(精品中考卷)浙江省温州市中考数学真题及答案

2022年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算9(3)+-的结果是( ) A ．6
B ．6-
C ．3
D ．3-
2．（4分）某物体如图所示，它的主视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（4分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，
则劳动实践小组有( ) A ．75人
B ．90人
C ．108人
D ．150人
4．（4分）化简3()()a b -⋅-的结果是( ) A ．3ab -
B ．3ab
C ．3a b -
D ．3a b
5．（4分）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为( ) A ．19
B ．
29
C ．
49 D ．59
6．（4分）若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是( ) A ．36
B ．36-
C ．9
D ．9-
7．（4分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s 米，所经过的
时间为t 分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s 与t 之间关系的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（4分）如图，AB ，AC 是O 的两条弦，OD AB ⊥于点D ，OE AC ⊥于点E ，连结OB ，OC ．若130DOE ∠=︒，则BOC ∠的度数为( )
A ．95︒
B ．100︒
C ．105︒
D ．130︒
9．（4分）已知点(,2)A a ，(,2)B b ，(,7)C c 都在抛物线2(1)2y x =--上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是( ) A ．若0c <，则a c b << B ．若0c <，则a b c << C ．若0c >，则a c b <<
D ．若0c >，则a b c <<
10．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以其三边为边向外作正方形，连结CF ，作GM CF ⊥于点M ，BJ GM ⊥于点J ，AK BJ ⊥于点K ，交CF 于点L ．若正方形ABGF
与正方形JKLM 的面积之比为5，CE =，则CH 的长为( )
A B C．D10
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：22
m n
-= ．
12．（5分）某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树 株．
13．（5分）计算：
22
x xy xy x
xy xy
+-
+= ．
14．（5分）若扇形的圆心角为120︒，半径为3
2
，则它的弧长为 ．
15．（5分）如图，在菱形ABCD中，1
AB=，60
BAD
∠=︒．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若3
AE BE
=，则MN的长为 ．
16．（5分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD，测得8.5
MC m
=，13
CD m
=，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2:3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1221(3)3||9
-+-+--．
（2）解不等式9273x x -+…，并把解集表示在数轴上．
18．（8分）如图，在26⨯的方格纸中，已知格点P ，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个锐角三角形，使P 为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
（2）在图2中画一个以P 为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P 旋转180︒后的图形．
19．（8分）为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了20名学生在校午餐所花的时间，由图示分组信息得：A ，C ，B ，B ，C ，C ，C ，A ，B ，C ，C ，C ，D ，B ，C ，C ，C ，E ，C ，C ．
分组信息
A 组：510x <…
B 组：1015x <…
C 组：1520x <…
D 组：2025x <…
E 组：2530x <…
注：x （分钟）为午餐时间！
某校被抽查的20名学生在校午餐所花时间的频数表
组别 划记 频数 A 2 B 4 C
D E
合计
20
（1）请填写频数表，并估计这400名学生午餐所花时间在C 组的人数．
（2）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由．
20．（8分）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，//DE BC ，交AB 于点E ． （1）求证：EBD EDB ∠=∠．
（2）当AB AC =时，请判断CD 与ED 的大小关系，并说明理由．
21．（10分）已知反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象的一支如图所示，它经过点(3,2)-． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． （2）求当5y …，且0y ≠时自变量x 的取值范围．
22．（10分）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，E ，F 分别是AC ，AB 的中点，O 是
DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ． （1）求证：四边形DEFG 是平行四边形． （2）当5AD =，5
tan 2
EDC ∠=
时，求FG 的长．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材
1 图1中有一座拱桥，
图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m ，
拱顶离水面5m ．据调查，该
河段水位在此基础上再涨1.8m 达
到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥
拱上悬挂40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱
形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最
小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求
出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
24．（14分）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5BC =，3BE =，点P ，Q 分别在
线段AB ，BE 上（不与端点重合），且满足5
4
AP BQ =．设BQ x =，CP y =． （1）求半圆O 的半径． （2）求y 关于x 的函数表达式．
（3）如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结PQ ，RQ ． ①当PQR ∆为直角三角形时，求x 的值．
②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求
CF BF '
'
的值．
2022年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
+-的结果是( )
1．（4分）计算9(3)
A．6B．6-C．3D．3-
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
+-
【解答】解：9(3)
=+-
(93)
=．
6
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．
2．（4分）某物体如图所示，它的主视图是( )
A．B．C．D．
【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．
【解答】解：某物体如图所示，它的主视图是：
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．3．（4分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，
则劳动实践小组有( ) A ．75人
B ．90人
C ．108人
D ．150人
【分析】根据信息技术的人数和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然后根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数． 【解答】解：本次参加课外兴趣小组的人数为：6020%300÷=， 劳动实践小组有：30030%90⨯=（人)， 故选：B ．
【点评】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，求出本次参加兴趣小组的总人数．
4．（4分）化简3()()a b -⋅-的结果是( ) A ．3ab -
B ．3ab
C ．3a b -
D ．3a b
【分析】先化简乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算即可． 【解答】解：原式3()a b =-⋅- 3a b =．
故选：D ．
【点评】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
5．（4分）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为( ) A ．19
B ．
29
C ．
49 D ．59
【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数9即为所求的概率． 【解答】解：因为1到9共9个自然数．是偶数的有4个， 所以正面的数是偶数的概率为
49
．
故选：C ．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
6．（4分）若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是( ) A ．36
B ．36-
C ．9
D ．9-
【分析】方程260x x c ++=有两个相等的实数根，可知△2640c =-=，然后即可计算出c 的值．
【解答】解： 方程260x x c ++=有两个相等的实数根， ∴△2640c =-=，
解得9c =， 故选：C ．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时△0=．
7．（4分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s 米，所经过的时间为t 分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s 与t 之间关系的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据函数图象可知，小聪从家出发，则图象从原点开始，在10~20分钟休息可解答．
【解答】解：由题意可知：小聪某次从家出发，s 米表示他离家的路程，所以C ，D 错误； 小聪在凉亭休息10分钟，所以A 正确，B 错误． 故选：A ．
【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
