第五章 抽样与参数估计

△p＝|p– P |
上两式很容易转化为下列不等式，即：
X
－△x
≤ x ≤ X + △x
P －△p ≤ p ≤ P + △P
上式表明，抽样平均数是以 x 总体平均数中 心，在 X ± △ x 之间变动，区间（ X －△ x ， X ＋△ x ）的总长度为2△ x 。 同样，抽样成数p是以总体成数为中心，在 P±△p之间变动，其区间（P－△p , P+△p）的总 长度为2△p 。
2.抽样指标。由样本总体各个单位的标志 值或标志特征计算的综合指标，称为抽样 指标。 抽样总体单位数用n表示，抽样指标有: 抽样平均数 x 、抽样所数 p、样本标 2 准差S、样本方差 s 。
(三)样本容量 样本容量，指样本方法中的单位数。
(四)抽样方法和样本数目
抽样方法，即按随机原则从全及总体抽取样 本总体的方法。 样本数目，又称样本可能数目，是指一个总 体中可能抽取的样本个数。
抽样误差范围和估计置信度是密不可 分的，抽样误差范围愈小，则估计置信 度也愈小；反之，抽样误差范围愈大， 则估计置信度也愈大。 理论已经证明，在样本单位足够 多（n≥30）的条件下，抽样平均数的分 布接近正态分布。正态分布的特点是， 抽样平均数以总体平均数为中心，两边 对称分布。
正态分布及曲线下的面积图：
(1)重复抽样平均误差的计算 平均数平均差公式： 2
x
成数平均误差公式：

n

p (1 p ) n
(2)不重复抽样平均误差的计算 平均数平均误差公式：
x

n (1 ) n N
第五章
第一节
抽样与参数估计
抽样推断的意义和作用
一、抽样推断的概念
(一)概念 抽样推断是在抽样调查的基础上利用 样本的实际资料计算出样本数据，并运用 概率估计方法，推断总体相应的数量指标 的一种统计分析方法。
抽样推断，从其内涵来说，包括抽样 调查和抽样推断两部分。 抽样调查，是指按照随机原则从调查 对象的全部单位中抽取部分单位，进行调 查，取得各项准确的数据。 抽样推断，是指运用数理统计原理， 根据抽样调查资料，对研究对象全体的数 量特征，作出具有可靠程度的估计和判断， 以达到对象总体正确认识的目的。
这说明抽样平均数与总体平均数误差范围 不超过1µ、2µ、3µ的概率，分别为68.27%、 95.45%、99.73%。 t为概率度，由于t＝| x －X |/μ，所以抽 样误差概率就是概率度t的函数，即P（| x － X |≤tμ）=F(t)。上述关系式，可作如下表述： 当t=1时，F(t)=68.27% 当t=2时，F(t)=95.45% 当t=3时，F(t)=99.73%
第三节
抽样估计的原理和方法
一、抽样估计的特点
1.逻辑上运用归纳推理而不是运用演绎 推理； 2.在方法上运用不确定的概率估计法； 3.估计的结论存在一定的抽样误差。
二、抽样估计的理论基础
抽样估计是建立在概率论的大数法则基 础上，大数法则一系列定理为抽样估计提供 了数学依据。 大数法则论证了抽样平均数趋近于总体 平均数的趋势，为抽样推断提供了重要依据。 中心极限定理研究了抽样平均数与总体 平均数的离距不超过一定范围的概率大小问 题。
由于 X和 P在抽样时是末知的，它要靠实际测定 的 x和 p来估计，因而 △的实际价值是希望X 在 x ±△ x的范围内变动；P在p±△p范围内变动。因此， 上述两个不等式就要转变为： x ＋△ x x －△ x ≤ X≤ p -△p ≤ P ≤ p+△p 这两个不等式与上面两个不等式是完全等价的。 △ ＝tμ 此式表示极限误差与平均误差间的数量关系。由 于x值与样本估计值落入允许范围有关，故t 称为概 率度。
总体成数的区间估计：
(1)抽取样本后，计算样本成数p=n1∕n2； (2)用经验数据或样本是非标准方差p(1-p)代替总 体是非标志方差P(1－P)； (3)计算抽样平均误差 p ； (4)根据概率F（t）确定t计算极限△p ； (5)确定总体成数的置信区间（p- △p ,p+△p ）。
5.抽样平均误差的计算
2.抽样估计的置信度 抽样误差是一个随机变量，所以抽样 指标（ x 、p）落在一定区间（允许误差范 围）不是一个必然事件，而只能给予一定 的概率保证。因此，在进行抽样估计时， 一方面要考虑抽样误差的允许范围有多大， 这是估计的准确度问题，另一方面还要考 虑落到这一范围的概率有多少，这是估计 的准确性问题。抽样估计置信度就是表明 抽样指标和总体指标的误差不超过一定范 围的概率保证程度。
中心极限定理证明：如果总体变量存 在有限的平均数和方差，那么不论这个总 体变量的分布如何，随着抽样单位数n的 增加，抽样平均数便趋近于正态分布。这 个结论对于抽样推断是十分重要的，这为 抽样误差的概率估计提供了一个极为有效 而且方便的条件。
三、抽样估计的优良标准
（一）无偏性。是指用样本指标估计总体 指标时，要求样本指标的平均数等于被估计 总体指标的平均数。 （二）一致性。是指用样本指标估计总体 指标，当样本容量（n）增加时，样本指标 越来越接近总体指标，则称样本指标为总体 指标的一致估计量。 （三）有效性。指用样本指标估计总体指 标时，要求样本指标的方差最小，故有效性 亦称最小方差。
根据抽样平均误差的定义得出其基本表达 式：
式中：
x p

