用样本的数字特征估计总体的数字特征课件

b 为常数)的平均数为 a x ＋b，方差为 a2s2，标准差为 as.
• 6．用样本估计总体 • 现实中的总体所包含的个体数往往很多，总 体的平均数、众数、中位数、标准差、方差 样本 是不知道的，因此，通常用______的平均数 样本 、众数、中位数、标准差、方差来估计．这 与上一节用______的频率分布来近似地代替 总体分布是类似的．只要样本的代表性好， 这样做就是合理的，也是可以接受的． • [规律总结] 用样本的数字特征估计总体的数 字特征分两类：用样本平均数估计总体平均 数；用样本标准差估计总体标准差，样本容 量越大，估计就越精确．
•当样本数据个数为偶数时，中位数则是中间两 平均数 个数据的 ______，当这两个数据相等时，中位 最多 数是样本数据，否则它不是样本数据，众数则 唯一 是指在样本数据中出现次数 ______的数据，众 数不一定______．
• 2．(2015·江苏卷)已知一组数据4,6,5,8,7,6 ，那么这组数据的平均数为________． • [答案] 6
[解析] (1)甲群市民年龄的平均数为 13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17 ＝15(岁)， 10 中位数为 15 岁，众数为 15 岁． 平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映 甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为 54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57 ＝15(岁)， 10 中位数为 5 岁，众数为 6 岁． 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好 地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
• 3．在某次考试中，10名同学得分如下： 84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数 据的众数和中位数分别为( ) • A．84,68 B．84,78 • C．84,81 D．78,81 • [答案] C
• 4．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打 出的分数如下： • 90 89 90 95 93 94 93 • 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据 的平均数和方差分别为( ) • A．92,2 B．92,2.8 • C．93,2 D．93,2.8 • 较甲、乙两种
玉米的苗的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看 两种玉米的苗高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动 大小的特征数． 1 (1) x 甲＝10(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42) 1 ＝10×300＝30(cm)，
1 x 乙 ＝ 10 (27 ＋ 16 ＋ 44 ＋ 27 ＋ 44 ＋ 16 ＋ 40 ＋ 40 ＋ 16 ＋ 40) 1 ＝10×310＝31(cm)． 所以 x 甲＜ x 乙．
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
统计
第二章
2.2 用样本估计总体 2.2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征
1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课 时 作 业
优效预习
• ●知识衔接
平均 • 1．在初中，我们已经学过平均数描述了数据 的______水平，定量地反映了数据的集中趋 势所处的水平．我们也知道可以用样本的平 均数去估计总体的平均水平，而样本数据的 方差、标准差则反映了数据的离散程度．方 小 大 差或标准差越______，数据越集中，总体越 均衡；方差或标准差越______ ，数据越分散 中间 ，总体越不均衡．而中位数则是指样本数据 中间一个数据 按从小到大(或从大到小)的顺序排列后，处 于______位置的一个量，当样本数据个数为 奇数时，________________就是中位数，
• ●自主预习 • 1．众数 最多 • (1)定义：一组数据中出现次数 ______的数称 为这组数据的众数． 不止 • (2)特征：一组数据中的众数可能______一个 集中趋势 ，也可能没有，反映了该组数据的 ____________． • [破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点 ，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观 地反映总体特征．
• 5．方差 • (1)定义：标准差的平方， 1 2 2 2 [( x 1－ x ) ＋(x2－ x ) ＋…＋(xn－ x ) ] • 即s2＝ n 标准差 ___________________________________ _____． [0，＋∞) • (2)特征：与____________的作用相同，描 [知识拓展] 数据组 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差 述一组数据围绕平均数波动程度的大小． 2 为 s s，则数据组 ax1＋b，ax 2＋b，…，axn＋b(a， • (3)，标准差为 取值范围： ___________ ．
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•●互动探究
•中位数、众数、平均数的应用
• 据报道，某公司的33名职工的月工 资(以元为单位)如下： 职 董事 副董事 董 总经 经 管理 职 务 长 长 事 理 理 员 员 人 1 1 2 1 5 3 20 •数 (1)求该公司的职工月工资的平均数、中位 5 3 3 2 2 1 数、众数； 工 5 000 500 000 500 000 500 资 500
[解析] (1)平均数是 x ＝1 500＋
4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20 33
≈1 500＋591＝2 091(元)． 中位数是 1 500 元，众数是 1 500 元． (2)平均数是 x ′＝1 500＋
28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20 33
• 2．中位数 • (1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一 中间 列，处于______位置的数称为这组数据的中 唯一 位数． 集中趋势 • (2)特征：一组数据中的中位数是______的， 相等 ______________．在频 反映了该组数据的 率分布直方图中，中位数左边和右边的直方 图的面积______． • [破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响 ，这在某些情况下是优点，但它对极端值的 不敏感有时也会成为缺点．
