝﹣4∴x+y＝2或﹣4故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝﹣1．解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴|m|＝1，m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．（3分）将方程x2﹣2x+1＝4﹣3x化为一般形式为x2+x﹣3＝0．解：方程整理得：x2+x﹣3＝0，故答案为：x2+x﹣3＝013．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x＝1，则b2﹣4ac＝17．解：由原方程，得2x2﹣3x﹣1＝0，∴二次项系数a＝2，一次项系数b＝﹣3，常数项c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17；故答案是：17．14．（3分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值﹣1．解：把x＝2代入方程x2+px﹣2＝0得4+2p﹣2＝0，解得p＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m 的值为1．解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1．∵x1+x2＝1﹣x1x2，即2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），∴m1＝﹣2，m2＝1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，解得：m≥﹣1，∴m＝1．故答案为：1．16．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为x＝3或x＝﹣7．解：据题意得，∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52∴x2+4x﹣21＝0，∴（x﹣3）（x+7）＝0，∴x＝3或x＝﹣7．故答案为：x＝3或x＝﹣7三．解答题（共9小题，满分72分）17．（16分）用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，移项，得3（2x﹣1）2＝12，两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4，两边开平方，得2x﹣1＝±2，移项，得2x＝1±2，解得：x1＝，x2＝﹣；（2）2x2﹣4x﹣7＝0，两边都除以2，得x2﹣2x﹣＝0，移项，得x2﹣2x＝，配方，得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，解得：x﹣1＝±，即x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x2+x﹣1＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，∴x＝，解得：x1＝，x2＝；（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0，方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0，解得：x1＝，x2＝1．18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．解：（1）∵△＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，解得a＝，将a＝代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，即（x﹣1）（2x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣，∴该方程的另一个根﹣．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．解：（1）由题意有△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得，∴实数m的取值范围是；（2）由两根关系，得根x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1•x2＝m2，由x12﹣x22＝0得（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，若x1+x2＝0，即﹣（2m﹣1）＝0，解得，∵＞，∴不合题意，舍去，若x1﹣x2＝0，即x1＝x2∴△＝0，由（1）知，故当x12﹣x22＝0时，．20．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意得出：200（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣（200+50x）]＝1250，即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）＝1250，整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴10﹣1＝9．答：第二周的销售价格为9元．21．（7分）某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？解：（1）设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x＝16，整理得（1+x）2＝16，则x+1＝4或x+1＝﹣4，解得x1＝3，x2＝﹣5（舍去）．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑；（2）∵n轮后，有（1+x）n台电脑被感染，故（1+3）n＝4n，∵n＝3时，43＝64，n＝4时，44＝256．答：4轮感染后机房内所有电脑都被感染．22．（7分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？铅笔的零售价每支多少元？批发价每支应为多少元？（用含x、m的代数式表示）（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值．解：（1）由题意可得，，解得，241≤x≤300，即x的取值范围是：241≤x≤300（x为正整数）；铅笔的零售价每支应为：元；铅笔的批发价每支应为：元；（2）由题意可得，15×﹣15×＝1，化简，得x2+60x﹣900（m2﹣1）＝0，解得，x1＝30（m﹣1），x2＝﹣30（m+1）（舍去），∴241≤30（m﹣1）≤300，解得，≤m≤11，∴m＝10或m＝11，当m＝10时，m2﹣1＝99＜100，故m＝10不合题意，舍去，当m＝11时，m2﹣1＝120＞100，符合题意，∴m＝11，∴x＝30（m﹣1）＝300，经检验x＝300是原分式方程的解，答：初三年级共有300名学生，m的值是11．23．（7分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，∴（6﹣x）•2x＝××6×8，∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（2）设t秒后，△PBQ的面积为1①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时此时0＜t≤4由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+（不合题意，应舍去），t2＝5﹣，②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时此时4＜t≤6，由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时此时t＞6，由题意知：（t﹣6）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+，t2＝5﹣，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．24．（8分）已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1＝0，②x2+x﹣2＝0，③x2+2x﹣3＝0，④x2+3x﹣4＝0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①x1＝1，x2＝﹣1，②x1＝1，x2＝﹣2，③x1＝1，x2＝﹣3，④x1＝1，x2＝﹣4．（2）猜想：第n个方程为x2+（n﹣1）x﹣n＝0，其解为x1＝1，x2＝﹣n．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．解：（1）①（x+1）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣1．②（x+2）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2．③（x+3）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3．④（x+4）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣4．（2）由（1）找出规律，可写出第n个方程为：x2+（n﹣1）x﹣n＝0，（x﹣1）（x+n）＝0，解得x1＝1，x n＝﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c＝0；b2﹣4ac＝（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．故答案是：（1）①x1＝1，x2＝﹣1．②x1＝1，x2＝﹣2．③x1＝1，x2＝﹣3．④x1＝1，x2＝﹣4．（2）x2+（n﹣1）x﹣n＝0；x1＝1，x2＝﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c＝0；b2﹣4ac＝（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．25．（9分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∵﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．。
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元测试题(含答案)
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元测试题（含答案）一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列方程中，是一元二次方程的有( )①x 2＝0； ②ax 2＋bx ＋c ＝0； ③3x 2＝x ； ④2x (x ＋4)－2x 2＝0；⑤(x 2－1)2＝9； ⑥1x 2＋1x－1＝0.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2．将一元二次方程x 2－4x ＋3＝0配方可得( ) A ．(x －2)2＝7 B ．(x －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＝1 D ．(x ＋2)2＝23．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个解为x ＝－1，则另一个解为( ) A ．1 B ．－3 C ．3 D ．4 4．已知方程kx 2＋4x ＋4＝0有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ≤1 B ．k ≥－1 C ．k ≤1且k ≠0 D ．k ＜－15．若一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2－13x ＋36＝0的根，则这个三角形的周长为( )A ．13B ．15C ．18D ．13或186．小红按某种规律写出4个方程：①x 2＋x ＋2＝0；②x 2＋2x ＋3＝0；③x 2＋3x ＋4＝0；④x 2＋4x ＋5＝0.按此规律，第五个方程的两个根为( )A ．－2，3B ．2，－3C ．－2，－3D ．2，37．若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2－ab ＋b 2＝18，则a b ＋ba的值是( )A ．3B ．－3C ．5D ．－58．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年利润的年平均增长率为x ，则可列方程为( )A ．300(1＋x )＝507B ．300(1＋x )2＝507C ．300(1＋x )＋300(1＋x )2＝507D ．300＋300(1＋x )＋300(1＋x )2＝507 二、填空题(每小题4分，共24分)9．把方程(2x ＋1)(x －2)＝5－3x 整理成一般形式得____________，其中一次项系数为______．10．若(m ＋1)x |m －1|＋5x －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为________． 11．关于x 的方程kx 2－4x －4＝0有两个不相等的实数根，则k 的最小整数值为________． 12．关于x 的一元二次方程x 2＋(a 2－2a )x ＋a －1＝0的两个实数根互为相反数，则a 的值为________．13．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x 米，根据题意，可列方程为________________．14．小明发明了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b )进入其中时，会得到一个新的实数：a 2＋b －1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到32＋(－2)－1＝6.现将实数对(m ，－2m )放入其中，得到实数2，则m ＝________．三、解答题(共44分)15．(9分)用适当的方法解下列方程： (1)12(x ＋1)2－6＝0；(2)x 2＋25x ＋2＝0；(3)2x (2－x )＝3(x －2)．16．(8分)已知关于x 的一元二次方程(x －3)(x －2)＝p (p ＋1)． (1)求证：无论p 取何值，此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两个根分别为x 1，x 2，且满足x 12＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，求p 的值．17．(8分)如图21，在直角墙角AOB (OA ⊥OB ，且OA ，OB 长度不限)中，要砌20 m 长的墙(即AC ＋BC ＝20 m)，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC 的面积为96 m2.(1)求该地面矩形的长；(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖，单价分别为50元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，则用哪一种规格的地板砖费用较少？图2118．(8分)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元/件的价格销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销量，决定降价销售，根据市场调查发现，该T恤的单价每降低1元/件，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元/件，设第二个月单价降低x元/件．(1)填表(不需要化简)：(2)19．(11分)如图22所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点Q 从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动，点P从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动，如果点Q，P分别从点A，B同时出发，当一动点运动到终点时，另一动点也随之停止运动．(1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)几秒后，PQ的长度等于210 cm?(3)在(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？试说明理由．图22答案1．A 2．B3．C [解析] 设方程的另一个解为x 1.根据题意，得－1＋x 1＝2，解得x 1＝3.4．A [解析] 当k ＝0时，方程为一元一次方程4x ＋4＝0，有唯一实数根；当k ≠0时，方程是一元二次方程．∵方程有实数根，∴根的判别式b 2－4ac ＝16－16k ≥0，即k ≤1且k ≠0.综上所述k 的取值范围是k ≤1.5．A6．C [解析] 根据小红写出的4个方程，发现其规律是第n 个方程是x 2＋nx ＋(n ＋1)＝0，所以第五个方程是x 2＋5x ＋6＝0，即(x ＋2)(x ＋3)＝0，则x ＋2＝0或x ＋3＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－3.7．D [解析] ∵a ，b 为方程x 2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根， ∴a ＋b ＝3，ab ＝p .∵a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b )2－3ab ＝32－3p ＝18，∴p ＝－3.当p ＝－3时，b 2－4ac ＝(－3)2－4p ＝9＋12＝21＞0，∴p ＝－3符合题意．∴a b ＋b a ＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝（a ＋b ）2ab －2＝32－3－2＝－5. 故选D.8．B 9.2x 2－7＝0 0 10．311．1 [解析] ∵关于x 的方程kx 2－4x －4＝0有两个不相等的实数根，∴k ≠0且b 2－4ac ＞0，即k ≠0且16＋16k ＞0，解得k ＞－1且k ≠0，∴k 的最小整数值为1.12．0 [解析] ∵方程x 2＋(a 2－2a )x ＋a －1＝0的两个实数根互为相反数， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.当a ＝2时，方程为x 2＋1＝0，该方程无实数根，舍去，∴a ＝0. 13．x (x ＋40)＝120014．3或－1 [解析] 把实数对(m ，－2m )代入a 2＋b －1＝2中，得m 2－2m －1＝2. 移项，得m 2－2m －3＝0.因式分解，得(m －3)(m ＋1)＝0. 解得m 1＝3，m 2＝－1.15．解：(1)整理，得(x ＋1)2＝12，开平方，得x ＋1＝±2 3，所以x 1＝－1＋2 3，x 2＝－1－2 3. (2)因为a ＝1，b ＝2 5，c ＝2， 所以b 2－4ac ＝12>0，代入公式，得x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－2 5±2 32＝－5±3，所以原方程的解为x 1＝－5＋ 3，x 2＝－5－ 3.(3)移项，得3(x －2)＋2x (x －2)＝0， 即(3＋2x )(x －2)＝0，所以x －2＝0或2x ＋3＝0，所以x 1＝2，x 2＝－32.16．解：(1)证明：原方程可变形为x 2－5x ＋6－p 2－p ＝0.