考前三个月新高考数学(文)二轮考前静悟1.1审题求规范(含答案详析)
高考语文二轮复习 考前三个月 第一章 核心题点精练 专题二 文学类文本之散文阅读 精练四 分析物象意
核心题点精练四分析物象意蕴和作用散文中的物象就是散文中所出现的具体的景物形象，它往往包含着作者或人物的思想感情。
它主要出现在托物言志或写景状物的散文作品中。
高考考查散文中的物象，主要是考查其意蕴和作用。
考生宜围绕这两个“题点”进行必要的训练，不断提高答题的精准度。
阅读下面的文字，完成文后题目。
灯火陈夫余秋雨在《乡关何处》中写道，思乡往往可以具体到一个河湾，几棵小树，半壁苍苔。
只是我的乡思没有落脚在河湾、小树或苍苔，而是无数个乡村的灯火。
灯火，是一个个村落最为亮堂的眼睛，黑暗中的无声对话者。
晚曦殆尽，乡野渐渐被黑幔吞噬，这时一村落的某个人家便会亮起第一盏灯火，于是另一家也亮了，另一村落也亮了，一盏再一盏，全亮了。
它们相互欣赏着，相互安抚着，相互守护着，直到一个小村落安然眠睡，直到一个大村落高枕无忧。
子夜的乡村常是万籁俱寂，很容易就被一声突兀的狗吠刺破天地，刺破酣卧在天地的村落。
一盏灯火赫然醒来，在狗吠中也赫然有了起床声，赫然有了开门声，一个村落苏醒了；透过门窗的灯火穿过黑色热烈地奔向远方，于是又一盏灯火醒来，又一个村落醒来。
透过门窗的万家灯火穿过黑色依旧热烈地奔向远方，一个接连着一个，大大小小左邻右舍的村落齐刷刷的全醒了。
村落与村落似乎真的很近，近得只要这有意无意的一盏灯火，整个乡村便在注目；却又好像真的很远，远得让乡人们循了灯火总要趟着黑走上个千折百回，完结一个焦虑一个心事，收获一次喜悦一次乡情。
在我的乡思里，不断演绎着这样一幕幕播种和颂传乡情的美丽记忆：黑夜一来，一两户人家的小村落的孩子便寂寞无聊起来，只有白天那销魂的“游击”还意犹未尽，一屁股落在大门槛上饥渴地胡乱向嘴里扒着饭，眼珠一动不动地死瞅着远方大村落那蛊惑人心的蔚然灯火，仿佛那儿战事正酣。
女人见了，一阵骂。
孩子便不情愿地站起身靠着门框叉着腿撅着屁股继续死瞅，女人又是一阵骂。
正在喝酒的男人白了一眼女人和孩子，猛地将一杯老白烧倒进肚里，微醺着走出门，孩子会意地屁颠颠的紧撵过去。
《新步步高》高考考前三个月数学(浙江专用理科)二轮小题精练2含答案.doc
1 2 3 4 5|A](A](A)[AUA] [BKBKBHBHB] (CJICKCUCHCJ [DHDKDHDHD]6 7 8 9 10I A U A H A H A K A ]ICHCHC)(C](Cl IDHDHDHDKD)11 12 13 14 15 (A H A H A H A H A ][CHCJICJICJIC] (DHD](D)[D](D]一、选择题1. 集合 M={x\x=\+a 21 Q GN*}, P= {x\x=a 2—4a + 5, Q GN*}，则下歹ij 关系中正确的是（ ）A. MQPB. PUMC. M=PD. M P 且 P M2. 在厶ABC^,已知/（—1,0）, C （l,0）,且l^q, \CA\, \AB\成等差数列，则顶点B 的轨迹方 程是（）A 专+[= 1B 专+〒=1 （详血）X 2 V 2? V 2C.才+〒=1D.才+〒=1 （xH±2）x+yW3,3. 已知实数x, y 满足不等式组卜+谆2,若z=x-y,则z 的最大值为（）、x20, y^O. A. 3B. 4C. 5D. 64. （2015-舟山模拟）己知力、B 、C 是圆Q x 2 + v 2=l 上三点，OA + OB = OC.则鮎 鬲等于5. （2015-天津模拟）设数列{如是公差不为零的等差数列，它的前舁项和为S ，且Si ，S2, S4 成等比数列，则譽等于（）A. 3B. 4C. 6D. 76. 如图所示，正六边形ABCDEF 的两个顶点D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在 双曲线上，则该双曲线的离心率是（）»»小题榕练2*[O][1K2](3](4H5H6H7H8H9)2[0)[1][2](3K4H5K6H7H8H9] P [O )(1](2][3](4](5H6H7H8H911A -D 3-2A.V3 + 1B.V3-1C.y[3D.迈7.（2015-杭州模拟）给出下面四个命题：①“直线Q〃直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线/丄平而a内所有直线”的充要条件是“/丄平面/ ；③“直线G, b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a, b不相交”:④“平面a〃平面0”的必要不充分条件是“°内存在不共线三点到0的距离相等”. 其中正确命题的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.②④8.在圆”+y2_2x—6y=0内，过点E（0,l）的最长弦和最短弦分别为/C和8D,则四边形MCD 的面积为（）A. 5迈B. 10^2C. 15迈D. 2（^/2二、填空题9.数列｛（一1）"（2卅一1）｝的前2016 项和S2oi6= __________________ .10.如果满足ZMBC=60。
浙江专用高考语文二轮复习考前三个月第一章核心题点精练专题四文言文阅读精练十九三大翻译得分点译到位三特
没能改变句子原来的意思，所以这是一个被动句。②主谓结构的句子能 够变成动宾结构主动句的，是被动句。如杜牧《阿房宫赋》中的“函谷 举”，可以将其变为“举函谷”。
2.类型最多、用法最复杂的特殊句式：宾语前置句 (1)否定句中，代词“之”作宾语，前置。当“之”作代词宾语时，易被 看作结构助词而不译。其实，它是个人称代词，必须译出。 (2)辨析两种“之谓”形式的固定结构。 ①……之谓 例句：其李将军之谓也？(《史记·李将军列传》) 译文：这大概说的是李将军吧？
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王孙圉对曰：“未尝为宝。楚之所宝者，曰观射父②。能作训辞， 以行事于诸侯，使无以寡君为口实。又有左史倚相，能道训典而叙百物， 以朝夕献善败于寡君，使寡君无忘先王之业。又能上下说于鬼神，顺道 其欲恶，使神无有怨痛于楚国……圉闻国之宝，六而已。圣能制议百物， 以辅相国家，则宝之；玉足以庇荫嘉谷，使无水旱之灾，则宝之；龟足 以宪臧否，则宝之；珠足以御火灾，则宝之；金足以御兵乱，则宝之； 山林薮泽足以备财用，则宝之。六宝则足矣，若夫哗嚣之美，楚虽蛮夷， 不能宝也。”(选自《国语》，有删改) 注 ①白珩(hénɡ)：楚国著名的佩玉。②观射(yì)父：楚国大夫。
①译出省略部分，须回归语境、把握语境，这是根本。例如2012年高考 大纲全国卷译句“(郭)浩招辑流亡，开营田，以其规置颁示诸路”中， “颁示”的主语是谁？从该句来看，主语似乎是“郭浩”，但郭浩“知 金州兼永兴军路经略使”，只兼一个永兴军路的经略使，怎能“颁示诸 路”呢？故这里的主语应是“朝廷”。 ②积累常见省略句型，灵活判断、运用于翻译。最常见也是最常考的省 略句有：a.省略主语，b.省略动词后或介词后的宾语，c.省略介词“于” 或“以”。
解析 得分点：“见”表被动，“以为”，句意对。
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考前三个月新高考数学(文)二轮冲刺训练2经典小题强化练(含答案详析)
训练 2经典小题加强练内容：三角函数、平面向量、解三角形一、选择题1． (2013 课·标全国 Ⅱ 改编 )设 θ为第二象限角， 若 tan θ＋π＝ 1，则 sin θ＋ cos θ等于 (4 210 10 2 5 2 5A ．－ 5 B. 5C. 5D ．－ 5答案Aπ11分析 ∵ tan θ＋4＝ 2， ∴ tan θ＝－ 3，3sin θ＝－ cos θ， 即且 θ为第二象限角， sin 2θ＋ cos 2θ＝ 1，103 10解得 sin θ＝ 10 ， cos θ＝－ 10.∴ sin θ＋ cos θ＝－10 5.2． 在平行四边形 ABCD 中， AC 为一条对角线，→ → →AB ＝ (2,4) ，AC ＝ (1,3) ，则 BD 等于 (A ． (－ 3，－ 5)B ．(3,5)C ． (2,4)D ．(－ 2，－ 4)))答案 A 分析→ → → → → → BC ＝ AC － AB ＝ (－ 1，－ 1) ，BD ＝ BC － AB ＝ (－ 3，－ 5)，应选 A.3． 已知向量 a ＝ (2,3)， b ＝ (－ 4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为()1365A. 13B. 5C.65D. 5答案 D分析依题意得，向量a 在b 方向上的投影为 a ·b 2× －4 ＋3×765，应选 D.|b | ＝－ 4 2 72 ＝ 5＋4． 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ， b ，c.若 a 2－ b 2 ＝ 3bc ， sin C ＝ 23sin B ，则 A 等于()A ． 30°B ．60°C ．120 °D ． 150 °答案 A分析依据正弦定理及 sin C ＝ 2 3sin B 得 c ＝ 2 3b.2 22 2 2223b ＋c － ac－ a － bc － 3bc 由于 cos A ＝ 2bc ＝2bc＝2bc＝ 2 ，因此 A ＝ 30°.22→ → → → →()5． 已知 A 、 B 、 C 是圆 O ： x ＋ y ＝ 1 上三点， OA ＋ OB ＝OC ，则 AB ·OA 等于3 33 1 A. 2B ．－ 2C ．－ 2D.2答案C分析 → → →∵ OA ＋ OB ＝ OC ，→ 2 → 2 → → → 2 ∴ OA ＋ OB ＋ 2OA ·OB ＝ OC ，→ → 1∴ OA ·OB ＝－ ，2→ → →→ → →→→23∴ AB ·OA ＝ (OB － OA) ·OA ＝OA ·OB －OA ＝－ 2.6． (2012 浙·江 )把函数 y ＝ cos 2x ＋ 1 的图象上全部点的横坐标伸长到本来的2 倍( 纵坐标不变 )，而后向左平移 1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，获得的图象是()答案 A分析变换后的三角函数为y ＝ cos(x ＋ 1)，联合四个选项可得 A 正确．→ 2 → → → → → →7． 在△ ABC 中，若 AB ＝ AB ·AC ＋ BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ ABC 是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案D分析→ 2 → → → →→ →∵ AB ＝ AB ＋ BA＋ CA ·CB ，·AC ·BC→ 2 → → → → → →AB －AB ·AC ＝BA ·BC ＋ CA ·CB ，→ → → → → → ，即 AB ·CB ＝ BA ·BC ＋ CA ·CB→ →∴ CA ·CB ＝ 0，∴∠ C ＝ 90°，即 △ ABC 是直角三角形．π3π8． 当 x ＝4时，函数 f(x)＝ Asin(x ＋ φ)(A>0) 获得最小值，则函数 y ＝ f4 － x 是A ．奇函数且图象对于点 π 对称， 02B ．偶函数且图象对于点 (π， 0)对称πC ．奇函数且图象对于直线x ＝对称2π D ．偶函数且图象对于点， 0对称2答案 C分析π由题意得， sin4＋ φ ＝－ 1，∴ φ可取－3π 4.()( )3π3π3π∴ f－ x＝ Asin － x －4 ＝－ Asin x ，44∴选 C.9． 已知函数 f(x)＝ (cos 2xcos x ＋sin 2xsin x)sin x ， x ∈ R ，则 f(x)是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数 πC ．最小正周期为2的奇函数π D ．最小正周期为的偶函数2答案 A分析1 1－ cos 2xf(x)＝ sin 2xcos 2x ＋ sin 2x221 1 1＝ 2sin 2xcos 2x －2sin 2xcos 2x ＋ 2sin 2x 1＝ 2sin 2x ，故 f(x)的最小正周期为 π，又是奇函数．π10．若函数 y ＝Asin(ωx＋ φ)( A>0， ω>0， |φ|<2 )在一个周期内的图象如下图，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且→ →()OM ·ON ＝ 0，则 A ·ω等于π 7πA. 6B. 127 7C. 6 πD. 3 π答案 C分析 由题中图象知 T π π π 4 ＝3－12 ＝4， ∴ T ＝π， ∴ ω＝ 2.π 7又知 M 12，A ，N 12π，－ A ，→ → 27π 2由 OM ·ON ＝ 0，得 122＝A ，∴A ＝7712 π， ∴ A ·ω＝ 6 π.应选 C.11．若方程 sin 2x ＋ 2sin x ＋ a ＝ 0 有解，则实数 a 的取值范围是()A ． [－ 3,1]B ．(－∞， 1]C ． [1，＋∞ )D ． [－ 1,1]答案A分析令 f(x)＝ sin 2x ＋ 2sin x ，则 f( x)的值域是 [ － 1,3] ，由于方程 sin 2x ＋ 2sin x ＋ a ＝0 一定有解，因此－ 1≤ － a ≤3， ∴ －3≤ a ≤ 1.12．动点2212 秒旋转一周．已A(x ， y)在圆 x ＋ y ＝ 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，1 3知时间 t ＝ 0 时，点 A 的坐标是 2， 2 ，则当 0≤ t ≤ 12 时，动点 A 的纵坐标 y 对于 t(单位：秒 )的函数的单一递加区间是()A ． [0,1]B ．[1,7]C ． [7,12]D ． [0,1] 和 [7,12]答案Dπ分析∵ T ＝ 12， ∴ ω＝ 6，3 ππ π又 ∵ t ＝ 0 时， y ＝ 2 ， ∴φ＝ 3， ∴y ＝ sin 6t ＋3 ，π π π π≤ ≤ 2k π＋ 2，令 2k π－2 6t ＋ 3即 12k － 5≤ t ≤ 12k ＋1， k ∈ Z 时， y 递加． ∵ 0≤t ≤12，∴ 函数 y 的单一递加区间是 [0,1] 和 [7,12] ．二、填空题π13．已知函数 f(x)＝2cos 3x ， x ≤2 000，则 f[f(2 012)] ＝ ________.x － 12， x>2 000 ，答案－ 1分析∵ 2 012>2 000 ，∴ f[f(2 012)] ＝ f(2 000)．2 000 π ∴ f(2 000)＝ 2cos ＝ 2cos 32π3＝－1.→ → → → → → 14．在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC ＝2BD ， CA ＝ 3CE ，则 AD ·BE ＝ ________.答案－141 分析→→→ → →设 BC ＝ b ，则 AD ＝ AB ＋ BD ＝ b ＋ 2a ，＝ a ，AB→→ → → 1 → 2 1BE ＝ BC ＋ CE ＝ BC ＋ 3CA ＝ 3a － 3b ，且 a ·b ＝ cos 120 ＝°－12，→ →12 1因此 AD ·BE ＝ b ＋ 2a ·3a － 3b1 2 1 2 1 1＝ 3a － 3b ＋ 2a ·b ＝－ 4.15．如图，在△ ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB ＝ AD, 2AB ＝ 3BD ，BC ＝ 2BD ，则 sin C 的值为 ______ ．答案66分析设 AB ＝ a ，则 AD ＝ a ， BD ＝2a， BC ＝ 2BD ＝ 4a，433AB 2＋AD 2－BD 222cos A ＝2a －3a1 2AB ·AD＝2a 2＝ 3，22 2∴ sin A ＝ 1－ cos A ＝ 3 .AB3× 22 6由正弦定理知 sin C ＝ BC ·sin A ＝ 43 ＝6.3π16．已知函数 f(x)＝ sin 2x ＋ 2(x ∈ R )，给出下边四个命题：π①函数 f(x)的最小正周期为π；②函数 f(x)是偶函数； ③函数 f(x)的图象对于直线x ＝ 对4π称；④函数 f(x)在区间 0，2 上是增函数．此中正确的命题是 ________． 答案①②④3π分析函数 f(x)＝ sin 2x ＋ 2 ＝－ cos 2x ，则其最小正周期为π，故 ① 正确；由 ① 易知函π 数 f(x)是偶函数， ② 正确；由 f(x) ＝－ cos 2x 的图象可知，函数f(x)的图象对于直线x ＝4π不对称， ③ 错误；由 f(x)的图象易知函数f(x) 在 0， 2 上是增函数，故④ 正确．。
浙江高考考前三个月数学文二轮复习冲刺训练1基础小题保分练(含答案详析)
高考题型冲刺练12＋4分项练 训练1 基础小题保分练内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数 一、选择题1． (2013·浙江)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T 等于( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)答案 C解析 T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}＝{x |－4≤x ≤1}． S ＝{x |x >－2}，∁R S ＝{x |x ≤－2}， ∴(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}＝(－∞，1]．2． (2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，则有cos 〈a ，b 〉＝±1.即〈a ，b 〉＝0或π，所以a ∥b .由a ∥b ，得向量a 与 b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a ·b |＝|a ||b |.3． 设集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|(y －x )(y ＋x )≤0}，M ＝A ∩B ，若动点P (x ，y )∈M ，则x 2＋(y －1)2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，52B.⎣⎡⎦⎤22，52C.⎣⎡⎦⎤12，102D.⎣⎡⎦⎤22，102答案 A解析 在同一直角坐标系中画出集合A ，B 所在区域，取交集后 可得M 所表示的区域如图中阴影部分所示，而d ＝x 2＋(y －1)2表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是⎣⎡⎦⎤12，52， 选A.4． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4；当α>0时，f (α)＝α2＝4，α＝2. 5． 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题是真命题D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 答案 D解析 A 中原命题的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错；B 中，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 错；C 中，当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；D 中，逆否命题与原命题共真假，易知原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，因此D 正确．6． 设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c答案 D解析 ∵y ＝2x 是增函数， ∴22.5>20＝1＝2.50.又y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫12 2.5<⎝⎛⎭⎫120＝1， ∴a >b >c .7． 若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是 ( )A ．t ≤－1B ．t >－1C ．t ≥3D ．t >3答案 D解析 P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3，选D.8． 已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为 ( )A ．2 011B ．1 006C ．2 013D ．1 007答案 C解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2，由f (x )＝f (－x＋2)可知函数f (x )关于直线x ＝1对称，因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为2 013个，选C. 9． 若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( )A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案 B解析 设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0.10．若变量x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )答案 B解析 由|x |－ln 1y ＝0，有y ＝1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x ≥0e x，x <0，利用指数函数图象可知答案选B.11．(2013·陕西)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ] 答案 D解析 特殊值法．令x ＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故A 错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故B错；令x＝1.5，y＝0.5，[x＋y]＝2，[x]＋[y]＝1＋0＝1，故C错．12．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y ＝|lg x|的图象的交点共有() A．10个B．9个C．8个D．1个答案 A解析根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；0＜x＜10时，|lg x|＜1；x＞10时，|lg x|＞1.因此结合图象及数据特点y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．二、填空题13．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y－2≤0}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是__________．答案[－3，3]解析要使A⊆B，只需直线kx－y－2＝0与圆相切或相离，2≥1，解得：－3≤k≤ 3.∴d＝1＋k214．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为______________．答案(2,3)∪(－3，－2)解析由图象知，当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0.∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．又f(－2)＝1，f(3)＝1，∴由f(x2－6)>1得f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，∴－2<x2－6<0或0≤x2－6<3，则4<x2<9，∴2<x<3或－3<x<－2.15．有一种垫片，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元．设该厂每月所需垫片x个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是________．答案x>1 600解析由题意知：800＋0.60x<1.10x时，自己生产垫片比外购垫片合算，解之得x>1 600.16．已知函数f (x )＝ln x －ax.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围为________．答案 [－1，＋∞)解析 ∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2.又x >1，∴a >x ln x －x 3.令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x ，∵当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数， ∴g (x )<g (1)＝－1.∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．。
