计算机控制技术第四章1

如果m>n，则


e(kT)
为未来时刻的状态，则就要求D(z) 具有超前性质，这是不可能的。
(k-1)T kT (k+1)T
t=kT
结论：
如果要求数字控制器具有超前特性，即在环节施 加输入信号之前就应当有输出，这样的超前环节是不 可能实现的。所以D(z)具有物理实现性的三个等价条 件为
1. D(z)的分母关于z-1的多项式最低次幂，不大于分 子关于z-1的多项式的最低次幂；
2 W(z)确定原则
D(z)的物理可实现性。
系统的稳定性 系统的准确性 系统的快速性
（1）根据D(z)的物理可实现性确定H(z)
设包含零阶保持器在内的广义被控对象的脉冲传递 函数G(z)为 p p 1
G( z ) d 0 z d1 z d p1 z d p z q c1 z q1 cq1 z cq
由系统的稳定性对闭环系统的要求：
1.We(z)的零点表达式中，包含 G(z)在 Z平面单位圆外或单 位圆上的所有极点。 2.W(z) 的零点表达式中，包含 G(z) 在 Z 平面单位圆外或单 位圆上的所有零点。
（3）由系统的准确性定W(z)
准确性：系统的稳态误差ess=0。
We ( z ) E( z) 1 W ( z) R( z )
若对象G(z)=z-d F(z)，则H(z)=z-d F’(z)
系统的稳定性对闭环系统的要求：
We(z) 的零点表达式中，包含 G(z) 在 z 平面单位圆外或单
位圆上的所有极点。
W(z)的零点表达式中，包含G(z)在z平面单位圆外或单位 圆上的所有零点。
系统的准确性定对H(z)的要求：
p We ( z) ( z 1) p F ( z) (1 z 1） F ( z 1 )
求其反变换可得控制算法为
u(k ) a1u(k 1) an 1u(k n 1) anu(k n) b0e(k n m) b1e(k n m 1) bm1e(k n 1) bme(k n)
e(k n m) e k n m
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm n z a1 z n1 an1 z an
U ( z ) b0 z ( nm) b1 z ( nm1) bm1 z ( n1) bm z n 由D( z ) E( z) 1 a1 z 1 an1 z ( n1) an z n
第4章 计算机控制系统 的离散化设计
上面讨论的几种方法主要立足于连续系统调节器的设计，
并在计算机上模拟实现。
在被控对象的特性不太清楚的情况下，可以充分利用技 术成熟的连续系统调节规律，并把它移植到计算机上加以实现， 以达到满意的效果。
这种模拟化设计方法通常要求较小的采样周期，也只能 实现比较简单的控制算法。
数字控制器D(z)的脉冲传递函数为
U ( z ) b0 z m b1 z m1 bm1 z bm D( z ) n E( z) z a1 z n 1 an 1 z an b0 z ( n m ) b1 z ( n m1) bm 1 z ( n 1) bm z n 1 a1 z 1 an 1 z ( n 1) an z n
1 2 T 2 z ( z 1) T 2 (1 z 1 ) r (t ) t , R( z ) 3 2 2( z 1) 2(1 z 1 )3A( z ) 来自( z ) ( z 1) m
m=1,2,3
根据z变换的终值定理，可求得系统的稳态误差为
ess lim （z 1) E ( z ) lim ( z 1)
则要求 N 为尽可能小的正整数。
系统的快速性对闭环系统的要求
A( z ) A( z ) 由于 E ( z ) We ( z ) R( z ) We ( z ) We ( z ) m 1 m ( z 1) (1 z )
在特定的输入作用下，为了使是尽可能少的有限项，必 须合理地选择We(z) 。
最少拍设计，是指系统在典型输入信号(如阶跃 信号，速度信号，加速度信号等)作用下，经过最少拍 （有限拍）使系统输出的稳态误差为零。 图4.1所示是最少拍控制系统结构图。
G ( z)
r(t)
R(z)
e(t)
e*(t)
T
E(z)
D ( z)
u*(t) T U ( z)
y(t) ZOH
G0(s)
Y ( z)
p 若选择 We ( z) ( z 1) p F ( z) (1 z 1） F ( z 1 )
p尽可能小
1
F ( z) 是 z 1 的有限多项式，不含有 (1 z ) 因子，则可
使 E ( z )是有限多项式。这也被称为有限多项式控制模型。
总
结
D(z)的物理可实现性对H(z)的要求：
z 1 z 1
H e ( z ) A( z ) ( z 1)
m
0
即
p We ( z) ( z 1) p F ( z) (1 z 1） F ( z 1 )
pm，F(z)或F’(z-1)是待定的关于z或z-1的多项式。
（4）由系统的快速性定W(z)
系统的快速性是指系统在输入信号的作用下，误差达到 恒定或趋于零所需要的时间应尽量地短。
在闭环系统的脉冲传递函数中， D(z) 和G(z)总是成对 出现的， G(z)在单位园外的极点，会导致系统不稳定。 G(z)在单位园外的极点，不允许用D(z)的零点来抵消。 原因：如果简单地利用D(z)的零点去抵消G(z)中的不稳 定极点，虽然从理论上来说可以得到一个稳定的闭环 系统，但这种稳定是建立在零极点完全抵消的基础上 的。当系统参数产生漂移，或者辨识的参数有误差时， 这种零极点对消不可能准确实现，从而引起闭环系统 不稳定。 办法： G(z)在单位园外的极点，采用We(z)的零点来抵 消。