8．（4分）如图，AB ，AC 是O 的两条弦，OD AB ⊥于点D ，OE AC ⊥于点E ，连结
OB ，OC ．若130DOE ∠=︒，则BOC ∠的度数为( )
A ．95︒
B ．100︒
C ．105︒
D ．130︒
【分析】根据四边形的内角和等于360︒计算可得50BAC ∠=︒，再根据圆周角定理得到2BOC BAC ∠=∠，进而可以得到答案．
【解答】解：OD AB ⊥ ，OE AC ⊥， 90ADO ∴∠=︒，90AEO ∠=︒， 130DOE ∠=︒ ，
360909013050BAC ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒， 2100BOC BAC ∴∠=∠=︒，
故选：B ．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．（4分）已知点(,2)A a ，(,2)B b ，(,7)C c 都在抛物线2(1)2y x =--上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是( ) A ．若0c <，则a c b << B ．若0c <，则a b c << C ．若0c >，则a c b <<
D ．若0c >，则a b c <<
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当0c <时，a 、b 、c 的大小关系或当0c >时，a 、b 、c 的大小关系． 【解答】解： 抛物线2(1)2y x =--，
∴该抛物线的对称轴为直线1x =，抛物线开口向上，当1x >时，y 随x 的增大而增大，当
1x <时，y 随x 的增大而减小，
点(,2)A a ，(,2)B b ，(,7)C c 都在抛物线2(1)2y x =--上，点A 在点B 左侧， ∴若0c <，则c a b <<，故选项A 、B 均不符合题意；
若0c >，则a b c <<，故选项C 不符合题意，选项D 符合题意； 故选：D ．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以其三边为边向外作正方形，连结CF ，作GM CF ⊥于点M ，BJ GM ⊥于点J ，AK BJ ⊥于点K ，交CF 于点L ．若正方形ABGF
与正方形JKLM 的面积之比为5，CE =，则CH 的长为( )
A
B C ．D 【分析】设CF 交AB 于P ，过C 作CN AB ⊥于N ，设正方形JKLM 边长为m ，根据正方
形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，得AF AB ==，证明()AFL FGM AAS ∆≅∆，
可得AL FM =，设AL FM x ==，在Rt AFL ∆中，222())x x m ++=，可解得x m =，有
AL FM m ==，2FL m =，从而可得AP =
，5
2
FP m =，BP =P 为AB 中
点，CP AP BP ===，由CPN FPA ∆∆∽，得CN m =，1
2
PN m =，即得
AN =，而tan BC CN BAC AC AN ∠===，又AEC BCH ∆∆∽，得BC CH
AC CE =
，即
=
CH =．【解答】解：设CF 交AB 于P ，过C 作CN AB ⊥于N ，如图：
设正方形JKLM 边长为m ， ∴正方形JKLM 面积为2m ，
正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5， ∴正方形ABGF 的面积为25m ，
AF AB ∴==，
由已知可得：90AFL MFG MGF ∠=︒-∠=∠，90ALF FMG ∠=︒=∠，AF GF =， ()AFL FGM AAS ∴∆≅∆，
AL FM ∴=，
设AL FM x ==，则FL FM ML x m =+=+， 在Rt AFL ∆中，222AL FL AF +=，
222())x x m ∴++=， 解得x m =或2x m =-（舍去）， AL FM m ∴==，2FL m =，
1
tan 22
AP AL m AFL AF FL m ∠==== ，
∴
12=
，
AP ∴=
5
2
FP m ∴===
，BP AB AP =-==， AP BP ∴=，即P 为AB 中点， 90ACB ∠=︒ ，
CP AP BP ∴===
CPN APF ∠=∠ ，90CNP FAP ∠=︒=∠， CPN FPA ∴∆∆∽，
∴CP CN PN
FP AF AP ==
== CN m ∴=，1
2
PN m =
，
AN AP PN ∴=+=，
tan BC CN
BAC AC AN
∴∠=
===
AEC ∆ 和BCH ∆是等腰直角三角形， AEC BCH ∴∆∆∽，
∴
BC CH
AC CE
=
，
CE =+
∴
=
，
CH ∴=
故选：C ．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m 的代数式表示相关线段的长度． 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）分解因式：22m n -=　()()m n m n +-　． 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：22()()m n m n m n -=+-， 故答案为：()()m n m n +-．
【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式22()()a b a b a b -=+-是解题关键．
12．（5分）某校5个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树 5　株．
【分析】根据加权平均数公式即可解决问题．
【解答】解：观察图形可知：1
(43747)55x =++++=，
∴平均每组植树5株．
故答案为：5．
【点评】本题考查了加权平均数，解决本题的关键是掌握加权平均数公式．
13．（5分）计算：22
x xy xy x xy xy
+-+=　2　．
【分析】将分式化简后再进行加法运算即可． 【解答】解：原式()()
x x y x y x xy xy
+-=+
， x y y x y y +-=+
， 2y y
=