2
1 81＋144)＝10×1042＝104.2(cm2)， 1 s乙＝10[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝
2
1 2 2 2 × 1288 ＝ 128.8(cm ) ．所以 s ＜ s 甲 乙. 10 [答案] (1)乙种玉米的苗长得高，(2)甲种玉米的苗长得
齐．
[解析] 去掉一个最高分 95 与一个最低分 89 后，所得 的 5 个 数 分 别 为 ＝ 90,90,93,94,93 ， 所 以 x ＝ 460 5 ＝ 92 ， s2 ＝
90＋90＋93＋94＋93 5
2×90－922＋2×93－922＋94－922 14 ＝ 5 ＝2.8，故选 B. 5
3．平均数 (1)定义： 一组数据的和与这组数据的个数的商． 数据 x1， x1＋x2＋…＋xn x2，…，xn 的平均数为 x n＝_________________. n (2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数
平均水平 ．任何一个数据的改变都会引起平均数 据的_____________
• (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又 是什么？(精确到1元) • (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工 的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． • [探究] 平均数、中位数、众数的定义分别是 什么？
的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、 中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全
信息 ，但平均数受数据中 _________ 极端值 的影响较大，使 体的______
平均数在估计总体时可靠性降低．
• 4．标准差 • (1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来 1 计算 n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2] • s＝__________________________. 平均数 • 可以用计算器或计算机计算标准差． • (2)特征：标准差描述一组数据围绕______波 大 动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离 小 散程度的大小．标准差较大，数据的离散程 度较______；标准差较小，数据的离散程度 较______．
•标准差、方差的应用 • 从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株 ，分别测它们的株高如下：(单位：cm) • 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 • 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 • 问：(1)哪种玉米的苗长得高？ • (2)哪种玉米的苗长得齐？ • [探究] 1.求方差的第一步求什么？其公式 是什么？
• • • • • • • • • •
●预习自测 1．下列刻画一组数据离散程度的是( ) A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 [答案] B 2．下列判断正确的是( ) A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体 平均数
• 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨 练，两群市民的年龄如下(单位：岁)： • 甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； • 乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57. • (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各 是多少岁？其中哪个统计量能较好反映甲群 市民的年龄特征？ • (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各 是多少岁？其中哪个统计量能较好反映乙群 市民的年龄特征？
[解析] 4＋6＋5－8＋7＋6 x＝ ＝6. 6
• 3．(2012·陕西卷)对某商店一个月内每天的 顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图 所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别 是( ) • A．46、45、56 B．46、45、53 • C．47、45、56 D．45、47、53 • [答案] A • [解析] 本题考查样本数据的中位数、众数及 极差．根据茎叶图可知样本总共有30个数据 ，中位数为46，出现次数最多的是45，最大 数与最小数的差为68－12＝56，故选A.
• 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各 射箭20次，三人的测试成绩如下表：
环数 频数 环数 频数 甲的成绩 7 8 5 5 乙的成绩 7 8 6 4 9 5 9 4 10 5 10 6
≈1 500＋1 788＝3 288(元)． 中位数是 1 500 元，众数是 1 500 元．
• (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该 公司职工的工资水平．因为公司中少数人的 工资额与大多数人的工资额差别较大，这样 导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映 这个公司职工的工资水平．
• [规律总结] 关于众数、中位数、平均数的几 个问题 • (1)一组数据中的众数可能不止一个，如果两 个数据出现的次数相同，并且比其他数据出 现的次数都多，那么这两个数据都是这组数 据的众数． • (2)一组数据中的中位数是唯一的，求中位数 时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到 小)的顺序排列． • (3)由于平均数与每一个样本的数据有关，所 以任何一个样本数据的改变都会引起平均数 的改变，这是众数、中位数都不具备的性质
1 (2)s甲 ＝10 [(25 － 30)2 ＋ (41－ 30)2 ＋ (40－ 30)2 ＋ (37－ 30)2
2
＋ (22 － 30)2 ＋ (14 － 30)2 ＋ (19 － 30)2 ＋ (39 － 30)2 ＋ (21 － 30)2 1 ＋(42－30) ]＝10(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