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一、选择题1.设i 为虚数单位，复数z=(l+i)2+2,则z 的共辘复数为(A. -2iD. 2+2i答案C解析z=(l+i)2+2 = 2i+2 = 2+2i,所以z 的共辄复数是2-2i.2.集合 M= {x\x=l+a\ G WN”}, P={x\x=a 2~4a+5, Q WN),则下列关系中正确的是()B. PCMD.且©PM 答案A解析 P={x*=l+(d —2)2,当a=2时，x=l,而M 中无元素1,尸比M 多一个元 素. 3. 在中，已知力(一1,0), C(1,O),且\BC\, \CA\,凶冈成等差数列，则顶点B 的轨迹方 程是()答案D解析 V|5C|, \CA\, \AB\成等差数列，・・・QC| + |&I|=2|C4|=4,・・点3的轨迹是以C 为焦 点，半焦距c=l,长轴长2d=4的椭圆.又3是三角形的顶点，A, B, C 三点不能共线，故2 2所求的轨迹方程为亍+牙=1,且pHO.x+尹 W3,4.己知实数x,尹满足不等式组\x+y^2f 若z=x-y,则z 的最大值为().x$0, )90.A. 3B. 4C. 5D. 6答案A x+jW3,解析作出不等式组\x+y^2t所对应的可行域，变形目标函数y=x-z,平移直线尹=兀x^O, y^O —z 可知，当直线经过点(3,0)时，z 取最大值，代值计算可得z=x —y 的最大值为3.小题精练2C. 2-2i C. M=P5.若P为曲线y=\nx±一动点，0为直线y=x+]±一动点，贝U|PQ罰等于（2解析如图所示，直线/与y=\nx相切且与y=x+1平行时，切点P 到直线y=x+l的距离0Q即为所求最小值.（lnx）' =£令2=1,得"I eAx=].2故P（1,O）.故尸0|罰=击=迈.6.若点P是函数>=c A-c-x—*0马）图彖上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为弘则a的最小值是（）答案B解析由导数的几何意义,k=y =孑+“^一3$2停戸一3 = — 1,当且仅当x=0时等号成立.即tanaM —1, aW[O,兀），又Vtan（z<0, ・・・a的最小值为才.7.如图所示，正六边形ABCDEF的两个顶点D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是（A.^34~ 1B.V3-1D.迄答案A 解析令正六边形的边长为加，则有\AD\ = 2m, \AB\ = m, \BD\=y[im f该双曲线的离心率等于諾备=急卡+「 &如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）答案D 解析 由茎叶图可知评委打出的最低分为79,最高分为93,其余得分为84,84,86,84,87, 故平均分为 方差为 |[3X (84-85)2 + (86-85)2+(87-85)2] = 1.6.9. 给出下列五个命题：① 将/、B 、C 三种个体按3 ： 1 ： 2的比例分层抽样调查，如果抽取的/个体为9个，则样本 容量为30；② 一组数据123,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③ 甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,那么这两组数据中比较稳定的是甲；④ 已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为则x 每增加1个单位，尹 平均减少2个单位；⑤ 统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在 [114.5,124.5)内的频率为 0.4.其中真命题为()A.①②④B.②④⑤C.②③④ D.③④⑤答案B 解析 ①样本容量为9#=18,①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为*1+2 + 3 + 3+4|[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=|x (4+1 +4+9+4)=4.4, ：•胳＞盒 /.乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个， 4故所求概率为Y Q =0.4,⑤是真命题.10. 在圆x 2+y 2-2x-6y=0内，过点E(0,l)的最长弦和最短弦分别为/C 和购，则四边形 ABCD 的面积为()A. 5迄B. 10V2C. 15迈D. 20^2答案B解析 圆的标准方程为(x-l)2+(y-3)2=10,则圆心(1,3),半径r=VT0,由题意知/C 丄 且|/(?| = 2帧，|A. 84,4.84C. 85,4 79 84 4 6 4 7 93B. 84,1.6D. 85,1.6+ 5) = 3,中位数为3,众数为3,都相同，②是真命题；③x5 + 6+9+10+5血|=2勺10_5 = 2谄,所以四边形ABCD的面积为S=^\AC\ \BD\=^X2y[W X2V5=10A/2.二、填空题11 ・数列｛(-1 )"(2〃一1)｝的前2016 项和52()16= _ •答案2016解析S2O16=-1+3 — 5 + 7+…一(2X2015—1)+(2X2016—1)=? + 2十・..+ 2 =2016.I00&个2相加12. _______________________________________________________ 下图是一个程序框图，若输入x的值为一4,则输出y的值为_______________________________ .答案2解析当兀=一4 时，|一4|>3,则x=7；当x=7时，|7|>3,兀=4；当x=4 时，|4|>3, x=l；当x=l时，|1|>3不成立，则输出j/=2' = 2.13.如果满足ZMC=60。
《新步步高》高考考前三个月数学(浙江专用理科)二轮小题精练4含答案.doc
1 2 3 4 5|A](A](A)[AUA] [BKBKBHBHB] (CJICKCUCHCJ [DHDKDHDHD]6 7 8 9 10 I A U A H A H A K A ]ICHCHC)(C](Cl IDHDHDHDKD)11 12 13 14 15(A H A H A H A H A ][CHCJICJICJIC] (DHD](D)[D](D]一、选择题1. 已知集合 M={x\x^x 2}f N={y^=2\ xGR},则 MQN 等于( )A. (0,1]B. (0,1)C. [0,1)D. [0,1]2. 命题的否定是( ) A. *R, B. VxER, x 2=xC. 3x4R,X 'H XD.R» X 2=X3. 设 Q=(|)|，b=(|£, c=(|% 则 a, b, c 的大小关系是()A- a>c>b B ・ a>b>c C. c>a>bD. b>c>a4. 设加，〃是两条不同的直线，g 0是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A. 若加〃a, n//a f 则 m//nB. 若 G 丄〃，加丄“，mQa,则 tn//aC. 若a 丄“,fnUa,则加丄0D. 若加Ucc, 〃Ua, 〃？〃0, n 〃B ，贝lj ct 〃05. 已知M(a, b)(abH0)是圆O ： x 2+y 2=r 2内一点，现有以M 为屮点的弦所在直线加和直线/： ax+by=^f 贝lj()A. m//l,且/与圆相交B. /丄加，且/与圆相交C. m 〃l,且/与圆相离D. /丄加，与/与圆相离兀一y+1 W0,6. 变量x 、y 满足条件<応1,M(X -2)2+J 2的最小值为()X>— 1 ,»»小题苗练4*【0)⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻(9] 2 [0)[1][2](3K4H5K6H7H8H9] 弓[O)(1](2][3](4](5H6H7H8H91B.^5二、填空题9・(2015-绍兴模拟)在厶ABC 中，A. B 、C 的对边分别为a 、b 、s 若a = 3, B=2A, cosA10. 已知向量a, 〃满足|a| = l, \a+b\=y[7, (a, b)=彳，则|方|= ___________ ..xMO,11. 己知平面区域石$0, 恰好被面枳最小的圆C ： (x-a)2+^~b)2=r 2及其内部所x+2y —4^0 覆盖，则圆C 的方程为 ______________ 12. (2015-衢州质检)下列结论：① 若命题P ： 3 VR, tanx= 1 ；命题g ： R, x 2—x~\~ 1>0,则命题"p 1\儀q"是假命题; ② 已知直线厶：祇+3尹一1=0, /2： x+®+l=O,贝昇丄“的充要条件是彳=一3；③ 命题“若3X +2 = 0,则兀=1”的逆否命题：“若兀H1,则,一3x+2H0” .其屮正确 结论的序号为7.A. k=q.B. k =~^f壮r+1(—2Wx<0),的图象如图，贝lj(C. k=-g, co=|, 0=?D. k = —2, ® = 2, 0=亍8.己知整数a, b, c, /满足:2(t +2h=2c ff=字，K'J log 2/ 的最大值是( A. 0 B. Iog23 C. 2D. 3 函数尸2血3+卩)(0匕0<局) 1兀13.设Q0,函数y=sin@x+£j+2的图象向右平移罟个单位后与原图象重合，则®的最小值是___________________________________ .14.已知椭圆的屮心在坐标原点O, A, C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线/F与BC相交于点D若椭圆的离心率为*，则ZBDF的正切值为___________ 15.对向量a=（ci\ f aj, b = （b\,方2）定乂—种运算"©” : a®b=（ci \, U2）®（b\, 〃2）=（。
考前三个月新高考数学(文)二轮冲刺综合练(三)(含答案详析)
12＋4综合练(三)一、选择题1． 已知A ＝{x |x 2－4x －5＝0}，B ＝{x |x 2＝1}，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{1，－1,5}C ．{－1}D ．{1，－1，－5}答案 C解析 因为A ＝{x |x 2－4x －5＝0}＝{－1,5}；B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{－1}，故选C.2． 已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝11＋i在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，O 为坐标原点，则向量OP 1→，OP 2→所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 D解析 因为z 2＝11＋i＝1－i 2，OP 1→＝(1,1)，OP 2→＝⎝⎛⎭⎫12，－12，所以OP 1→·OP 2→＝0，故OP 1→，OP 2→的夹角为π2.3． 已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (23)的值为( )A.12B ．－12C ．1D ．－1答案 B解析 f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝3sin(－π3)＋1＝－32＋1＝－12. 4． 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A解析 如图，过点D 分别做AC ，BC 的平行线，分别交BC ，AC 于点F ，E ，∴CD →＝CE →＋CF →，∵AD →＝2DB →，∴CE →＝13CA →，CF →＝23CB →，CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.5． 在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥62”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.23答案 B解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ≥62，0≤x ≤π，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin (x ＋π4)≥32，0≤x ≤π，即π12≤x ≤5π12.根据几何概型的计算方法，所以所求的概率为P ＝5π12－π12π＝13.6． 设0<a <1时，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)答案 C解析 ∵0<a <1，∴a 2x －2a x －2>1. ∴(a x －1)2－3>1，∴|a x －1|>2，∴a x >3.∴x <log a 3，∴x ∈(－∞，log a 3)．7． 函数y ＝xsin 2x，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫0，π2的图象可能是下列图象中的 ( )答案 D解析 由函数y ＝xsin 2x，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫0，π2是偶函数，排除A ；又由函数y ＝sin 2x ，y ＝2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的图象可知恒有2x >sin 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以y ＝x sin 2x >12，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，排除B 和C ，故选D.8． 已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29答案 C解析 设公比为q (q ≠0)，则由a 2·a 3＝2a 1知a 1q 3＝2， ∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.∴a 1＝16，q ＝12.∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝31.9． 执行如图所示的程序框图，输出的S 是 ( )A ．10B ．15C ．20D ．35答案 D解析 利用程序框图确定运行次数．该程序框图运行5次，各次的S 分别是1,4,10,20,35，所以输出的S ＝35.10．设函数f (x )＝3sin θ3x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，则导数f ′(－1)的取值范围是( )A ．[3,6]B ．[3,4＋3]C ．[4－3，6]D ．[4－3，4＋3]答案 A解析 f ′(x )＝3sin θ·x 2＋cos θ·x ＋4， f ′(1)＝3sin θ·(－1)2＋cos θ·(－1)＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋4， ∵0≤θ≤5π6，∴－π6≤θ－π6≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤1，∴3≤f ′(1)≤6. 11．对任意x ∈R ，|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[－1,5]B ．(－1,5]C ．[－1,5)D ．(－1,5)答案 A解析 |2－x |＋|3＋x |＝|x －2|＋|x －(－3)|，它的最小值为5，∴a 2－4a ≤5，∴－1≤a ≤5，∴a ∈[－1,5]．12．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业______年后需要更新设备．( )A ．10B ．11C ．13D ．21答案 A解析 由题意可知x 年的维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年平均污水处理费用y ＝100＋0.5x ＋x (x ＋1)x ＝x ＋100x ＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号，所以选A.二、填空题13．若命题p ：∀x ∈R ，1x －2<0，则綈p ：________.答案 存在x 0∈R ，使1x 0－2>0或x 0－2＝0(也可以写为：存在x 0∈R ，使x 0≥2)解析 含一个量词的命题的否定，首先否定其结论，然后再改变量词．14．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 答案 (1,2)解析 由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF ＝12∠AEB <45°，则|AF |<|EF |.由题意，可求得|AF |＝b 2a，|EF |＝a ＋c ，所以b2a <a ＋c ，即c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.15．已知x >0，有下列不等式成立：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2≥3 3x 2·x 2·4x 2＝3，…， x ＋axn ≥n ＋1，则a ＝______. 答案 n n解析 由题意可得x ＋a x n ＝ ＋axn ≥(n ＋1)＝n ＋1，所以a ＝n n .16．给出下列命题：①若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a ，b 中的一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面；③一定存在平面α同时和异面直线a ，b 都平行．其中正确的命题为________． 答案 ③解析 ①错，c 可与a ，b 都相交；②错，因为a ，c 也可能相交或平行；③正确，例如过异面直线a ，b 的公垂线的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件.。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)技巧规范篇 第一篇 第1讲 六招求解选择题
第1讲 六招求解选择题[题型分析·高考展望] 选择题是高考试题的三大题型之一，其特点是：难度中低，小巧灵活，知识覆盖面广，解题只要结果不看过程.解选择题的基本策略是：充分利用题干和选项信息，先定性后定量，先特殊再一般，先排除后求解，避免“小题大做”.解答选择题主要有直接法和间接法两大类.直接法是最基本、最常用的方法，但为了提高解题的速度，我们还要研究解答选择题的间接法和解题技巧.高考必会题型方法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若F A →＝2AB →，则双曲线的离心率为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 答案 D解析 设点F (c ，0)，B (0，b )， 由F A →＝2AB →，得OA →－OF →＝2(OB →－OA →)， 即OA →＝13(OF →＋2OB →)，所以点A (c 3，2b3)，因为点A 在渐近线y ＝bax 上，则2b 3＝b a ·c3，即e ＝2. 点评 直接法是解答选择题最常用的基本方法，直接法适用的范围很广，一般来说，涉及概念、性质的辨析或运算比较简单的题多采用直接法，只要运算正确必能得出正确的答案.提高用直接法解选择题的能力，准确地把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，在稳的前提下求快，一味求快则会快中出错.变式训练1 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.2，－π3B.2，－π6C.4，－π6D.4，π3答案 A解析 由图可知，T 2＝11π12－5π12，即T ＝π，所以由T ＝2πω可得，ω＝2，所以函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又因为函数图象过点(5π12，2)，所以2＝2sin(2×5π12＋φ)，即2×5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.方法二 特例法特例法是从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等.例2 (1)已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C.1 D.12(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A.(1，10)B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24) 答案 (1)A (2)C 解析 (1)如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13 AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. (2)不妨设0<a <1<b ≤10<c ，取特例， 如取f (a )＝f (b )＝f (c )＝12，则易得a ＝1021-，b ＝1021，c ＝11，从而abc ＝11，故选C.点评 特例法具有简化运算和推理的功效，用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.变式训练2 (1)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1，2，3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A.n (2n －1) B.(n ＋1)2 C.n 2 D.(n －1)2(2)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.3∶1 答案 (1)C (2)B解析 (1)因为a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)， 所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26， 再令数列为常数列，得每一项为8， 则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32. 结合选项可知只有C 符合要求.(2)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有1C AA B V -＝1A ABC V -＝13111ABC A B C V -，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1.方法三 排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案.例3 (1)函数f (x )＝2|x |－x 2的图象为( )(2)函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－22，0 B.[－1，0] C.[－2，－1] D.⎣⎡⎦⎤－33，0 答案 (1)D (2)B解析 (1)由f (－x )＝f (x )知函数f (x )是偶函数， 其图象关于y 轴对称，排除选项A 、C ； 当x ＝0时，f (x )＝1，排除选项B ，故选D. (2)令sin x ＝0，cos x ＝1， 则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B.点评 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.变式训练3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[－1，2]B.[－1，0]C.[1，2]D.[0，2](2)(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 (1)D (2)D解析 (1)若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤0，x ＋1x －1，x >0，易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ； 若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1x，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.故D 正确. (2)∵f (x )＝(x －1x )cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ； 当x ＝π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 方法四 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论.例4 (1)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( ) A.60° B.90° C.120° D.150°(2)定义在R 上的奇函数f (x )和定义在{x |x ≠0}上的偶函数g (x )分别满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ＜1，1x，x ≥1，g (x )＝log 2x (x >0)，若存在实数a ，使得f (a )＝g (b )成立，则实数b 的取值范围是( ) A.