3第二章 (4节)平面的投影
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机械制图之平面投影
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
平面的表示法
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普通高等教育“十一五”国家级规划教材
平面对投影面的相对位置有三种： 投影面平行面——平行于一个投影 面，垂直于另外两个投影面的平面； 投影面垂直面——垂直于一个投影 面，与另外两个投影面倾斜的平面； 一般位置平面——与三个投影面都 倾斜的平面。 投影面平行面与投影面垂直面统称 为特殊位置平面。 平面对H、V、W面的倾角（指该平 面与投影面的两面角）分别用α、β、 γ来表示。
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2．投影面垂直面
投影面垂直面——垂直于一个投 影面，倾斜于另外两个投影面。 正垂面 垂直于V面并倾斜于H、 W面的平面； 铅垂面 垂直于H面并倾斜于V、 W面的平面； 侧垂面 垂直于W面并倾斜于H、 V面的平面。
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（2）点在一般位置平面上Байду номын сангаас
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第四节常见的地图投影
（3）高斯-克吕格投影 ）高斯为了提高地图的精确度，数学家高 斯和地图学家克吕格设计了一套方案。 每次投影，只使用中央经线两侧3 每次投影，只使用中央经线两侧3º范 围内的图，即一次投影的宽度为6 围内的图，即一次投影的宽度为6°， 全球投影60次，形成60个投影带，东 全球投影60次，形成60个投影带，东 西半球各30个带，以赤道为轴线，把 西半球各30个带，以赤道为轴线，把 这些带连接在一起，形成一个类似西 瓜切开形态的分瓣投影，称为高斯瓜切开形态的分瓣投影，称为高斯-克 吕格投影。带的编号从本初子午线向 东，第一带的中央经线是3 东，第一带的中央经线是3°经线。
2、横轴圆柱投影 圆柱轴与地轴垂直，一个经 圈与圆柱内侧相切。
(1)经纬网形状 (1)经纬网形状 与圆柱相切的经线投影成直线，长度比为 1，称中央经线，其它经线为对称于中央经线 的曲线，所有经线交于极点。赤道投影成垂 直于中央经线的直线，其它纬线为对称于赤 道的曲线。
（2）变形规律
中央经线不变形，离中央经线越远 变形越大。 等高圈为平行于中央经线的直线， 即等变形线平行于中央经线，垂直圈 垂直于中央经线，即从中央经线向两 侧变形增大。与中央经线经差90º 侧变形增大。与中央经线经差90º的经 线变形为无穷大。 离中央经线越远的图形使用价值越 小。
（2）变形规律
纬线上的长度比n=1/cosφ 纬线上的长度比n=1/cosφ，等角性 质的投影n=m， 质的投影n=m，相同纬差的两纬线间的 间距向高纬增大。等积投影mn=1， 间距向高纬增大。等积投影mn=1，相 mn=1 同纬差的两纬线间距向高纬变小。等距 投影m=1， 投影m=1，纬线间距不变。 等高圈（等变形线）就是纬线，垂直 圈（变形增大的方向）就是经线。
再看平射方位投影，经线上的长度比m 再看平射方位投影，经线上的长度比m、 纬线上的长度比n 纬线上的长度比n都是纬度的函数，与经度 没关系。即纬度相等，长度比相等，等变 形线与纬线平行，也可以说等变形线就是 纬线。切点长度比为1 纬线。切点长度比为1，是不变形的点，向 外变形增大，经线是变形增大的方向。 球心投影，经线上的长度比m 球心投影，经线上的长度比m、纬线上 的长度比n 的长度比n也都只是纬度的函数，与经度无 关。同样，纬线就是等变形线，切点不变 形，经线是变形增大的方向。
第二章 投影的基本知识
Z W a'' O b'' Y
a ( b) YH
68
b' X O
b'' YW
X
A在B的正上方
H面重影，被挡 住的投影加( )
结论： ●X、Y分别相等，H面重影(H面投射线上)，Z大可见。 正上（下）方 ●X、Z分别相等，V面重影(V面投射线上)，Y大可见。 正前（后）方 ●Y、Z分别相等，W面重影(W面投射线上)，X大可见。 正左（右）方
间点重合，另两个投影分别在投影轴上。
60
例3、根据点的坐标，作出点的三面投影， 并想像该点的空间位置。 A(15,10,20)
a'
Z aZ
a''
aX
X a
15
a YW
O a YH
YW
YH
61
B(20,15,0)
Z
X
b'
O
b''
YW
b Y
H
62
C(20,0,20)
c'
Z
c''
X
c
b' a' X b
b"
O
YW
a
YH
因此 点A位于点B左、前、下方。
67
两点重影
▲重影点要判别其可见性，不可见的投影用括号括起来，以示 ▲当空间两点的两对坐标相等时，两点处于同一投射线上，在 区别。 该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的重影 a'' 点。 a'
V
a' b' A B
H a(b)
X a′ A aX H a aZ
投影基本知识
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第一节投影的形成与分类