∵b 2－4ac ＝(－5)2－4(6－p 2－p )＝25－24＋4p 2＋4p ＝4p 2＋4p ＋1＝(2p ＋1)2≥0， ∴无论p 取何值，此方程总有两个实数根． (2)∵原方程的两个根分别为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－p 2－p . 又∵x 12＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝3p 2＋1， ∴52－3(6－p 2－p )＝3p 2＋1， ∴25－18＋3p 2＋3p ＝3p 2＋1， ∴3p ＝－6，∴p ＝－2.17．解：(1)设AC ＝x m ，则BC ＝(20－x )m. 由题意，得x (20－x )＝96， 即x 2－20x ＋96＝0， ∴(x －12)(x －8)＝0，解得x ＝12或x ＝8.当AC ＝12 m 时，BC ＝8 m ，AC 为矩形的长，此时矩形的长为12 m. 当AC ＝8 m 时，BC ＝12 m ，BC 为矩形的长，此时矩形的长为12 m. 答：该地面矩形的长为12 m.(2)①若选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖，则 120.8×80.8＝15×10＝150(块)， 150×50＝7500(元)；②若选用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖，则 121×81＝96(块)， 96×80＝7680(元)． ∵7500＜7680，∴选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖费用较少．18．[解析] (1)第二个月的单价＝第一个月的单价－降低的价格，销售量＝200＋10×降低的单价；清仓时的销售量＝800－第一个月的销售量－第二个月的销售量．(2)等量关系为总售价－总进价＝9000元．把相关数值代入计算即可． 解：(1)填表如下．即x 2－20x ＋100＝0，解得x 1＝x 2＝10. 当x ＝10时，80－x ＝80－10＝70.答：第二个月的单价应为70元/件．[点评] 本题考查一元二次方程的应用．用列表格的方法得到第二个月的单价和销售量以及清仓时的销售量是解决本题的突破点，得到总利润的等量关系是解决本题的关键．19．[解析] (1)设点Q ，P 分别从点A ，B 同时出发，x s 后，AQ ＝x cm ，QB ＝(5－x )cm ，BP ＝2x cm ，则△PBQ 的面积等于12×2x (5－x )，令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；(2)根据勾股定理可求；(3)△PBQ 的面积能否等于7 cm 2，只需令12×2x (5－x )＝7，化简该方程后，判断该方程的判别式与0的关系，若判别式大于或等于0，则能等于7 cm 2，否则不能等于7 cm 2.解：(1)设x s 后，△PBQ 的面积等于4 cm 2， 此时，AQ ＝x cm ，QB ＝(5－x )cm ，BP ＝2x cm.由12BP ·QB ＝4，得12×2x (5－x )＝4， 即x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4(不合题意，舍去)． 所以1 s 后，△PBQ 的面积等于4 cm 2. (2)设y s 后，PQ 的长度等于210 cm. 此时QB ＝(5－y )cm ，BP ＝2y cm.在Rt △PBQ 中，因为PQ ＝210 cm ，根据勾股定理，得(5－y )2＋(2y )2＝(210)2， 解得y 1＝3，y 2＝－1(舍去)．所以3 s 后，PQ 的长度等于210 cm. (3)由(1)，得12×2x (5－x )＝7.整理，得x 2－5x ＋7＝0. 因为b 2－4ac ＝25－28＜0， 所以此方程无实数解．所以△PBQ 的面积不可能等于7 cm 2.人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）(4)一、精心选一选1．已知x=1是一元二次方程x 2-2mx+1=0的一个解，则m 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．0或-12．已知a 、b 为一元二次方程0922=-+x x 的两个根，那么b a a -+2的值为（ ）（A ）-7 （B ）0 （C ）7 （D ）113．若关于x 的一元二次方程（k ﹣2）x 2﹣2kx +k ＝6有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．k ≥0B ．k ≥0且k ≠2C ．k ≥23 D ．k ≥23且k ≠2 4．等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ） A.8 B.10 C.8或10 D.不能确定5．现定义某种运算()a b a a b ⊗=>，若2(2)2x x x +⊗=+，那么x 的取值范围是（ ）（A ）12x -<<（B ）2x >或1x <-（C ）2x >（D ）1x <-6.已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则式子b aa b+的值是（ ） A ．22n +B ．22n -+C ．22n -D ．22n --7.关于x 的一元二次方程222310x x a --+=的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1B C ．D ．8. 国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得（ ）A ．9（1﹣2x ）＝1B ．9（1﹣x ）2＝1C ．9（1+2x ）＝1D ．9（1+x ）2＝1 二、耐心填一填9．已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）．10．如果αβ、是一元二次方程23 1 0x x +-=的两个根，那么2+2ααβ-的值是___________11．已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是 ．12.已知01a a b x ≠≠=，，是方程2100ax bx +-=的一个解，则2222a b a b--的值是 ．13．在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为22b a b a -=＊，根据这个规则，方程05)2(=+＊x 的解为14、已知三个连续奇数，其中较大的两个数的平方和比最小数的平方的3倍还小25，则这三个数分别为_________15、甲、乙两同学解方程x 2+px+q=0，甲看错了一次项系数，得根为2和7；乙看错了常数项，得根为1和-10，则原方程为16、如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了 元钱？三、专心解一解 17、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①2310x x -+=；②2(1)3x -=；③230x x -=；④224x x -=．18、关x 的一元二次方程(x-2)(x-3)=m 有两个不相等的实数根x 1、x 2，则m 的取值范围是 ；若x 1、x 2满足等式x 1x 2-x 1-x 2+1=0，求m 的值.19、数学课上，李老师布置的作业是图2中小黑板所示的内容，楚楚同学看错了第（2）题※中的数，求得（1）的一个解x=2；翔翔同学由于看错了第（1）题※中的数，求得（2）的一个解是x=3；你知道今天李老师布置作业的正确答案吗？请你解出来20．已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：()x x x x x x n x n n 2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可 21．广东将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．22．某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰是销售收入的20%，如果第一天的销售收入4万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.25万元，(1)求第三天的销售收入是多少万元？(2)第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？23．学校为了美化校园环境，在一块长40米，宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米，宽7米的长方形花圃．（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案；（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．24、已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC 的长为5．（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长． 25、阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x （x 2+x ﹣2）=0，解方程x=0和x 2+x ﹣2=0，可得方程x 3+x 2﹣2x=0的解．（1）问题：方程x 3+x 2﹣2x=0的解是x 1=0，x 2= ，x 3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程x x =+32的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m ，宽AB=3m ，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿BA ，AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ．求AP 的长．参考答案：一、1~5.ADDBB ；6~8.DDB ；二、9、x 2-2x=0； 10、4；11、2+；12、5；13、3，-7； 14、-3，-1，1或15，17，19；15、x 2+9x+14=0；16、700；三、17、①1232x ±=，；②121x =，10x =，23x =；④121x =，18、m ＞-1/4 ，m=2；19、方程（1）的解是x 1=2，x 2=0；方程（2）的解是x 1=3，x 2=4 20、解：（1）<1>()()x x +-=110，所以x x 1211=-=， <2>()()x x +-=210，所以x x 1221=-=， <3>()()x x +-=310，所以x x 1231=-=，……<n>()()x n x +-=10，所以x n x 121=-=，（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等 21、（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm 由题意得：2220()()1744xx -+=，解得：116x =，24x = 当116x =时，20-x=4，当24x =时，20-x=16（2）不能。
2024-2025学年人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程单元测试卷(含答案)
第二十一章一元二次方程一、选择题1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x−1=0B．x2−x−1=0C．x2−y=0D．1x+x−1=02．一元二次方程x2−4x+1=0配方后，可化为（ ）A．(x−2)2=3B．(x+2)2=3C．(x−2)2=4D．(x+2)2=43．若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为（ ）A．1B．2C．−1D．−24．方程x(x−2)=0的解是（ ）A．0B．2C．−2D．0或25．如果关于x的一元二次方程k x2−4x+2=0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤2B．k≤2且k≠0C．k<2且k≠0D．k≥2且k≠06．若x1+x2=3，x1x2=2，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）A．x2−3x+2=0B．x2+3x−2=0C．x2+3x+2=0D．x2−3x−2=07．学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是（ ）A．x(x+1)=15B．x(x−1)=15C．12x(x+1)=15D．12x(x−1)=158．若m，n是关于x的一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则m2+mn−2n的值为（ ）A．−6B．6C．−4D．4二、填空题9．若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则m的取值范围是 ．10．将关于x的一元二次方程x2−6x−5=0化成(x+a)2=b的形式，则b= ．11．方程3x2−6x=0的解是 12．已知关于x的方程(a−2)x2−2x+1=0有实数根，则a的取值范围是 13．若x1，x2是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为 ．三、计算题14．解方程：（1）3x2−10x+6=0；（2）5(x+3)2=2(x+3)．15．已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0 .（1）求证：方程有两个不相等的实数根.（2）若 Rt△ABC的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，求 k 的值.16．已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根.（1）求m的取值范围.（2）设x1，x2分别是方程的两个根，且x21+x22+x1x2−17=0，求m的值.17．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月增长率.（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算，此种头盔在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.现希望该头盔每月销售利润为10 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少?18．某超市销售一种衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件.（1）若每件衬衫降价4元，平均每天可售出多少件衬衫? 此时每天销售获利多少元?（2）在每件盈利不少于 25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1 200元，问每件衬衫应降价多少元?（3）该衬衫每天的销售获利能达到 1 300 元吗?如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由.1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．m≠-1 10．1411．x1=0，x2=212．a≤313．−1614．（1）解：3x2−10x+6=0，∵a=3，b=−10，c=6，∴b2−4ac=(−10)2−4×3×6=28>0，∴x=−b±b2−4ac2a =10±286=5±73，∴x1=5+73，x2=5−73；（2）解：5(x+3)2=2(x+3)，5(x+3)2−2(x+3)=0，(x+3)(5x+13)=0，x+3=0或5x+13=0，解得x1=−3，x2=−135．15．（1）证明：∵关于x的一元二次方程为x2−(2k+1)x+k2+k=0，∴Δ=[−(2k+1)]2−4(k2+k)=4k2+4k+1−4k2−4k=1>0，∴关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（2）解：∵关于x的一元二次方程为x2−(2k+1)x+k2+k=0，∴(x−k)[x−(k+1)]=0，解得：x1=k，x2=k+1.∵ Rt△ABC的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根，分两种情况讨论如下：当BC=5为直角边时，k2+52=(k＋1)2，解得：k=12；当BC=5为斜边时，k2+(k+1)2=52，解得：k1=3，k2=−4（根据边长为正判断不合题意，舍去），∴k=12或k=3．16．（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实根∴(2m+1)2−4×1×(m2−1)=4m2+4m+1−4m2+4=4m+5＞0，解得m>−54；（2）解：∵ x1，x2分别是方程的两个根∴x1+x2=−(2m+1)=−2m−1，x1·x2=m2−1；∵x12+x22+x1x2−17=0，配方后可得(x1+x2)2−x1x2−17=0；将x1+x2=−(2m+1)=−2m−1和x1·x2=m2−1代入，可得：(−2m−1)2−(m2−1)−17=0，化简可得3m2+4m−15=0；解得m=53或-3（舍去）；∴m的值为53.17．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：150(1+x)2=216，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依题意，得：(y−30)(600−y−400.5×5)=10000，整理，得：y2−130y+4000=0，解得：y1=80（不合题意，舍去），y2=50，∵尽可能让顾客得到实惠，∴该品牌头盔的实际售价应定为50元，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．18．（1）解：由题意可得，每件衬衫降价4元，平均每天可售出衬衫的数量为：20+4×2=28（件）；此时每天获取的利润为(40-4)×28=1008（元）；（2）解：设每件衬衫降价x元（0≤x≤15），由题意可得(20+2x)×(40-x)=1200，整理得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20(舍)，答：在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，每件衬衫应降价10元；（3）解：该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由如下：设每件衬衫降价y元，由题意可得(20+2y)×(40-y)=1300，整理得y2-30y+250=0，∵b2-4ac=302-4×1×250=-100＜0，∴此方程没有实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元.。
人教版九年级上第21章《一元二次方程》单元测试题(含答案解析)
二、填空题
13．请写出一个根为x＝1，另一个根满足－1<x<1的一元二次方程______________．
14．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．
15．某药品经两次降价后，从原来每箱 元降为每箱 元，则平均每次的降价率为________．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
22．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和 万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同．
求该公司投递快件总件数的月平均增长率；
【详解】
把x=1代入把x=1代入x2+px+1=0，得
1+p+1=0，
∴p=-2.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.