[－2，2]B.[－12，0)∪(0，12]C.[－2，－12]∪[12，2]D.(－∞，－2]∪[－2，＋∞)答案 (1)B (2)C 解析 (1)如图，因为〈a ，b 〉＝120°， |b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0， 所以在△OBC 中， BC 与CO 的夹角为90°， 即a 与c 的夹角为90°.(2)分别画出函数f (x )和g (x )的图象， 存在实数a ， 使得f (a )＝g (b )成立，则实数b 一定在函数g (x )使得两个函数的函数值重合的区间内， 故实数b 的取值范围是[－2，－12]∪[12，2].点评 图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.变式训练4 (1)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 2，C 1上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A.52－4 B.17－1 C.6－2 2 D.17(2)已知函数f (x )＝4x 与g (x )＝x 3＋t ，若f (x )与g (x )的交点在直线y ＝x 的两侧，则实数t 的取值范围是( )A.(－6，0]B.(－6，6)C.(4，＋∞)D.(－4，4)答案 (1)A (2)B解析 (1)作圆C 1关于x 轴的对称圆C 1′：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1， 则|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|，由图可知当点C 2、M 、P 、N ′、C 1′在 同一直线上时，|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|取得最小值， 即为|C 1′C 2|－1－3＝52－4.(2)根据题意可得函数图象，g (x )在点A (2，2)处的取值大于2，在点B (－2，－2)处的取值小于－2，可得g (2)＝23＋t ＝8＋t >2，g (－2)＝(－2)3＋t ＝－8＋t <－2，解得t ∈(－6，6)，故选B.方法五 正难则反法在解选择题时，有时从正面求解比较困难，可以转化为其反面的问题来解决，即将问题转化为其对立事件来解决，实际上就是补集思想的应用.例5 (1)设集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0<a <6} B.{a |a <2或a >4} C.{a |a ≤0或a ≥6}D.{a |2≤a ≤4}(2)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，若在[－1，1]上存在x 使得f (x )>0，则实数p 的取值范围是( ) A.[－32，－12]∪[1，3]B.[1，3]C.[－12，3]D.(－3，32)答案 (1)A (2)D解析 (1)当A ∩B ＝∅时，由图可知a ＋1≤1或a －1≥5， 所以a ≤0或a ≥6，故当A ∩B ≠∅时，0<a <6.(2)若在[－1，1]上不存在x 使得f (x )>0， 即当x ∈[－1，1]时，f (x )≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0， 解得⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，即p ∈(－∞，－3]∪[32，＋∞)，其补集是(－3，32).点评 应用正难则反法解题的关键在于准确转化，适合于正面求解非常复杂或者无法判断的问题.变式训练5 若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是( ) A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(1，＋∞) D.(－∞，1) 答案 B解析 y ′＝(e x ＋mx )′＝e x ＋m ，函数y ＝e x ＋mx 没有极值的充要条件是函数在R 上为单调函数， 即y ′＝e x ＋m ≥0(或≤0)恒成立， 而e x ≥0，故当m ≥0时，函数y ＝e x ＋mx 在R 上为单调递增函数，不存在极值， 所以函数存在极值的条件是m <0. 方法六 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程.因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义.估算法往往可以减少运算量，但是提升了思维的层次.例6 (1)已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A.6 B.3 C.2 D.1(2)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92B.5C.6D.152 答案 (1)B (2)D解析 (1)因为x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，所以2<x 1<3，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，所以0<x 2<1， 所以2<x 1＋x 2<4.(2)该多面体的体积比较难求，可连接BE 、CE ，问题转化为四棱锥E －ABCD 与三棱锥E －BCF 的体积之和， 而V E －ABCD ＝13S ·h ＝13×9×2＝6，所以只能选D.点评 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项. 变式训练6 (1)设a ＝log 23，b ＝232，c ＝334，则( )A.b <a <cB.c <a <bC.c <b <aD.a <c <b(2)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5 (π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A.m －3q －mB.m －3|q －m |C.－15 D.5答案 (1)B (2)D解析 (1)因为2>a ＝log 23>1，b ＝232>2，c ＝334-<1，所以c <a <b .(2)由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 一定为确定的值进而推知tan θ2也是一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1.所以D 正确. 高考题型精练1.已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q 等于( ) A.[0，1) B.(0，2] C.(1，2) D.[1，2] 答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.2.(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin 2x ＋cos 2x D.y ＝sin x ＋cos x答案 B解析 A 项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意； B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意； C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意； D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意. 3.已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 227＝1B.y 29－x 227＝1C.y 212－x 224＝1D.y 224－x 212＝1 答案 B解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为(0，6)， 所以双曲线的焦点坐标为(0，6)和(0，－6)， 所以双曲线中c ＝6，又因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，所以a b ＝33，所以a 2b 2＝13，又a 2＋b 2＝36， 得a 2＝9，b 2＝27. 故选B.4.图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )答案 B解析 由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.5.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.[－1，13]B.[－12，13]C.[－12，＋∞)D.[－12，1)答案 B解析 如图，z ＝y －1x ＋1表示可行域内的动点P (x ，y )与定点A (－1，1)连线的斜率.6.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )等于( )A.e x ＋1 B.e x －1 C.e －x ＋1D.e－x －1答案 D解析 依题意，f (x )向右平移一个单位长度之后得到的函数是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e－x向左平移一个单位的结果，所以f (x )＝e－x －1.7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A.1 B. 2 C.2－12 D.2＋12答案 C解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12. 8.给出下面的程序框图，若输入的x 的值为－5，则输出的y 值是( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1答案 C解析 由程序框图得：若输入的x 的值为－5， (12)－5＝25＝32>2， 程序继续运行x ＝－3，(12)－3＝23＝8>2，程序继续运行x ＝－1，(12)－1＝2，不满足(12)x >2，∴执行y ＝log 2x 2＝log 21＝0， 故选C.9.(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1B.[0，1]C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.[1， ＋∞)解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＜0，且S 2 015＝0，则当S n 取得最小值时，n 的取值为( )A.1 009B.1 008C.1 007或1 008D.1 008或1 009 答案 C解析 等差数列中，S n 的表达式为n 的二次函数，且常数项为0，故函数S n 的图象过原点，又a 1＜0，且存在n ＝2 015使得S n ＝0，可知公差d ＞0，S n 图象开口向上，对称轴n ＝2 0152，于是当n ＝1 007或n ＝1 008时，S n 取得最小值，选C.11.已知四面体P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( ) A.7π B.8π C.9π D.10π 答案 C解析 依题意，记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2，1，2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9，4πR 2＝9π，所以球O 的表面积为9π.12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( ) A.100 B.101 C.200 D.201 答案 A解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 200＝1， S 200＝a 1＋a 2002×200＝100.13.若(x －2x )n 的二项展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( )A.6B.10C.12D.15解析 ∵T k ＋1＝C k n (x )n －k(－2x)k ＝C k n (－1)k 2k32-n kx ，∴T 5＝C 4n ·24·122-n x.令n －12＝0，∴n ＝12.14.在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A.(－2，1)B.(1，2)C.(2，1)D.(－1，2) 答案 B解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号. ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 则可排除A 、C 、D ，故选B.15.已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A.[2－2，2＋2] B.(2－2，2＋2) C.[1，3] D.(1，3) 答案 B解析 ∵f (a )>－1，∴g (b )>－1， ∴－b 2＋4b －3>－1， ∴b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b <2＋ 2. 故选B.16.若不等式m ≤12x ＋21－x 在x ∈(0，1)时恒成立，则实数m 的最大值为( )A.9B.92C.5D.52答案 B解析 12x ＋21－x ＝(12x ＋92x )＋[92(1－x )＋21－x ]－92 ≥212x ×92x ＋2 92(1－x )(21－x )－92＝2×32＋2×3－92＝9－92＝92，当且仅当⎩⎨⎧12x ＝92x ，92(1－x )＝21－x即x ＝13时取得等号，所以实数m 的最大值为92，故选B.17.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为( ) A.(1，＋∞) B.(－∞，－1) C.(－1，1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 记g (x )＝f (x )－12x －12，则有g ′(x )＝f ′(x )－12<0，g (x )是R 上的减函数，且g (1)＝f (1)－12×1－12＝0，不等式f (x 2)<x 22＋12， 即f (x 2)－x 22－12<0，g (x 2)<0＝g (1)， 由g (x )是R 上的减函数得x 2>1， 解得x <－1或x >1，即不等式f (x 2)<x 22＋12的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞). 18.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若函数F (x )＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.(2，8)C.(2，174] D.(0，8)答案 C解析 函数f (x )的图象如图所示：要使方程f 2(x )－bf (x )＋1＝0有8个不同实数根，令f (x )＝t ，意味着0<t ≤f (0)(f (0)＝4)且t 有两个不同的值t 1，t 2，0＜t 1＜t 2≤4， 即二次方程t 2－bt ＋1＝0在区间(0，4]上有两个不同的实数根.对于二次函数g (t )＝t 2－bt ＋1， 这意味着Δ＝b 2－4>0(或g (b2)<0)，0<b2<4(或t 1＋t 2＝b ∈(0，8))， 因为g (0)＝1>0(不论t 如何变化都有图象恒过定点(0，1))， 所以只需g (4)≥0，求得b ≤174， 综上可得b ∈(2，174].。
考前三个月新高考数学(文)二轮冲刺综合练(二)(含答案详析)
12＋4综合练(二)一、选择题1． 复数1＋i 4＋3i的虚部是 ( ) A.125i B.125 C ．－125D ．－125i 答案 B解析 1＋i 4＋3i ＝(1＋i )(4－3i )(4＋3i )(4－3i )＝725＋i 25，所以虚部为125. 2． 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |2<x <4}，那么集合B ∩(∁U A )等于( )A ．{x |－1≤x ≤4}B ．{x |2<x ≤3}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |－1<x <4}答案 B3． “α＝π6”是“cos 2α＝12”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析 当α＝π6时，则cos 2α＝cos π3＝12成立，但是cos 2α＝12，得到α＝±π6＋k π，k ∈Z ，不一定可以推出α＝π6，因此“α＝π6”是“cos 2α＝12”的充分不必要条件． 4． 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3) 答案 B解析 ∵f (a )>－1，∴g (b )>－1，∴－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0，∴2－2<b <2＋ 2.选B.5． 如果log x <log y <0，那么( ) A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 答案 D解析 因为y ＝log 12x 为(0，＋∞)上的减函数，所以x >y >1. 6． 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为4，则实数b 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．412 12答案 C解析 画出可行域可知y ＝－2x ＋z 过⎝⎛⎭⎫b 3，2b 3时z 取得最小值，所以2×b 3＋2b 3＝4，b ＝3. 7． 设l ，m ，n 为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是( )①若l ⊥α，则l 与α相交；②若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α；③若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α；④若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则l ∥n .A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m ，n 是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性，l ∥n ，故当l ⊥α时，一定有n ⊥α，命题③正确；m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，又l ∥m ，即l ∥n ，命题④正确．8． 执行如图所示的程序框图，若输入x ＝0.1，则输出的m 的值是 ( )A ．0B ．0.1C ．1D ．－1答案 A解析 当x ＝0.1时， m ＝lg 0.1＝－1，因为－1<0，执行m ＝m ＋1＝－1＋1＝0，将0赋给m ，输出的m 的值是0.9． 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M ，且2OM →＝OF →＋OP →，则双曲线的离心率是 ( ) A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案 A解析 由已知条件知，点M 为直角三角形OFP 斜边PF 的中点，故OF ＝2OM ，即c ＝2a ，所以双曲线的离心率为 2.10．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，则身高为176 cm 的同学被抽中的概率为 ( )A.15B.25C.35D.45 答案 B 解析 从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，共有10种不同的取法．设A 表示随机事件“抽到身高为176 cm 的同学”，则A 中的基本事件有4个．故所求概率为P (A )＝410＝25. 11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( ) A.2n ＋1－13 B.2n ＋1－23C.22n －13D.22n －23答案 C解析 依题意得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1，a n＝2n －1也适合a 1.因此，a n ＝2n －1，a n ＋1a n＝2，数列{a n }是等比数列，数列{a n }的奇数项的前n 项和为1×(1－22n )1－22＝22n －13. 12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a .又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c， 即a b ＝a c 或b c ＝a c，得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形．∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．二、填空题13．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2,2)解析 由于函数f (x )是连续的，故只需要两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，得x ＝±1，只需f (－1)·f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)．14．已知湖南有醴陵中国红、浏阳菊花石、安化黑茶、长沙湘绣，在湖南卫视的“百科全说第二季”栏目中，有一道试题分别给出了中国红、菊花石、黑茶、湘绣，要求与醴陵、浏阳、安化、长沙在答题板上用笔一对一连起来，每连对一组得2分，连错不得分，得4分及其以上者可以参加下一关的挑战，则挑战者得2分的概率为________．答案 13解析 由题意知挑战者连线的所有方式一共有24种，挑战者得2分即连线仅仅连对一组，其余三组都连错，其连线方式有4×2＝8种，故得2分的概率为824＝13. 15．如图所示是函数＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|∈(0，π2))图象的一部分，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝2sin(23x ＋π6)＋1 解析 由于最大值和最小值之差等于4，故A ＝2，b ＝1.由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈(0，π2)，得φ＝π6，由图象知ω(－π)＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，得ω＝－2k ＋23(k ∈Z )．又2πω>2π，∴0<ω<1，∴ω＝23，∴函数f (x )的解析式是f (x )＝2sin(23x ＋π6)＋1. 16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为________．答案 172解析 如图，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于 点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点M (0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点M (0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为1 4＝17 2.4＋。
高考语文二轮复习考前三个月第一章核心题点精练专题四
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阅读下面的文言文，完成文后题目。 匡衡字稚圭，东海承人也。衡射策甲科，调补平原文学。元帝初
即位，乐陵侯史高以外属为大司马车骑将军，领尚书事，前将军萧望 之为副。望之名儒，天子任之，多所贡荐。高充位而已，与望之有隙。 长安令杨兴说高曰：“平原文学匡衡材智有余，而随牒在远方。将军 诚召置幕府，学士歙然归仁，与参事议，观其所有，贡之朝廷，必为 国器，以此显示众庶，名流于世。”高然其言，辟衡为议曹史，荐衡 于上，上以为郎中，迁博士、给事中。
2.试区分下列句中“且”字的意义和用法。 (1)且勇者不必死节，怯夫慕义：_连__词__，__表__递__进__，__而__且__、__况__且__ (2)故且从俗浮沉，与时俯仰：_副__词__，__暂__且___ (3)臣死且不避，卮酒安足辞：_连__词__，__让__步__关__系__，__尚__且__ (4)王不行，示赵弱且怯也：_连__词__，__并__列__关__系__，__又___ (5)彼且奚适也：_副__词__，__将__
人非生而知之者
因赐上尊酒、养牛 D.