运用中心投影的原理绘制的具有逼真立体感的单面投影图称 为透视投影图，简称透视图。它具有真实、直观、有空间感 且符合人们视觉习惯的特点，但绘制较复杂，形体的尺寸不 能在投影图中度量和标注，不能作为施工的依据。仅用于建 筑及室内设计等方案的比较以及美术、广告等，如图2-8所示。
体，二是光线在穿透物体的同时能够反映其内部、外部的轮
廓(看不见的轮廓用虚线表示)，三是对形成投影的光线的射
向作相应的选择，以得到不同的投影。
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第一节投影的形成与分类
在制图上，把发出光线的光源称为投影中心，光线称为投影 线。光线的射向称为投影方向，将落影的平面称为投影面。 构成影子的内外轮廓称为投影。用投影表达物体的形状和大 小的方法称为投影法，用投影法画出物体的图形称为投影图。 习惯上也将投影物体称为形体。制图上投影图的形成如图2-1 所示。
仍然平行(ab//cd)，如图2-7 (a)所示。
通过两平行直线AB和CD的投影线所形成的平面ABba和CDdc平 行，而两平面与同一投影面P的交线平行，即ab //cd 。
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第一节投影的形成与分类
2.定比性
点分线段为一定比例，点的投影分线段的投影为相同的
比例，如图2-7 (b)所示，AC:CB=ac:cb。
空间图形相似。这种性质为类似性，如图2-7 ( d)所示，
ab<AB，
。
5.积聚性
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第一节投影的形成与分类
直线或平面图形平行于投影线(正投影则垂直于投影面)时， 其投影积聚为一点或一直线，如图2-7 (e)所示，该投影称 为积聚投影，这种特性称为积聚性。
三视图投影法
• 二、投影的分类
–由于正投影法度量性好，作图方便，能正 确地反映物体的形状和大小，所以工程图 样多数用正投影法绘制。 –在以后各章节中，如无特殊说明，投影均 指正投影。 – “正投影”简称为“投影”
第一节 投影法的基本知识
• 三、投影的基本性质
• 1．真实性 当直线或平面与投影面平行时，则直线 的投影反映实长，平面的投影反映实形。 • 2．积聚性 当直线或平面垂直于投影面时，则直线 的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线。 • 3．类似性 当直线或平面倾斜于投影面时，直线的 投影仍为直线，但小于实长；平面的投影面积变小， 形状与原来形状相似。
第二节 点的投影
• 二、各种位置点的投影
• • • • • • aa′⊥OX aa〃⊥OY a′a〃⊥OZ x=aZa′=aaYH=点A到W面的距离A a〃； y=aaX=aZ a〃=点A到V面的距离A a′； z= aXa′= a〃aYW=点A到H面的距离Aa。
第二节 点的投影
• 二、各种位置点的投影
– 应用：例题2-3
第三节 直线的投影
• 四、两直线的相对位置 –1、平行两直线：
• 两直线AB，CD在空间相互平行，则它们在投影面V，H，W 上的投影分别平行；
–2、相交两直线：
• 两直线在空中相交，则它们在V，H，W面上的投影也相交， 交点C满足点的三面投影规律。相交两直线是共面的直线。
–3、交叉两直线：
第二章 点、直线、平面的投影
深圳职业技术学院 制图教研室
江方记 2004/08/05
第一节 投影法的基本知识
• 一、投影的基本概念
– 投影法：从光源发出的投射线通过物体向选定的面投射，在 该面上得到图形的方法； – 投射线实际上就是假想的光线或理解为人的视线；
–由于正投影法度量性好，作图方便，能正 确地反映物体的形状和大小，所以工程图 样多数用正投影法绘制。 –在以后各章节中，如无特殊说明，投影均 指正投影。 – “正投影”简称为“投影”
第一节 投影法的基本知识
• 三、投影的基本性质
• 1．真实性 当直线或平面与投影面平行时，则直线 的投影反映实长，平面的投影反映实形。 • 2．积聚性 当直线或平面垂直于投影面时，则直线 的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线。 • 3．类似性 当直线或平面倾斜于投影面时，直线的 投影仍为直线，但小于实长；平面的投影面积变小， 形状与原来形状相似。
第二节 点的投影
• 二、各种位置点的投影
• • • • • • aa′⊥OX aa〃⊥OY a′a〃⊥OZ x=aZa′=aaYH=点A到W面的距离A a〃； y=aaX=aZ a〃=点A到V面的距离A a′； z= aXa′= a〃aYW=点A到H面的距离Aa。
第二节 点的投影
• 二、各种位置点的投影
– 应用：例题2-3
第三节 直线的投影
• 四、两直线的相对位置 –1、平行两直线：
• 两直线AB，CD在空间相互平行，则它们在投影面V，H，W 上的投影分别平行；
–2、相交两直线：
• 两直线在空中相交，则它们在V，H，W面上的投影也相交， 交点C满足点的三面投影规律。相交两直线是共面的直线。
–3、交叉两直线：
第二章 点、直线、平面的投影
深圳职业技术学院 制图教研室
江方记 2004/08/05
第一节 投影法的基本知识
• 一、投影的基本概念
– 投影法：从光源发出的投射线通过物体向选定的面投射，在 该面上得到图形的方法； – 投射线实际上就是假想的光线或理解为人的视线；
画法几何：第二讲__点、直线、平面的投影
例7：已知线段DE、FG的两个投影d’e’//f’g’， de//fg，判断空间两线段是否平行。
Z
d'
d''
f'
f''
e'
e''
g'