3．C
【解析】
【分析】
先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．
【详解】
∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0，
∴一元二次方程2x2-x+1=0没有实数根．x2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
D、是一元二次方程，故此选项正确；
人教版数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测题含答案解析
九年级数学第21章《一元二次方程》单元检测题分值：120分时间：90分钟一、选择题（本大题共12道小题，共36分）1.关于x的方程是一元二次方程的条件是A. B. C. D. a为任意实数2.把一元二次方程化成一般形式，其中a，b，c分别为A. 2，3，B. 2，，C. 2，，1D. 2，3，13.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是A. 1B.C. 0D. 无法确定4.若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是A. 1，0B. ，0C. 1，D. 无法确定5.用配方法解一元二次方程，配方正确的是A. B. C. D.6.一元二次方程的根的情况为A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根7.已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，，则a，b的值分别是A. ，1B. 3，1C. ，D. ，18.关于x的方程的两个根是和1，则的值为A. B. 8 C. 16 D.9.王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为A. B.C. D.11.某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2019年起到2021年累计投入4250万元，已知2019年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是A.B.C.D.12.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出三个结论：这两个方程的根都是负根；；其中正确结论的个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.已知关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是______．14.已知方程的一根为，则方程的另一根为______．15.已知，是一元二次方程的两实数根，则的值是______．16.在中，，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为．17.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元假设该公司2、3月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是．18.定义符号的含义为：当时，当时，，如：，，则方程的解是______．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19.解下列方程：．20.已知关于x的一元二次方程，求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；若方程有一个根的平方等于1，求m的值．21.若要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一面靠墙，如图所示，墙长18 m，墙对面有一个2 m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33 m，且围成的养鸡场的面积为，则鸡场的长和宽各为多少米．22.已知实数a，b，c满足：，，又，为方程的两个实根，试求的值．23.某生物实验室需培育一群有益菌现有60个活体样本，经过两轮培植后，有益菌总和达24000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个有益菌按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌24.某菜市场有平方米和4平方米两种摊位，平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，平方米和4平方米两种摊位的商户分别有和参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加，毎个摊位的管理费将会减少；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加，每个摊位的管理费将会减少这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，求a的值．25.己知的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根：为何值时，是以BC为斜边的直角三角形；为何值时，是等腰三角形，并求的周长．参考答案一、选择题（本大题共12道小题，共36分）1-5 CBBCA 6-10 BDCCC 11-12 DD二、填空题（本大题共6小题，共18分）13、14、15、616、217、18、或三、解答题（本大题共7小题，共66分）19、解：因式分解，得．或．，；移项，得．提公因式，得．解得，；将看作一个整体，分解因式，得，即．解得．20、证明：，，所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；解：方程有一个根的平方等于1，此根是，当根是1时，代入得：，即，此时m为任何数；当根是时，，解得：．21、解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得：，解得：，，当时，，当时，舍去，答：养鸡场的宽是10m，长为15m．22、解：，即，，2 ab为方程的两根，，由得，或即，由根与系数的关系得：23、设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得．解得，不合题意，舍去．答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．个．答：经过三轮培植后共有480000个有益菌．24、解：设该菜市场共有x个4平方米的摊位，则有2x个平方米的摊位，依题意，得：，解得：．答：该菜市场共有25个4平方米的摊位．由可知：5月份参加活动一的平方米摊位的个数为个，5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为个．依题意，得：整理，得：，解得：舍去，．答：a的值为50．25、解：因为，所以方程总有两个不相等的实数根．根据根与系数的关系：，，则，即，解得或．根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和且两根的积，解得，．若时，5是方程的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，当时，，则周长是；当时，则周长是．。
(完整版)人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元测试试题(含答案)
go 18．设 x1，x2 是方程 x2－4x＋m＝0 的两个根，且 x1＋x2－x1x2＝1，
re 则 x1＋x2＝ ，m＝
．
a 19．关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m－1＝0 有两个相等的实数根，
ing 则 m 的值为
．
e 20．设 m，n 分别为一元二次方程 x2＋2x－2 018＝0 的两个实数根，
解得 x1＝3，x2＝9. 10.解：∵2☆a 的值小于 0，∴22a＋a＝5a＜0，解得 a＜0.在方程 2x2－bx＋a＝0 中，b2－4ac＝(－b)2－8a≥－8a＞0，∴方程 2x2－bx＋a＝0 有两个不相等的实数根． 11.A 12.B
3 13. C【解析】根据题意，将 x＝－2 代入方程 x2＋2ax－a2＝ 0， 得 4－3a－a2＝0，即 a2＋3a－4＝0, 左边因式分解，得(a－1)(a＋4) ＝0, ∴a＝1 或－4.故选 C． 14.B 15. B【解析】∵(a－c)2＝a2＋c2－2ac＞a2＋c2， ∴ac＜0.在方程 ax2＋bx＋c＝0 中，b2－4ac≥－4ac＞0， ∴方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根．故选B．
ll th 的取值范围是( )
A 3 d A．m≥－4
B．m≥0
t a time an C．m≥1
D．m≥2
3 13．若 x＝－2 是关于 x 的一元二次方程x2＋2ax－a2＝0 的一个根，则
a 的值为( )
A．－1 或 4 B．－1 或－4
C．1 或－4
D．1 或 4
14．若关于 x 的一元二次方程的两根为 x1＝1，x2＝2，则这个方程是( )
ome 18. 3【解析】∵x1，x2 是方程 x2－4x＋m＝0 的两个根， r s ∴x1＋x2＝4，x1x2＝m.代入 x1＋x2－x1x2＝1，得 4－m＝1，∴m＝3.
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷-带答案(人教版)
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试卷-带答案(人教版)一、选择题1．方程x 2=4的解是( ) A ．x=2 B ．x=-2 C ．x 1=1，x 2=4 D ．x 1=2，x 2=-22．用配方法解方程2250x x +-=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 3．关于x 的方程3x 2﹣2x+1=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定4．方程x 2=x 的根是（ ） A ．x=1B ．x=0C ．x 1=1，x 2=0D ．x 1=1，x 2=－15．若1x =是方程230x mx ++=的一个根，则方程的另一个根是（ ）A ．3B ．4C ．﹣3D ．－4 6．若关于x 的方程()22310m x x +-+=是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≠B ．2m >-C ．2m ≠-D ．0m > 7．若关于x 的一元二次方程()22210k x x -+-=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k ≤B ．1k ≤且2k ≠C ．1k ≥且2k ≠D ．2k ≥8．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程29200x x -+=的一个根，则该菱形的周长为（ ）A ．40B ．16C ．16或20D ．209．设 a b ，是方程220200x x +-=的两个实数根，则(1)(1)a b --的值为（ ）A ．2022-B ．2018C ．2018-D ．202210．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?若设应邀请x 个队参赛，可列出的方程为（ ）A ．(1)28x x +=B ．(1)28x x -=C ．1(1)282x x += D ．1(1)282x x -=11．若()22250a a x ---=是一元二次方程，则a ＝ .12．小华在解方程28x x =时，只得出一个根是8x =，则被他漏掉的一个根是x = .13．若1x ，2x 是关于x 的方程2250x x --=的两个实数根，则代数式211234x x x --+的值是 .14．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 个飞机场三、解答题15．若关于x 的一元二次方程(m-1) 2x +2x+2m -1=0的常数项为0，求m 的值是多少？16．用配方法解一元二次方程： 210x x +-= .17．解方程：()222y y y +-=.18．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．求证：方程总有两个实数根．19．已知关于x 的一元二次方程2210x kx --=有一个根是-3，求另一个根及k 值.四、综合题20．已知关于x 的一元二次方程x 2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3.（1）求m 的值及方程的另一个根；（2）若该方程的两根的值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长.21．已知关于x 的方程23360x ax a ---=（1）求证：方程恒有两不等实根；（2）若x 1，x 2是该方程的两个实数根，且12(1)(1)1x x --=，求a 的值.22．如图，Rt ABC 中是方程()()2140x m x m --++=的两根.（2）P ，Q 两点分别从A ，C 出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边AC ，BC 向终点C ，B 运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后2PQ =？参考答案与解析1．【答案】D【解析】【解答】x 2=4x 1=2，x 2=-2故答案为：D【分析】正数的平方根有两个2．【答案】A【解析】【解答】解：移项，得225x x +=配方，得22151x x ++=+即()216x +=故答案为：A【分析】根据配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵a=3，b=﹣2，c=1 ∴△=b 2﹣4ac=4﹣12=﹣8＜0∴关于x 的方程3x 2﹣2x+1=0没有实数根.故答案为：C.【分析】先计算根的判别式△=b 2-4ac 的值，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.4．【答案】C【解析】【解答】∵x 2＝x ∴x 2﹣x ＝0则x （x ﹣1）＝0解得x 1＝0，x 2＝1故答案为：C.【分析】先移项，把原方程化为一元二次方程的一般式，再利用因式分解法解一元二次方程即可.5．【答案】A【解析】【解答】解： 1x =是方程230x mx ++=的一个根，设另一根为1x ，113x ∴⨯=，13x ∴=，即方程的另一个根是 3.x =故答案为：A【分析】根据根与系数的关系进行解答即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵方程()22310m x x +-+=是关于x 的一元二次方程 ∴20m +≠．∴2m ≠-．故答案为：C ．【分析】利用一元二次方程的定义可得20m +≠，再求出m 的取值范围即可。
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》 单元测试(含答案)
试卷第1页，总3页 第二十一章《一元二次方程》 测试题一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分）1．下列方程为一元二次方程的是 ( )A ．ax 2+bx+c=0B ．x 2－2x －3C ．2x 2＝0D ．xy ＋1＝02．把方程x （3-2x ）+5=1化成一般式后二次项系数与常数项的积是（ ）A ．3B ．-8C ．-10D ．153．若关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个解是x ＝0，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．04．若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0(a 0≠)必有一个根是（ ）A ．0 B ．1C ．-1 D ．b a -5．用配方法解一元二次方程2x 2﹣4x+1=0，变形正确的是（ ）A ．（x ﹣12）2=0 B ．（x ﹣12）2=12 C ．（x ﹣1）2=12 D ．（x ﹣1）2=06．已知直角三角形的两边长是方程x 2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（ ） A ．7 B ．5C 7D ．577．若关于 x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣3m ＝0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（）A ．m 12>B ．m 112<C ．m ＞﹣112D ．m 112< 8．若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－139．已知关于x 的一元二次方程(2a －1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＝0的两个根相等，则a 的值等于( )A ．－1或－5B ．－1或5C ．1或－5D ．1或510．如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A ．1米B ．2米C ．3米D ．4米11．是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．3x 2+5x+1=0、 B ．3x 2﹣5x+1=0、 C ．3x 2﹣5x ﹣1=0、 D ．3x 2+5x ﹣1=012．已知m ，n 是方程x 2﹣2018x +2019＝0的两个根，则（m 2﹣2019m +2018）（n 2﹣2019n +2018）的值是（ ）A ．1B ．2C ．4037D ．4038二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．一元二次方程4x 2= 3x 的解是_____________．14．圣诞节时，某班一个小组有x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为_____．15．关于a 的方程2420a a ++=的两个解为1a 、2a ，则2212a a +=_____. 16．已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.三、解答题（共6小题，第17题8分，第18题12分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题12分，共52分）17、解下列方程 (1) x 2-2x-5=0 (用配方法) (2)2x 2+3x=4(公式法)18、已知关于x 的方程||(2)210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程？（2）当m 为何值时是一元二次方程？19、 已知两个方程20x px q ++=和20x qx p ++=仅有一个相同的根，求p q +的值．20、小刚在做作业时，不小心将方程2350x bx --=的一次项系数用墨水覆盖住了，但从题目的答案中，他知道方程的一个解为5x =，请你帮助小刚求出被覆盖住的数试卷第3页，总3页 21、已知关于x 的一元二次方程22(51)40x m x m m -+++=. 求证：无论m 取任何实数时，原方程总有两个实数根；22、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？参考答案1．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C2．.考点：一元二次方程的一般形式试题解析：解析：x （3-2x ）+5=1 -2x 2+3x+4=0 -2×4=-8 故选B ．答案：B3．考点：一元二次方程的解试题解析：解析：将x ＝0代入原方程得a 2－1＝0且a ＋1≠0所以a=1故选A ．答案：A4．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C5．考点：配方法答案第4页，总3页试题解析：解析x 2﹣2x+12=0 x 2﹣2x+1=12（x ﹣1）2=12故选C ．答案：C6．考点：解一元二次方程和勾股定理试题解析：解析：解方程得x 1 =3, x 2=4.当3和4为直角边时，第三边为5，当4为斜边故选D ．答案：D7．考点：一元二次方程根的判别式和一元一次不等式的解法试题解析：解析：∆= b ²-4ac >0即1+12m >0 m >﹣112故选C ． 答案：C8．考点：一元二次方程根与系数的关系 试题解析：解析：11x ＋21x =(x ₁+x ₂)/(x ₁x ₂)=﹣3 故选B ． 答案：B9．考点：一元二次方程根的判别式和解一元二次方程试题解析：解析：(a ＋1)²- 4(2a －1)=0解得a ₁=1a ₂=5故选D ．答案：D10．考点：一元二次方程的应用试题解析：解析：设路宽为x,依题可得：（20-x ）(33-x)=510解得x 1 =3, x 2=50（舍去）故选C ．答案：C11．考点：一元二次方程求根公式试题解析：解析：由一元二次方程求根公式与方程给出的根可找出a=3 b=5 c = - 1 故选D ．答案：D12．考点：一元二次方程的解和根与系数的关系试题解析：解析：将m 和n 分别代入方程变形得m 2﹣2018m =-2019n 2﹣2018n =-2019将原式变形后整体代入（-2019-m+2018(-2019-n+2018)=(-1-m)(-1-n)=1+m+n+mn∵m+n=2018 mn=2019∴原式=1+2018+2019=4038故选D ．答案：D13．考点：解一元二次方程(因式分解法)试题解析：解析：4x 2 -3x= 0 x(4x-3)=0 x 1 =0, x 2=34答案：x 1 =0, x 2=3414．考点：一元二次方程的应用试题解析：答案：x （x ﹣1）＝11015．考点：一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式试题解析：解析：2212a a +=（a ₁+a ₂）²-2a ₁a ₂答案：1216．考点：一元二次方程解法和根与系数的关系试题解析：解析：∵ x₁x₂=12 x₁²+x₂²=25∴x ₁+x ₂=7或-7答案：x 2-7x+12=0或x 2+7x+12=017．考点：一元二次方程解法答案：(1)11x =21x =；(2)134x -=，234x -= 18．考点：一元一次方程和一元二次方程的概念试题解析：解析：（1）注意分三种情况讨论（2）注意指数和系数答案：（1）-2或±1或0 （2）2 19．考点：一元二次方程根和方程组试题解析：解析：x ²+px+q= x ²+qx+p (p-q)x=p-q x=1代入原方程1+p+q=0 ∴p+q=-1答案：-1；.20．考点：一元二次方程解试题解析：解析：答案：1421．考点：一元二次方程根的判别式和完全平方公式试题解析：解析：答案：∵∆= b ²-4ac =（5m+1）²-4（4m ²+m ）=9m ²+6m+1=(3m+1)²≥0∴不论m 取任何实数，原方程总有两个实数根22．考点：一元二次方程的应用和一元一次不等式试题解析：解析：（1）设增长率为x ，依题可得10（1+x ）²=12.1解得x 1 =0.1, x 2=-2.1(舍去)故增长率为10％；（2）6月总数12.1×（1+10％）=13.31>21×0.6所以不能完成任务。