因宾客至蔺相如门谢罪
123
参考译文 解析 答案
精练点拨
一、乃 “乃”在文言文中主要有副词与代词两种用法，其中副词用法
最为复杂，尤其是表“于是、就”“才”“却、竟”三种意义有时 难以辨析。这时只要用代入法就可区分，即把这个义项代入原句中， 看看是否合适。
1.试区分下列句中“乃”字的意义和用法。 (1)设九宾于廷，臣乃敢上璧：_副__词__，__才___ (2)今君乃亡赵走燕：_副__词__，__却__、__竟___ (3)良乃入，具告沛公：_副__词__，__于__是__、__就___ (4)要之死日，然后是非乃定：_副__词__，__才__ (5)今少卿乃教以推贤进士：_副__词__，__却__、__竟___
四川新高考考前三个月数学理二轮复习冲刺综合练(四)(含答案详析)
12＋4综合练(四)一、选择题1． 复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析 由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]在复平面上对应的点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4>0，m ＋1<0，而此不等式组无解，即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．2． 已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |1<log 2x <2}，则A ∩B 等于( )A ．{x |0<x <3}B ．{x |2<x <3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |1<x <4}答案 B3． 下列命题中真命题的个数是( )①“∀x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x <0”；②若|2x －1|>1，则0<1x <1或1x <0；③∀x ∈N *,2x 4＋1是奇数． A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 ①错误，应为“x 2－x ≤0”；②正确，解|2x －1|>1得x >1或x <0与“0<1x <1或1x <0”等价；③正确．4． 设α表示平面，a ，b 表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；④a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . 其中正确的是( )A ．①②B ．②④C ．③④D ．②③答案 B解析 在①中，当a ∥α，a ⊥b 时，b 与α的位置关系无法确定；在③中，当a ⊥α，a ⊥b 时，可得b ∥α或b ⊂α，故①③错，易证②④正确．5． 已知函数f (x )是奇函数且是R 上的增函数，若x ，y 满足不等式f (x 2－2x )≤－f (y 2－2y )，则x 2＋y 2的最大值是( )A. 3B ．2 2C ．8D ．16答案 C解析 由f (x )为奇函数得f (x 2－2x )≤f (2y －y 2)，又f (x )为增函数，有x 2－2x ≤2y －y 2，即(x －1)2＋(y －1)2≤2，它表示圆心在(1,1)，半径为2的圆的内部(包括边界)，故到原点最远的点为(2,2)，从而x 2＋y 2＝8. 6． 下列不等式中，一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 取x ＝12否定A ，取x ＝－π4否定B ，取x ＝0否定D ，故选C.7． 已知x 、y从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 等于 ( )A ．1.30B ．1.45C ．1.65D ．1.80答案 B解析 代入中心点(x ，y )，可知a ＝1.45.8． 先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为m 、n ，则mn 是奇数的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．16答案 C解析 先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn 是奇数，则m ，n 都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能，因此P ＝936＝14.9． 函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1]答案 A解析 f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x，由f ′(x )≤0结合x >0得0<x ≤1. 10．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为( )A ．94B ．178C ．5D ．4答案 C解析 抛物线C ：x 2＝4y ，则焦点F (0,1)，直线l 为y ＝12x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝12x ＋1，得x 2－2x －4＝0， 由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4， 由弦长公式可得，截得的线段长为 1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋⎝⎛⎭⎫122·22－4×(－4)＝5. 11．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)， ∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. 故选C.12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1] 答案 B解析 令(x 2－2)－(x －1)≤1， 得－1≤x ≤2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.∵y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，画函数的图象得知实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]． 二、填空题13．执行下面的程序框图，则输出的S 的值是________．答案 63解析 由程序框图知，当n ＝1时，S ＝1＋21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出S 的值是63. 14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则函数z ＝4x2y 的最大值为________．答案 32解析 不等式组对应的平面区域是三角形区域，当2x －y 经过点(2，－1)时取得最大值5，此时目标函数z ＝4x 2y ＝22x －y 取得最大值32.15．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝________.答案 2 3解析 由图象可知A ＝2，周期T ＝6，所以ω＝π3，又x ＝52时，y ＝2，所以f (52)＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝2，所以φ的一个值为－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3.所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝335[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2 3.16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，将该数列的项按如下规律排成一个数阵：则该数阵中的第10行，第3个数为________．答案97解析由题意可得该数阵中的第10行，第3个数为数列{a n}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，所以a48＝(－1)48·96＋1＝97.。
四川新高考考前三个月数学理二轮复习冲刺穿插滚动练(五)(含答案详析)
穿插滚动练(五)内容：不等式、函数与导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何 一、选择题1． 若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( )A ．{1,2}B ．{x |x ≤1}C ．{－1,0,1}D ．R答案 A解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为{1,2}⊆A ，所以答案为A. 2． 设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 “a 1＜a 2＜a 3”⇔“数列{a n }是递增数列”．3． 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象 ( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 D解析 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，只需将函数y ＝sin 2x 中的x 减去π6，即得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 4． 已知各项都是正数的等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n (m ，n ∈N *)使得a m a n ＝4a 1，且a 7＝a 6＋2a 5，则1m ＋4n的最小值是 ( )A.32B.43C.23D.34答案 A解析 记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，依题意有a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，由a 5≠0，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2， 又(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21，即2m ＋n －2＝24，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6， ∴1m ＋4n ＝161m ＋4n (m ＋n )＝165＋n m ＋4m n ≥ 16(5＋4)＝32，当且仅当n ＝2m 时“＝”成立． 5． 已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0与到y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B.5C ．2D.5－1答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.6． 已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B ．1±2C ．1＋ 2D ．无法确定答案 C解析 依题意得，p2＝c ，F 的坐标为(0，c )，两条曲线交点的连线垂直y 轴，将y ＝c 代入双曲线方程得交点横坐标为±b 2a ，代入抛物线方程得b 4a 2＝2·2c ·c ，b 2＝2ac ，c 2－a 2＝2ac ，e 2－2e －1＝0，e ＝1±2，由e >1得e ＝1＋2，故选C.7． 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④答案 C解析 对于①，由l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，又因为直线m ⊂平面β，所以l ⊥m ，故①正确，同理可得③正确；②与④不正确，故选C.8． 已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[12，2]恒成立，则a 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2.当x ∈[12，1)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在[12，1)上单调递减；当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，故函数f (x )在(1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0.9． 已知函数f (x )＝sin x －12x (x ∈[0，π])，那么下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π上是减函数C ．∃x ∈[0，π]，f (x )>f (π3)D ．∀x ∈[0，π]，f (x )≤f (π3)答案 D解析 注意到f ′(x )＝cos x －12，当x ∈(0，π3)时，f ′(x )>0；当x ∈(π3，π)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0，π3)上是增函数，在(π3，π)上是减函数，f (x )在[0，π]内的最大值是f (π3)，即∀x ∈[0，π]，都有f (x )≤f (π3)，因此D 项正确．10．以双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线 ( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定答案 C解析 左焦点F 为(－c,0)，渐近线方程为y ＝ba x 即bx －ay ＝0，∴圆心到直线的距离为|－bc |a 2＋b2＝b ，所以相切．11．在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010D.35答案 C解析 连接BA 1，因为CD 1∥BA 1，所以∠A 1BE 即为异面直线BE 与CD 1所成的角，令AA 1＝2AB ＝2，则EB ＝2，A 1E ＝1，A 1B ＝5，故由余弦定理得cos ∠A 1BE ＝31010，即异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为31010.12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为 ( )A.19B.14C.13D.12 答案 A解析 由于M (1，m )在抛物线上，∴m 2＝2p ，而M 到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M 到抛物线的准线x ＝－p 2的距离也为5，∴1＋p2＝5，∴p ＝8，由此可以求得m ＝4，双曲线的左顶点为A (－a ，0)，∴k AM ＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y ＝±x a ，根据题意得，41＋a ＝1a ，∴a ＝19.二、填空题13．已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝px (p ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A .若△OAF (O为坐标原点)的面积为1，则p ＝________. 答案 4解析 设直线l 的方程为：y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p4， 令x ＝0，得y ＝－p2，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－p 2. ∴S △OAF ＝12|OF |×|OA |＝12×p 4×p 2＝p 216＝1， ∴p ＝4.14．长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为π3，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．答案 233解析 建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA →＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3≤233. 15．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________． 答案2解析 依题意知△OFG (G 为垂足)为等腰直角三角形，则bc 2a ＝c2，即a ＝b ，故双曲线为等轴双曲线，离心率为 2.16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P A ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 如图，连接AQ ，∵P A ⊥平面AC ，∴P A ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩P A ＝P ， ∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线段BC 上存在一点Q ，使得QD ⊥AQ ， 等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点， ∴a2≥1，a ≥2. 三、解答题17．设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(π＋x )cos x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值． 解 (1)f (x )＝12sin 2x ＋3cos 2x＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin(2x ＋π3)＋32.故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)依题意g (x )＝f (x －π4)＋32＝sin [2(x －π4)＋π3]＋32＋32＝sin (2x －π6)＋ 3.当x ∈[0，π4]时，2x －π6∈[－π6，π3]，g (x )为增函数，所以g (x )在[0，π4]上的最大值为g (π4)＝32 3. 18．如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH是四棱锥的高，E 为AD 的中点．(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．(1)证明 以H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A (1,0,0)，B (0,1,0)， 设C (m,0,0)，P (0,0，n )(m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E (12，m2，0)．可得PE →＝(12，m 2，－n )，BC →＝(m ，－1,0)．因为PE →·BC →＝m 2－m 2＋0＝0，所以PE ⊥BC .(2)解 由已知条件可得m ＝－33，n ＝1， 故C (－33，0,0)，D (0，－33，0)， E (12，－36，0)，P (0,0,1)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·HE →＝0，n ·HP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －36y ＝0，z ＝0因此可以取n ＝(1，3，0)， 由P A →＝(1,0，－1)． 可得|cos 〈P A →，n 〉|＝24，所以直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 19．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，b 4＝54，a 1＋a 2＋a 3＝b 2＋b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝542＝27，从而q ＝3，因此b n ＝b 1·q n －1＝2·3n －1，又a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝b 2＋b 3＝6＋18＝24，∴a 2＝8， 从而d ＝a 2－a 1＝6，故a n ＝a 1＋(n －1)·6＝6n －4.(2)c n ＝a n b n ＝4·(3n －2)·3n －1，令T n ＝1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n －5)·3n －2＋(3n －2)·3n －1. 3T n ＝1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n －5)·3n －1＋(3n －2)·3n . 两式相减得－2T n ＝1＋3×31＋3×32＋3×33＋…＋3×3n －1－(3n －2)·3n＝1＋3×3(3n －1－1)3－1－(3n －2)·3n＝1＋9(3n －1－1)2－(3n －2)·3n ，∴T n ＝74＋3n(6n －7)4，故S n ＝4T n ＝7＋(6n －7)·3n .20．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标． 解 (1)将圆C 配方得：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得：y ＝(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.故切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO |＝|PM |，得：x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0.即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，当|PM |取最小值时即|OP |取得最小值，直线OP ⊥l . ∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0.得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 21．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )＜0，得－13＜x ＜2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3－2a ＋b ≤2，f ′(1)＝3＋2a ＋b ≤2得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线的斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z ＜－2，即b a －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)． 22．如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b ＜t 1＜a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．(1)解 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)， 又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2， 代入③得x 2a 2－y 2b2＝1(x ＜－a ，y ＜0)．(2)证明 设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝⎛⎭⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．。
考前三个月新高考数学(文)二轮冲刺新高考大题纵横练(一)(含答案详析)