X O
d g
g'' YW
f e
结论：空间两 直线不平行。
YH
判断两直线是否平行：
对于一般位置直线，若两直线的两个同面 投影互相平行，即可判定该两直线在空间必定 相互平行。
b
ac
H
例6：已知直线AB和点K的投影，判断点K是否属于线 段AB
解法1 a' k'
Z a'' k''
b' X
O
a
k b
H
b'' YW
结论：K AB
解法2
X
a' k'
b' O
a k0
k
b0
b
结论：K AB
三、 两直线的相对位置
平行二直线 相交二直线 交叉二直线（异面）
1. 平行二直线
A
C
空间两直线
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
3. 点的投影与坐标
Z a’
V a'
aZ
y
zA
a''
、X
aX
xO W
ya
工程制图第二章点直线平面的投影
′
βγ
α ″
′
″
′
″
第四节 直线的投影
三、点、直线的从属关系
′ ′
′
′
′
′
′
′
′
′
第四节 直线的投影
例1：判别点C是否属于直线AB
′
″
′
′
″
′
′
″
′
第四节 直线的投影
例2：作属于直线AB的点K,使AK:KB=3:2
′ ′ ′
第四节 直线的投影
例3：在直线ＡＢ上确定点Ｋ，使点Ｋ到V与H面距离之比为2:3。
4.不变性：平行于投影面的直线（平面），其投影反映实长，实形。
第二节常用的两种投影图
多面正投影图
轴测投影图
第三节 点的投影
1 2 3
注意：点的一个投影不能确定空间点的位置
第三节 点的投影
一、点在三投影体系中的投影及其投影规律 1. 三面投影体系的建立：
第三节 点的投影
2. 点的三面投影图
3. 点的三面投影与直角坐标系的关系
′
′′
′
′′
′
′′
第五节 平面的投影
一、平面的表示法：
1.几何元素表示法
′
′ ′
′
′ ′
′
′ ′
′
′
′
′
′
′
′
2. 迹线表示法
第五节 平面的投影
二、各种位置平面 １、投影面的平行面： 正平面 水平面 侧平面
正 平 面(//v面）
′
′
′
′
″″
″″
′
′
′
′
″″ ″″
水 平 面(//H面）
第四节平面的投影
2、平面上取点 60
(1) 一直线经过平面上两个点，则此直线一定在该平面上 (2) 一直线经过平面上一个点且平行于平面上另一直线， 则此直线一定在该平面上 如点在平面内任一直线上，则此点一定在该平面上，因 18 此在平面内取点，首先要在平面内取线
第四节 平面的投影
【例1】
例题
已知△ABC平面内一点 K的正面投影 k’，求出 它的水平投影。 • 通过点K在△ABC平 面内任取一直线，例如 取BK，交AC于D • 求出水平投影bd，则 k一定在bd上 分析：在平面上 取点，必须先在 平面上取直线。
50
7
第四节 平面的投影 二、平面与投影面的相对位置及其投影特性 类似形特点：
• 任何情况下边数，边的平行关系不变 根据平面对投影面的相对位置，可把平面分为三类： • 边长、相邻边的夹角随平面的空间位置的变化而变化 1）一般位置平面（投影面倾斜面） 2）投影面垂直面 3）投影面平行面 1）一般位置平面
3）投影面平行面
a) 水平面 的投影特性
57
1.水平投影反映实形（ △abc= △ABC） 2.正面投影积聚直线且平行OX，侧面投影积聚直线且 平行OYw
14
第四节 平面的投影 二、平面与投影面的相对位置及其投影特性
根据平面对投影面的相对位置，可把平面分为三类： 1）一般位置平面（投影面倾斜面） 2）投影面垂直面 3）投影面平行面
根据平面对投影面的相对位置，可 把平面分为三类： • 1）一般位置平面（投影面倾斜面） • 2）投影面垂直面 • 3）投影面平行面
6
第四节 平面的投影 二、平面与投影面的相对位置及其投影特性
根据平面对投影面的相对位置，可把平面分为三类： 1）一般位置平面（投影面倾斜面） 2）投影面垂直面 3）投影面平行面
第二章 投影的基本知识
第二篇投影制图第二章投影的基本知识【学习目的】掌握正投影的基本原理，掌握三视图的形成及其投影规律，掌握点、线、面的投影特性。
【学习要点】投影的基本特性；物体的三视图的绘制；点、线、面的投影特性。
第一节投影方法一、投影的概念（一）投影法的概念在日常生活中，我们看到在太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。
投影法与自然投影现象类似，就是投影线通过物体向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法，用投影法得到的图形称作投影图或投影，如图2-1所示。
图2-1 投影的产生产生投影时必须具备的三个基本条件是投影线、被投影的物体和投影面。
需要注意的是，生活中的影子和工程制图中的投影是有区别的，投影必须将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来，而影子只能表达物体的整体轮廓，并且内部为一个整体如图2-2所示。
(a)影子 (b)投影图2-2 投影与影子的区别二、 投影法分类根据投影线与投影面的相对位置的不同，投影法分为两种。
（一） 中心投影法投影线从一点出发，经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于有限远处），如图2-3所示。
图2-3 中心投影法缺点：中心投影不能真实地反映物体的大小和形状，不适合用于绘制水利工程图样。
优点：中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制水利工程建筑物的透视图。