人教版九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》测试卷-附带答案
人教版九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》测试卷-附带答案一、单选题1．下列方程是关于的一元二次方程的是（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程变形后的结果正确的是（）A．B．C．D．3．我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱倩人去买几株椽．每株脚钱三文足无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文那么少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株则符合题意的方程是（）A．B．C．D．4．一元二次方程的根是（）A．B．C．D．5．若是关于的一元二次方程的解则的值为（）A．B．C．D．6．若关于x的方程有实数根则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．且7．设a b是方程的两个实数根则的值是（）A．2021 B．2020 C．2019 D．20188．为了庆祝教师节市教育工会组织篮球比赛赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一场）共进行了45场比赛则这次参加比赛的球队个数为（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题9．三角形的每条边的长都是方程的根则三角形的周长是. 10．一元二次方程有一根为则k的值为．11．一元二次方程两个根为且则k= 。
12．随着互联网的迅速发展某购物网站的年销售额从2020年的300万元增长到2022年的507万元设平均每年销售额增长的百分率为x 则关于x的方程是．13．一个两位数十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调得到的两位数比原来的两位数小27 则原来的两位数是三、计算题14．解下列方程：（1）（2）15．已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围（2）如果方程的两个实数根为且求的取值范围．16．如图老李想用长为的栅栏再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时能围成一个面积为640的羊圈？（2）羊圈的面积能达到吗？如果能请你给出设计方案如果不能请说明理由．“4•20”雅安地震后某商家为支援灾区人民计划捐赠帐篷16800顶该商家备有2辆大货车、17．8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶大、小货车每天均运送一次两天恰好运完．（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损实际运送过程中每辆大货车每次比原计划少运200m顶每辆小货车每次比原计划少运300顶为了尽快将帐篷运送到灾区大货车每天比原计划多跑次小货车每天比原计划多跑m次一天恰好运送了帐篷14400顶求m的值．18．甲、乙两工程队合作完成某修路工程该工程总长为4800米原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米刚好按时完成任务．（1）求甲工程队每小时修的路面长度（2）通过勘察地下发现大型溶洞此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米在实际施工中乙工程队修路效率保持不变的情况下时间比原计划增加了()小时甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米而修路时间比原计划增加m小时求m的值．参考答案：1．D2．D3．D4．D5．D6．B7．C8．C9．6或10或1210．211．112．13．7414．（1）解：∵∴∴∴（2）解：∵∴则∴15．（1）解：根据题意得解得（2）解：根据题意得而所以解得而所以的范围为．16．（1）解：设矩形的边则边．根据题意得．化简得．解得．当时当时．答：当羊圈的长为宽为或长为宽为时能围成一个面积为的羊圈．（2）解：不能理由如下：由题意得．化简得．∵∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到．17．（1）解：设小货车每次运送x顶则大货车每次运送（x+200）顶根据题意得：2×[2（x+200）+8x]=16800解得：x=800．∴大货车原计划每次运：800+200=1000顶答：小货车每次运送800顶大货车每次运送1000顶（2）解：由题意得2×（1000﹣200m）（1+ m）+8（800﹣300）（1+m）=14400解得：m1=2 m2=21（舍去）．答：m的值为218．（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米则甲工程队每小时铺设路面米根据题意得解得：则∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米（2）解：根据题意得整理得解得：（舍去）∴m的值为18。
初三数学第一学期第21章 一元二次方程 单元测试卷(含解析)
人教版2022年九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．y＝2x﹣1 B．x2＝6 C．5xy﹣1＝1 D．2（x+1）＝22．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，3，﹣4 B．0，3，4 C．0，﹣3，4 D．1，﹣3，﹣43．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（）A ．B ．C．2 D ．4．方程（x﹣2）2＝4（x﹣2）的解为（）A．4 B．﹣2 C．4或﹣6 D．6或25．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是（）A ．B ．C ．D ．6．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，57．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m ＜B．m ＞C．m ＞且m≠1 D．m≠18．2022年2月6日，中国女足获得亚洲杯冠军！某传媒发布的参赛队员简介视频两天的点击量由原来的5万飙升至150万，若设每天点击量的平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（）A．5（1+x）2＝150 B．5+5（1+x）+5（1+x）2＝150C．5x2＝150 D．5+5x+5x2＝1509．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．810．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．一元二次方程x2＝7x的解是．12．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是．13．若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，则代数式2a﹣4a2+1的值是．14．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为．15．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则3a2+8a﹣b的值是．16．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，那么a2+b2＝．三．解答题（共7小题，满分46分）17．（6分）解下列方程：（1）（x﹣2）2＝5（x﹣2）；（2）2x2﹣3x＝1．18．（5分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多售2件．商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？19．（5分）为提高应急处置能力，某社区计划搭建一个临时物资储备仓库，用来放置应急物资．如图，仓库的两边靠墙（墙足够长），另外两边用总长为58米的铁皮围成，两面墙的夹角为90°，铁皮与墙面均垂直，其中CD边上留有宽2米的通道，且边CD的长不小于30米．若仓库的面积是800平方米，则BC的长应为多少米？20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．21．（7分）请根据图片内容，回答下列问题：（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？22．（8分）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值；解：由题意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0∴，解得．请解决以下问题：（1）若x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，求y x的值；（2）若a，b，c是△ABC的边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，c是△ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是哪几个数？23．（9分）阅读理解：材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求x2+2x+5的取值范围；解：令x2+2x+5＝y∴x2+2x+（5﹣y）＝0∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0∴y≥4∴x2+2x+5≥4．材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1＞x2）则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1请根据上述材料，解答下列问题：（1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝；（2）求出代数式的取值范围；（3）若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n 的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【解答】解：A．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；B．x2＝6是一元一次方程，故本选项符合题意；C．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；D．是一元一次方程的定义，故本选项不合题意；故选：B．2．【解答】解：一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣3，常数项为﹣4．故选：D．3．【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，∴3x2+6x＝1，x2+2x ＝，则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，∴a＝1，b ＝，∴a+b ＝．故选：B．4．【解答】解：（x﹣2）2＝4（x﹣2），移项，得（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝0，整理，得（x﹣2）（x﹣2﹣4）＝0．所以x﹣2＝0或x﹣6＝0．所以x1＝2，x2＝6．故选：D．5．【解答】解：一元二次方程的求根公式为x ＝，故选：A．6．【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，∴Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，解得m ＜，故选：A．8．【解答】解：由题意可得，5+5（1+x）+5（1+x）2＝150，故选：B．9．【解答】解：设八年级共有x个班，依题意得：x（x﹣1）＝21，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝7，∴八年级共有7个班．故选：C．10．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b ＝或2ax0+b ＝﹣∴故④正确．故选：B．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．【解答】解：x2﹣7x＝0，x（x﹣7）＝0，x＝0或x﹣7＝0，所以x1＝0，x2＝7．故答案为：x1＝0，x2＝7．12．【解答】解：∵方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，∴a≠1，故答案为：a≠1．13．【解答】解：∵a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，∴2a2﹣a﹣5＝0，∴2a2﹣a＝5，∴4a2﹣2a＝10，∴2a﹣4a2+1＝﹣10+1＝﹣9，故答案为：﹣9．14．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣1，故答案为：﹣1．15．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，∴a2+3a＝8，a+b＝﹣3，∴3a2+8a﹣b＝3（a2+3a）﹣（a+b）＝3×8﹣（﹣3）＝27．故答案为：27．16．【解答】解：设a2+b2＝t（t≥0），则t（t﹣2）＝8，整理，得（t﹣4）（t+2）＝0，解得t＝4或t＝﹣2（舍去），则a2+b2＝4．故答案是：4．三．解答题（共7小题，满分46分）17．【解答】解：（1）（x﹣2）2＝5（x﹣2），（x﹣2）2﹣5（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣5）＝0，x﹣＝2＝0或x﹣2﹣5＝0，所以x1＝2，x2＝7；（2）2x2﹣3x＝1，2x2﹣3x﹣1＝0，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，x ＝，所以x1＝，x2＝．18．【解答】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．答：每件衬衫应降价10元或20元．19．【解答】解：设CD＝x米，则BC＝（58+2﹣x）米，依题意得：x（58+2﹣x）＝800，整理得：x2﹣60x+800＝0，解得：x1＝20（不符合题意，舍去），x2＝40，∴58+2﹣x＝58+2﹣40＝20．答：BC的长应为20米．20．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当腰为4时，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，∴Δ＝0，∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，综上所述，m的值为4或3．21．【解答】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，根据题意，可得（1+x）2＝121，解得x1＝10，x2＝﹣12（舍去），答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；（2）根据题意，121×10＝1210（名），答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．22．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，∴x2+4xy+4y2+y2﹣4y+4＝0，∴（x+2y）2+（y﹣2）2＝0，∴x+2y＝0，y﹣2＝0，解得x＝﹣4，y＝2，∴y x＝2﹣4＝；（2）已知等式整理得：（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，解得：a＝6，b＝4，由△ABC中最长的边是c，∴6≤c＜10，∵c为偶数，∴c可能是6或8．23．【解答】解：（1）设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3﹣y＝0，∵△≥0，∴a2﹣4（3﹣y）≥0可得y，而由已知y≥﹣6，故3﹣＝﹣6，∴a＝6或a＝﹣6．（2）设y ＝，变形为3x2+（6+3y）x﹣2﹣y＝0，∵△≥0，∴（6+3y）2﹣4×3×（﹣2﹣y）≥0，化简得3y2+16y+20≥0，先求出3y2+16y+20＝0的二根y1＝﹣2，y2＝﹣，∴根据材料二得y或y≥﹣2．（3）设y ＝，变形得yx2﹣（y+5m）x+2y+n＝0，∵△≥0，∴（y+5m）2﹣4y（2y+n）≥0，整理得7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2≤0，由已知可得﹣4≤y≤7，根据材料二知7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2＝0的二根是y1＝﹣4，y2＝7，代入整理得，解得或．。
2019秋季人教版九年级数学上册 第21章《一元二次方程》单元测试题 (含答案解析)
B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 D．10×6﹣4x2=32
10．（4 分）某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市 2017 年“竹文化”旅
游收入约为 2 亿元．预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、2019 年
“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
【解答】解：y2﹣y﹣ 3 =0 4
y2﹣y= 3 4
y2﹣y+ 1 =1 4
（y﹣ 1 ）2=1 2
故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
6． 【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案．
【解答】解：2x2﹣4x= 5 ， 4
8x2﹣16x﹣5=0，
2． 【分析】一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0）中 a、b、c 分别是二次项系数、一次 项系数、常数项． 【解答】解：化为一般式，得 x2﹣5x﹣9=0， 一次项系数为﹣5， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意 a ≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是 常数项．其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
，
∵x1 为一元二次方程 2x2﹣4x= 5 较小的根， 4
，
∵5＜ 26 ＜6，
∴﹣1＜x1＜0． 故选：B． 【点评】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估 算无理数的大小．
7． 【分析】先移项，再将方程左边进行因式分解，转化成一次方程，求解即可． 【解答】解：移项得：x2+2x﹣3=0， 方程左边因式分解得：（x+3）（x﹣1）=0， x+3=0 或 x﹣1=0， 解得：x1=﹣3，x2=1， 较适宜的方法是因式分解法， 故选：C． 【点评】本题考查解一元二次方程，掌握多种方法解一元二次方程，并针对不同的题目找到最适宜 的方法是解决本题的关键．
人教版初三数学上册第21章《一元二次方程》单元测试题含答案解析
7．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
6
人教版初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题含答案解析
x 输出
20.5 －13.75
20.6 －8.04
20.7 －2.31
20.8 3.44
20.9 9.21
分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0 的一个正数解 x 的大致范围为(C) A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9
17．(本题 8 分)小明用下面的方法求出方程 2 x－3＝0 的解，请你仿照他的方法求出下面另 外两个方程的解，并把你的解答过程写在下面的表格中． 方程 换元法得新方程 令 x＝t 则 2t－3＝0 解新方程 3 2 检验 3 t＝ ＞0 2 求原方程的解 3 x＝ ， 2 9 所以 x＝ . 4
(2)如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率 x.