高考大题纵横练(一 )内容：高中所有内容1．在△ ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为a、 b、c，已知 acos B－ bsin B＝ c.π(1)若 B＝6，求 A；(2)求 sin A＋ sin B 的取值范围．解 (1)由已知条件及正弦定理，得sin Acos B－ sin2B＝ sin C，∵sin C＝ sin[ π－ (A＋ B)]＝ sin(A＋ B)，∴sin Acos B－ sin2B＝ sin(A＋ B)，即 sin Acos B－ sin2 B＝ sin Acos B＋ cos Asin B，∴ cos Asin B＝－ sin2B，π1∵sin B≠0，∴ cos A＝－ sin B＝－ sin 6＝－2，2π∵ 0<A<π，∴A＝3 .(2)由 (1)得， cos A＝－ sin B，∴ sin A＋sin B＝ sin A－ cos A＝π2sin(A－ )．4又由 cos A＝－ sin B＝ cos πππ＋B ，得 A＝＋B> ，3π222π∵ A＋ B<π，∴ <A<，24ππ π2π∴4<A－4<2，∴2 <sin A－4<1，π∴1< 2sin A－4 < 2.故 sin A＋sin B 的取值范围为 (1， 2)．2．一个盒子中装有 5 个编号挨次为1,2,3,4,5 的球，这 5 个球除号码外完整同样，有放回地连续抽取两次，每次随意地拿出一个球．(1)用列举法列出所有可能结果；(2)求事件 A＝“拿出球的号码之和不小于 6 的概率”；(3)设第一次拿出的球的号码为x，第二次拿出的球的号码为y，求事件B＝“点 (x， y)落在直线 y＝ x＋1 上方”的概率．解 (1)所有可能结果数为 25.列举以下：(1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)；(2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (2,5)；(3,1)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， (3,5)；(4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4)， (4,5)；(5,1)， (5,2)， (5,3)， (5,4)， (5,5)．(2)拿出球的号码之和不小于 6 的是 (1,5)，(2,4)， (2,5)，(3,3)，(3,4)，(3,5) ，(4,2)，(4,3)，(4,4)， (4,5)， (5,1)， (5,2)， (5,3)， (5,4) ， (5,5)，共 15 种，153因此 P(A)＝＝.(3)点 (x， y)落在直线y＝ x＋ 1 上方的有： (1,3) ， (1,4)， (1,5)， (2,4) ， (2,5)， (3,5)，共6种，因此 P(B)＝256 .3．如图，在四棱锥P－ ABCD 中，底面ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等．(1)求证： AB∥平面 PCD ；(2)求证：平面PAC⊥平面 ABCD .证明(1) 在矩形 ABCD 中， AB∥ CD ，又 AB?平面 PCD ，CD? 平面 PCD ，因此 AB∥平面 PCD .(2)如图，连结BD，交 AC 于点 O，连结 PO.在矩形 ABCD 中，点 O 为 AC，BD 的中点，又 PA＝ PB＝ PC＝ PD，故 PO⊥AC，PO⊥ BD ，又 AC∩ BD ＝O，AC ，BD? 平面 ABCD ，因此 PO⊥平面 ABCD ，又 PO? 平面 PAC，因此平面 PAC⊥平面 ABCD .4．某工厂共有10 台机器，生产一种仪器元件，因为受生产能力和技术水同等要素限制，会产生必定数目的次品．依据经验知道，若每台机器产生的次品数p(万件 )与每台机器的日产量 x(万件 )(4≤ x≤ 12)之间知足关系： p＝ 0.1x2－ 3.2ln x＋ 3.已知每生产 1 万件合格的元件能够盈余 2 万元，但每产生 1 万件次品将损失 1 万元． (收益＝盈余－损失)(1)试将该工厂每日生产这类元件所获取的收益y(万元 ) 表示为 x 的函数；(2)当每台机器的日产量 x(万件 )为多少时所获取的收益最大，最大收益为多少？解 (1)由题意得，所获取的收益为：y＝ 10·[2(x－ p)－ p] ＝ 10(2x－ 3p)＝ 20x－30p＝ 20x－ 3x2＋ 96ln x－ 90(4≤x≤ 12)．－ 6x 2＋ 20x ＋ 9696＝x(2)由 (1)知 y ′ ＝ 20－ 6x ＋ x－ 2 3x 2－10x － 48－2 3x ＋8 x －6 ＝＝x .x令 y ′＝ 0，可得 x ＝ 68或 x ＝－ .3进而当 4≤ x<6 时，y ′ >0，函数在 [4,6) 上为增函数， 当 6< x ≤ 12 时，y ′<0 ，函数在 (6,12]上为减函数．∴ 当 x ＝ 6 时，函数获得极大值，即当 x ＝ 6 时，获取最大收益．最大收益为 y max ＝ 20× 6－ 3× 62＋ 96× ln 6－ 90＝ 96ln 6 －78(万元 )． 答当每台机器日产量为 6 万元时，获取收益最大，为(96ln 6 － 78)万元．5． 已知数列 { a n } 是公比大于 1 的等比数列，对随意的 n ∈N *有 a n ＋ 1＝ a 1＋ a 2＋ a 3＋, ＋ a n －151＋2a n ＋ 2.(1) 求数列 { a n } 的通项公式；(2)设数列 { b n } 知足： b n ＝ 1(log 3a 1＋ log 3a 2＋, ＋ log 3a n ＋ log 3t)(n ∈ N *) ，若 { b n } 为等差数n 列，务实数 t 的值及数列 { b n } 的通项公式． 解(1)方法一设 { a n } 的公比为 q ，5 1 ，a 2＝ a 1＋22则由题设，得5 1a 3＝ a 1＋2a 2＋ 2.5 1a 1q ＝ 2a 1＋2，①即512②a 1q ＝ a 1＋ a 1q ＋2223 5 由 ② －① ，得 a 1 q－a 1 q ＝－ a 1＋ a 1 q ，22即 2a 1 q 2－ 7a 1q ＋ 3a 1＝ 0，∵ a 1≠ 0， ∴ 2q 2－ 7q ＋3＝ 0， 1 解得 q ＝ 2(舍去 )，或 q ＝ 3，n －1.将 q ＝3 代入 ①，得 a 1＝ 1.∴ a n ＝ 3 方法二 设 { a n } 的公比为 q ，na 1 1－q n3 n －11 ， 则由已知，得 a 1 q ＝1－ q＋a 1q＋22即 a 1q n＝a 1 ＋ 3a 1 qn － a 1＋ 1，q －1 2qq － 1 2a 13a 1a 1＝＋，比较系数，得－ a 1 ＋ 1＝ 0. q －1 2a 1＝－ 1，a 1＝ 1，解得41( 舍去 )，或q ＝ 3.q ＝ 2∴ a n ＝ 3n －1 .(2)由 (1)，得b n ＝ 1 01＋ ,n －1＋ log 3t)(log 33 ＋ log 33＋ log 33n1＝ n [1＋ 2＋ ＋ (n － 1)＋log 3t]1 n n － 1 ＋ log 3t]＝ [ 2n＝ n －1＋ 1log 3t.2n∵ { b n } 为等差数列，∴ b n ＋1－ b n 等于一个与 n 没关的常数，n 1 n － 1 1而 b n ＋1－ b n ＝ (2＋ n ＋ 1log 3t)－ (2 ＋n log3 t)＝ 1－ 1 log 3t ，2 n n ＋ 1∴ log 3t ＝ 0， ∴ t ＝ 1，此时 b n ＝ n － 1.x 2 y 222 的直线交椭圆于 A ， B 两点， F 1 为其左焦点，已6． 过椭圆 Г： 2＋ 2＝ 1(a>b>0) 右焦点 Fab知△ AF 1B 的周长为 8，椭圆的离心率为3.2(1)求椭圆 Г的方程；(2)能否存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆Г 恒有两个交点 P ，Q→ →，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明原因．且 OP ⊥OQ4a ＝ 8，解 (1)由已知，得 c 3 a ＝2 .a ＝ 2，解得∴ b 2＝ a 2－c 2＝1.c ＝ 3.2故椭圆 Г的方程为 x4 ＋ y 2＝ 1.(2)假定知足条件的圆存在，其方程为 x 2＋ y 2＝ r 2(0< r<1) ．当直线 PQ 的斜率存在时，设其方程为 y ＝ kx ＋ t ，y ＝kx ＋ t ，由 x 2 2消去 y 并整理，得4 ＋ y ＝ 1(1＋ 4k 222)x ＋ 8ktx ＋ 4t － 4＝ 0.设 P(x 1，y 1)， Q(x 2 ，y 2 )，则 x 1＋ x 2＝－ 8kt 2， x 1x 2＝ 4t 2－ 4.①21＋ 4k 1＋ 4k→ → ∵ OP ⊥OQ ， ∴ x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，又 y 1＝ kx 1＋ t ， y 2＝ kx 2＋ t ，∴ x 1x 2＋ (kx 1＋ t)(kx 2＋ t)＝0，即 (1＋ k 2)x 1x 2 ＋kt(x 1＋ x 2)＋ t 2＝ 0. 将①代入 ②，得1＋ k 2 4t 2－ 42－1＋ 4k24 2即 t ＝ (1＋ k )．5②2 28k t2＋t2＝ 0，1＋ 4k∵ 直线 PQ 与圆 x 2＋ y 2＝ r 2 相切，4 2∴ r ＝ |t| 5 1＋ k ＝ 2 5∈ (0,1)，＝1＋ k 2 1＋ k 2 5∴ 存在圆 x 2＋ y 2＝ 4知足条件．54当直线 PQ 的斜率不存在时，也合适x 2＋y 2＝ .5综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋ y 2＝45知足条件．。
考前三个月新高考数学(文)二轮考前静悟1.2转化化归要规范(含答案详析)
第二讲转变化归要规范一、条件变换要全面在对题目进行剖析时，条件的梳理、转变是解题的要点，在条件转变时，必定要对条件全面考虑，发掘隐含条件，不可以左支右绌，造成变换不等价．例 1函数 f(x)的定义域 D＝ { x|x≠0} ，且知足对于随意x1，x2∈ D，有 f(x1·x2)＝ f( x1)＋ f(x2 )．(1)求 f(1) 的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明；(3)假如 f(4)＝ 1， f(3x＋ 1)＋ f(2x－ 6)≤ 3，且 f(x)在 (0，＋∞ )上是增函数，求x 的取值范围．剖析由抽象不等式转变为一般不等式的过程中，必定要注意到定义域和单一区间，不能以为 f(x)在定义域 D 上单一递加．解 (1)令 x1＝ x2＝ 1，有 f(1× 1)＝ f(1)＋ f(1)，解得 f(1)＝ 0.(2)f(x)为偶函数，证明以下：令 x1＝ x2＝－ 1，有 f[( －1) ×(－ 1)]＝ f(－ 1)＋ f(－ 1)，解得 f(－ 1)＝ 0.令 x1＝－ 1， x2＝ x，有 f(－ x)＝ f(－ 1)＋ f(x)，∴ f(－ x)＝ f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)f(4× 4)＝f(4)＋ f(4) ＝ 2，f(16× 4)＝ f(16)＋ f(4) ＝ 3.由 f(3x＋ 1)＋ f(2x－ 6)≤ 3，变形为 f[(3 x＋ 1)(2x－ 6)] ≤ f(64)．①∵f(x)为偶函数，∴ f(－ x)＝f(x)＝ f(|x|)．∴不等式①等价于 f[|(3 x＋ 1)(2 x－ 6)|] ≤ f(64)．又∵ f(x)在 (0，＋∞)上是增函数，∴|(3x＋ 1)(2x－ 6)|≤ 64，且 (3x＋ 1)(2x－ 6)≠ 0.7≤ x<－11解得－33或－3<x<3 或 3<x≤ 5.711∴ x 的取值范围是 { x|－3≤ x<－3或－3<x<3或 3< x≤ 5} ．追踪训练 1 (1)已知会合M＝ { x|x2＋ x－ 6＝0} ，N＝ { x|ax＋ 2＝ 0} ，且 N? M，则实数 a 的值是 ________．答案 0，23，－ 1分析M＝ { x|x2＋ x－ 6＝ 0} ＝ { － 3,2} ，当 a＝0 时， N＝ ?，切合题意．2当 a ≠0 时， N ＝ { x|ax ＋ 2＝ 0} ＝ －a ， 2 若－ a ＝－ 3，则 a ＝ 2 3；若－ 2a ＝ 2，则a ＝－ 1.2故 a 的值为 0，3，－ 1.(2)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数，又是周期函数， T 是它的一个正周期．若将方程 f(x)＝0 在闭区间 [－T ， T]上的根的个数记为 n ，则 n 可能为()A ． 0B ．1C ．3D ． 5答案 D分析因为 f(x)为 R 上的奇函数，所以f(0)＝ 0.又因为 T 是函数 f( x)的一个正周期， 所以 f(T)＝ f(－ T)＝ f(0) ＝ 0.T T T又 f 2 ＝ f － 2＋ T ＝ f － 2 ，TT且 f － 2 ＝－ f 2 ，T T∴ f 2 ＝f － 2 ＝ 0，故 f(x)＝ 0 在闭区间 [ － T ， T] 上根的个数为 5.追踪训练2已知函数 f(x) 的值域为3， 4，则函数g(x) ＝ f( x) ＋ 1－2f x 的值域为8 9 ________ ．答案7， 79 8分析∵ 3≤ f(x)≤ 4，89 1 1∴ ≤1－ 2f x ≤ .3212令 t ＝ 1－ 2f x ，则 f(x)＝ 2(1－ t )，1 2 令 y ＝g(x) ，则 y ＝－ 2( t － 1) ＋ 1.∴ 当 t ＝ 1 7 173时， y 有最小值9，当 t ＝2时， y 有最大值 8.7 7∴ g(x)的值域为 9，8 .二、变换过程要正确解题过程中运用一些定理、公义或结论时，一定保证过程正确，不可以错用或漏用条件，和公义、定理的合用条件进行比对，变换过程中推理变形要等价．例 2在等腰直角三角形ABC 中，直角极点为 C ，在∠ ACB 的内部，以 C 为端点任作一条 射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC的概率．剖析此题是几何概型的概率问题，依据题意， 选择角度作为几何概型的胸怀．此题易发生的错误是以为点M 随机落在线段AB 上，以为线段AB 为基本领件的地区，以为是长度型的几何概型．解 因为在 ∠ACB 内作射线 CM ，所以 CM 在 ∠ACB 内等可能散布(以下图 )，所以基本领件的地区应是∠ACB ，在 AB 上取点 C ′ ，使得 AC ′ ＝ AC ，ππ－ 4∠ ACC ′2 3 所以 P(AM <AC)＝ ∠ ACB ＝π ＝ 4.2追踪训练 3 (1) 一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13 的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个极点距离都大于1 的地方的概率是 ________．答案454 分析因为此蚂蚁是在三角形的边上爬行，所以选择线段长度进行概率计算可得5.(2)一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形内爬行，某时辰此蚂蚁离三角形三个极点的距离均超出 1 的概率是 ________．答案1－324 π分析因为此蚂蚁是在三角形内爬行，所以选择面积进行概率计算可得1－324π.追踪训练 4 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，已知 c ＝π2，C ＝ .3(1)若 a ＝ 1，求 b ；(2)若 sin C ＋ sin(B － A) ＝2sin 2A ，求 a ， b.解 (1)由余弦定理， c 2＝a 2＋ b 2－ 2abcos C ，即1＋b 2－ b ＝ 4.1－ 13(舍去 )，或 b ＝1＋ 13.解得 b ＝22(2)由 sin C ＋ sin(B － A) ＝2sin 2A ，得 sin(B ＋ A) ＋sin(B －A)＝ 2sin 2A ，即 (sin Bcos A ＋cos Bsin A)＋ (sin Bcos A －cos Bsin A)＝ 2sin 2A ，所以 sin Bcos A ＝ 2sin Acos A.π 24 3 π 23 若 cos A ＝ 0，则 A ＝ ， a ＝＝3， b ＝ acos 3 ＝3.2sin π3若 cos A ≠ 0，则有 sin B ＝ 2sin A ．由正弦定理，得b ＝ 2a.由余弦定理得， c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos C ，即 a 2 ＋4a 2－ 2a 2＝ 4.2 3解得 a ＝ 3 .4 3而 b ＝2a ＝ 3 .4 32 3 2 3 4 3综上， a ＝ 3 ， b ＝ 3 或 a ＝ 3 ， b ＝ 3 .三、变换思路要灵巧解决数学识题的过程就是一个由条件到结论的等价转变的过程，数学中的解题即转变过程常常不是独一的．在解题时我们要从条件出发，灵巧转变，从不一样的角度解决问题． 例3以下图，在四棱锥P — ABCD中，∠ABC ＝∠ ACD ＝90°，∠ BAC ＝∠ CAD ＝ 60°， PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点， PA ＝2AB ＝ 2.(1)求四棱锥P — ABCD的体积；(2)若F 为PC的中点，求证： PC ⊥平面AEF ；(3)求证： CE ∥平面 PAB .剖析 在证明线面关系时，能够利用线线关系，也能够利用面面关系，第(3)步证明中既可在平面 PAB 中作向来线， 使其和 CE 平行；也能够过 CE 作一平面， 使其和平面 PAB平行．(1)解在 Rt △ ABC 中， AB ＝1， ∠ BAC ＝60°，∴ BC ＝ 3， AC ＝2.在 Rt △ACD 中， AC ＝ 2， ∠ CAD ＝ 60°， ∴CD ＝ 2 3， AD ＝ 4.1 1 ∴ S ABCD ＝ 2AB ·BC ＋ 2AC ·CD1 1 5 ＝ 2×1× 3＋ 2× 2×2 3＝ 2 3.则 V ＝1× 5 3×2＝53.3 23故四棱锥 P —ABCD 的体积为53.3(2)证明 ∵PA ＝ CA ， F 为 PC 的中点， ∴ AF ⊥PC.∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ PA ⊥ CD ，∵ AC ⊥ CD ， PA ∩ AC ＝ A ，∴ CD ⊥ 平面 PAC ， ∴ CD ⊥PC.∵ E 为 PD 的中点，∴EF ∥CD ，则 EF ⊥PC ， ∵AF ∩EF ＝F ， ∴ PC ⊥ 平面 AEF.(3)证明 方法一取 AD 中点 M ，连结 EM ， CM .以下图．则 EM ∥ PA ， ∵ EM ?平面 PAB ， PA? 平面 PAB ， ∴ EM ∥ 平面 PAB.在 Rt △ACD 中， ∠ CAD ＝60°， AC ＝ AM ＝ 2， ∴∠ ACM ＝60°.而 ∠ BAC ＝60°， ∴ MC ∥AB.∵ MC?平面 PAB ， AB? 平面 PAB ，∴ MC ∥平面 PAB.∵ EM ∩ MC ＝ M ，∴ 平面 EMC ∥ 平面 PAB.∵ CE? 平面 EMC，∴ CE∥平面 PAB.方法二延伸 DC ， AB ，设它们交于点 N ，连结 PN.以下图．∵∠ NAC ＝ ∠DAC ＝ 60°， AC ⊥ CD ， ∴ C 为 ND 的中点．∵ E 为 PD 的中点， ∴ CE ∥ NP.∵ CE?平面 PAB ， NP? 平面 PAB ， ∴ CE ∥ 平面 PAB.追踪训练 5 (2013 ·课标全国Ⅰ )若函数 f(x) ＝ (1－ x 2) ·(x 2＋ax ＋ b)的图象对于直线 x ＝－ 2 对称，则 f(x)的最大值是 ________． 答案 16分析依题意， f(x － 2)为偶函数，22f(x － 2)＝ (－ x ＋ 4x － 3)[x ＋ (a － 4)x ＋ 4－ 2a ＋ b]， 此中 x 3 的系数为8－ a ，故 a ＝ 8，x 的系数为 28＋ 4b － 11a ，故 b ＝ 15， 令 f ′ (x)＝ 0，得 x 3＋6x 2＋ 7x － 2＝0， 由对称轴为 x ＝－ 2 可知，将该式分解为 (x ＋2)( x 2＋ 4x － 1)＝0，可知其在5－2 和－ 5－ 2 处取到最大值，最大值为 16.追踪训练 6x 2 y 2 2) 的右焦点为 F ，直线 l ：x ＝ a 2设椭圆 M ： 2 ＝ 1(a>与 x 轴交于点 A ，a ＋ 21a 2－ 2→ →若 OF 1＋ 2AF 1＝ 0(此中 O 为坐标原点 )． (1)求椭圆 M 的方程；(2)设 P 是椭圆 M 上的随意一点，22的随意一条直径 (E 、 F 为EF 为圆 N ： x ＋ (y － 2) ＝ 1 → →直径的两个端点 )，求 PE ·PF 的最大值．a 2解 (1)由题设知， A a 2－ 2，0， F 1( a 2－2， 0)，→ →由 OF 1＋ 2AF 1＝ 0，a 22－2 ，得 a 2 －2＝ 22 －a a － 2解得 a 2＝ 6.22xy所以椭圆 M 的方程为 6＋ 2＝1.→ →→→→→(2)PE ·PF ＝ (NE － NP) ·(NF － NP)→ →→→→ 2→ 2 ＝ (－ NF － NP) ·(NF －NP )＝NP － NF＝ NP →2－ 1.→ →→ 2 的最大值．进而将求 PE ·PF 的最大值转变为求 NP 因为 P 是椭圆 M 上的随意一点，设P(x 0， y 0)所以 x 02 ＋y 02 ＝ 1，即 x 02＝ 6－3y 02. 6 2因为点 N(0,2)，→ 2222所以 NP＝ x0＋ (y0－ 2)＝－ 2(y0＋ 1) ＋ 12.因为 y0∈[ －2，2]，所以当→ 2获得最大值 12. y0＝－ 1 时， NP→ →所以 PE·PF的最大值为11.。
考前三个月新高考数学(文)二轮专题复习4.3推理与证明(含答案详析)
第三讲推理与证明(1)概括推理的一般步骤：①经过察看某些个别状况发现某些同样性质；②从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想 )．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相像性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想 )．(3)综合法的特色是：从“已知”看“可知”，逐渐推向“未知”，要求逐渐推理，实际上是找寻它的必需条件．(4)剖析法的特色是：从“未知”看“需知”，逐渐聚拢“已知”，即从要证明的结论出发，逐渐追求使它建立的充足条件，直至最后，即把要证明的结论归纳为判断一个明显建立的条件为止．(5)适适用反证法证明的四类数学命题：①独一性命题；②结论波及“至多”“起码”“无穷”的命题；③否认性命题；④直接证明较繁琐或困难的命题．1． (2013 ·建福 )设 S， T 是R的两个非空子集，假如存在一个从S 到 T 的函数 y＝ f(x)知足：(1)T＝{ f(x)|x∈ S} ；(2) 对随意 x1，x2∈S，当 x1<x2时，恒有 f(x1)<f(x2)．那么称这两个会合“保序同构”．以下会合对不是“保序同构”的是() A． A＝N*，B＝NB． A＝ { x|－ 1≤ x≤3} ， B＝ { x|x＝－ 8 或 0<x≤ 10}C． A＝ { x|0<x<1} ， B＝RD． A＝Z，B＝Q答案D分析关于 A，取 f(x)＝ x＋ 1，知足题意．－ 8， x ＝－ 1，关于 B ，取 f(x)＝ x ＋ 1，－ 1< x<0，知足题意 .2x ＋ 1， 0≤ x ≤ 3，1关于 C ，取 f(x)＝ tan[ π(x － 2)] ，知足题意． 清除法，选 D.2． (2013 陕·西 )察看以下等式12＝ 112－ 22＝－ 32221 － 2＋3＝612－ 22＋ 32－ 42＝－ 10 ,,照此规律，第n 个等式可为 ________．答案2222n ＋1 2n ＋1 n n ＋ 11 －2 ＋3 －4 ＋, ＋ (－1) n ＝ (－ 1)·2分析 察看等式左侧的式子，每次增添一项，故第n 个等式左侧有 n 项，指数都是 2，且正、负相间， 所以等式左侧的通项为(－ 1)n ＋1n 2.等式右侧的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为 1,3,6,10,15,21 ， , .设此数列为 { a n } ，则 a 2－ a 1＝ 2， a 3－a 2 ＝3， a 4－ a 3＝ 4，a 5－ a 4＝ 5，, ， a n － a n －1 ＝ n ，各式相加得 a n － a 1 ＝2＋ 3＋ 4＋ , ＋ n ，即 a n ＝ 1＋2＋3＋ , ＋ n ＝ n n ＋ 1 .所以第 n 个等式为 2 2 ＋ 3 2 － 4 2＋, ＋( － 1) n ＋ 1 2 ＝(－ 1) n ＋ 2 1 － 2 n1n n ＋ 12.3． (2013 湖·北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各样多边形数，如三角形数1,3,6,10，, ， 第 n 个三角形数为 n n ＋1 ＝ 1n 2＋ 1 n ，记第 n 个 k 边形数为 N(n ，k)(k ≥ 3)，2 2 2以以下出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数1 2 1N(n,3)＝ n＋ n ，2 2正方形数N(n,4)＝n 2 ，五边形数3 2 1N(n,5)＝ n－ n ，2 2六边形数 N(n,6)＝2n 2－ n,,,,,,,,,,,,,,,能够推测 N( n ，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝ ___________.答案1 000分析22k － 2 2 ＋ 4－ k由 N( n,4)＝ n ，N( n,6)＝ 2n － n ，能够推测： 当 k 为偶数时， N(n ，k)＝ 2 n 2n ，∴ N(10,24) ＝24－ 2× 100＋4－24× 1022＝ 1 100－ 100＝1 000.4． (2012 陕·西 )察看以下不等式：1 31＋22<2，1 1 5 1＋22＋ 32<3，1 1 1 71＋22＋ 32＋42<4，,,照此规律，第五个不等式为 ________．．．．答案11 11 1 111＋ 22222< 62 ＋3 ＋4 ＋5 ＋6分析概括察看法．察看每行不等式的特色， 每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子组成等差数列．∴ 第五个不等式为 1＋ 1 1 1 1 1 112 ＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2< 6.2 3 4 5 6题型一合情推理*1例 1(1)设数列 { a n } 是首项为 0 的递加数列， n ∈ N ，f n (x)＝ sin n x － a n ，x ∈ [a n ，a n ＋ 1]，知足：关于随意的b ∈ [0,1) ，f n (x)＝ b 总有两个不一样的根， 则{ a n } 的通项公式为 _______． x 2 y 2(2)若 P 0(x 0，y 0)在椭圆 a 2＋b 2＝ 1(a>b>0) 外，则过 P 0 作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦 P 1P 2 所在直线方程是 x 0 x y 0y若 P 0(x 0，y 0)a2 ＋ 2 ＝ 1.那么关于双曲线则有以下命题：在双曲线x 2 2 b2 y2P 0作双曲线的两条切线的切点为 P ，P ，则切a －b ＝ 1(a>0， b>0)外，则过1 2点弦 P 1P 2 所在的直线方程是 ________．审题破题(1) 先求数列 { a n } 的前几项，概括项的规律，作出猜想；(2) 双曲线和椭圆方程对比，形式近似，只需注意到椭圆的切线方程中x 2，y 2 分别换成了 x 0x ， y 0y 即可．