（二） 平行投影法投影线相互平行经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于无限远处），称为平行投影法。
平行投影法根据投影线与投影面的角度不同,又分为正投影法和斜投影法，如图2-4所示。
（a ）为斜投影法，（b ）为正投影法。
(b)(a)图2-4 平行投影法优点：正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制工程图样。
正投影法斜投影法在以后的章节中，我们所讲述的投影都是指的正投影。
三、投影的特性（一）真实性平行于投影面的直线段或平面图形，在该投影面上的投影反映了该直线段或者平面图形的实长或实形，这种投影特性称为真实性，如图2-5所示。
地球体与地图投影讲义
L K O
b θ n a m
K
有:
m2 + n2 = a2 + b2
m· n· sinq = a· b
椭圆′称内任一条直径d的平行弦中点在椭圆内的轨迹 形成另一直径d ′， 则d为d的共轭直径。
第二章 地球体与地图投影 41
三、地图投影的变形
在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微小圆
的比较，说明变形的性质和大小。椭圆半径与小 圆半径之比，可说明长度变形。很显然，长度变 形随方向的变化而变化，其中有一个极大值，即 椭圆长轴方向，一个极小值，即椭圆短轴方向。 这两个方向是相互垂直的，称为主方向。椭圆面 积与小圆面积之比，可说明面积变形。椭圆上两 方向线的夹角和小圆上相应两方向线的夹角的比 较，可说明角度变形。
第二章 地球体与地图投影 22
三、全球定位系统
地面控制部分由1个主控站,5 个全球监测站
和3 个地面控制站组成。
第二章 地球体与地图投影
23
三、全球定位系统
用户接收部分的基本设备是GPS信号接收机，
其作用是接收、跟踪、变换和测量GPS卫星 所发射GPS信号，以达到导航和定位的目的。
第二章 地球体与地图投影
克拉索夫斯基 1975IUGG WGS-84
a b α e2 e‘2
6 378 245.000 6 356 863.019 1/298.3 0.006 693 422 0.006 738 525
6 378 140.000 6 356 755.288 1/298.257 0.006 694 385 0.006 739 502
x=f1(φ,λ)
y=f2(φ,λ)
第二章 地球体与地图投影 32
三、地图投影的变形
b θ n a m
K
有:
m2 + n2 = a2 + b2
m· n· sinq = a· b
椭圆′称内任一条直径d的平行弦中点在椭圆内的轨迹 形成另一直径d ′， 则d为d的共轭直径。
第二章 地球体与地图投影 41
三、地图投影的变形
在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微小圆
的比较，说明变形的性质和大小。椭圆半径与小 圆半径之比，可说明长度变形。很显然，长度变 形随方向的变化而变化，其中有一个极大值，即 椭圆长轴方向，一个极小值，即椭圆短轴方向。 这两个方向是相互垂直的，称为主方向。椭圆面 积与小圆面积之比，可说明面积变形。椭圆上两 方向线的夹角和小圆上相应两方向线的夹角的比 较，可说明角度变形。
第二章 地球体与地图投影 22
三、全球定位系统
地面控制部分由1个主控站,5 个全球监测站
和3 个地面控制站组成。
第二章 地球体与地图投影
23
三、全球定位系统
用户接收部分的基本设备是GPS信号接收机，
其作用是接收、跟踪、变换和测量GPS卫星 所发射GPS信号，以达到导航和定位的目的。
第二章 地球体与地图投影
克拉索夫斯基 1975IUGG WGS-84
a b α e2 e‘2
6 378 245.000 6 356 863.019 1/298.3 0.006 693 422 0.006 738 525
6 378 140.000 6 356 755.288 1/298.257 0.006 694 385 0.006 739 502
x=f1(φ,λ)
y=f2(φ,λ)
第二章 地球体与地图投影 32
三、地图投影的变形
点、直线、平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
2.1 投影法及性质 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 平面内的点和直线
1 投影法及性质
物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，这就是投影现 象。投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。 投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称 为投影法。 投影法分中心投影法和平行投影法两种。
二、平面对一个投影面的投影特性
平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定的。
平面在三投影面体系中的投影特性
1、投影面垂直面
垂直于某一投影面而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
2、投影面平行面
平行于某一投影面而与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。