21．(本题 8 分)一张长为 30 cm，宽 20 cm 的矩形纸片，如图 1 所示，将这张纸片的四个角 各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图 2 所示，如 果折成的长方体纸盒的底面积为 264 cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．
人教版初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题含答案解析
初三数学上册第 21 章《一元二次方程》单元测试题
(满分：120 分 考试时间：120 分钟)
一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．) 1.下列方程是关于 x 的一元二次方程的是( A．ax2＋bx＋c＝0 1 1 B. 2＋ ＝2 x x ) C．x2＋2x＝y2－1 ) D．3(x＋1)2＝2(x＋1)
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元测试卷-(含答案及解析)
保密★启用前人教版九年级数学上册单元测试卷第二十一章 一元二次方程考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；试卷总分：120分一、单选题（共30分，每小题3分） 1．下列是一元二次方程的是（ ）A ．2230x x --=B ．25x y +=C ．112xx += D ．10x +=2．方程4x 2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A ．4，0，81B ．﹣4，0，81C ．4，0，﹣81D ．﹣4，0，﹣81 3．方程2690x x +-=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根为1-D ．没有实数根4．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．1-5．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定6．已知23-=x x ，则代数式()()()323210x x x x +-+-的值为（ ）．A ．34B ．14C ．26D ．77．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+k ＝0的两个实数根，则k 的值是（ ）A ．8B ．9C ．8或9D ．128．用“配方法”解一元二次方程x 2﹣16x +24＝0，下列变形结果，正确的是（ ） A ．（x ﹣4）2＝8B ．（x ﹣4）2＝40C ．（x ﹣8）2＝8D ．（x ﹣8）2＝409．设m 、n 是一元二次方程x 2+3x ﹣7＝0的两个根，则m 2+4m +n ＝（ ） A ．﹣3 B ．4 C ．﹣4 D ．5 10．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．50（1+x ）²=182B ．50+50（1+x ）+50（1+x ）²=182C ．50（1+2x ）=182D ．50+50（1+x ）+50（1+2x ）²=182二、填空题（共24分，每小题3分） 11．一元二次方程230x -=的解为_______．12．方程220x x -+=与方程2610x x --=的所有实数根的和是______．13．已知m ，n 是方程2310x x +-=的两个根，则22m n +=_________．14．若关于x 的一元二次方程2840ax x -+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_____．15．若关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的最大整数值是__________．16．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程220x x --=是“倍根方程”；①若(2)()0x mx n -+=是“倍根方程”，则22450m mn n ++=；①若,p q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是“倍根方程”；①若方程20ax bx c ++=是“倍根方程”，则必有229b ac =．17．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是__．18．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x 步，则可列方程 ．三、解答题（共66分） 19．解方程：（共8分）(1)()2140x --= (2)()2236x x -=-20．阅读下列材料，解答问题．（共6分）222(25)(37)(52)x x x -++=+．解：设25,37m x n x =-=+，则52m n x +=+，原方程可化为222()m n m n +=+， 0mn ，即(25)(37)0x x -+=．250x ∴-=或370x +=，解得1257,23x x ==-． 请利用上述方法解方程：222(45)(32)(3)x x x -+-=-．21．方程2ax 10x ++=与方程2x a 0x --=有且只有一个公共根，求a 的值（共6分）22．已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0（共8分）（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求①ABC的周长．23．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．（共6分）24．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为250m的矩形场地？（共6分）25．某单位通过旅行社组织职工去上海世博会.下面是领队与旅行社导游收费标准的一段话：领队：每人的收费标准是多少？导游：如果人数不超过30人，人均旅游费用为120元.领队：超过30人怎样优惠呢？导游：如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用就降低2元，但人均旅游费用不得低于90元.该单位按旅行社的收费标准组团参观世博会后，共支付给旅行社4000元.请你根据上述信息，求该单位这次参观世博会的共有几人？（共8分）26．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元）(020)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（共8分）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？27．如图，长方形ABCD 中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB ＝6cm ，AD ＝2cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以2cm/s 的速度向终点B 移动，点Q 以1cm/s 的速度向点D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t （s ），问：（共10分）（1）当t ＝1s 时，四边形BCQP 面积是多少？（2）当t 为何值时，点P 和点Q 距离是3cm ？（3）当t ＝ s 时，以点P ，Q ，D 为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）参考答案：1．A2．C3．B4．D5．A6．C7．B8．D9．B10．B11．1x 2x = 12．6 13．11 14．4a <且0a ≠15．0 16．①①① 17．13 18．x （x +12）=86419．(1)13x =，21x =-；(2)12x =，25x =（1）()2140x --= ()214x -=12x -=或12x -=-13x =，21x =-（2）()2236x x -=- ()()22320x x ---=()()250x x --=20=或50x -=12x =，25x =20．x 1=54，x 2=23 解：（4x -5）2+（3x -2）2＝（x -3）2，设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，原方程化为：m 2+n 2＝（m -n ）2，整理得：mn ＝0，即（4x -5）（3x -2）＝0，①4x -5＝0，3x -2＝0，①x 1=54，x 2=23． 21．-2解：∵有且只有一个公共根∴22ax 1x a x x ++=--∴ax 10x a +++=①当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，①()11a x a -+=+∴1x =-当1x =-时，代入第一个方程可得1-a+1=0解得：2a =22．（1）见解析；（2）5（1）证明：由题意知：Δ＝（k +2）2﹣4•2k ＝（k ﹣2）2，①（k ﹣2）2≥0，即①≥0，①无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b ＝c 时，Δ＝（k ﹣2）2＝0，则k ＝2，方程化为x 2﹣4x +4＝0，解得x 1＝x 2＝2，①①ABC 的周长＝2+2+1＝5；当b ＝a ＝1或c ＝a ＝1时，把x ＝1代入方程得1﹣（k +2）+2k ＝0，解得k ＝1，方程化为x 2﹣3x +2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，①①ABC 的周长为5．23．这个两位数为84．设十位上的数字为x ，则个位上的数字为（x ﹣4）．可列方程为：x 2+（x ﹣4）2＝10x +（x ﹣4）﹣4解得：x 1＝8，x 2＝1.5（舍），①x ﹣4＝4，①10x +（x ﹣4）＝84．答：这个两位数为84．24．用20m 长的篱笆围成一个长为10 m ，宽为5 m 的矩形（其中一边长10m ，另两边长5 m ）解：设与墙垂直的篱笆长为x m ，则与墙平行的篱笆长为()202x -m ，根据题意，得(202)50x x -=，整理得，210250x x -+=，解得125x x ==，()202202510x m ∴-=-⨯=．答：用20m 长的篱笆围成一个长为10 m ，宽为5 m 的矩形（其中一边长10m ，另两边长5 m ）．25．30X120="3600" ①3600小于4000，①参观的人数大于30人设共有x 人，则人均旅游费为【120-2（x-30）】元由题意得：x 【120-2（x-30）】=4000整理得：x 1＝40,x 2＝50当x=40时，120—2（40-30）=100大于90当x=50时，120—2（50.30）=80.小于90（不合，舍去）答：该单位这次参观世博会共又40人30×120＝3600．①3600＜4000，∴参观的人数大于30人，设共有x 人，则人均旅游费为[120﹣2（x ﹣30）]元，由题意得：x [120﹣2（x ﹣30）]＝4000解得：x 1＝40，x 2＝50．当x ＝40时，120﹣2（40﹣30）＝100＞90；当x ＝50时，120﹣2（50﹣30）＝80＜90（不合，舍去）．答：该单位这次参观世博会共有40人．26．（1）10100y x =+；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．解：（1）设一次函数解析式为：y kx b =+，根据图象可知：当2x =，120y =；当4x =，140y =；①21204140k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：10100k b =⎧⎨=⎩， ①y 与x 之间的函数关系式为10100y x =+；（2）由题意得：(6040)(10100)2090x x --+=，整理得：21090x x -+=，解得：11x =．29x =，①让顾客得到更大的实惠，①9x =.答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．27．（1）5cm 2；（2；（365 解：（1）如图，①四边形ABCD 是矩形，①AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝2，①A ＝①B ＝①C ＝①D ＝90°． ①CQ ＝1cm ，AP ＝2cm ，①AB ＝6﹣2＝4（cm ）．①S ＝()14252+⨯=（cm 2）． 答：四边形BCQP 面积是5cm 2；（2）如图1，作QE ①AB 于E ，①①PEQ ＝90°，①①B ＝①C ＝90°，①四边形BCQE 是矩形，①QE ＝BC ＝2cm ，BE ＝CQ ＝t （cm ）．①AP ＝2t （cm ），①PE ＝6﹣2t ﹣t ＝（6﹣3t ）cm ．在Rt △PQE 中，由勾股定理，得（6﹣3t ）2+4＝9，解得：t 如图2，作PE ①CD 于E ，①①PEQ＝90°．①①B＝①C＝90°，①四边形BCQE是矩形，①PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．①CQ＝t，①QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4＝9，解得：t综上所述：t（3）如图3，当PQ＝DQ时，作QE①AB于E，①①PEQ＝90°，①①B＝①C＝90°，①四边形BCQE是矩形，①QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．①AP＝2t，①PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．①PQ＝DQ，①PQ＝6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t如图4，当PD＝PQ时，作PE①DQ于E，①DE＝QE＝12DQ，①PED＝90°．①①A＝①D＝90°，①四边形APED是矩形，①PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，①DQ＝6﹣t，①DE＝62t-．①2t＝62t-，解得：t＝65；如图5，当PD＝QD时，①AP＝2t，CQ＝t，①DQ＝6﹣t，①PD＝6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1t2．综上所述：t 6565。
初中数学 人教版 九年级上册 第21章 一元二次方程 单元考试测试卷(含解析答案)
初中数学 人教版 九年级上册 第21章 一元二次方程 单元考试测试卷（含解析答案）1 / 6第21章 一元二次方程 单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.下列方程是关于 的一元二次方程的是 A.B.C.D.2.将一元二次方程x 2-6x+5=0配方后，原方程变形为（ ）A. （x-3）2=5 B. （x-6）2=5 C. （x-6）2=4 D. （x-3）2=4 3.已知点A （m 2-2，5m+4）在第一象限角平分线上，则m 的值是（ ）A. 6B. -1C. 2或3D. -1或64.若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx ﹣k 的大致图象是（ ）A.B.C.D.5.如果关于 的方程 有两个实数根，则 满足的条件是（ ）A.B.C.且D.且6.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x 2﹣3x ＝4（x ﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（ ）A. 3B. 4C. 6D. 2.58.若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1 ， x 2 ， 则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣29.王叔叔从市场上买了一块长80cm ，宽70cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm 2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）A. （80﹣x ）（70﹣x ）=3000B. 80×70﹣4x 2=3000C. （80﹣2x ）（70﹣2x ）=3000D. 80×70﹣4x 2﹣（70+80）x=300010.如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）A. B. C. 2﹣ D. 4﹣2二、填空题（共6题；共18分）11.方程 转化为一元二次方程的一般形式是________．12.一元二次方程的根是________.13.关于x 的一元二次方程（m ﹣3）x 2+x+（m 2﹣9）＝0的一个根是0，则m 的值是________． 14.若一元二次方程x 2+2kx+k 2-2k+1=0的两个根分别为x 1 ， x 2 ， 满足x 12+x 22=4，则k 的值=________。
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元测试卷(含答案)
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元测试卷（含答案）一、选择题 （每题3分，共30分）1.若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m =2C ．m= -2D ．2m ≠±2．一元二次方程()224260m x mx m --+-=有两个相等的实数根，则m 等于（ ）A. -6B. 1C. 2D. -6或1 3．对于任意实数x ,多项式x 2-5x+8的值是一个（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．无法确定 4．已知代数式3x -与23x x -+的值互为相反数，则x 的值是（ ）A ．-1或3B ．1或-3C ．1或3D ．-1和-3 5．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞–14B ．a ≥–14C ．a ≥–14且a ≠0 D ．a ＞–14且a ≠0 6．方程x 2+ax +1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7.已知m 方程210x x --=的一个根，则代数式2m m -的值等于（ ）A.-1B.0C.1D.28.从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ） A.9cm 2B.68cm 2C.8cm 2D.64cm 29.县化肥厂第一季度增产a 吨化肥,以后每季度比上一季度增产x %,则第三季度化肥增产的吨数为（ ）A 、 2(1)a x +B 、2(1)a x +%C 、2(1%)x +D 、2(%)a a x +10. 一个多边形有9条对角线,则这个多边形有多少条边（ ）A 、6B 、7C 、8D 、9二、填空题 （每题3分，共30分）11.若方程mx 2+3x -4=3x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 .12．一元二次方程（x +1）(3x －2)=10的一般形式是 . 13.方程23x x =的解是＿＿＿＿14．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是＿＿＿＿＿＿ 15．已知4)2)(1(2222=-+-+y x y x ，则22x y +的值等于 .16．已知2320x x --=，那么代数式32(1)11x x x --+-的值为 .17.若一个等腰三角形的三边长均满足方程x 2-6x +8=0，则此三角形的周长为 . 18．k ＝ 时，二次三项式x ２－2（k ＋1）x ＋k ＋7是一个x 的完全平方式．19．当k ＜1时，方程2（k +1）x 2＋4kx +2k -1=0的根的情况为： ．20．已知方程x 2－b x + 22 = 0的一根为b ＝ ，另一根为＝ ．三、解答题21．解方程（每小题5分，共20分）① 2430x x --= ② 2(3)2(3)0x x x -+-=(3) 2(1)4x -= (4) 3x 2+5(2x+1)=022.（本题10分）有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米.求鸡场的长和宽.23．（本题10分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（本题10分）一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽．25．（本题10分）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为 公顷，比2002年底增加了 公顷；在2001年，2002年，2003年这三个中，绿地面积最多的是 年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求这两年（2003~2005）绿地面积的年平均增长率．答案：一、选择题1．B 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B ；10．A ；11．m ≠3 12．23120x x +-= 13．3,021==x x 14．3和5或—3和—5 15．416．2 17.10 18．-3或2； 19．有两个不相等的实数根；20．10，21．①1222x x ==-；②121,3x x ==； (3)．解：开平方，得12x -=±， 即1212x x -=-=-或， 所以123,1x x ==-.(4)．解：移项，得 23(5)2(5)0x x -+-=，(5)[3(5)2]0,x x --+=即(5)(313)0,x x --= 503130,x x -=-=或12135,3x x ==. 22．解：设鸡场的一边长为x 米，则另一边长为（35—2x ），列方程，得 (352)150,x x -=解得1210,7.5x x ==，当x =10时，35—2x =15<18，符合题意； 当x =7.5时，35—2x =20>18，不符合题意，舍去. 答：鸡场的长为15米，宽为10米.23．解：设每件童装应降价x 元，则(40)20812004x x ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭，解得1220,10x x ==.因为要尽快减少库存，所以x =20. 答：每件童装应降价20元. 24．台布的长为8cm ，宽为6cm ；25．60，4，2003，2005～2006年的年平均增长率为10%．人教版九年级上册数学第二十一章：一元二次方程单元测试题（含解析）一．选择题（共10小题）1．关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1C．m≠﹣1D．m＞12．一元二次方程x2+5＝﹣4x的一次项的系数是（）A．4B．﹣4C．1D．53．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．04．方程（x+1）2＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根5．方程x2+2x+1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根6．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣B．x＝C．x＝﹣1+D．x＝7．方程x2＝4x的根是（）A．x＝4B．x＝0C．x1＝0，x2＝4D．x1＝0，x2＝﹣4 8．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（）A．1B．﹣4C．1或﹣4D．﹣1或39．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（）A．k＞﹣B．k＞4C．k＜﹣1D．k＜410．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）2＝182C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182二．