n n － 1 π 0 x 0x y y答案(1) a n ＝2 (2) a 2 － b 2 ＝1分析(1) ∵a 1＝ 0，当 n ＝ 1 时， f 1(x) ＝|sin(x － a 1)|＝ |sin x|，x ∈ [0， a 2] ，又 ∵ 对随意的 b ∈ [0,1) ， f 1 (x)＝ b 总有两个不一样的根，∴ a 2＝ π；1 1 f 2( x)＝ sin2 x － a 2＝ sin 2 x － π＝ cosx， x ∈ [ π， a 3]，2∵ 对随意的 b ∈[0,1) ，f 2(x)＝ b 总有两个不一样的根， ∴ a 3＝ 3π； f 3 (x)＝ sin 1x － a 3311＝ sin 3 x － 3π ＝ sin 3x ， x ∈ [3 π， a 4]，∵ 对随意的 b ∈[0,1) ，f 3(x)＝ b 总有两个不一样的根，∴ a 4＝ 6π.由此可得 a n ＋ 1－ a n ＝ n π， ∴a n ＝ n n － 1 π.x 2y 22x 0x y 0y2 2 (2)关于椭圆 a 2＋ b 2＝ 1，切点弦P 1P 2 所在直线方程 a 2 ＋ b 2 ＝ 1，x → xx 0 ，y →yy 0.类比，x 2 y 2x 0x y 0 y双曲线 a 2－ b 2＝ 1 的切点弦 P 1P 2 所在直线方程为a 2 －b 2 ＝1.反省概括 应用合情推理应注意的问题：(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们合适变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象性质的推理过程，而后类比推导类比对象的性质．注意：概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．变式训练 1(1) 若从点 O 所作的两条射线OM 、 ON 上分别有点M 1、 M 2 与点 N 1、 N 2，则三S 角形面积之比SOM 1N 1＝ OM 1 ON 1O 所作的不在同一平面内的三条射线· .如图，若从点OM 2N 2 OM 2 ON 2OP 、OQ 和 OR 上分别有点 P 1、P 2，点 Q 1、Q 2 和点 R 1、R 2，则近似的结论为 ________．VO P 1Q 1 R 1＝OP 1 OQ 1 OR 1答案· ·V O P 2Q 2 R 2 OP 2 OQ 2 OR 2分析 考察类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1 及三棱锥 P 2－ OR 2Q 2 的底面面积之比为OQ1·OR 1，又过极点分别向底面作垂线，获得高的比为 OP 1，故体积之比为OQ 2 OR 2OP 2VO P 1Q 1R 1＝OP 1 OQ 1 OR 1VO P 2 Q 2R 2 · · .OP 2 OQ 2 OR 2(2)已知命题：若数列 { a n } 为等差数列，且 a m ＝ a ， a n ＝ b (m ≠ n ， m 、 n ∈ N *)，则 a m ＋n ＝bn － am；现已知等比数列 { b n } ( b ≠0， n ∈N * )， b m ＝ a ，b n ＝ b (m ≠n ， m 、 n ∈ N * )，若类n －m比上述结论，则可获得b m ＋ n ＝ __________.答案 n － m b na m分析等差数列中的 bn 和 am 能够类比等比数列中的b n 和 a m ，等差数列中的 bn － am能够类比等比数列中的b nbn － amn － m b nm能够类比等比数列中的m，等差数列中的n－ m a ，a故 b m ＋ n ＝n －m b nam.题型二 直接证明例 2设实数数列 { a n } 的前 n 项和 S n 知足 S n ＋ 1＝ a n ＋1 S n (n ∈ N * )．(1)若 a 1， S 2，－ 2a 2 成等比数列，求 S 2 和 a 3；4(2)求证：对 k ≥ 3 有 0≤ a k ＋ 1≤ a k ≤ .3审题破题 (1) 依据 S 22＝－ 2a 1a 2 及 S 2＝ a 2a 1 从方程的角度求出 S 2.再由 S 3＝ a 3S 2＝ S 2＋ a 3，求出 a 3.(2)依据 S n ＋ 1＝ a n ＋1S n (n ∈ N * )的关系，找寻 a n ＋ 1 与 a n 的递推关系，再用不等式放缩法、剖析法、反证法的思想方法求解．(1)解 由题意 S 22＝－ 2a 1a 2 ，得 S 22＝－ 2S 2，S 2＝ a 2S 1＝ a 1a 2，由 S 2 是等比中项知 S 2≠ 0.所以 S 2＝－ 2.由 S 2＋ a 3＝S 3＝a 3S 2 解得 a 3＝ S 2 － 222－1＝－ 2－1＝3.S(2)证明 由题设条件有 S n ＋ a n ＋1＝ a n ＋1S n ，故 S ≠ 1， a ＋ ≠ 1 且 a ＋ ＝ S n ， S ＝ a n ＋1 ，n n 1 n 1S n － 1 n a n ＋ 1－ 1进而对 k ≥ 3 有a k ＝S k － 1 ＝ a k － 1＋S k － 2S k －1－ 1 a k － 1＋ S k － 2－ 1a k －1＋ a k － 1 2a k －1－ 1＝ ＝ 2 a k －1 .①a k －1a k － 1＋ － 1 a k － 1－a k － 1＋ 1a k －1－ 12－a － ＋1＝k － 1－ 1 2 ＋ 3 2 ≥ 0，因 a － a 2 4>0 且 a －k 1k 1 k 1由 ①得 a k ≥0.2要证 a k ≤ 4，由 ① 只需证 2 a k － 1≤ 4，3k －1－ a k －1＋13a即证223a k － 1≤ 4(a k －1－ a k －1＋ 1)，即 (a k － 1－ 2) 24≥ 0，此式显然建立．所以a k ≤ (k ≥ 3)．a k23最后证 a k ＋ 1≤ a k ，若否则 a k ＋1＝ a k 2－ a k ＋1>a k ，又因 a k ≥ 0，故 a k >1，即 ( a k － 1) 22 <0. 矛盾．a k － a k ＋1所以 a k ＋ 1≤ a k (k ≥ 3)．4综上，当 k ≥ 3 时有 0≤ a k ＋ 1≤a k ≤ 3.反省概括综合法与剖析法是直接证明中的 “ 姊妹证明 ” 方法．往常状况下， 运用剖析法，由果索因，找到一个正确的结论或已知条件，而后运用综合法正确推理书写．在进行立体几何证明中， 我们常从结论出发找寻问题的打破口，但在逆推时也可能遇到阻碍，这时再从已知出发顺推搜寻中间细节，问题即可得以解决．设椭圆 x 2 2变式训练 2 2＋ y 2＝ 1(a>b>0) 的左、右极点分别为 A 、 B ，点 P 在椭圆上且异于A 、a bB 两点， O 为坐标原点．(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若 |AP|＝ |OA |，证明：直线 OP 的斜率 k 知足 |k|> 3.(1)解设点 P 的坐标为 (x 0， y 0)．22由题意，有x 0y 0①2＋b 2＝ 1.a由 A(－ a,0)， B(a,0)，得 k AP ＝ y 0 ， k BP ＝ y 0.x 0＋ a x 0－ a 由 k AP ·k BP ＝－ 1，可得 x 02＝ a 2－ 2y 02，2代入 ①并整理得 (a 2－2b 2)y 02＝ 0.2－ b 21， 因为 y 0≠0，故 a 2＝ 2b 2.于是 e 2＝ a 2 ＝a2所以椭圆的离心率e ＝ 22.(2)证明方法一 依题意，直线 OP 的方程为 y ＝kx ，设点 P 的坐标为 (x 0，y 0)．由条件y 0＝ kx 0，22得x 0y 0a 2＋b 2＝ 1.222 a b消去 y 0 并整理得 x 0＝ k 2a 2＋b 2②由 |AP|＝ |OA|， A(－ a,0)及 y 0＝ kx 0 ，2222得 (x 0＋ a) ＋ k x 0＝ a .22整理得 (1＋ k )x 0＋ 2ax 0＝ 0.－ 2a而 x 0≠ 0，于是 x 0＝ 1＋k 2，22 2 a2＋ 4.代入 ②，整理得 (1＋ k ) ＝ 4k b因为 a>b>0，故 (1＋ k 2) 2>4k 2＋ 4，即 k 2＋ 1>4， 所以 k 2>3，所以 |k|> 3.方法二依题意，直线 OP 的方程为 y ＝ kx ，可设点 P 的坐标为 (x 0， kx 0)．x 02 k 2x 02由点 P 在椭圆上，有 a 2＋ b 2 ＝ 1.因为 a>b>0， kx 0≠ 0，x 02 k 2 x 02 2 2 2③所以 2＋a 2 <1，即 (1＋ k ) x 0<a .a由 |AP|＝ |OA|， A(－ a,0)，得 (x 0 ＋a) 2＋ k 2x 20＝ a 2，－ 2a整理得 (1＋ k 2)x 20＋ 2ax 0＝ 0，于是 x 0＝1＋ k 2.2代入 ③，得 (1＋ k 2) 4a2 2<a 2，解得k 2>3，1＋ k所以 |k|> 3.题型三 间接证明例 3 已知函数 f(x)＝ a x＋x －2(a>1) ．x ＋1(1)证明：函数 f( x)在 (－ 1，＋∞ )上为增函数；(2)用反证法证明方程 f(x)＝ 0 没有负数根．审题破题(1) 可依据函数单一性的定义进行证明； (2)反证法证题的思想是正难则反．证明(1) 任取 x 1， x 2∈ (－ 1，＋ ∞ )，不如设 x 1<x 2，则 x 2－ x 1>0，因为 a>1 ，所以 ax 2－x 1>1 ，且 ax 1>0，所以 a x 2－ a x 1＝ a x 1( a x 2－x1 － 1)>0.又因为 x 1＋ 1>0 ， x 2＋ 1>0，x 2 －2 x 1－ 2所以－x 2 ＋1 x 1＋ 1＝x 2－ 2 x 1＋ 1 － x 1－ 2 x 2＋ 1x 1＋1 x 2＋ 13 x 2－ x 1 ＝x 1＋ 1 x 2＋ 1>0.于是 f(x 2)－ f(x 1)2 x 1 x 2 －2 x 1－ 2＝ a － a ＋x 2 ＋1－ x 1＋ 1>0 ，故函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞ )上为增函数．x(2)假定方程 f(x)＝ 0 有负数根，设为x 0(x 0 ≠－ 1)．则有 x 0<0，且 f(x 0)＝ 0.x 0 x 0－ 2 x 0x 0－ 2∴ a ＋ x 0＋ 1＝ 0? a ＝－ x 0＋ 1.∵ a>1， ∴ 0<a x 0 x 0－ 2<1，∴ 0<－<1.解上述不等式，得 1x 0＋ 12<x 0<2.这与假定 x 0<0 矛盾．故方程 f(x)＝ 0 没有负数根．反省概括反证法证明问题，要先否认欲证结论(假定 )，而后从假定和条件出发导出矛盾，证明原结论正确．变式训练 3(2013 ·陕西 )设 { a n } 是公比为 q 的等比数列．(1)推导 { a n } 的前 n 项和公式；(2)设 q ≠ 1，证明：数列 { a n ＋1} 不是等比数列．(1)解 设 { a n } 的前 n 项和为 S n ，当 q ＝1 时， S n ＝a 1＋a 1＋, ＋ a 1＝ na 1；当 q≠1 时， S n＝a1＋a1q＋ a1q2＋ , ＋ a1q n－1.①qS n＝ a1q＋a1 q2＋a1q3＋ , ＋ a1q n，②n，① －②得， (1－ q)S n＝ a1－ a1 q∴S n＝a1 1－ q n，1－ qna1， q＝ 1，∴ S n＝a11－q n，q≠ 1.1－q(2)证明假定 { a n＋ 1} 是等比数列，则对随意的k∈N*，(a k＋1＋ 1)2＝ (a k＋ 1)(a k＋2＋ 1)，2a k＋1＋ 2a k＋1＋1＝ a k a k＋2＋a k＋ a k＋2＋1，2 2k k k－ 1k＋1k－1k＋1a1q ＋2a1 q＝ a1q ·a1q＋ a1q＋ a1q，∵a1≠ 0，∴ 2q k＝ q k－1＋ q k＋1.∵q≠0，∴ q2－ 2q＋ 1＝ 0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假定不建立，故 { a n＋1} 不是等比数列．典例 (1)(2012·江西 )察看以下各式：a＋ b＝ 1， a2＋ b2＝ 3， a3＋ b3＝ 4， a4＋ b4＝ 7， a5＋ b5＝ 11，, ，则 a10＋ b10等于() A． 28 B ．76C．123D．199分析察看规律，概括推理．从给出的式子特色察看可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前方两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋ b10＝ 123.答案C(2)记等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，利用倒序乞降的方法，可将S n表示成首项 a1、末n a1＋ a n项 a n与项数 n 的一个关系式，即公式 S n＝；近似地，记等比数列 { b n} 的前 n 项2积为 T n，且 b n>0 (n∈N* )，试类比等差数列乞降的方法，可将T n表示成首项 b1、末项b n与项数 n 的一个关系式，即公式T n＝ ________.分析利用等比数列的性质：若m＋ n＝ p＋ q，则 b m·b n＝ b p·b q，利用倒序求积方法有T n＝b1b2·, ·b n，n两式相乘得 T n2＝ ( b1 b n)n，即 T n＝ (b1b n) 2 .T n＝b n b n－1·, ·b1，n2答案(b1b n)得分技巧合情推理的重点是追求规律，明确已知结论的性质或特色．高考取此类问题的指向性很强，要获得正确结论的概括或类比．阅卷老师提示(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们合适变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象性质的推理过程，而后经过类比，推导出类比对象的性质．(3)概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．1． 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2a n ( n ≥2)，而 a 1＝ 1，经过计算a 2， a 3，a 4，猜想 a n 等于22()A. n ＋ 1 2B.n n ＋ 1 22 C.2n－ 1D.2n － 1答案 B分析 a n ＝ S n － S n － 1＝n 2a n －( n －1) 2a n －1，∴ (n － 1)2a n － 1＝ ( n －1)( n ＋ 1)a n .∴ a n ＝ n － 1 a n －1.由 a 1＝1 知： a 2＝ 1，a 3＝1. n ＋ 13 6 ∴ 猜想 a n ＝ 2 ，应选 B.n n ＋ 12． 以下四个图形中， 着色三角形的个数挨次组成一个数列的前4 项，则这个数列的一个通项公式为( )n －1B ．a n ＝ 3 nA ． a n ＝ 3C ． a n ＝ 3n － 2nD ． a n ＝ 3n －1＋2n － 3答案A分析n －1a 1＝ 1， a 2＝ 3，a 3＝ 9， a 4＝ 27，故猜 a n ＝ 3.3． 以下推理中属于概括推理且结论正确的选项是()A ．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，由 a n ＝ 2n － 1，求出 S 1＝ 12， S 2＝ 22， S 3＝ 32，, ，推测： S n ＝ n 2B ．由 f(x) ＝ xcos x 知足 f(－ x)＝－ f(x)对 ? x ∈ R 都建立，推测：f(x)＝ xcos x 为奇函数22222 2xyC ．由圆 x ＋ y ＝ r 的面积 S ＝ πr ，推测：椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的面积 S ＝ πabD ．由 (1＋ 1)2>21， (2＋ 1)2>2 2， (3＋ 1)2>23，, ，推测：对全部 n ∈N * ， (n ＋ 1)2>2n答案 A分析注意到，选项 A 由一些特别案例得出一般性结论， 且注意到数列 { a n } 是等差数列，n 1＋ 2n － 12其前 n 项和等于 S n ＝＝ n ，选项 D 中的推理属于概括推理， 但结论不正确． 因此选 A.2Sa 、b 、c ，△ ABC 的面积为 S ，内切圆半径为 r ，则 r ＝ ；a ＋ b ＋ c类比这个结论可知：四周体S — ABC 的四个面的面积分别为S 1 、S 2 、S 3、 S 4，内切球的半径为 R ，四周体 P — ABC 的体积为 V ，则 R 等于()A. VB. 2VS 1 ＋S ＋S ＋S ＋S ＋S ＋S2 3 4 S 1 2 3 4C. 3VD. 4V S 1 ＋S ＋S ＋S ＋S ＋S ＋S2 3 4 S 1 2 3 4 答案 C分析此题考察类比推理，用体积切割的方法，能够得出3VR ＝＋S ＋S ＋S.S 1 2341 ＋1＝ 2， 1 ＋1＋ 1 ＝3，1＋1＋1＋1＝4，根5． 察看等式： 1× 2 2× 3 3 1× 2 2×3 3× 4 4 1× 22×3 3×4 4×55据以上规律，第四个等式为 ________．答案1 ＋ 1 ＋1＋1＋1＝51× 2 2× 3 3×4 4×5 5× 6 66． 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为S n ，则 S 4， S 8－ S 4 ， S 12－ S 8， S 16－ S 12 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4，________，________，T 16成等比数T 12列．答案T 8 T 12T 4 T 8分析等差数列类比于等比数列，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4，T 8， T 12，T 16成等比数列．T 4 T 8 T 12专题限时规范训练一、选择题1． 察看以下各式： 72＝ 49,73＝ 343,74＝ 2 401，, ，则 72 014 的末两位数字为()A ． 01B ．43C ．07D ． 49答案 D分析因为 71＝ 7,72 ＝49,73＝ 343,74＝ 2 401,7 5＝ 16 807,76＝ 117 649， , ，所以这些数的末两位数字呈周期性出现， 且周期 T ＝ 4.又因为 2 014＝ 4× 503＋ 2，所以 72 014的末两位 数字与 72 的末两位数字同样，应选D.2． 定义一种运算“ * ”：关于自然数n 知足以下运算性质： (ⅰ )1*1=1,( ⅱ )(n+1)*1= n*1+1,则 n*1 等于()A ． nB ．n ＋ 1C ．n － 1D ． n 2答案A分析由 (n＋ 1)*1 ＝ n*1 ＋ 1，得 n*1 ＝ (n－ 1)*1 ＋ 1＝ (n－ 2)*1 ＋ 2＝ ,＝1]3．定义 A* B，B*C，C*D ，D * A 的运算分别对应以下图中的(1)(2)(3)(4) ，那么以下图中的所对应的运算结果可能是((A)(B))A．B*D，A* D B ．B*D ， A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D答案B分析由 (1)(2)(3)(4) 图得 A 表示 |，B 表示□，C 表示—，D 表示○，故图 (A)(B) 表示 B* D和 A*C.1，2，1，3，2，1，4，3，2，1，, ，依它的前10 项的规律，这个数列的4．已知数列：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4第 2 013 项 a2 013知足() A． 0<a2 013< 1B.1≤ a2 013<11010C． 1≤ a2 013≤ 10D． a2 013>10答案A分析数列中项的规律：分母每一组中从小到大摆列：(1) ， (1,2) ，(1,2,3) ，(1,2,3,4) ， , ；分子每一组中从大到小摆列(1)， (2,1)， (3,2,1) ， (4,3,2,1) ，, ，由上规律4 1知 a2 013＝60＝15.5．给出若干数字按以下图排成倒三角形，此中第一行各数挨次是1,2,3， , ， 2 011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M 是()2 009A． 2 012 2·2 010B． 2 011 2·2 011C． 2 010 2·2 007D． 2 010 2·答案A分析第一行公差为1；第二行公差为2；,,；第 2 010行公差为22 009，第 2 011 行2 009.或从第一行为 1,2,3 及 1,2,3,4,5 的两个 “ 小只有 M ，发现规律，得 M ＝ (1＋ 2 011) 2·三角形 ” 联合选项概括得结果为 1及 (5＋ 1)× 2 3n － 2. (3＋ 1)×2 ，猜一般规律为 (n ＋ 1) ·2＋()6． 设 a ，b ， c ， d ∈R ，若 a ＋ d ＝ b ＋ c 且 |a － d|<|b －c|，则有A ． ad ＝ bcB ．ad<bcC ．ad>bcD ． ad ≤ bc答案 C分析|a － d|<|b － c|? ( a －d)2<(b － c)2? a 2＋ d 2－2ad<b 2＋ c 2－ 2bc ，又 ∵a ＋ d ＝ b ＋ c? (a＋ d)2＝ (b ＋ c)2? a 2＋ d 2＋ 2ad ＝ b 2＋ c 2＋ 2bc ，∴ － 4ad<－ 4bc ， ∴ ad>bc.a 2＋b 2 1 2的大小7． 已知 a>b>0，且 ab ＝ 1，若 0<c<1， p ＝ log c ， q ＝ log c (a ＋ ) ，则 p ， q2b关系是()A ． p>qB ．p<qC ． p ＝ qD ． p ≥ q答案B2222分析a ＋ b>ab ＝ 1， ∴ p ＝ log c a ＋ b<0.∵22又 q ＝log c ( 8． 已知定义在12＝ log c111， ∴q>p.a ＋b ) >log c＝ log c >0a ＋b ＋ 2 ab4 ab4f x ＝ a x，且 f ′ (x)g(x)< f(x)g ′ (x)，f 1＋ f －1 ＝R 上的函数 f(x)，g(x)知足 g xg 1 g － 15f n *312，如有穷数列 g n (n ∈ N )的前 n 项和等于 32，则 n 等于 ()A ． 4答案分析再依据B ．5C ．6D ． 7 B令 h(x)＝f x，则 h ′(x)＝ f ′ x g x －f x g ′ xg xg 2 x <0，故函数 h(x)为减函数，即 0< a<1. f 1 f － 1 5 ，得 a ＋ 1 5 1 .所以f n＝ 1 n ＋ ＝ ＝ ，解得 a ＝ 2(舍去 ) 或许 a ＝ g n 2 ，数列 g 1 g － 1 2 a 2 211f n21－ n11 312g n的前 n 项和是1 ＝ 1－ 2n ，因为 1－ 2n ＝ 32 ，所以 n ＝ 5.1－ 2二、填空题9．察看以下等式1＝ 12＋3＋4＝93＋ 4＋5＋ 6＋ 7＝ 254＋ 5＋ 6＋7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49,,照此规律，第 n 个等式为 ________．答案n ＋ (n ＋ 1)＋ (n ＋ 2)＋, ＋ (3n － 2)＝ (2n － 1)2分析第 n 个等式是首项为 n ，公差为 1，项数为 2n － 1 的等差数列，即 n ＋ (n ＋ 1)＋ (n＋ 2)＋, ＋ (3n － 2)＝ (2n － 1) 2.110．若数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ n ＋ 1 2，记 f(n)＝ 2(1－a 1 ) ·(1－ a 2), (1－ a n )，试经过计算f(1)，f(2) ，f(3)的值，推测出 f(n)＝ ________.n ＋ 2答案n ＋ 13 1＋ 2分析 f(1) ＝ 2(1－a 1)＝2＝ 1＋ 1，1 1f(2) ＝2(1－ a 1)(1 －a 2)＝ 2 1－ 4 1－ 9＝4＝2＋ 2，3 2＋1f(3) ＝2(1－ a 1)(1 －a 2)(1 － a 3)＝2 1－ 1 1－ 1 1－ 1 ＝5＝ 3＋2，4 9 16 4 3＋1 n ＋ 2可猜想 f(n)＝n ＋ 1.11．二维空间中圆的一维测度(周长 )l ＝ 2πr ，二维测度 (面积 )S ＝ πr 2，察看发现 S ′＝ l ；三维空间中球的二维测度 (表面积 )S ＝ 4πr 2，三维测度 (体积 )V ＝4πr 3，察看发现 V ′＝ S.则四3维空间中“超球”的四维测度 W ＝ 2πr 4，猜想其三维测度 V ＝ ________.答案 8πr 3分析由已知， 可得圆的一维测度为二维测度的导函数； 球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论， “ 超球 ”的三维测度是四维测度的导函数，4即 V ＝ W ′ ＝ (2πr )′＝ 8πr 3 .12．函数 f(x)的定义域为 A ，若 x 1，x 2∈ A ，且 f(x 1 )＝ f(x 2)时总有 x 1＝ x 2，则称 f(x)为单函数． 例如 f(x)＝ 2x ＋ 1 (x ∈ R )是单函数，以下命题：①函数f(x)＝ x 2 (x ∈ R )是单函数；②指数函数 f(x)＝ 2x (x ∈ R )是单函数，③若 f(x)为单函数， x 1， x 2∈ A 且 x 1≠ x 2，则 f(x 1)≠ f(x 2)；④在定义域上拥有单一性的函数必定是单函数．此中的真命题是 __________( 写出全部真命题的编号 )．答案 ②③④分析由 x 12＝ x 22，未必有 x 1＝ x 2，故 ① 不正确；关于 f(x)＝ 2x ，当 f(x 1)＝ f(x 2 )时必定有 x 1＝ x 2，故 ② 正确；当 f(x)为单函数时，有 f(x 1)＝ f( x 2)? x 1＝ x 2，则其逆否命题 f(x)为单函数时，x 1≠ x 2? f(x 1)≠ f(x 2) 为真命题，故 ③ 正确；当函数在其定义域上单一时， 必定有 f(x 1)＝ f(x 2) ? x 1＝ x 2，故 ④ 正确．