( x X )2 M
x
p
-抽样平均数平均误差；
－抽样成数平均误差； －样本平均数； －总体平均数； －样本成数； －总体成数； －可能样本数目。

( p P )2 M
xXຫໍສະໝຸດ P P M在实际中不可能按照上述公式计算抽样平均误 差。但它可以根据总体方差、样本容量和抽样方 法，通过一定公式进行计算。 简单随机抽样平均误差的计算公式如下表：
4.区间估计小结 总体平均数的区间估计： (1)抽取样本后，用简单算术平均或加权算术 平均法计算样本平均数 x ； 2 (2)搜集总体方差 2 的数据或计算样本方差 S代 替总体方差 2； (3)计算抽样平均误差 x； (4)根据概率F（t）确定t，计算极限误差△ x ； (5)确定总体平均数的置信区间（ x －△x ， x＋△ x ）。
三、抽样推断法中几种基本概念
(一)全及总体、抽样总体
全及总体，简称总体。是指所要研究对象的全体。 样本总体，又叫了样，简称样本。它是全及总体 中随机抽取出来的，用以代表命脉总 体的部分单位的集合。 在抽样推断实践中，一般样本单位达到或超过30 个称大样本，在30个以下的称为小样本。
(二)全及指标和抽样指标 1.全及指标。根据全及总体各个单位的标 志值或标志特征计算的、反映总体某种属 性的综合指标，称为全及指标。 全及总体单位数用N表示，全及指标有: 全及总体平均数 X 、全及总体所数 P、全 及总体标准差 、全及总体方差 2 。
3.区间估计方法 区间估计是利用样本指标的数值，在 一定可靠程度下给出总体相应指标的可能 范围。也就是根据估计可靠程度要求，选 定概率t，以及根据极限Δ误差＝tμ，再利 x x 用抽样平均数 ，定出估计下限 －Δ和 x 估计上限 ＋Δ，下限与上限构成区间 （ x －Δ， x＋Δ）称为置信区间，估计可 靠程度F（t）为置信度。
重复抽样 平均数抽样 平均误差 成数抽样平 均误差
x
p
2
n
不重复抽样
x
p
2 N n
n N 1
P (1 P ) n
P (1 P ) N n n N 1
（三）影响抽样平均误差的因素 1、总体各单位标志值的差异程度。差异 程度愈大，则抽样误差愈大，返之则愈小。 2、样本单位数的多少。在其他条件相同 的情况下，样本单位数愈多，则抽样误差 愈小，反之则愈大。 3、抽样方法。抽样方法不同，抽样误差 也不相同。一般说，重复抽样比不重复抽 样误差要大些。
上述四种不同的抽样方法，从总体N个单位中 抽取n个单位所构成样本数目是不同的。样本可能 数目计算公式列表如下：
抽样方法 考虑顺序的重复抽样 不考虑顺序的重复抽样 样本数目公式 NN 例｜5 个单位中抽3个 53=125
( N n 1) n!( N 1)!
( 5 31)! 3!( 5 1)!
四、抽样估计方法
（一）点估计 点估计也称定值估计，它是用样本指 标直接估计总体参数。即总体平均数的点 估计值就是样本平均数，总体成数的点估 计值就是样本成数。
（二）区间估计 1．抽样估计精度。是指抽样估计的准 确程度。它与抽样误差程度是相对的概念。 误差率＝ △ x / x 估计精度（亦称准确率）与误差率是相 对的，即： 估计精度＝1－误差率
1.按抽取方式，抽样方法可分为两类 (1)重复抽样； (2)不重复抽样 2.按抽样是否考虑顺序，抽样方法又可分为 两种 (1)考虑顺序抽样； (2)不考虑顺序抽样
将上述两种分类，互相交叉就形成 四种抽样方法，即 (1)考虑顺序的重复抽样； (2)不考虑顺序的重复抽样； (3)考虑顺序的不重复抽样； (4)不考虑顺序的不重复抽样。
x
X
-3u -2u -u
68.27% 95.45% 99.73%
1u
2u
3u
上图正态分布曲线与横轴围成的面积等于1。抽 样平均数落在某一区间的概率P，就可以曲线在这一 区间所包围的面积表示。经计算结果如下：
P（ X －μ≤
X ≤ ＋μ） ＝P（| x
－x | ≤μ）＝68.27% X
P（ X －2μ≤ ≤x ＋2μ）＝P（| － x|≤2μ）＝95.45% X X P（ X －3μ≤ x ≤ ＋3μ）＝P（| － |≤3μ）＝99.73% x X X
4、抽样调查的组织形式。抽样调查的组 织形式不同，其抽样误差也不同，而且同 一组织形式的合理程度也会影响抽样误差。 一般说，类型抽样和按有关标志排队的等 距抽样比其他抽样组织形式误差要小一些。