填空题（共8小题）11．已知x＝﹣1是方程x2+ax+3﹣a＝0的一个根，则a的值是．12．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是．13．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．14．将一元二次方程x2﹣6x+10＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为．15．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为．16．我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2015年市政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为．17．已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则＝．18．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程的另一个根是．三．解答题（共7小题）19．解方程：（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）（2）2x2﹣x﹣3＝0．20．是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．21．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．22．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．23．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．（1）求平均年增长率？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？24．某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元．（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？2019年春九年级上册数学《第二十一章一元二次方程》单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1C．m≠﹣1D．m＞1【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m ﹣1≠0，即可求得m的值．【解答】解：根据一元二次方程的定义得：m﹣1≠0，即m≠1，故选：B．【点评】此题考查一元二次方程，一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．（3）整式方程．要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了．当b＝0或c＝0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．2．一元二次方程x2+5＝﹣4x的一次项的系数是（）A．4B．﹣4C．1D．5【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．【解答】解：方程整理得：x2+4x+5＝0，则一次项系数为4．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．0【分析】把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．【解答】解：把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1，而a+1≠0，所以a＝1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．方程（x+1）2＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：由于（x+1）2＝0，∴x+1＝0，∴x1＝x2＝﹣1故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．方程x2+2x+1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝1D．无实根【分析】由原方程得出（x+1）2＝0，开方即可得．【解答】解：∵x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，则x+1＝0，解得：x1＝x2＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及配方法解一元二次方程．6．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣B．x＝C．x＝﹣1+D．x＝【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．【解答】解：∵△＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根，即x＝．故选：D．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．7．方程x2＝4x的根是（）A．x＝4B．x＝0C．x1＝0，x2＝4D．x1＝0，x2＝﹣4【分析】原式利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4＝0，那么x+2y的值为（）A．1B．﹣4C．1或﹣4D．﹣1或3【分析】在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把x+2y当成一个整体进行考虑．【解答】解：设x+2y＝a，则原方程变形为a2+3a﹣4＝0，解得a＝﹣4或a＝1．故选C．【点评】此题主要是把x+2y当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解．9．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（）A．k＞﹣B．k＞4C．k＜﹣1D．k＜4【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4×1×k2＝4k+1＞0，∴k＞﹣．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）2＝182C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182【分析】设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，根据该机械厂七月份及整个第三季度生产零件的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，根据题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．已知x＝﹣1是方程x2+ax+3﹣a＝0的一个根，则a的值是2．【分析】把x＝﹣1代入方程x2+ax+3﹣a＝0得到关于a的一元一次方程，解之即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+ax+3﹣a＝0得：1﹣a+3﹣a＝0，解得：a＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．12．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是．【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可．【解答】解：由题意得：，∴m＝1，原方程变为：﹣x2+2＝0，x＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键．13．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是m≤且m≠0．【分析】由于关于x的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于m的不等式，求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则△＝1﹣4m≥0，且m≠0．解得m≤且m≠0．故答案为：m≤且m≠0．【点评】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义．题目难度不大，解题过程中容易忽略m≠0条件而出错．14．将一元二次方程x2﹣6x+10＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为﹣1．【分析】利用配方法得到（x﹣3）2＝﹣1，从而得到b的值．【解答】解：x2﹣6x+10＝0，x2﹣6x＝﹣10，x2﹣6x+9＝﹣1，（x﹣3）2＝﹣1，所以b的值为﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．15．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为x（x﹣1）＝110．【分析】设这个小组有x人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送x﹣1张贺卡，所以全组共送x（x﹣1）张，又知全组共送贺卡110张，由送贺卡数相等为等量关系，列出方程即可．【解答】解：设这个小组有x人，则每人应送出x﹣1张贺卡，由题意得：x（x﹣1）＝110，故答案为：x（x﹣1）＝110．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，关键在于找出等量关系，列出方程．16．我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2015年市政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为20%．【分析】设每年投资的增长率为x，根据2015年及2017年市政府投资的钱数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则＝3．【分析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2＝3，x1x2＝1，然后将变形，再将x1+x2＝3，x1x2＝1代入即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，根据根与系数的关系有：x1+x2＝3，x1x2＝1，所以＝＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，关键是熟练运用．18．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程的另一个根是x＝3．【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得a的值，即可求得方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为a，∵x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，∴2a＝6，解得a＝3，即方程的另一个根是x＝3，故答案为：x＝3．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．解方程：（1）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）（2）2x2﹣x﹣3＝0．【分析】（1）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（2﹣3x）＝0，x﹣3＝0或2﹣3x＝0，所以x1＝3，x2＝；（2）（2x﹣3）（x+1）＝0，2x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．20．是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2＝0和x2+2x+m＝0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．【分析】设两方程的公共根为a，然后将两方程相减，消去二次项，求出公共根和m的值．【解答】解：假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实数根为a，则①﹣②，得a（m﹣2）+（2﹣m）＝0（m﹣2）（a﹣1）＝0∴m＝2 或a＝1．当m＝2时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故m＝2舍去；当a＝1时，代入②得m＝﹣3，把m＝﹣3代入已知方程，求出公共根为x＝1．故实数m＝﹣3，两方程的公共根为x＝1．【点评】本题考查的是两个一元二次方程的公共根的问题，一般情况是将两方程相减求出公共根，再求出其中的字母系数．21．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得，|m﹣1|＝2，且m+1≠0，解得：m＝3，答：m的值为3．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．22．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x的值，结合方程有一个根小于0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，即（x﹣2）[x﹣（k+1）]＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一个根小于0，∴k+1＜0，∴k＜﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出一元二次方程的根．23．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．（1）求平均年增长率？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？【分析】（1）设平均年增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）由求出的年增长率确定出所求即可．【解答】解：（1）设平均年增长率为x，根据题意得：1500（1+x）2＝2160，整理得：（1+x）2＝1.44，开方得：1+x＝±1.2，解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），则平均年增长率为20%；（2）根据题意得：2160×（1+20%）＝2592（万元），则2018年盈利2592万元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．24．某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元．（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？【分析】（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x，根据该镇2016年及2018年投入的资金金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2019年投入资金金额＝2018年投入资金金额×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x，根据题意得：1000（1+x）2＝1210，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．答：该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为10%．（2）1210×（1+10%）＝1331（万元）．答：该镇2019年预计投入资金1331万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【分析】根据题意先判断出参加的人数在30人以上，设共有x名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数＝3150，列出方程，然后求解即可得出答案．【解答】解：∵100×30＝3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]＝3150，解得x1＝35，x2＝45，当x＝35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）＝90＞80，符合题意；当x＝45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）＝70＜80，不符合题意，应舍去．答：共有35名同学参加了研学游活动．【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到人均付费是解决本题的易错点，得到总费用的等量关系是解决本题的关键．人教版九年级上第二十一章一元二次方程单元测试（含答案）一、单选题1．下列方程，是一元二次方程的是（）①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-1x=4，④x2=0，⑤x2-3x+3=0A．①②B．①④⑤C．①③④D．①②④⑤2．将一元二次方程5x2 -1=4x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）A．5、-1、4 B．5、4、-1 C．5、-4、-1 D．5、-1、-43．若a是方程的一个解，则的值为A．3 B．C．9 D．4．已知﹣4是关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根，则a的值是（）A．12 B．﹣20 C．20 D．﹣125．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x－1)2＝6C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝96．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A．k＞－1 B．k＞－1且k≠0C．k＜－1 D．k＜－1或k＝0 7．已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥34B．m≥2C．m≥1D．m≥08．三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（）A．11 B．12 C．11或13 D．139．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的解是（）A.x=1B.x=2C.x1=1，x2=2D.x1=﹣1，x2=﹣2 10．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x-2=0 B．x2-3x+2=0 C．x2-3x-2=0 D．x2+3x+2=011．有m支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D.12．据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m 2，2013年同期将达到8200元/m 2， 假设这两年兰州市房价的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为（ ）A ．27600(1x%)8200+=B ．27600(1x%)8200-=C ．27600(1x)8200+=D ．27600(1x)8200-=二、填空题13．一元二次方程25830x x -+=的一次项系数是____________，常数项是____________. 14．设m 是一元二次方程2270x x +-=的一个根，则2249m m +-=________ 15．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=的两个实数根，且22121213x x x x +-=，则k 的值为____. 16．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x ，则列方程为_____．三、解答题17．用适当的方法解方程。
人教版数学九年级上册第二十一章《-一元二次方程》单元检测题(含答案)
《一元二次方程》单元检测题一、单选题1．为执行“均衡教育”政策,某区2016年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1。
2亿元,若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x,则下列方程正确的是A. 2500（1+2x）=12000 B。
2500（1+x)2=12000C. 2500+2500（1+x)+2500(1+2x）=12000 D。
2500+2500（1+x)+2500(1+x)2=12000 2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（)A. （x+4）2=17B. （x+4）2=15 C。
（x﹣4）2=17 D. (x﹣4）2=153．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根,则a+b﹣2c的值为( ）A. ﹣13 B。
﹣9 C。
6 D. 04．若方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成(x﹣n)2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成（）A. （x﹣n+5）2=1 B. (x+n）2=1 C。
（x﹣n+5）2=11 D。
（x+n)2=115．若α、β为方程2x2−5x−1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为()A. −13B. 12 C。
14 D。
156．已知关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根,则k的取值范围是( ）．A. k<1B. k≤1C. k≤1且k≠0D. k<1且k≠07．一元二次方程2440x x-+=的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C。
无实数根 D。
无法确定8．已知关于x的方程x2﹣mx+3=0的解为﹣1，则m的值为( ）A. ﹣4B. 4 C。
﹣2 D。
29．方程x2﹣2x=0的解为（)A。
x1=0,x2=2 B. x1=0，x2=﹣2 C。
x1=x2=1 D. x=210．已知一元二次方程ax2+ax﹣4=0有一个根是﹣2，则a值是（）A. ﹣2 B. 23C. 2 D。
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试及答案-人教版