三、解答题13． (2012 ·建福 )某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：① sin 213°＋ cos 217°－ sin 13 cos ° 17 ；°② sin 215°＋ cos 215°－ sin 15 cos ° 15 ；° ③ sin 218°＋ cos 212°－ sin 18 cos ° 12 ；°2 2 °－sin(－ 18°)cos 48 ；°④ sin (－ 18 °)＋cos 48 22°－sin(－ 25°)cos 55 . °⑤ sin (－ 25 °)＋cos 55 (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据 (1) 的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．解方法一 (1)选择 ② 式，计算以下：sin 215°＋ cos 215°－ sin 15 cos ° 15 °1 1 3＝ 1－2sin 30 ＝°1－ 4＝ 4. (2)三角恒等式为223sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 4. 证明以下：22°－ α)－ sin αcos(30 －°α)sin α＋ cos (30 ＝ sin 2α＋(cos 30 cos ° α＋ sin 30 sin ° α)2－ sin α(cos 30 °cos α＋ sin 30 sin ° α)23231231232323＝ sin α＋4cos α＋ 2 sin αcos α＋4sin α－ 2 sin αcos α－ 2sin α＝ 4sin α＋ 4cos α＝ 4.方法二(1)同解法一．223(2)三角恒等式为 sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 4.证明以下：sin 2α＋ cos 2(30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α) 1－cos 2α 1＋ cos 60°－ 2αα(cos 30 cos ° α＋ sin 30 sin ° α) ＝ 2＋ 2－ sin1 1 cos 2α＋ 1 13 1 2＝ － 2＋ (cos 60 cos ° 2α＋ sin 60 sin ° 2α)－ 2sin αcos α－ sin α2 2 2 21 1 cos 2α＋ 1 1 3 sin 2α－ 3＝ － 2＋ cos 2α＋ 4 4sin 2α－2 2 41 1 1 1 3(1 －cos 2α)＝ 1－ cos 2α－＋ cos 2α＝ .44 4 4414．设会合 W 是知足以下两个条件的无量数列 { a n } 的会合．① a n ＋ a n ＋2≤ a n ＋1；② a n ≤ M ，此中 n ∈ N * ， M 是与 n 没关的常数．2(1)若 { a n } 是等差数列， S n 是其前 n 项的和， a 3＝ 4， S 3＝ 18，尝试究 { S n } 与会合 W 之间的关系；(2)若数列 { b n } 的通项为 b n ＝ 5n － 2n ，且 { b n } ∈ W ， M 的最小值为 m ，求 m 的值；1n(3)在 (2)的条件下，设 c n ＝ 5[ b n ＋ (m － 5) ] ＋ 2，求证：数列 { c n } 中随意不一样的三项都不能成为等比数列．(1)解∵ a 3＝ 4， S 3＝ 18，∴ a1＝ 8， d＝－ 2，2S n＋ S n＋2知足条件① ，∴ S n＝－ n＋ 9n，2<S n＋1S n＝－ n－92＋81，当 n＝ 4 或 5 时， S n取最大值 20.24∴ S n≤ 20 知足条件②，∴ { S n} ∈ W.(2)解b n＋1－ b n＝ 5－ 2n可知 { b n} 中最大项是 b3＝ 7，∴M≥7， M 的最小值为 7.(3)证明由(2) 知 c n＝n＋2，假定 { c n} 中存在三项 c p、c q、 c r (p、 q、 r 互不相等 )成等比数列，则 c2q＝ c p·c r，∴(q＋ 2)2＝ (p＋ 2)(r ＋ 2)，∴(q2－ pr)＋ (2q－ p－ r ) 2＝ 0.q2＝ pr ，∵ p、q、 r ∈N*，∴2q－ p－ r＝ 0，消去 q 得 (p－ r )2＝ 0，∴p＝r ，与 p≠ r 矛盾．∴{ c n} 中随意不一样的三项都不可以成为等比数列．。
考前三个月新高考数学(文)二轮冲刺中档大题强化练——概率与统计(含答案详析)
中档大题加强练 —— 概率与统计1．(2013·标全国课 Ⅱ )经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品赢利润 500 元，未售出的产品，每1 t 损失 300 元．依据历史资料，获取销售季度内市场需求量的频次散布直方图， 以下图． 经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品． 以X(单位： t,100≤ X ≤ 150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元 )表示下一个销售季度内经销该农产品的收益．(1)将 T 表示为 X 的函数； (2)依据直方图预计收益 T 许多于 57 000 元的概率．解(1)当 X ∈ [100,130) 时，T ＝ 500X －300(130 － X)＝800X － 39 000. 当 X ∈ [130,150] 时， T ＝ 500× 130＝65 000.800X － 39 000， 100≤ X<130，因此T ＝65 000 ， 130≤ X ≤ 150.(2)由 (1)知收益T 许多于57 000 元当且仅当120≤ X ≤ 150.由直方图知需求量X ∈ [120,150] 的频次为 0.7，因此下一个销售季度内的收益T 许多于57 000 元的概率的预计值为0.7.2． 一袋中装有四个形状大小同样的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球， 将其编号记为 a ，而后从袋中余下的三个球中再随机抽取一22个球，将其编号记为b ，求对于 x 的一元二次方程 x ＋ 2ax ＋ b ＝ 0 有实根的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m.将球放回袋中，而后再从袋中随机取一x － y ≥ 0， 个球，该球的编号记为n.若以 (m ，n)作为点 P 的坐标，求点P 落在地区 内x ＋ y － 5<0的概率．解 (1)设事件 A 为 “ 方程 x 2＋ 2ax ＋ b 2＝ 0 有实根 ”． 当 a>0 ，b>0 时，方程 x 2＋ 2ax ＋b 2＝ 0 有实根的充要条件为 a ≥b.以下第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值．基本领件共 12 个：(1,2)，(1,3)，(1,4) ，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2) ，(3,4) ，(4,1)，(4,2)，(4,3)．事件 A 中包含 6 个基本领件： (2,1) ，(3,1)， (3,2) ，(4,1)， (4,2)， (4,3) ．事件 A 发生的概率为P(A)＝6 112 ＝ .2(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m ，n)的全部可能状况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) ，(2,1) ，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2) ，(3,3) ，(3,4)，(4,1)，(4,2)， (4,3)， (4,4)，共 16 个．x －y ≥ 0，落在地区 内的有 (1,1)， (2,1) ，(2,2) ， (3,1)，共 4 个，x ＋y － 5<0x － y ≥ 0， 1因此点 P 落在地区 内的概率为x ＋ y － 5<04.3． 某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数以下表：高三高二 高一 女生 100 150 z男生300450600按年级分层抽样的方法评比优异学生 50 人，此中高三有10 人．(1)求 z 的值；(2)用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本当作一个整体，从中任取 2 人，求起码有 1 名女生的概率；(3) 用随机抽样的方法从高二女生中抽取 8 人，经检测她们的得分以下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.0,9.3,8.2 ，把这 8 人的总分看作一个整体，从中任取一个数，求该数与样本均匀数之差的绝对值不超出0.5 的概率．解 (1)设该校总人数为 n 人，50 10由题意得 n ＝ 100＋ 300，因此 n ＝ 2 000，z ＝ 2 000－ 100－300－ 150－ 450－ 600＝ 400.(2)设所抽样本中有 m 个女生，因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，因此400 ＝ m，解得 m ＝ 2.也就是抽取了 2 名女生， 3 名男生，分别记作S ，1 000 51S 2； B 1 ，B 2， B 3，则从中任取 2 个的全部基本领件为 (S 1， B 1) ，(S 1，B 2) ，(S 1，B 3)， (S 2，B 1)， (S 2， B 2 )， (S 2， B 3 )， (S 1， S 2)， (B 1，B 2)， (B 2， B 3)， (B 1， B 3)，共 10 个，此中起码有 1 名女生的基本领件有 7 个： (S 1， B 1)，(S 1，B 2)，(S 1， B 3)，(S 2，B 1)， (S 2，B 2)， (S 2，7B 3)， (S 1， S2)，因此从中任取 2 人，起码有 1 名女生的概率为 10.1 (3)样本的均匀数为x ＝ 8(9.4＋ 8.6＋ 9.2＋ 9.6＋ 8.7＋ 9.0＋ 9.3＋ 8.2)＝9，那么与样本均匀数之差的绝对值不超出0.5 的数为 9.4,8.6,9.2,8.7,9.0,9.3 这 6 个数，总的个数为 8，因此该数与样本均匀数之差的绝对值不超出0.5 的概率为 6＝ 3 .8 44． (2013 北·京 )某小组共有 A ，B ，C ，D ，E 五位同学， 他们的身高 ( 单位：米 )及体重指标 (单位：千克 /米 2) 以下表所示：AB C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率；(2) 从该小组同学中任选2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9) 中的概率．解 (1)从身高低于 1.80 的 4 名同学中任选 2 人，其全部可能的结果构成的基本领件有：(A ，B)， (A ， C)，(A ，D )，(B ， C)， (B ，D )，(C ，D )共 6 个．设 “ 选到的 2 人身高都在 1.78 以下 ” 为事件 M ，其包含事件有 3 个，故 P(M)＝3＝ 1.6 2(2)从小组 5 名同学中任选 2 人，其全部可能的结果构成的基本领件有： (A ， B)， (A ，C) ， (A ， D)， (A ， E)， (B ，C)， (B ，D )， (B ， E)， (C ， D)， (C ， E)， (D ， E)共 10 个． 设 “ 选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9) ”为事件 N ，且事件 N包含事件有： (C ， D)，( C ， E)， (D ， E)共 3 个． 则 P(N)＝310.5． 某饮料企业对一名职工进行测试以便确立其考评级别，企业准备了两种不一样的饮料共5杯，其颜色完整同样，而且此中 3 杯为 A 饮料，此外 2 杯为 B 饮料，企业要求此职工一一品味后，从 5 杯饮猜中选出3 杯 A 饮料．若该职工 3 杯都选对，则评为优异；若3杯选对 2 杯，则评为优异；不然评为合格．假定这人对A 和B 两种饮料没有鉴识能力．(1)求这人被评为优异的概率；(2)求这人被评为优异及以上的概率．解 将 5 杯饮料编号为 1,2,3,4,5，编号 1,2,3 表示 A 饮料，编号 4,5 表示 B 饮料， 则从 5杯饮猜中选出 3 杯的全部可能状况为(123)， (124)，(125) ，(134)， (135) ， (145) ，(234)，(235)， (245) ， (345)，可见共有 10 种．令 D 表示这人被评为优异的事件， E 表示这人被评为优异的事件，F 表示这人被评为良好及以上的事件，则1(1)P(D )＝10.37(2)P(E)＝ 5， P(F)＝ P(D)＋ P(E)＝ 10.6． 某生物兴趣小组，在学校生物园地栽种了一批名贵树苗，为认识树苗的生长状况，从这批树苗中随机地丈量了此中 50 棵树苗的高度 (单位：厘米 )，并把这些高度列成了以下的频数散布表：组别 [40,50)[50,60)[60,70) [70,80)[80,90)[90,100]频数231415124(1)在这批树苗中任取一棵，其高度在 85 厘米以上的概率大概是多少？(2)这批树苗的均匀高度大概是多少？(3)为了进一步获取研究资料，现从[40,50) 组中移出一棵树苗， [90,100] 组中移出两棵树苗，进行试验研究，则 [40,50) 组中的树苗 A 和 [90,100] 组中的树苗 C 同时被移出的概率是多少？解(1)因为 [80,90) 的中间值是85，故树苗高度在(85,90)的棵数约为6，高度在85 厘米以上的树苗的棵数约为6＋ 4＝ 10，因此在这批树苗中任取一棵，其高度在85 厘米以上的概率大概是10＝ 0.2.50(2)依据样本预计整体的思想，能够使用各组的组中值取代各组的树苗高度，则这批树苗的均匀高度约为45× 2＋ 55× 3＋ 65×14＋ 75× 15＋ 85×12＋ 95×450 ＝3 690＝ 73.8( 厘米 ) ，50即这批树苗的均匀高度约为73.8 厘米．(3)记 [40,50) 组中的树苗为 A ， B ，[90,100] 组中的树苗为 C ， D ， E ，F ，则基本领件是：(A ， C ，D )， ( A ，C ， E)， (A ， C ， F) ， (A ， D ， E)， (A ， D ， F)， (A ， E ， F)， (B ， C ，D) ，(B ， C ， E)， (B ， C ， F) ，(B ， D ， E)， (B ，D ，F)， (B ， E ， F)，合计 12 个基本领件．此中随机事件 “[40,50) 组中的树苗 A 和 [90,100] 组中的树苗 C 同时被移出 ”有 (A ， C ，D) ，(A ， C ，E)，(A ，C ，F)，共 3 个，故所求的概率是3＝ 0.25.即 [40,50) 组中的树P ＝12 苗 A 和 [90,100] 组中的树苗 C 同时被移出的概率是 0.25.。
2022高考考前三个月数学(浙江专用理科)二轮解答题专项规范练1 Word版含答案
解答题专项规范练姓名：________ 班级：________ 学号：________1．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的值域．2．已知0<α<π2，π2<β<π且tan α2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)分别求cos α与cos β的值； (2)求tan α－β2的值．3．(2021·潍坊模拟)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求实数a 的值及f (x )的最小正周期； (2)在坐标纸上作出f (x )在[0，π]上的图象．4．(2021·苏州二模)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x · cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．5.(2021·盐城二模)如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的大路AB ，AC ，依据规划拟在两条大路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条大路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋ f ⎝⎛⎭⎫x －π6，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最值．答案精析解答题专项规范练解答题专项规范练11．解 (1)由于|a |＝(3sin x )2＋(sin x )2＝2|sin x |，|b |＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，而|a |＝|b |，则有2|sin x |＝1， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则有sin x ＝12， 所以x ＝π6.(2)由于f (x )＝a·b ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 则有2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取得最大值1，此时f (x )取得最大值32；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取得最小值－12，此时f (x )取得最小值0. 故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32. 2．解 (1)cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2＝35，∵0<α<π2，∴sin α＝45.∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，sin(α＋β)＝513， ∴cos(α＋β)＝－1213.∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1213·35＋513·45＝－1665. (2)∵2cos 2β2－1＝cos β＝－1665且β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴cos β2＝7130，∴sin β2＝9130.∴tan β2＝97.∴tan α－β2＝tan α2－tan β21＋tan α2tanβ2＝－1123.3．解 (1)f (x )＝4cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1， 最大值为3＋a ＝2，∴a ＝－1.T ＝2π2＝π.(2)列表如下：画图如下：4．解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x ) ＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π (k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为 {x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．5．解 设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin 60°＝AMsin (120°－θ).由于MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△AMP 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3. 所以设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小．6．解 (1)由题图可知，函数f (x )的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1.函数f (x )的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝π，由2πω＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1， 得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝－1， 故φ－π6＝2k π－π2 (k ∈Z )，解得φ＝2k π－π3 (k ∈Z )．又|φ|<π，所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 故g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3＋1＋ 2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6－π3＋1 ＝2sin 2x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋2 ＝2sin 2x ＋2sin 2x cos2π3－2cos 2x sin 2π3＋2 ＝sin 2x －3cos 2x ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2.设t ＝2x －π3，由于x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，故sin t ∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故g (x )的取值范围是[2－3，4]．。
考前三个月·浙江专用高考数学文二轮配套教案：第二部分 考前静悟篇 专题一 第四讲
第四讲 现场阅卷，让你明白为何丢分高考过后，有些同学的估分和实际相差太多，甚至认为阅卷有误．实际上，答题不规范是造成丢分的一个重要原因．从阅卷老师的角度看一下试卷中常见的不规范现象，让你明白为什么会丢分，希望同学们吸取教训，从中受益．例１ （１）若集合A ＝{x |２x ＋１>0}，B ＝{x ||x —１|<２}，则A ∩B ＝________.（２）函数f （x ）＝错误!的定义域为________. 阅卷现场 规范解答（１）解析 由２x ＋１>0，解得x >—错误!；由|x —１|<２，解得—１<x <３，∴A ∩B ＝{x |x >—错误!}∩{x |—１<x <３}＝错误!.答案 错误!（２）解析 根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 错误!⇒错误!⇒ ⇒0<x ≤错误!. 答案 （0，错误!]失分原因与防范措施失分原因：符号运用不规范，交集、定义域的结果必须是集合或区间形式，不能用不等式．防范措施：规范运用数学语言.例２ 如图，直三棱柱ABC —A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝错误!，AA ′＝１，点M ，N 分别为A ′B和B ′C ′的中点．（１）证明：MN ∥平面A ′ACC ′；（２）求三棱锥A ′—MNC 的体积．阅卷现场 规范解答（１）证明 连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC —A ′B ′C ′为直三棱柱， 所以M 为AB ′的中点． 又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′. （２）解 连接BN ，由题意得A ′N ⊥B ′C ′， 平面A ′B ′C ′⊥平面B ′BCC ′， 又平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′. ∴A ′N ⊥平面NBC . 又A ′N ＝错误!B ′C ′＝１， 故V A ′—MNC ＝V N —A ′MC ＝错误!V N —A ′BC＝错误!V A ′—NBC ＝错误!.失分原因与防范措施失分原因：（１）格式不规范，推理条件不充分，缺步漏步现象严重；（２）图形应用考虑不周，在第（２）问中用到几何体N —A ′BC ，应将BN连起来．防范措施：解题过程要表达准确、格式要符合要求．每步推理要有根有据．计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点．引入数据要明确、要写明已知、设等字例３ 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝２n ２＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝４log ２b n ＋３，n ∈N *.（１）求a n ，b n ；（２）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 阅卷现场 规范解答解 （１）由S n ＝２n ２＋n ，得当n ＝１时，a １＝S １＝３；当n ≥２时，a n ＝S n —S n —１＝２n ２＋n —[２（n —１）２＋（n —１）]＝４n —１．经检验，当n ＝１时，也适合，故a n ＝４n —１，n ∈N *.又a n ＝４log ２b n ＋３，∴log ２b n ＝n —１，∴b n ＝２n —１，n ∈N *.（２）由（１）知a n b n ＝（４n —１）·２n —１，n ∈N *，所以T n ＝３＋7×２＋１１×２２＋…＋（４n —１）·２n —１， ２T n ＝３×２＋7×２２＋１１×２３＋…＋（４n —１）·２n ， ２T n —T n ＝（４n —１）·２n —[３＋４（２＋２２＋…＋２n —１）]＝（４n —１）·２n —３—４×错误!＝（４n —５）·２n ＋５，∴T n ＝（４n —５）·２n ＋５，n ∈N *.失分原因与防范措施 失分原因：（１）忽略特殊情况，没有验证n＝１时的情况．（２）没有计算过程．防范措施：数列问题应注意验证前几项；计算过程要明确，不可跨度太大.例４ 星空电视台组织篮球技能大赛，每名选手都要进行运球、传球、投篮三项比赛，每名选手在各项比赛中获得合格与不合格的机会相等，且互不影响．现有A 、B 、C 、D 、E 、F 六名选手参加比赛，电视台根据比赛成绩对前２名进行表彰奖励．（１）求A 至少获得一个合格的概率；（２）求A 与B 只有一个受到表彰奖励的概率. 阅卷现场 规范解答解 （１）记A 运球，传球，投篮合格分别记为W １，W ２，W ３，不合格为错误!１，错误!２，错误!３，则A参赛的所有可能的结果为{W １，W ２，W ３}，{W １，W ２，错误!３}，{W １，错误!２，W ３}，{W １，错误!２，错误!３}，{错误!１，W ２，W ３}，{错误!１，W ２，错误!３}，{错误!１，错误!２，W ３}，{错误!１，错误!２，错误!３}共8种．由上可知A 至少获得一个合格对应的可能结果为7种，所以A 至少获得一个合格的概率为P ＝错误!.（２）所有受到表彰奖励可能的结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }共１５种．A 与B 只有一个受到表彰奖励的结果为{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }共8种．则A 与B 只有一个受到表彰奖励的概率为P ＝错误!.失分原因与防范措施 失分原因：古典概型应列举所有基本事件，说明所求事件包含的基本事件个数．防范措施：古典概型规范的解题步骤：标记事件，列举所有基本事件，说明所求事件包含的基本事件个数，列举求解作答.例５ 已知函数f （x ）＝sin （π—ωx ）cos ωx ＋cos ２ωx （ω>0）的最小正周期为π.（１）求ω的值；（２）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的错误!，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求函数g （x ）在区间错误!上的最小值. 阅卷现场 规范解答解 （１）f （x ）＝sin （π—ωx ）cos ωx ＋cos２ωx＝sin ωx cos ωx ＋错误!＝错误!sin ２ωx ＋错误!cos ２ωx ＋错误!＝错误!sin 错误!＋错误!，由题意得错误!＝π，得ω＝１． （２）g （x ）＝f （２x ）＝错误!sin 错误!＋错误!， 当0≤x ≤错误!时，错误!≤４x ＋错误!≤错误!， 错误!≤sin 错误!≤１， １≤g （x ）≤错误!.所以g （x ）在错误!上的最小值是１．失分原因与防范措施失分原因：没有按规范的答题步骤答题，因跨度较大而漏掉了得分点，同时，也容易导致错误． 防范措施：在答题过程中严格按照答题规范，每一步都要体现出使用的公式、定理，找准得分点，而且要书写条理，严谨简洁.例6 已知椭圆C ：错误!＋y ２＝１，圆x ２＋y ２＝１的切线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值. 阅卷现场 规范解答解 １当直线l 的斜率不存在时，由直线l 与圆x ２＋y ２＝１相切，得l 的方程为x ＝±１．把x ＝±１，代入椭圆C 的方程得y ２＝错误!.∴|AB |＝|y １—y ２|＝错误!，∴S △AOB ＝错误!×|AB |×１＝错误!.２当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的方程为y ＝kx ＋m （k ≠0）．∵直线l 与圆x ２＋y ２＝１相切，∴错误!＝１，即m ２＝k ２＋１．由错误!消去y 得：（２k ２＋１）x ２＋４kmx ＋２m ２—２＝0．Δ＝（４km ）２—４（２k ２＋１）（２m ２—２）＝8k ２>0 x １＋x ２＝—错误!，x １x ２＝错误!. ∴|AB |＝错误!·错误! ＝错误! 错误! ＝错误!· 错误!＝２错误!· 错误!＝２错误!· 错误! ＝２错误!· 错误!<错误!.∴S △AOB ＝错误!×|AB |×１<错误!.由１，２可知△AOB 面积的最大值为错误!.失分原因与防范措施 失分原因：（１）没有考虑直线l 斜率不存在的情况；（２）没有验证Δ>0；（３）忽略最值取到的条件．防范措施：（１）考虑要周全，对直线斜率不存在也要讨论；（２）所有直线、圆锥曲线相交问题，首先考虑Δ>0；（３）最值问题写出何时取到最值.。
