运筹学-7、图与网络分析PPT课件

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终止条件
所有节点都在同一连通分量中， 即生成树形成。
算法思想
从边开始，每次选择权值最小的 边加入，若形成回路则舍去，直 到生成树形成。
算法特点
适用于稀疏图，时间复杂度为 O(eloge)，其中e为边数。
最小生成树问题的应用
通信网络设计
在构建通信网络时，需要在保证所有节点连通的前提下，使得建设 成本最低。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
活动时间的估计
对每个活动进行时间估计，包括乐观时间（a）、最 可能时间（m）和悲观时间（b），并计算期望时间 （t=（a+4m+b）/6）。
项目工期的计算
根据活动的逻辑关系和网络结构，计算项目 的期望工期，并确定项目的关键路径。
网络计划技术的应用
项目进度管理
网络计划技术可用于制定详细 的项目进度计划，确保项目按
图与网络的应用背景
图与网络分析的方法
介绍图与网络分析中常用的最短路径 算法、最小生成树算法、最大流算法 等。
阐述图与网络在交通运输、电路设计、 社交网络等领域的应用。
学习目标与要求
学习目标
掌握图与网络分析的基本概念和 常用算法，能够运用所学知识解 决实际问题。
学习要求
熟悉图与网络分析的基本概念和 常用算法，了解相关应用领域， 具备一定的编程能力和数学基础。
算法步骤
初始化距离数组和访问标记数组；从起点开始，选择距离起点最近的未访问节点进行访问 ，并更新其邻居节点的距离；重复上述步骤，直到所有节点都被访问。
算法特点
适用于没有负权边的图，能够求得起点到所有其他节点的最短路径。
Floyd算法
算法原理
基于动态规划思想，通过不断迭代更新距离矩阵，求得所 有节点之间的最短路径。
时完成。
资源优化
通过网络分析，可以合理分配 资源，确保项目在资源约束条 件下实现最优进度。
风险分析
识别项目中的关键活动和潜在 风险，制定相应的风险应对措 施。
决策支持
为项目管理者提供有关项目进 度、资源和风险等方面的决策
支持信息。
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2023-2026
END
用于解决物流网络中货物的运输问题，如仓 库选址、运输路线规划等。
其他领域
如电力系统、通信网络、生产计划等领域中 的资源分配和调度问题。
PART 06
最小生成树问题
Prim算法
算法思想
从某一点开始，每次加入与已有点集合最 近的点，直到所有点都加入。
算法特点
适用于稠密图，时间复杂度为O(n^2)，其 中n为节点数。
算法步骤
初始化距离矩阵；对于每一对节点，如果存在一条经过其 他节点的路径比当前路径更短，则更新距离矩阵；重复上 述步骤，直到距离矩阵不再发生变化。
算法特点
适用于任意图，包括存在负权边的图，能够求得所有节点 之间的最短路径。
最短路径问题的应用
01
02
03
交通网络
在交通网络中，最短路径 问题可以帮助规划最优的 行驶路线，减少行驶时间 和成本。
最小割集
最小割集是指在网络中，将网络划分为两个不相交的子集， 并使得从源节点到汇点节点的所有路径都被切断的最小割边 集合。最小割集问题是求解网络流问题的一种重要方法。
PART 04
最短路径问题
Dijkstra算法
算法原理
基于贪心策略，每次从未被访问的节点中选择距离起点最近的节点进行访问，并更新其邻 居节点的距离。
学习方法
通过课堂讲解、案例分析、编程 实践等多种方式学习图与网络分 析相关知识。
PART 02
图的基本概念与性质
图的定义与表示
图的定义
由顶点集V和边集E组成，记 作G=(V,E)
图的表示方法
邻接矩阵、邻接表、关联矩 阵等
图的同构
两个图G1和G2，如果存在一 个双射函数f:V1→V2，使得对 任意两个顶点u,v∈V1，u和v 在G1中相邻当且仅当f(u)和f(v) 在G2中相邻，则称G1和G2是 同构的。
是G1的子图。
02
生成子图
如果图G2是图G1的子图，且包含G1的所有顶点，则称G2是G1的生成
子图。
03
图的运算
包括并、交、差、对称差等运算，以及图的笛卡尔积、强积、直积等复
合运算。这些运算可以产生新的图，并用于分析和解决各种实际问题。
PART 03
网络的基本概念与性质
网络的定义与表示
网络定义