投影面垂直面的投影特性:
投影面平行线的投影特性 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映其实长及与另两投影面倾角的实大， 另外两投影分别平行于相应的投影轴。
2、投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。 垂直于H面的直线为铅垂线，垂直于V面的直线为正垂线，垂直于W面的直线为侧垂线。
投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两投影分别垂直于相 应的投影轴，并反映其实长。
[例1] 已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。
作图： 1） 画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X轴上量取Oax=20; OayH =15; Oaz =24； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的垂直线、 过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a＇,过ayH作OY轴的垂直线与 a＇ax的延长线相交得点A的H面投影a; 3)过原点O作∠YHOYW的平分线； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线； 5）过a＇作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a＂，即为A的W面投影。
2.1 投影法及性质 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 平面内的点和直线
1 投影法及性质
物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，这就是投影现 象。投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。 投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称 为投影法。 投影法分中心投影法和平行投影法两种。
二、平面对一个投影面的投影特性
平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定的。
平面在三投影面体系中的投影特性
1、投影面垂直面
垂直于某一投影面而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
2、投影面平行面
平行于某一投影面而与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。
投影面垂直面的投影特性:
投影面平行线的投影特性 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映其实长及与另两投影面倾角的实大， 另外两投影分别平行于相应的投影轴。
2、投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。 垂直于H面的直线为铅垂线，垂直于V面的直线为正垂线，垂直于W面的直线为侧垂线。
投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两投影分别垂直于相 应的投影轴，并反映其实长。
[例1] 已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。
作图： 1） 画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X轴上量取Oax=20; OayH =15; Oaz =24； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的垂直线、 过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a＇,过ayH作OY轴的垂直线与 a＇ax的延长线相交得点A的H面投影a; 3)过原点O作∠YHOYW的平分线； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线； 5）过a＇作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a＂，即为A的W面投影。
机械工程图学-投影理论的基础知识(平面的投影)
Wang chenggang
2-4/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
Wang chenggang
2-5/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.2 直线的投影
作业
《机械工程图学基础教程习题集》 P10 ～ P13
2-19/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
垂直于水平面的平面称为铅垂面。
Y
a’ b’ a” b”
d’
c’ d” c”
X
O
YW
a(d) c(b)
YH
Wang chenggang
a’
b’
d’
c’
A
D
a(d)
a”
B d” b”
C
c”