2022版考前三个月(全国通用)高考数学理科二轮复习系列——小题精练1 Word版含答案
1．下列各组集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}2．已知i 为虚数单位，集合P ＝{－1,1}，Q ＝{i ，i 2}，若P ∩Q ＝{z i}，则复数z 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．(綈p )∨(綈q ) B. p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q4．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( ) A ．[4,5] B.⎣⎡⎦⎤4，112 C.⎣⎡⎦⎤4，132 D ．[4,7]5．函数f (x )＝22|log |x 的图象大致是( )6．若平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直D ．重合7．设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分不必要条件是( ) A ．a ⊥c ，b ⊥c B ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂β C ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]9．已知函数g (x )＝2x ，且有g (a )g (b )＝2，若a >0且b >0，则ab 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．2D ．410．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n (n ≥2)，则x n 等于( )A.⎝⎛⎭⎫23n －1B.⎝⎛⎭⎫23nC.n ＋12D.2n ＋111．如图所示，P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论，其中错误的是( ) A ．AF ⊥PB B ．EF ⊥PB C ．AF ⊥BC D ．AE ⊥平面PBC12．若椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0)与曲线x 2＋y 2＝|m －n |无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫32，1 B.⎝⎛⎭⎫0，32 C.⎝⎛⎭⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎫0，22 二、填空题13．已知数列{a n }的首项为a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥1)，则数列{a n }的通项公式为__________．14．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为______．15．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的推断正确的是________．①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是微小值，f (2)是极大值；③f (x )既没有最小值，也没有最大值． 16．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于________.答案精析小题精练小题精练11．B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C 7.C 8．A [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω (k ∈Z )．由题意，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，故⎝⎛⎭⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎨⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )，又4k ＋12<2k ＋54，∴k <38.∴当k ＝0时，12≤ω≤54.]9．B 10.D 11.D 12.D 13．a n ＝1n (n ＋1)解析 由a 1＝12，S n ＝n 2a n ，①∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 亦即a na n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)．∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n (n ＋1).∴a n ＝1n (n ＋1). 14．(0,1]解析 依据题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x ＋1x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]． 15．①②③解析 若f (x )＝(2x －x 2)e x >0，则0<x <2，①正确；∵f ′(x )＝－e x (x ＋2)(x －2)，∴f (x )在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增．∴f (－2)是微小值，f (2)是极大值，②正确；易知③也正确． 16. 3解析 由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即－sin 2α＝－34，sin 2α＝34.又由于α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32， 即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3.。
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第二篇 考前静悟篇专题一 解题求规范，小处不丢分第一讲 审题求规范审题即弄清题意，是解题的基础，是快速、正确解题的前提，“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”审题能力的高低是决定成绩的重要因素，不良的审题习惯会导致解题失误，运算繁冗．正确合理的审题可以使解题有条不紊，快速高效．审题包含两方面的内容：题目信息的整合和解题方法的选择．通过对题目条件、结论进行多角度地观察，由表及里，由数到形，由条件到结论，洞察问题实质，选择合适的解题方法，审题时不要急于求成．本讲结合实例，教你规范审题，不在小处丢分． 一审词——看清条件和结论词，无疑是指题目中的关键词，数学审题，首先要抓住关键词，看清题目的条件和结论．全面、深刻、准确地把握关键词是审题的基本要求，体现了对细节的关注．在此基础上，对条件结论进行挖掘、转化．例1 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )A.19B.112C.115D.118规范审题 (1)锁定关键词：连续抛掷三次、依次成等差数列；(2)关键词的转化：连续抛掷三次：基本事件总数6×6×6＝216种；依次成等差数列：列举符合条件的基本事件．解析 基本事件总数为6×6×6＝216(种)； 当公差为1时，首项可以为1,2,3,4； 当公差为2时，首项可以为1,2； 当公差为－1时，首项可以为6,5,4,3； 当公差为－2时，首项可以为6,5； 当公差为0时，首项可以为1,2,3,4,5,6.符合条件的基本事件数为4＋2＋4＋2＋6＝18(种)．故所求概率为18216＝112.答案 B例2 已知直线l 过点P (5,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为________．规范审题 (1)锁定关键词：l 在两坐标轴上的截距相等；(2)关键词的转化：l 过原点(两截距均为0)、l 不过原点且在两坐标轴上的截距相等． 解析 当直线l 过原点时，易得l ：2x －5y ＝0；当l 不过原点时，设l ：x a ＋ya ＝1.将P (5,2)代入l 方程可得a ＝7，此时l ：x ＋y －7＝0.故所求直线l 的方程为2x －5y ＝0和x ＋y －7＝0. 答案 2x －5y ＝0和x ＋y －7＝0跟踪训练1 (1)(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________． 答案10，－1解析 |P A |2＝(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2ax －2ax ＋2a 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2a ＋2a 2－2 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x －a 2＋a 2－2 由x >0，得x ＋1x ≥2，由已知条件⎩⎨⎧ a ≥2a 2－2＝8或⎩⎨⎧a <2(2－a )2＋a 2－2＝8 解得a ＝10或a ＝－1.(2)具有性质f (1x )＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数．则下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0＜x ＜1)，0(x ＝1)，－1x (x ＞1).满足“倒负”交换的函数是________．答案 ①③解析 ①f (1x )＝1x －11x＝1x －x ＝－(x －1x)＝－f (x )，故该函数为“倒负”交换的函数；②f (1x )＝1x ＋11x ＝1x＋x ＝f (x )，故该函数不是“倒负”交换的函数；③当x ＝1时，1x ＝1，显然此时f (x )＝0，f (1x )＝0，故有f (1x )＝－f (x )；当0<x <1时，1x >1，此时f (x )＝x ，f (1x )＝－11x＝－x ，故有f (1x)＝－f (x )；当x >1时，0<1x <1，此时f (x )＝－1x ，f (1x )＝1x ，故有f (1x )＝－f (x )．综上，只有①③为“倒负”交换的函数． 二审图——关系特征要明晰图形或者图象的力量比文字更为简洁有力，挖掘其中蕴含的有效信息，正确理解问题是解决问题的关键．对图形或者图象的独特理解很多时候成为问题解决中的亮点．此处审题的要求是：图形有何重要特征包括图形隐含的特殊关系、变化的趋势、图形对应数值的特点等；利用数形结合的思想方法对条件进行转化，找到和要求证结论的联系．例3 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．规范审题 向量OA →，OB →，OC →均为单位向量，∠AOC 的大小影响x ＋y ，可以利用数量积将向量间的关系转化为数量关系．解析 ∵OC →＝xOA →＋yOB →，设∠AOC ＝α， 则⎩⎪⎨⎪⎧OC →·OA →＝xOA →2＋yOA →·OB →OC →·OB →＝xOA →·OB →＋yOB →2，即⎩⎨⎧cos α＝x －y2cos (120°－α)＝－12x ＋y .∴x ＋y ＝2[cos α＋cos(120°－α)]＝2sin(α＋30°)． ∴x ＋y ≤2(当且仅当α＝60°时取等号)． ∴x ＋y 的最大值是2. 答案 2跟踪训练2 (1)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0解集为( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 B解析 由f (x )的图象可知在(－∞，－1)和(1，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,1)上f ′(x )<0， ∴不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3>0x <－1或x >1(Ⅰ)或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3<0－1<x <1(Ⅱ) 由(Ⅰ)得x >3或x <－1； 由(Ⅱ)得－1<x <1.故所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．(2)如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝2，|OB →|＝32，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则 ( )A ．λ＝4，μ＝2B ．λ＝83，μ＝32C ．λ＝2，μ＝43D ．λ＝32，μ＝43答案 C解析 由图知OB →，OC →夹角为90°， ∴⎩⎪⎨⎪⎧OB →·OC →＝λOB →·OA →＋μOB →2，OC →·OA →＝λOA →2＋μOB →·OA →，∴⎩⎨⎧0＝λ×32×2×⎝⎛⎭⎫－12＋94μ，23×2×cos 30°＝λ×4＋μ×32×2×⎝⎛⎭⎫－12，解得λ＝2，μ＝43.三审表——透过数据看规律在日常生活和生产中经常会出现图表问题，如每日的股市曲线图、菜场上的价目表等，都是高考命题的源泉．表格中隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系，对于表格的分析要能慧眼独具，不为浮云遮望眼，透过现象看本质．看清表格的本质，问题解决也就有了基础．审题的要求是：认真观察图表、分析数据的特征和规律，根据规律解决问题． 例4 已知函数f (x )，g (x )则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值为________．规范审题第一步：直接根据函数值填写；第二步：函数值比较少且规律不明显，可以使用枚举的办法解决．解析①∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1.②当x＝1时，f[g(x)]＝f[g(1)]＝f(3)＝1.g[f(x)]＝g[f(1)]＝g(1)＝3.此时1<3，也即f[g(x)]<g[f(x)]，不合题意．当x＝2时，f[g(x)]＝f[g(2)]＝f(2)＝3.g[f(x)]＝g[f(2)]＝g(3)＝1.此时3>1，即f[g(x)]>g[f(x)]，符合题意；当x＝3时，f[g(x)]＝f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(x)]＝g[f(3)]＝g(1)＝3，此时f[g(x)]<g[f(x)]，不合题意．故所求x的值为2.答案1 2跟踪训练3观察下列三角形数表：其中从第2行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数之和，则该数表的最后一行的数为()A．101×298B．101×299C．99×299D．100×299答案 A解析该数表共100行，第2行的第1个数为3＝3×20，第3行的第1个数为8＝4×21，第4行的第1个数为20＝5×22，第5行的第1个数为48＝6×23，……∴第100行的第1个数为101×298，故选A.跟踪训练4(2013·湖南)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． (1)(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率．解 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46.(2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.四审式——数式结构找关系数学问题中各种量的关系一般以关系式的形态出现，从关系式的角度分析也是我们最常用的方法，理解了关系式也就对各种量的本质联系有了清晰的认识．审题的基本要求是：挖掘关系式的内在特点；寻找已知条件和结论中式子的联系以及它们和一些公式间的联系，然后再转化．例5 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B的值是________．规范审题 已知条件b a ＋ab ＝6cos C 中既有角，又有边，考虑到所求式子，可进行边角互化．转化时，可使用余弦定理将cos C 值表示出，将式子全部转化成边代入；也可以利用正弦定理对条件进行转化，得到角的关系式代入所求式子．解析 由b a ＋ab＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B 切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos B sin B )＝sin C cos C ·sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B. 根据正、余弦定理得sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c2＝4. 答案 4跟踪训练5 (2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cosB －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 解 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.又0<A <π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.五审理——字里行间皆有理数学中的“理”，不仅仅是指常用的公式和原理，更是指我们经常讲的合情推理：根据已有的事实、结论或者实践的结果，以个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳和类比就是数学活动中常用的合情推理．在高考中该方面的问题有明显的增长趋势．有些问题很难直接和一般的知识点联系起来，考查的是综合应用数学知识解决问题的能力，有很强的区分度．例6 随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万位的最大质数．某同学在学习中发现由41,43,47,53,61,71,83,97组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数．于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数．则这个通项公式为________，该同学断言是________的(填“正确”或者“错误”)．规范审题通过观察相邻两数之差成等差数列；根据发现的规律寻找通项公式，进行判断．解析根据题意知，通项公式a n＝41＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＋41.取n＝41，得a n＝41×41＝1 681，显然不是质数，从而该同学断言是错误的．答案a n＝n(n－1)＋41，n∈N*错误跟踪训练6(1)如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为()A．15 B．16 C．17 D．18答案 B解析这是一道运筹问题，需要用函数的最值加以解决．设A→B的件数为x1(规定：当x1<0，则B调整了|x1|件给A，下同！)B→C的件数为x2，C→D的件数为x3，D→A的件数为x4，依题意可得x4＋50－x1＝40，x1＋50－x2＝45，x2＋50－x3＝54，x3＋50－x4＝61，从而x2＝x1＋5，x3＝x1＋1，x4＝x1－10，故调动件次f(x1)＝|x1|＋|x1＋5|＋|x1＋1|＋|x1－10|，画出图象(或绝对值的几何意义)可得最小值为16.(2)(2012·北京)已知f(x)＝m(x－2m)·(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则m的取值范围是________．答案－4<m<－2解析将①转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0解集的子集求解；②转化为f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．①中，若g(x)＝2x－2<0，则x<1.又∵∀x∈R，g(x)<0或f(x)<0，∴[1，＋∞)是f(x)<0的解集的子集．又由f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0知，m不可能大于或等于0，因此m<0.当m<0时，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0.当2m＝－m－3，即m＝－1时，f(x)<0的解集为{x|x≠－1}，满足条件．当2m >－m －3，即－1<m <0时， f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}．依题意2m <1，即m <12，∴－1<m <0.当2m <－m －3，即m <－1时， f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}． 依题意－m －3<1，即m >－4，∴－4<m <－1. 因此满足①的m 的取值范围是－4<m <0. ②中，∵当x ∈(－∞，－4)时，g (x )＝2x －2<0， ∴问题转化为∃x ∈(－∞，－4)，f (x )>0， 即f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空． 又m <0，则(x －2m )(x ＋m ＋3)<0.由①的解法知，当－1<m <0时，2m >－m －3， 即－m －3<－4，∴m >1，此时无解．当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2恒小于或等于0，此时无解． 当m <－1时，2m <－m －3，即2m <－4，∴m <－2. 综合①②可知满足条件的m 的取值范围是－4<m <－2.。