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试及答案-人教版一、选择题1．已知一元二次方程20x bx -=的一个根是1，则b 的值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．用配方法解方程2640x x ++=，配方正确的是（ ）A ．()235x +=B ．()2313x +=C ．()265x +=D ．()2613x +=3．一元二次方程2310x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定4．如果270a a +=，那么a 的值是（ ）A ．0B ．7C ．0或7D ．0或－75．若12x x ，是一元二次方程23100x x --=的两个根.则12x x ⋅的值为（ ）A ．3B ．10C ．3-D ．10-6．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x 支队伍参加比赛，则所列方程为( ) A ．x(x+1)=45B ．(1)2x x +=45 C ．x(x-1)=45 D ．(1)2x x -=45 7．已知关于x 的方程220x bx ++=的一个根为1x =，则实数b 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-8．若一元二次方程220ax x -+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．18a <B ．18a <且0a ≠ C ．18a ≤且0a ≠ D ．18a >9．方程22240x x --=的根是（ ）A ．16x =和24x =B ．16x =和24x =-C ．16x =-和24x =D ．16x =-和24x =-10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A ．()316210x x -= B ．()316210x -= C ．()316210x x -=D ．36210x =二、填空题11．若()22250aa x ---=是一元二次方程，则a ＝ .12．240x x -=的解是 .13．若m 、n 是一元二次方程22202250x x -+=的两个根，则m n +的值为 ．14．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出 个小分支三、计算题15．解一元二次方程：（1）22410x x --=； （2）()()1310x x x -+-=．四、解答题16．将一元二次方程5x 2﹣1＝4x 化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．17．判断关于 x 的方程 ()()232x x p --= 根的情况，并说明理由.18．x 为何值时，两个代数式x 2+1，4x +1的值相等？五、综合题19．规定：如果关于x 的一元二次方程ax 2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程” （1）解方程x 2+2x-8=0（2）方程x 2+2×-8=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”20．已知关于x 的一元二次方程：x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m ＝0.（1）证明：无论m 为何值，原方程有两个不相等的实数根； （2）当方程有一根为1时，求m 的值及方程的另一根.21．若关于x 的方程2210x x k -+-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）设方程的两根分别是1x 和2x ，且满足211212x x x x x x +=，求k 的值.22．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：月份用水量（吨）交水费总金额（元）4186252486根据上表数据，求规定用水量a的值答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵一元二次方程20x bx -=的一个根是1∴10b -= ∴1b = 故答案为：C【分析】将x=1代入方程中即可求出b 值.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵x 2+6x+4=0∴x 2+6x+32=-4+32 ∴（x+3）2=5. 故答案为：A.【分析】将常数项移到方程的右边，然后配方(方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“32”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.3．【答案】B【解析】【解答】由分析可知，一元二次方程 2310x x -+= 的判别式△=b 2-4ac=9-4=5＞0，则该方程有两个不相等的实数根； 故答案为：B 。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》习题(含答案解析)
一、选择题1．方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±lB ．m≥-l 且m≠1C ．m≥-lD ．m ＞-1且m≠1D 解析：D【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．【详解】∵方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，∴210m -≠，解得1m ≠±，10m +≥，解得：1m ≥-，∴1m >-且1m ≠，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．用配方法转化方程2210xx +-=时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x +=A 解析：A【分析】方程两边都加上一次项系数的一半，利用完全平方公式进行转化，即可得到答案．【详解】解：2210x x +-=2212x x ++=∴2(1)2x +=，故选：A ．【点睛】此题考查一元二次方程的配方法，掌握配方法是计算方法是解题的关键．3．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2B解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2，∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．4．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=D解析：D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：2000（1+x ）2=2880．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．5．一元二次方程2304y y +-=，配方后可化为（ ） A ．21()12y +=B ．21()12y -=C ．211()22y +=D ．213()24y -=A 解析：A【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得．【详解】解：∵2304y y +-=， ∴y 2+y=34， 则y 2+y+14=34+14， 即（y+12）2=1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．6．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ） A ．1-B ．1C ．17-D ．17B 解析：B【分析】根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．【详解】由一元二次方程的根的定义得：2430m m -+=，即243m m -=-， 由一元二次方程的根与系数的关系得：441m n -+=-=， 则2234m m n m m m n -+=-++， ()()24m m m n =-++，34=-+，1=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．7．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜－2B ．a ＞－2C ．－2＜a ＜0D ．－2≤a ＜0C解析：C【分析】由关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根可得2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭，解不等式即可求出a 的取值范围． 【详解】∵关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根， ∴2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭， 解得：a >−2，∵a <0，∴−2<a <0．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键．8．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ） A ．3B ．6C ．8D ．9D 解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c =故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．9．已知一元二次方程x 2﹣6x+c ＝0有一个根为2，则另一根及c 的值分别为（ ） A ．2，8B ．3，4C ．4，3D ．4，8D解析：D【分析】设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得到t +2＝6，2t ＝c ，然后先求出t ，再计算c 的值．【详解】解：设方程的另一个根为t ，根据题意得t +2＝6，2t ＝c ，解得t ＝4，c ＝8．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 10．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ） A ．x ＝5B ．x ＝1C ．x 1＝5，x 2＝﹣5D ．x 1＝1，x 2＝5D 解析：D【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵（x ﹣3）2﹣4＝0，∴（x ﹣3）2＝4，则x ﹣3＝2或x ﹣3＝﹣2，解得x 1＝5，x 2＝1，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.二、填空题11．把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，k 为常数，那么本题中h k +的值是_________．3【分析】首先把常数项移到等号右边经配方h 和k 即可求得进而通过计算即可得到答案【详解】根据题意移项得配方得：即∴∴故答案是：3【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法解析：3【分析】首先把常数项移到等号右边，经配方，h 和k 即可求得，进而通过计算即可得到答案．【详解】根据题意，移项得223x x -=，配方得：22131x x -+=+，即2(1)4x -=，∴1h =-，4k =∴143h k +=-+=故答案是：3．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法的性质，从而完成求解．12．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析：1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．13．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】(32)(1)83x x x -+=-23322830x x x x +---+=23710x x -+=故答案为：23710x x -+=．【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．14．一元二次方程-+=(5)(2)0x x 的解是______________．x1=5x2=-2【分析】直接利用因式分解法得出方程的根【详解】解：∵(x-5)（x+2）=0∴x-5=0或x+2=0∴x1=5x2=-2故答案为：x1=5x2=-2【点睛】此题主要考查了一元二次方 解析：x 1=5，x 2=-2【分析】直接利用因式分解法得出方程的根．【详解】解：∵(x-5)（x+2）=0，∴x-5=0或x+2=0，∴x 1=5，x 2=-2，故答案为：x 1=5，x 2=-2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解因式分解法解方程是解题关键． 15．若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)1（答案不唯一）【分析】根据非负数的性质可得于是只要使c 的值非负即可【详解】解：若关于的一元二次方程有实根则所以的值可以是1（答案不唯一）故答案为：1（答案不唯一）【点睛】本题考查了一元二次方程的解解析：1（答案不唯一）【分析】根据非负数的性质可得0c ≥，于是只要使c 的值非负即可．【详解】解：若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则0c ≥，所以c 的值可以是1（答案不唯一）．故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键． 16．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______．-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为：-1【点睛】此题考查一元二次方程根与解析：-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】∵a ，b 是方程210x x --=的两根，∴a+b=1，ab=-1，∴11a b+ =a b ab+ =11- =-1， 故答案为：-1.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则.17．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．-1【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2＋2x−1＝0的两个根利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2mn ＝−1变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算【详解】 解析：-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 18．等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．或【分析】等腰三角形ABC 中边可能是腰也可能是底应分两种情况进行讨论分别利用根与系数的关系三角形三边关系定理求得方程的两个根进而求得答案【详解】解：∵关于x 的方程∴∴∵是等腰三角形的长是关于x 的方程解析：25或16【分析】等腰三角形ABC 中，边BC 可能是腰也可能是底，应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案．【详解】解：∵关于x 的方程2100x x m -+=∴1a =，10b =-，c m = ∴1210b x x a +=-=，12c x x m a == ∵ABC 是等腰三角形，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根 ∴①当8BC =为底、两根AB 、AC 均为等腰三角形的腰时，有1210AB AC x x +=+=且AB AC =即5AB AC ==，此时等腰三角形的三边分别为5、5、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1225m x x AB AC ==⋅=；②当8BC =为腰、两根AB 、AC 中一个为腰一个为底时，有122810x x x +=+=，即22x =，此时此时等腰三角形的三边分别为2、8、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1216m x x AB AC ==⋅=．∴综上所述，m 的值为25或16．故答案是：25或16【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．19．已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，则m =_________．－8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程解这个方程即可【详解】已知是关于x 的方程的一个根故答案为：-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题掌握方程的根的性质会用方程的解代入构造解析：－8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程，解这个方程即可【详解】已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，22220m +⨯+=8m =-故答案为：-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程的根的性质，会用方程的解代入构造参数方程是解题关键20．如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB ＝18m ，AD ＝15m ，在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，则x ＝_____．【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后剩余绿地的面积为144m2即可得出关于x 的一元二次方程此题得解【详解】解：设道路的宽为xm 根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144解得：或（舍去）答： 解析：3【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144，解得：13x =或221x ＝（舍去），答：道路的宽为3m ．故答案为：3．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列方程是解题的关键.三、解答题21．新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品．某商店销售一款口罩，每袋进价为12元，计划每袋售价大于12元但不超过20元，通过市场调查发现，这种口罩每袋售价为18元时，日均销售量为50袋，而当每袋售价提高1元时，日均销售量就减少5袋． （1）在每袋售价为18元的基础上，将这种口罩的售价每袋提高x 元，则日均销售量是_________袋；（用含x 的代数式表示）（2）经综合考察，要想使这种口罩每天赢利315元，该商场每袋口罩的销售价应定为多少元？解析：（1）505x -；（2）19元．【分析】（1）销售量=原来销售量－下降销售量，据此列式即可；（2）设这种口罩的售价每袋提高x 元，根据销售量×每袋利润=总利润列出方程求解即可．【详解】（1）∵每袋售价提高1元时，日均销售量就减少5袋，∴每天销量减少5x 袋，∵售价为18元时，日均销售量为50袋，∴将这种口罩的售价每袋提高x 元，则日均销售量是：505x -．故答案为：505x -（2）设这种口罩的售价每袋提高x 元，根据题意得：(1812)(505)315x x +--=，化简得：2430x x -+=，解得：121,3x x ==，当11x =时，每袋售价是：18119+=（元）；当23x =时，每袋售价是：18321+=（元）；∵计划每袋售价大于12元但不超过20元，∴23x =舍去．∴当1x =时，每袋售价是19元．答：该商场每袋口罩的售价应定为19元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．22．若a 为方程2(16x =的一个正根，b 为方程22113y y -+=的一个负根，求+a b 的值．解析：a+b= 5【分析】先求出2(16x =的根4x ，由a 为方程2(16x =的一个正根，得4a =+，再求22113y y -+=的根=1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根，得1b =+a b 即可．【详解】2(16x -=，4x -=±，4x ，a 为方程2(16x =的一个正根，4a =+，22113y y -+=，()2113y -=，1y -==1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根，1b =415a b +=+=．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，会比较方程根的正负与大小，掌握一元二次方程的解法是解题关键．23．已知关于x 的方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个根x 1，x 2，且x 12+x 22＝8，求k 的值．解析：（1）见解析；（2）-1或13 【分析】（1）根据方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0计算判别式的值得到△＝（k ＋1）2≥0，即可证明结论；（2）利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝31k k -，x 1x 2＝()21k k -，再根据x 12+x 22＝8得出（31k k -）2﹣2•()21k k-＝8，解此方程即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0中，∵a ＝k ，b ＝﹣（3k ﹣1），c ＝2（k ﹣1），△()()231421k k k ⋅⋅=-﹣- 2296188k k k k ++=--221k k =++2(1)k =+，∴无论k 为任何实数，△0≥．∴无论k 为任何实数，方程总有实数根；（2）解：根据题意得x 1+x 2＝31k k -，x 1x 2＝()21k k -， ∵x 12+x 22＝8，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝8，∴（31k k -）2﹣2•()21k k-＝8， 整理得3k 2+2k ﹣1＝0，解得k 1＝13，k 2＝﹣1， 经检验k 1＝13，k 2＝﹣1为原方程的解， ∵k ≠0，∴k 的值为﹣1或13． 【点睛】 本题考查了根的判别式及根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．24．火锅是重庆人民钟爱的美食之一；解放碑某老火锅店为抓住“十一黄金周”这个商机，通过网上广告宣传和实地派发传单等一系列促销手段吸引了不少本地以及外地游客，火锅店门庭若市．据店员统计；仅“十一黄金周”前来店内就餐选择红汤火锅和清汤火锅的游客共2500人，其中红汤火锅和清汤火锅的人均消费分别为80元和60元．（1）“十一”期间，若选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍，求至少有多少人选择清汤火锅？（2）随着“十一”的结束，前来店内就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，与（1）选择清汤火锅的人数最少时相比，选择红汤火锅的人数下降了a %，选择清汤火锅的人数不变，但选择红汤火锅的人均消费增长了a %，选择清汤火锅的人均消费增长了1%5a ，最终第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的销售总额相等，求a 的值．解析：（1）至少有1000人选择清汤火锅；（2）a 的值为10【分析】（1）设有x 人选择清汤火锅，则有（2500﹣x ）人选择红汤火锅，根据选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍列出一元一次不等式，然后解不等式取其最小值即可； （2）根据第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的销售总额相等列出关于a 的一元二次方程，然后解方程取其正值即可解答．