， 2=． 故答案为：2．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键． 14．（5分）若扇形的圆心角为120︒，半径为
3
2
，则它的弧长为 π　． 【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长． 【解答】解： 扇形的圆心角为120︒，半径为
32
， ∴它的弧长为：
3
1202180
ππ⨯
=，
故答案为：π．
【点评】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式180
n r
l π=
． 15．（5分）如图，在菱形ABCD 中，1AB =，60BAD ∠=︒．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH 和菱形CGMF ，使点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点
M ，N 在对角线AC 上．若3AE BE =，则MN 的长为
【分析】根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得AC 、AM 和MN 的长，然后即可计算出MN 的长．
【解答】解：连接DB 交AC 于点O ，作MI AB ⊥于点I ，作
FJ AB ⊥交AB 的延长线于点
J ，如图所示，
四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，1AB =， 1AB BC CD DA ∴====，30BAC ∠=︒，AC BD ⊥，
ABD ∆ 是等边三角形， 12
OD ∴=
，
AO ∴===
，
2AC AO ∴== 3AE BE = ，
34AE ∴=
，1
4
BE =， 菱形AENH 和菱形CGMF 大小相同， 1
4
BE BF ∴==
，60FBJ ∠=︒，
1sin 604FJ BF ∴=⋅︒==
，
MI FJ ∴==
，
sin 30MI AM ∴===︒，
同理可得，CN =
MN AC AM CN ∴=--=
，
．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，
解答本题的关键是作出合适的辅
助线，求出AC、AM和MN的长．
16．（5分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转
中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M
右侧成线段CD，测得8.5
MC m
=，13
CD m
=，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2:3，
则点O，M之间的距离等于　10　米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
【分析】作辅助线，构建直角CND
∆，证明HMC EFG
∆∆
∽，根据垂直于地面的木棒EF与
影子FG的比为2:3，列比例式可得HM的长，由三角函数的定义可得CN的长，从而得
OA OB
==
【解答】解：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN BD
⊥于N，
//
HC EG
，
HCM EGF
∴∠=∠，
90
CMH EFG
∠=∠=︒
，
HMC EFG
∴∆∆
∽，
∴
2
3
HM EF
CM FG
==，即
2
8.53
HM
=，17
3
HM
∴=，
//
BD EG
，
BDC EGF
∴∠=∠，
tan tan
BDC EGF
∴∠=∠，
∴
2
3
CN EF DN FG ==，
设2CN x =，3DN x =，则CD =，
∴13=，
x ∴=，
AB CN ∴==，
1
2
OA OB AB ∴==
= 在Rt AHO ∆中，AHO CHM ∠=∠ ，
sin AO AHO OH ∴∠=
=
∴
= 13
3
OH ∴=
， 13171033
OM OH HM ∴=+=
+=， 以点O 为圆心，OA 的长为半径作圆，当OB 与OM 共线时，叶片外端离地面的高度最大，
其最大高度等于(10米．
故答案为：10，(10．
【点评】根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1221
(3)3||9
-+-+--．
（2）解不等式9273x x -+…，并把解集表示在数轴上．
【分析】（1）根据算术平方根、有理数的乘方、负整数指数幂和绝对值可以解答本题； （2）先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可．
【解答】解：（1221(3)3||9-+-+--
113999
=++
- 12=；
（2）9273x x -+…，
移项，得：9732x x -+…， 合并同类项，得：25x …， 系数化为1，得： 2.5x …， 其解集在数轴上表示如下：
．
【点评】本题考查实数的运算、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确实数运算的运算法则和解一元一次不等式的方法．
18．（8分）如图，在26⨯的方格纸中，已知格点P ，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个锐角三角形，使P 为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
（2）在图2中画一个以P 为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P 旋转180︒后的图形．
【分析】（1）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可；
（2）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可．
【解答】解：（1）如图1中ABC ∆即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中ABC ∆即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图—旋转变换、作图—平移变换，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，注意不要忘记画出平移后或旋转后的图形．