网络是由节点和边组成的一种数 据结构，用于描述对象之间的关 系。
增广路径
在残量网络中，从源点到汇点的一条路径， 使得路径上所有边的残量都大于0。
残量网络
表示当前流量下，各条边还可以增加的流 量。
算法过程
不断在残量网络中寻找增广路径，并沿着 增广路径增加流量，直到不存在增广路径 为止。
Edmonds-Karp算法
基本思想
在Ford-Fulkerson算法的基础上，使用广度优先搜索来寻找增广 路径，以保证找到的增广路径是最短的。
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CATALOGUE
目 录
• 引言 • 图的基本概念与性质 • 网络的基本概念与性质 • 最短路径问题 • 最大流问题 • 最小生成树问题 • 网络计划技术
交通网络规划
在规划城市交通网络时，需要在保证所有区域可达的前提下，使得 道路建设成本最低。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
电路设计
在电路设计中，需要在保证电路连通的前提下，使得所用导线的总长 度最短。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
PART 07
网络计划技术
关键路径法
关键路径的定义
在网络图中，从起点到终点具有最长路径的路线，决定了 项目的总工期。
关键活动的识别
关键路径上的活动称为关键活动，它们的延误将直接影响 项目的总工期。
关键路径的计算
通过正向计算和反向计算确定每个活动的最早开始时间、最晚开 始时间、最早结束时间和最晚结束时间，从而确定关键路径。
计划评审技术
计划评审技术的定义
一种用于评估项目工期和风险的网络分析技 术，通过考虑活动的乐观时间、最可能时间 和悲观时间来计算项目工期。
网络表示
网络可以用图论中的图来表示， 其中节点表示对象，边表示对象 之间的关系。
网络的类型与性质
网络类型
根据边的方向和权重，网络可以分为 有向网络、无向网络、加权网络等类 型。
网络性质
网络具有小世界性、聚集性、度分布 等性质，这些性质对于网络的结构和 功能有着重要的影响。
网络流与最小割集
网络流
网络流是指在网络中，从源节点到汇点节点之间的一种流量 分配方式。网络流问题是在满足流量守恒和容量限制等约束 条件下，最大化或最小化某种目标函数的问题。
初始化
选择图中任一节点作为起始节点，将其加 入已有点集合。
终止条件
所有点都加入已有点集合。
迭代过程
在未加入的点中，选择距离已有点集合最 近的点，将其加入已有点集合，并更新距 离。
Kruskal算法
初始化
将图中所有边按权值从小到大排 序。
迭代过程
从权值最小的边开始，若该边连接的两 个节点不在同一连通分量中，则将其加 入最小生成树中，并合并两个连通分量 。
广度优先搜索
从源点开始，逐层遍历网络中的节点，直到找到汇点为止。
算法过程
类似于Ford-Fulkerson算法，但在寻找增广路径时采用广度优先 搜索。
最大流问题的应用
交通网络
用于解决交通网络中车流量的规划问题，如 道路设计、交通信号灯控制等。
图像处理
用于解决图像分割、边缘检测等图像处理问 题。
物流运输
PART 01
引言
运筹学简介
运筹学的定义
研究如何在有限资源下做出最优决策的数学方法。
运筹学的应用领域
包括物流、生产、金融、军事等各个领域。
运筹学的研究对象
主要研究线性规划、整数规划、动态规划等优化 问题。
图与网络分析概述
图与网络的基本概念
介绍图论中的节点、边、路径等基本 概念，以及网络中的流、容量等概念。
物流配送
在物流配送中，最短路径 问题可以帮助优化配送路 线，提高配送效率和降低 成本。
通信网络
在通信网络中，最短路径 问题可以帮助优化数据传 输路径，减少传输延迟和 提高网络性能。
PART 05
最大流问题
Ford-Fulkerson算法
基本思想
通过不断寻找增广路径并增加流量，直到 不存在增广路径为止。
图的类型与性质
无向图与有向图
根据边是否有方向来区分
简单图与多重图
根据是否存在重复的边来区分
完全图与稀疏图
二部图与k部图
根据边的数量相对于顶点数量的多少来区 分
根据顶点是否可以被划分为两个或更多个 不相交的子集，使得每条边的两个端点分 别属于不同的子集来区分
子图与图的运算
01
子图
如果图G2的顶点集和边集分别是图G1的顶点集和边集的子集，则称G2