b(c)
铅垂面
2-20/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于H 面的称为水平面，其投影特性为： ①水平投影反映平面的实形。 ②正面投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
水平面的投影特性
Wang chenggang
2-26/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
平行于V面的称为正平面，其投影特性为： ①正面投影反映平面的实形。 ②水平投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。
Wang chenggang
2-24/132
2.3 点、直线和平面的投影—2.3.3 平面的投影
（2）投影面平行面
平行于一个 投影面的平面。
必然同时垂 直于另外两个投 影面！
图2-26 投影面平行面的立体图
三、工程上常用的几种图示法
第二章投影的基本知识课外小知识：确定地面点位的方法：地面点的空间位置须由三个参数来确定，即该点在大地水准面上的投影位置（两个参数）和该点的高程。
1．地面点在大地水准面上的投影位置：地面点在大地水准面上的投影位置，可用地理坐标和平面直角坐标表示。
（1）地理坐标是用经度λ和纬度φ表示地面点在大地水准面上的投影位置，由于地理坐标是球面坐标，不便于直接进行各种计算；（2）高斯平面直角坐标利用高斯投影法建立的平面直角坐标系，称为高斯平面直角坐标系。
在广大区域内确定点的平面位置，一般采用高斯平面直角坐标。
高斯投影法是将地球划分成若干带，然后将每带投影到平面上。
本章主要介绍投影的基本概念和分类、正投影的特性以及形体三面正投影图的形成与规律；重点介绍了点、线、面的投影特征和作图方法。
知识目标：1、了解投影的基本概念和分类；2、理解正投影的特性及优缺点；3、掌握点、线、面的投影特征；4、掌握形体三面正投影图的形成；5、掌握三面投影图的规律和作图方法。
能力目标：1、能解释正投影的特性及优缺点；2、能用制图工具仪器绘制工程常见简单形体的三面正投影图；3、能使形体的三面正投影图的尺寸标注符合标准。
开章语：为了使工程构筑物表达得清晰、简洁、明了，工程图样通常应用正投影原理绘制，它是工程制图的基本方法和规律。
《道路工程制图标准》（GB 50162—92）中也规定，结构物的视图宜采用正投影法绘制。
所以，我们必须了解正投影法的投影特性，掌握绘制形体三面正投影图的方法和原理，熟悉《国标》的相关规定。
本章主要介绍了：投影的概念和分类；正投影的特性；三面正投影图的形成及其绘制；形体表面上的点、线、面的投影。
第一节投影的概念和分类一、投影的概念物体在光线的照射下，会在地面或墙面上产生影子，如图2-1-1，桥梁在阳光照射下在水面成影。
图2-1-1 桥梁在阳光下成影图2-1-2（a）是桥台模型在灯光的照射下，在纸面上产生的影子。
这种常见的自然现象，人们把它称为投影现象。
《画法几何与土木工程制图》教学大纲
③ 基本体的尺寸标注
④ 组合体的尺寸标注
⑤ 标注尺寸举例
（4）6-4节 组合体三面图的阅读
① 读图的思维基础
② 读图的方法
③ 读图训练
3、教学建议：
本章的教学重点是：组合体投影图的阅读和绘制
（1）学习正投影法的基本原理
（2）培养阅读和绘制建筑施工图、结构施工图、桥梁工程图、涵洞与通道工程图及建筑工程图等的初步能力
（3）培养空间想象和空间分析的初步能力
（4）使学生对计算机绘图有初步认识
（5）培养认真负责的工作态度和严谨细致的工作作风，并且在教学过程中注意培养学生的自学能力、分析问题和解决问题的能力
（3）1-3节 几何作图
① 圆弧连接：圆弧连接圆的几何原理，连接圆弧圆心和切点的作图
② 正多边形及椭圆的画法
3、教学建议：
本章的教学重点是：国家标准《技术制图》和《工程制图》中关于尺寸注法的内容，常用几何图形的作图原理与方法
要讲清本章涉及到的有关国家标准《技术制图》和《工程制图》中的内容，围绕作业重点提出几何作图部分的具体要求
2、教学内容：
（1）2-1节 投影法概述
① 投影的概念；
② 投影的分类；
③ 工程上常用的投影图；
（2）2-2节 点的投影；
① 点的二面投影
② 点的三面投影
二、教学要求及教学要点
（一）、绪论（1学时）
本章阐述了本课程的性质和任务、特点和学习方法及制图的发展过程
要求认识本课程的性质、任务和特点；理解对学习方法的要求；了解制图的发展过程
（二）、第一章 制图基本知识（1学时）
1、教学目的及教学要求：
本章阐述了国家标准《技术制图》和《工程制图》的有关规定、几何作图的原理及方法和平面图形尺寸标注
④ 组合体的尺寸标注
⑤ 标注尺寸举例
（4）6-4节 组合体三面图的阅读
① 读图的思维基础
② 读图的方法
③ 读图训练
3、教学建议：
本章的教学重点是：组合体投影图的阅读和绘制
（1）学习正投影法的基本原理
（2）培养阅读和绘制建筑施工图、结构施工图、桥梁工程图、涵洞与通道工程图及建筑工程图等的初步能力
（3）培养空间想象和空间分析的初步能力
（4）使学生对计算机绘图有初步认识
（5）培养认真负责的工作态度和严谨细致的工作作风，并且在教学过程中注意培养学生的自学能力、分析问题和解决问题的能力
（3）1-3节 几何作图
① 圆弧连接：圆弧连接圆的几何原理，连接圆弧圆心和切点的作图
② 正多边形及椭圆的画法
3、教学建议：
本章的教学重点是：国家标准《技术制图》和《工程制图》中关于尺寸注法的内容，常用几何图形的作图原理与方法