19．（8分）为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了20名学生在校午餐所花的时间，由图示分组信息得：A ，C ，B ，B ，C ，C ，C ，A ，B ，C ，C ，C ，D ，B ，C ，C ，C ，E ，C ，C ．
分组信息
A 组：510x <…
B 组：1015x <…
C 组：1520x <…
D 组：2025x <…
E 组：2530x <…
注：x （分钟）为午餐时间！
某校被抽查的20名学生在校午餐所花时间的频数表
组别
划记 频数 A 2 B 4 C
　12 D E
合计
20
（1）请填写频数表，并估计这400名学生午餐所花时间在C 组的人数．
（2）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由．
【分析】（1）根据数据收集20名学生用餐时间，可得C ，D 、E 组的频数，即可完成统计表，根据样本估计总体的方法进行计算即可得答案； （2）分析每组数据的频数即可得出答案． 【解答】解：（1）频数表填写如图，
12
400240
⨯=（名)．
20
答：这400名学生午餐所花时间在C组的有240名．
（2）①选择25分钟，有19人能按时完成用餐，占比95%，可以鼓励最后一位同学适当加快用餐速度，有利于食堂提高运行效率，
②选择20分钟，有18人能按时完成用餐，占比90%，可以鼓励最后两位同学适当加快用餐速度或采用合理照顾如优先用餐等方式，以满足学生午餐用时需求，又提高食堂的运行效率．
③选择30分钟，能说明所有学生都能完成用餐，但未考虑食堂的运行效率．
【点评】本题主要考查了频数（率)分布表，调查数据收集的过程与方法，用样本估计总体，熟练掌握频数（率)分布表，调查数据收集的过程与方法，用样本估计总体的计算方法进行求解是解决本题的关键．
20．（8分）如图，BD是ABC
DE BC，交AB于点E．
∆的角平分线，//
∠=∠．
（1）求证：EBD EDB
（2）当AB AC
=时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
=，从而有CD BE
（2）利用平行线的性质可得ADE AED
∠=∠，则AD AE
=，由（1）得，
EBD EDB
=，等量代换即可．
∠=∠，可知BE DE
是ABC
【解答】（1）证明：BD
∆的角平分线，
CBD EBD
∴∠=∠，
，
//
DE BC
∴∠=∠，
CBD EDB
∴∠=∠．
EBD EDB
（2）解：CD ED
=，理由如下：
，
=
AB AC
∴∠=∠，
C ABC
，
//
DE BC
∠=∠，
ADE C
∴∠=∠，AED ABC
∴∠=∠，
ADE AED
∴=，
AD AE
∴=，
CD BE
由（1）得，EBD EDB
∠=∠，
∴=，
BE DE
∴=．
CD ED
【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
21．（10分）已知反比例函数0)
y=≠的图象的一支如图所示，它经过点(3,2)
-．
（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
y≠时自变量x的取值范围．
y…，且0
（2）求当5
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用描点法补充函数图像；
（2）利用数形结合思想确定关键点，从而求得相应的自变量的取值范围．
【解答】解：（1）把点(3,2)-代入(0)k y k x
=
≠， 23k -=， 解得：6k =-，
∴反比例函数的表达式为6y x
=-， 补充其函数图像如下：
（2）当5y =时，65x -
=， 解得：65
x =-， ∴当5y …，且0y ≠时，65
x -…或0x >． 【点评】本题考查反比例函数，掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键．
22．（10分）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，E ，F 分别是AC ，AB 的中点，O 是DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ．
（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形．
（2）当5AD =，5tan 2
EDC ∠=时，求FG 的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理得//EF BC ，则EFO GDO ∠=∠，再证()OEF OGD ASA ∆≅∆，得EF GD =，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得12
DE AC CE ==，则C EDC ∠=∠，再由锐角三角函数定义得2CD =
，然后由勾股定理得AC =
，则12DE AC =
=，进而由平行四边形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：E ，F 分别是AC ，AB 的中点， EF ∴是ABC ∆的中位线，
//EF BC ∴，
EFO GDO ∴∠=∠，
O 是DF 的中点，
OF OD ∴=，
在OEF ∆和OGD ∆中，
EFO GDO OF OD
EOF GOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()OEF OGD ASA ∴∆≅∆，
EF GD ∴=，
∴四边形DEFG 是平行四边形．
（2）解：AD BC ⊥ ，
90ADC ∴∠=︒，
E 是AC 的中点，
12
DE AC CE ∴==， C EDC ∴∠=∠，
5tan tan 2
AD C EDC CD ∴==∠=，
即552
CD =， 2CD ∴=，
AC ∴===，
12DE AC ∴==， 由（1）可知，四边形DEFG 是平行四边形，