D(z)的极点
如果被控对象G(z)存在单位圆外的零点，则成为D(z) 在单位圆外的极点，它必将导致控制序列是发散的，或 者说是不稳定的，在不稳定控制量的作用下，被控制量 不可能是稳定的。
D( z )G ( z ) W ( z) D( z )G ( z )We ( z ) 1 D( z )G ( z )
数字控制器的离散化设计方法，假定被控对象本 身是离散化模型或者是用离散化模型表示的连续对象， 直接以采样系统理论为基础，以Z变换为工具，在Z域 中直接设计出数字控制器D(z)。
直接离散化设计比模拟化设计具有更一般的意义， 它完全是根据采样系统的特点进行分析和综合，并导 出相应的控制规律的。 由于所设计出的 D(z) 是依照稳定性、准确性和快 速性的指标逐步设计出来的，所以设计结果比模拟化 设计方法来得精确，故又称为精确设计法。 此时采样周期 T 的选择主要决定于对象特性而不 受分析方法的限制，所以，比起模拟化设计方法，采 样周期T可以选得大一些。
We ( z ) E ( z ) R( z ) Y ( z ) 1 1 W ( z) R( z ) R( z ) 1 D( z )G( z )
数字控制器的脉冲传递函数为
D( z ) 1 W ( z) W ( z) G( z ) 1 W ( z ) G( z )We ( z )
2.D(z)的分子关于z的多项式的最高次幂，不大于分 母关于z的多项式的最高次幂； 3.D(z)的幂级数展开式中，不出现z的正幂次项。 总的说来就是要求m<n 。
D(z)的物理可实现性对H(z)的要求：
因为
1 W ( z) D( z ) G( z ) We ( z )
若对象G(z)的分子中含有z-d，必须使闭环传递函数W(z) 的分子中也包含有因子z-d ，以避免 D(z) 中出现超前环 节。 即若对象G(z)的分母比分子高d阶，则闭环传递函数W(z) 也必须至少有分母比分子高d阶。 或：若对象G(z)有d拍延时，则W(z)也必须至少有d拍延 时。
E ( z ) e(kT ) z k
k 0
e(0) e(T ) z 1 e(2T ) z 2 e(3T ) z 3 e(kT ) z k
根据Z变换的定义可知，稳定性要求系统在输入信号 的作用下，当k N 时，e(kT)为恒定值或等于零，快速性
前言 --离散化设计法原则
典型采样控制系统结构图。
直接设计控制系统框图
1 e Ts G( z) Z G0 ( s ) s D( z )G ( z ) W ( z ) 系统的闭环脉冲传递函数为 1 D( z )G ( z )
广义对象的脉冲传递函数为
偏差的脉冲传递函数为
pm
p尽可能小
系统的快速性对闭环系统的要求
p We ( z) ( z 1) p F ( z) (1 z 1） F ( z 1 )
4.1 最少拍计算机控制系统的设计
时间最优控制系统：在典型输入信号的作用下，
经过最少个采样周期，使系统输出在采样瞬时的稳
态误差为零，故又称为最少拍系统。
1 解析设计法步骤
根据控制系统的性能指标要求及其他约束条件，确 定出所需要的闭环脉冲传递函数H(z)。
根据式
1 W ( z) W ( z) D( z ) G( z ) 1 W ( z ) G( z )We ( z )
,确定
计算机控制器的脉冲传递函数D(z) 。 根据D(z)编制控制算法程序。
图4.1 最少拍系统结构图
一 最少拍系统设计的基本原则
最少拍控制系统是在最少的几个采样周期内达 到在采样时刻输入输出无误差的系统。 显然，这种系统对闭环Z传递函数W(z)的性能要 求是快速性和准确性。
对系统提出性能指标要求是，在单位阶跃函数 或等速函数、等加速度函数等典型输入信号作用下， 系统在采样点上无稳态误差，并且调整时间为最少 拍。
E( z) We ( z) R( z) [1 W ( z)]R( z)
常用的典型输入信号：
z 1 z 1 1 z 1 Tz Tz 1 r (t ) t , R( z ) 2 ( z 1) (1 z 1 ) 2 r (t ) 1(t ), R( z )
利用直接数字设计法设计最少拍控制系统，要考 虑以下几点。 (1) 对于特定的参考输入信号，到达稳态后，系统 在采样时刻精确实现对输入的跟踪。 (2)系统以最快速度达到稳态。 (3)D(z)应是物理可实现的。 (4)闭环系统应是稳定的。
展开得：U ( z ) a1 z 1U ( z ) an1 z ( n1)U ( z ) an z nU ( z ) b0 z ( nm) E ( z ) b1 z ( nm1) E ( z ) bm1 z ( n1) E ( z ) bm z n E ( z )
（2）由系统的稳定性确定W(z)
系统稳定性的条件：特征方程的根应在单位园内。 设 则
D( z )
G( z)
B( z ) A( z )
G(z)的零点
1 W ( z) 1 W ( z) A( z ) W ( z ) G ( z ) 1 W ( z ) B( z ) 1 W ( z ) B ( z ) 1 W ( z ) A( z )
离散化设计法则首先将系统中被控对象加上保 持器一起构成的广义对象离散化，得到相应的以Z传 递函数，差分方程或离散系统状态方程表示的离散 系统模型。然后利用离散控制系统理论，直接设计 数字控制器。 由于离散化设计法直接在离散系统的范畴内进 行，避免了由模拟控制系统向数字控制器转化的过 程，也绕过了采样周期对系统动态性能产生严重影 响的问题，是目前采用较为广泛的计算机控制系统 设计方法。