要讲清本章涉及到的有关国家标准《技术制图》和《工程制图》中的内容，围绕作业重点提出几何作图部分的具体要求
2、教学内容：
（1）2-1节 投影法概述
① 投影的概念；
② 投影的分类；
③ 工程上常用的投影图；
（2）2-2节 点的投影；
① 点的二面投影
② 点的三面投影
二、教学要求及教学要点
（一）、绪论（1学时）
本章阐述了本课程的性质和任务、特点和学习方法及制图的发展过程
要求认识本课程的性质、任务和特点；理解对学习方法的要求；了解制图的发展过程
（二）、第一章 制图基本知识（1学时）
1、教学目的及教学要求：
本章阐述了国家标准《技术制图》和《工程制图》的有关规定、几何作图的原理及方法和平面图形尺寸标注
投影法和投影
作图步骤：
1)在a′左方12mm， 上方8mm处确定b′；
2)作b′b⊥OX轴，且在 a前10mm处确定b；
3)按投影关系求得b″可见性
当空间两点位于对投影面的同一条投影线上 时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两 点为对该投影面的重影点．
点A、B在对H面的同一条投射线上，它们在H面 的投影重合，称为对H面的重影点。而点C、D则称 为对V面的重影点。
投影法和投影
1
2021/2/21
第二章 投影法与几 何元素投影
2021/2/21
2
第一节 投影法
投影法的基本知识
物体在光源的照射下会出现影子。
投影的方法就是从这一自然现象 抽象出来，并随着科学技术的发展 而发展起来的。
2021/2/21
3
常用的投影法有两大类： 中心投影法和平行投影法。
投影法
中心投影法
13
B1
●
仅有点的一个投影不能 确定点的空间位置。
需要增加投影面
2021/2/21
14
（一）点在三投影面体系中的投影
三投影面体系的建立：
用三个相互垂 直的投影面构成 投影面体系:
2021/2/21
15
水平投影面（H面）
正面投影面（V面）
V
侧面投影面（W面）
X
两投影面相交， 其交线称为投影轴
V ∩ H = OX轴 H ∩ W = OY轴
1)V投影为斜直 线，有积聚性， 且反映、大小； 2)H、W投影不 是实形，但有相 仿性
1)W投影为斜直 线，有积聚性， 且反映、 大小； 2)H、V投影不 是实形，但有相 仿性
43
如下图，用迹线表示了投影面平行面和 投影面垂直面。
1)在a′左方12mm， 上方8mm处确定b′；
2)作b′b⊥OX轴，且在 a前10mm处确定b；
3)按投影关系求得b″可见性
当空间两点位于对投影面的同一条投影线上 时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两 点为对该投影面的重影点．
点A、B在对H面的同一条投射线上，它们在H面 的投影重合，称为对H面的重影点。而点C、D则称 为对V面的重影点。
投影法和投影
1
2021/2/21
第二章 投影法与几 何元素投影
2021/2/21
2
第一节 投影法
投影法的基本知识
物体在光源的照射下会出现影子。
投影的方法就是从这一自然现象 抽象出来，并随着科学技术的发展 而发展起来的。
2021/2/21
3
常用的投影法有两大类： 中心投影法和平行投影法。
投影法
中心投影法
13
B1
●
仅有点的一个投影不能 确定点的空间位置。
需要增加投影面
2021/2/21
14
（一）点在三投影面体系中的投影
三投影面体系的建立：
用三个相互垂 直的投影面构成 投影面体系:
2021/2/21
15
水平投影面（H面）
正面投影面（V面）
V
侧面投影面（W面）
X
两投影面相交， 其交线称为投影轴
V ∩ H = OX轴 H ∩ W = OY轴
1)V投影为斜直 线，有积聚性， 且反映、大小； 2)H、W投影不 是实形，但有相 仿性
1)W投影为斜直 线，有积聚性， 且反映、 大小； 2)H、V投影不 是实形，但有相 仿性
43
如下图，用迹线表示了投影面平行面和 投影面垂直面。
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2014-12-14
24
例题 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线， 过点A作属于该平面 的水平线。
b
m
a n c b
n
m
2014-12-14
c
25
a
b c
d
a
a
有无数解。
2014-12-14 19
有多少解？
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距 离为10mm。
a m 10 b b n c c 有多少解？
唯一解！
m
a
n
2014-12-14
20
⒉
平面上取点
2014-12-14
21
首先面上取线
面上取点的方法：
先找出过此点而又在平面内的一条直线作 为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
为什么？ 类似性 是什么位置 的平面？ a
b c c
β
b
类似性
a
积聚性
a
γ
c
b
铅垂面
投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。 该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另 外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。
2014-12-14 9
2） 投影面平行面
正平面
水平面
2014-12-14
2014-12-14 13