FG DE ∴== 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最
小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求
出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务2：根据该河段水位再涨1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面至少1m ，灯笼长0.4m ，计算悬挂点的纵坐标的最小值是 1.8m -；
任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏．
【解答】解：任务1:
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且过点(10,5)B -，
设抛物线的解析式为：2y ax =，
把点(10,5)B -代入得：1005a =-，
120
a ∴=-， ∴抛物线的函数表达式为：2120y x =-
； 任务2:
该河段水位再涨1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m ，灯笼长0.4m ，
∴当悬挂点的纵坐标5 1.810.4 1.8y -+++=-…，
即悬挂点的纵坐标的最小值是 1.8m -，
当 1.8y =-时，21 1.820
x
-=
-， 6x ∴=±，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：66x -……； 任务3:
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
66
x
-
……，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.646
⨯>，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.636
⨯<，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为： 1.63 4.8
-⨯=-；
方案二：如图3，
若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.81.6(51)6
+⨯->，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8 1.6(41)6
+⨯-<，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：0.8 1.63 5.6
--⨯=--．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
24．（14分）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE CD
⊥，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知5
BC=，3
BE=，点P，Q分别在
线段AB，BE上（不与端点重合），且满足
5
4
AP
BQ
=．设BQ x
=，CP y
=．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR CE
⊥于点R，连结PQ，RQ．①当PQR
∆为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F'，当点F'落在BC上时，求CF
BF
'
'
的值．
【分析】（1）连接OD ，设半径为r ，利用COD CBE ∆∆∽，得OD CO BE CB
=，代入计算即可； （2）根据CP AP AC =+，用含x 的代数式表示AP 的长，再由（1）计算求AC 的长即可；
（3）①显然90PRQ ∠<︒，所以分两种情形，当90RPQ ∠=︒时，则四边形RPQE 是矩形，当90PQR ∠=︒时，过点P 作PH BE ⊥于点H ，则四边形PHER 是矩形，分别根据图形可得答案；
②连接AF ，QF '，由对称可知QF QF '=，45F QR EQR '∠=∠=︒，利用三角函数表示出BF '和BF 的长度，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图1，连接OD ，设半径为r ，
CD 切半圆于点D ，
OD CD ∴⊥，
BE CD ⊥ ，
//OD BE ∴，
COD CBE ∴∆∆∽， ∴
OD CO BE CB =， ∴535
r r -=， 解得158r =
，
∴半圆O 的半径为158
； （2）由（1）得，1555284CA CB AB =-=-⨯
=， 54
AP BQ =，BQ x =， 54AP x ∴=
， CP AP AC ∴=+，
5544
y x ∴=+； （3）①显然90PRQ ∠<︒，所以分两种情形，
当90RPQ ∠=︒时，则四边形RPQE 是矩形，
PR QE ∴=，
333sin 544PR PC C y x =⨯=
=+ ， ∴33344
x x +=-， 97x ∴=
， 当90PQR ∠=︒时，过点P 作PH BE ⊥于点H ，如图，
则四边形PHER 是矩形，
PH RE ∴=，EH PR =，
4cos 15
CR CP C y x =⋅==+ ， 3PH RE x EQ ∴==-=，
45EQR ERQ ∴∠=∠=︒，
45PQH QPH ∴∠=︒=∠，
3HQ HP x ∴==-，
由EH PR =得：33(3)(3)44x x x -+-=
+， 2111
x ∴=， 综上，x 的值为
97或2111； ②如图，连接AF ，QF '，由对称可知QF QF '=，45F QR EQR '∠=∠=︒，
90BQF '∴∠=︒，
4tan 3
QF QF BQ B x '∴==⋅=， AB 是半圆O 的直径，
90AFB ∴∠=︒，
9cos 4BF AB B ∴=⋅=
， ∴4934
x x +=， 2728x ∴=
， ∴319119
CF BC BF BC BF BF BF x ''-==-=-='''． 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键。