【详解】解：（1）设有x 人选择清汤火锅，则有（2500﹣x ）人选择红汤火锅，根据题意， 得：2500﹣x≤1.5x ，解得：x≥1000，答：至少有1000人选择清汤火锅；（2）根据题意，得：80（1+a%）×（2500﹣1000）（1﹣a%）+60（1+15a%）×1000=80×（2500﹣1000）+60×1000，整理，得：12x 2﹣120a=0，解得：a 1=10，a 2=0（不合题意，舍去），答：a 的值为10．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，解答的关键是理解题意，找准数量间的关系，正确列出不等式和方程．25．解下列方程：（1）2410x x --=；（2）(4)123x x x -=-．解析：（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.【详解】（1）2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，(4)(3)0x x -+=，则40x -=或30x +=，解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.26．用适当的方法解方程：（l ）2(3)26x x +=+（2）2810x x -+=．解析：（1）13x =-，21x =-；（2）1x =，24x =【分析】（1）用因式分解法求解可得；（2）用配方法求解即可．【详解】解：（1）∵（x+3）2-2（x+3）=0，∴（x+3）（x+1）=0，∴x+3=0或x+1=0，解得：x=-3或x=-1；（2）2810x x -+=281x x -=-28+1615x x -=2(4)15x -=4x -=∴1x =，24x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．定义：若关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两个实数根1x ，()212x x x <，分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到点()12,M x x ，则称点M 为该一元二次方程的衍生点．（1）若关于x 的一元二次方程为()22210x m x m m --+-=．①求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M 的坐标；②由①得到的衍生点M 在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上，求m 的取值范围．（2）是否存在b ，c ，使得不论()0k k ≠为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的衍生点M 始终在直线()25y kx k =+-的图象？若有，求出b ，c 的值：若没有，说明理由． 解析：（1）①见解析，()1,M m m -；②12m ≤≤；（2）存在，12b =-，20c =【分析】（1）①根据根的判别式和衍生点的定义，即可得出结论；②先确定点出点M 在在直线y=x+1上，借助图象即可得出结论；（2）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．【详解】解：（1）①()22210x m x m m --+-=，∵()()2221410m m m ⎡⎤∆=----=>⎣⎦， ∴不论x 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，()22210x m x m m --+-=，解得：11x m =-，2x m =，方程()22210x m x m m --+-=的衍生点为()1,M m m -．②由①得，()1,M m m -，令1-=m x ，m y =，∴1y x =+，∴点M 在在直线1y x =+上，与y 轴交于A 点，当x=0时，y=1，∴()0,1A ，∵直线1l ：3y x =-+与直线1y x =+交于B 点，解31y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩，∴()1,2B ，∵点M 的在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上∴12m ≤≤；（2）存在．直线()()25210y kx k k x =+-=-+，过定点()2,10M ，∴20x bx c ++=两个根为12x =，210x =，∴210b +=-，210c ⨯=，∴12b =-，20c =．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．28．用一块边长为70cm 的正方形薄钢片制作一个长方体盒子．（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．当做成的盒子的底面积为2900cm 时，求该盒子的容积；（2）如果要做成一个有盖的长方体盒子，制作方案要求同时符合下列两个条件： ①必须在薄钢片的四个角上截去一个四边形（如图③阴影部分），②沿虚线折合后薄钢片即无空隙又不重叠地围成各盒面，求当底面积为2800cm 时，该盒子的高．解析：（1）18000cm 3；（2）15cm【分析】（1）根据图中给出的信息，设四个相同的小正方形边长为x ，先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据底面积=900即可得到方程，求解即可；（2）该盒子的高为y ，根据底面积为800列出方程，解之即可．【详解】解：（1）设四个相同的小正方形边长为x ，由题意可得：（70-2x ）2=900，解得：x 1=20，x 2=50（舍），∴该盒子的容积为900×20=18000cm 3；（2）设该盒子的高为y ， 根据题意得：()7027028002y y -⨯-=， 解得：y 1=15，y 2=55（舍）， 因此当底面积是800平方厘米时，盒子的高是15厘米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，只要搞清楚盒子底面各边的长和盒子的高的关系即可作出正确解答．。
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人教版九年级数学上第21章一元二次方程单元测试题（带答案和解释）2018年秋人教版九年级上册数学第21章一元二次方程单元测试题一．选择题（共10小题） 1．方程是关于的一元二次方程，则A ． B ． C ． D ． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是 A．3， B．3，1 C．，1 D．3，6 3．下列方程中有一个根为的方程是 A ． B ． C ． D ． 4．关于的方程无实数根，那么满足的条件是 A ． B ． C ． D ． 5．一元二次方程配方后可化为 A ． B ． C ． D ． 6．一元二次方程的根是 A． B． C． D． 7．一元二次方程的解是 A ．，B ．， C ．， D ．， 8．一元二次方程的根的情况是 A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．无法判断 9．方程和方程中所有的实数根之和是 A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 10．某超市一月份的营业额为 40 万元，一月、二月、三月的营业额共 200 万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程为 A ． B ． C ． D ．二．填空题（共8小题） 11．若是关于的一元二次方程，则的值为． 12．已知是关于的方程的一个根，则 13．一元二次方程的两实根是，，则，． 14．一个三角形的两边长分别为 3 和 5 ，第三边长是方程的根，则三角形的周长为． 15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 16．若关于的一元二次方程有一个根为 0 ，则另一个根为． 17．如图所示，点阵的层数用表示，点数总和用表示，当时，则． 18．如图，在长为，宽为的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为，则道路的宽应为．三．解答题（共8小题） 19．解下列方程（1）（2）（3）20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 21．小强看见九年级的哥哥在做这样一道题“解方程：”，他看了看后，发现可以用《整式的乘法》知识来去括号，然后转化为一元一次方程来解答．试按照小强的思路完成此题的解答． 22．已知方程．（1）当为何值时，它是一元二次方程？（2）当为何值时，它是一元一次方程？ 23．小刚在做作业时，不小心将方程的一次项系数用墨水覆盖住了，但从题目的答案中，他知道方程的一个解为，请你帮助小刚求出被覆盖住的数． 24．已知关于的一元二次方程．（1）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根；（2）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 25．某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个 30 元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为 40 元时，平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元，其月销售量就减少 20 个，若售价每下降 1 元，其月销售量就增加 200 个．（1）若售价上涨元，每月能售出个排球（用的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球，并决定整个 11 月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使 11 月份这种规格排球获利恰好为 8400 元． 26．列一元二次方程解应用题某公司今年 1 月份的纯利润是 20 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降， 3 月份的纯利润是 22.05 万元．假设该公司 2 、3 、 4 月每个月增长的利润率相同．（1）求每个月增长的利润率；（2）请你预测 4 月份该公司的纯利润是多少？2018年秋人教版九年级上册数学第21章一元二次方程单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题） 1．方程是关于的一元二次方程，则 A ． B ． C ． D ．【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于的不等式，解之即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是 A．3，B．3，1 C．，1 D．3，6 【分析】找出所求的二次项系数、一次项系数即可．【解答】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数分别是3，．故选：．【点评】考查了一元二次方程的一般形式：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3．下列方程中有一个根为的方程是 A ． B ． C ． D ．【分析】利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断．【解答】解：当时，，所以不是方程的解；当时，，所以不是方程的解；当时，，所以不是方程的解；当时，，所以是方程的解．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．关于的方程无实数根，那么满足的条件是 A ． B ． C ． D ．【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于的不等式，求解不等式即可．【解答】解：当时，方程无解．即．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数． 5．一元二次方程配方后可化为A ．B ．C ．D ．【分析】先表示得到，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边配成完全平方形式即可．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 6．一元二次方程的根是A． B． C． D．【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．【解答】解：△ ，方程有两个不相等的两个实数根，即．故选：．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：① ；② ． 7．一元二次方程的解是 A ．， B ．， C ．， D ．，【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：，，或，所以，．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 8．一元二次方程的根的情况是A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△ ，进而可得出方程有两个不相等的实数根，此题得解．【解答】解：△ ，方程有两个不相等的实数根．故选：．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△ 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 9．方程和方程中所有的实数根之和是A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出两方程均有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可求出每个方程的两根之和，将其相加后即可得出结论．【解答】解：方程的根的判别式△ ，方程有两个不相等的实数根，两根之和为 2 ；方程的根的判别式△ ，方程有两个不相等的实数根，两根之和为 4 ．，两方程所有的实数根之和是 6 ．故选：．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键． 10．某超市一月份的营业额为 40 万元，一月、二月、三月的营业额共 200 万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程为 A ． B ． C ． D ．【分析】设平均每月增长率为，由一月、二月、三月的营业额共 200 万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每月增长率为，根据题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二．填空题（共8小题） 11．若是关于的一元二次方程，则的值为 1 ．【分析】本题根据一元二次方程的一般形式，即可得到，即可求得的值．【解答】解：依题意得：，解得．故答案是： 1 ．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且． 12．已知是关于的方程的一个根，则 10 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：是关于的方程的一个根，故答案为 10 ．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13．一元二次方程的两实根是，，则 5 ，．【分析】根据根与系数的关系结合方程的两实根是，，可求出，的值，此题得解．【解答】解：一元二次方程的两实根是，，，．故答案为： 5 ；．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之和等于”是解题的关键． 14．一个三角形的两边长分别为 3 和 5 ，第三边长是方程的根，则三角形的周长为 12 ．【分析】先利用因式分解法解方程得到，，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为 4 ，从而得到计算三角形的周长．【解答】解：，，或，所以，，而，所以三角形第三边的长为 4 ，所以三角形的周长为．故答案为 12 ．【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．也考查了三角形三边的关系． 15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是且．【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于的不等式，求解即可．【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，则△ ，且．解得且．故答案为：且．【点评】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义．题目难度不大，解题过程中容易忽略条件而出错． 16．若关于的一元二次方程有一个根为 0 ，则另一个根为．【分析】先把代入方程得到满足条件的的值为，此时方程化为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后求出即可．【解答】解：把代入方程得方程，解得，，而，所以，此时方程化为，设方程的另一个根为，则，解得，所以方程的另一个根为．故答案为．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 17．如图所示，点阵的层数用表示，点数总和用表示，当时，则11 ．【分析】由等差数列的求和公式结合，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：根据题意得：，化简得：，解得：，（舍去）．故答案为： 11 ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．如图，在长为，宽为的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为，则道路的宽应为 2 ．【分析】设道路的宽为，则剩余部分可合成长为，宽为米的长方形，根据矩形的面积公式结合绿化面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：设道路的宽为，则剩余部分可合成长为，宽为米的长方形，根据题意得：，整理得：，．．故答案为： 2 ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三．解答题（共8小题） 19．解下列方程（1）（2）（3）【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）先变形为，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1），【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．【分析】计算根的判别式△，由题意得到关于的不等式，求解即可．【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，△ 即，．【点评】本题考查了根的判别式，题目比较简单．根的判别式△ ． 21．小强看见九年级的哥哥在做这样一道题“解方程：”，他看了看后，发现可以用《整式的乘法》知识来去括号，然后转化为一元一次方程来解答．试按照小强的思路完成此题的解答．【分析】将原方程去括号化成方程的一般形式后求解即可．【解答】解：去括号得：，移项、合并同类项得：，解得：．【点评】本题考查了方程的解法，解题的关键是能够利用完全平方公式和平方差公式化简，难度不大． 22．已知方程．（1）当为何值时，它是一元二次方程？（2）当为何值时，它是一元一次方程？【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；（2）根据一次方程的定义可解答本题．【解答】解：（1）方程为一元二次方程，，解得：，所以当为或时，方程方程为一元二次方程；（2）方程为一元一次方程，或解得，或，故当为2或时，方程方程为一元一次方程．【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面． 23．小刚在做作业时，不小心将方程的一次项系数用墨水覆盖住了，但从题目的答案中，他知道方程的一个解为，请你帮助小刚求出被覆盖住的数．【分析】把代入方程，得到关于的一元一次方程，解之即可．【解答】解：把代入方程得：，解得：，答：被覆盖住的数是 14 ．【点评】本题考查一元二次方程的解，正确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 24．已知关于的一元二次方程．（1）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根；（2）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．【分析】（1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根；（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△ ，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：把代入方程可得，解得，当时，原方程为，解得，，即方程的另一根为 2 ；（2）证明：，，，△ ，不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系为：，．也考查了根的判别式． 25．某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个 30 元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为 40 元时，平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元，其月销售量就减少 20 个，若售价每下降 1 元，其月销售量就增加 200 个．（1）若售价上涨元，每月能售出个排球（用的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球，并决定整个 11 月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使 11 月份这种规格排球获利恰好为 8400 元．【分析】（1）由销售数量上涨价格，即可得出结论；（2）设每个排球降价元，则 11 月份可售出该种排球个，根据月利润单件利润月销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：．故答案为：．（2）设每个排球降价元，则 11 月份可售出该种排球个，根据题意得：，解得：，．当时，销量为，适合题意；当时，销量为，舍去．．答：每个排球的售价为 37 元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．列一元二次方程解应用题某公司今年 1 月份的纯利润是 20 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降， 3 月份的纯利润是 22.05 万元．假设该公司 2 、 3 、 4 月每个月增长的利润率相同．（1）求每个月增长的利润率；（2）请你预测 4 月份该公司的纯利润是多少？【分析】（1）设每个月增长的利润率为，根据 1 月份及 3 月份该公司的纯利润，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据 4 月份该公司的纯利润月份该公司的纯利润增长率），即可求出 4 月份该公司的纯利润．【解答】解：（1）设每个月增长的利润率为，根据题意得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：每个月增长的利润率为．（2）（万元）．答： 4 月份该公司的纯利润为 23.1525 万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。