积聚性
a
b
c a c
b
积聚性
a
实形性
b
c
水平面
投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
2014-12-14 14
3） 一般位置平面
2014-12-14
15
一般位置平面
b
a
b B b a
内容回顾：
1、直线的投影特性 两直一斜平行线； 两线一点垂直线 2、直线上的点 3、两直线的相对位置关系
2.4 平面的投影
• 一、平面的表示法
• 二、平面的投影特性 • 三、平面上的直线和点
2014-12-14 1
2.4 平面的投影
一、平面的表示法: 用几何元素表示平面
c ●
● a
c ●
● a
投影面垂直面 特殊位置平面
正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面 一般位置平面
与三个投影面都倾斜
2014-12-14
4
1） 投影面垂直面
正垂面
铅垂面
2014-12-14
侧垂面
5
铅垂面
V P B A a C PH c W a b
c
a b a
c
b
c
b
H
投影特性：1、 abc积聚为一条线 2 、 abc、 abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
2014-12-14 6
正垂面
V QV a c Q C A
b
b c
b
a α
c
B
W c
a
a
H
投影特性：1、 abc 积聚为一条线 2 、 abc、abc为 ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
c ●
●
c
●
c
a●
b ●b
●
a● d ●
b ● b
● ●
a● b ● b
●
b ●b
●
b ●b
●
a
● ●
a●
c
●
a●
c
●
● a d
●
a●
●
c
c
c
不在同一 直线上的 三个点
2014-12-14
直线及 线外一 点
两平行直 线
两相交 直线
平面 图形
2
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
① k● a a b
b
c
②
b d k ●
c
a’ b
●
c 利用平面的积聚性求解
2014-12-14
k
a
●
k
d
c 通过在面内作辅助线求解
22
例题2 已知 ABC给定一平面，试判断点D是否属于该 平面。 b e d
c
a
c
a
e
2014-12-14
d b
23
3、平面上的投影面平行线 一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存 在投影面垂直线。
2014-12-14
定 理 二 若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
17
2014-12-14
18
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。 根据定理一 解法一
m a m b n c b n c a b d c
根据定理二 解法二
b a
c
A b a a
c
C
c
c
b c a
投影特性 1 、 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 2 、 不反映、、 的真实角度
2014-12-14 16
三、平面上的直线和点 ⒈ 平面上取任意直线
判断直线在平面 内的方法 定 理 一 若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。
c
A C
c a
H
b
c
b
a
投影特性： 1、abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 2 、正平面投影abc反映 ABC实形
2014-12-14 12
侧平面
V c B b a b W A a b C a c b a c a b a c b
Hc
c 投影特性： 1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形
平行
垂直
倾斜
投 影 特 性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现 ★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线 ★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
2014-12-14
实形性
积聚性
类似性
3
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
侧平面
10
水平面
V a b c a b a W b c b a c
A
B
C b a
c
b
a
H
c
c 投影特性： 1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性 2 、 水平投影abc反映 ABC实形
2014-12-1 c c a b a c
2014-12-14 7
b
侧垂面
V S SW b W c a
b c a
b β c α a
B
b c a
C A
H
投影特性：1、 abc积聚为一条线 2 、 abc、 abc为 ABC的类似形 3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
2014-12-14 8