得到单缝的夫琅禾费衍射图样讲课稿

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式中C为比例系数，K(θ)为随θ角增大而缓慢减小 的函数，称为倾斜因子.当θ＝0时，K(θ)为最大； 当 时 ， K(θ)＝0，因而子波叠加后振幅为零.
2
❖ 波阵面上所有dS面元发出的子波在P点引起的
合振动为
E d E C K ( r)co s2 (T t r)d S
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3、用半波带理论分析衍射条件
①衍射角为的一束平行衍射光的光程差：
考虑一束平行衍射光，
作AC⊥BC，则BC段即为
这一束平行光的最大光
A
程差。
a
BC asin
L
（式中a为缝宽）
B
C
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②、半波带方法：
按相距／2 作平行于AC的平面 A1A1/,A2A2/,…将光程差BC分割成n个相 等的部分，同时这些平面也将波面AB分 割成n个相等的部分ＡＡ１，Ａ１Ａ２… 它们称之为波带。
❖ 平行衍射光的获得
设平行入射光垂直投射到
A
缝K上，其波前与缝平面AB
重合。按惠更斯原理，波前
上的每一点都可看成发射球 形子波的波源，而每个子波 O K
源都可以向前方各个方向发
出无穷多束光线，统称为衍
射光，如图中A点的1，2，
B
3…光线都是衍射光线。
3 2
３1
２
３１
２
３
１ O/
２
３宽度缩小一半，那么P处是明纹还是 暗纹？
(2)若用波长为1.5λ的单色光照射狭缝，P处是明 纹还是暗纹？
解 利用半波带法直接求解，与暗纹对应的半波 带数为偶数2k(k＝1,2，…为暗纹级数)；与中央 明纹除外的明纹对应的半波带数为奇数2k＋1 (k＝1,2，…为明纹级数).
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根据已知条件，在屏上P处出现第3级暗纹，所以 对于P位置，狭缝处的波面可划分为6个半波带.
(1)缝宽减小到一半，对于P位置，狭缝处波面可分 为3个半波带，则在P处出现第1级明纹. (2)改用波长为1.5λ的单色光照射，则狭缝处波面 可划分的半波带数变为原来的一点五分之一，对于 P位置，半波带数变为4个，所以在P处将出现第2级 暗纹.
光源 S
光源 S
屏
幕
E
单缝K
a
b
(a) 屏
a 幕
E
(b)
b
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13.1.2 惠更斯－菲涅耳原理
1、惠更斯－菲涅耳原理的基本内容
❖ 波动有两个基本特性，
波是振动的传播， 波具有时空周期性，且能相互叠加。
❖ 惠更斯提出的子波假设：波阵面上的每一点都可看成
是发射子波的新波源，任意时刻子波的包迹即为新的波阵 面。
0
k k 1
o
f
中央明纹的角宽度(即条纹对透镜中心的张角)为
20。有时也用半角宽度描述。
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暗纹条件：asink
中央明纹：sin0
a
20
2
a
这一关系称衍射反比律
中央明纹线宽度为x0
因 x1ftan0fsin0 af
x0
2x1
2 a
f
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❖其他各级明纹的宽度为相邻暗纹间距
惠更斯——菲涅尔原理= 次波与次波的相干叠加
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2、惠更斯－菲涅耳原理的数学表示
基本出发点：波面S 在其前面某点P相干 叠加的结果，取决于 波面上所有面元ds在
S ds
n
θr
P
P点产生的振动之和。
在S上取一面元ds，ds子波源发出的子波在P点引起的 振动为：
dECK(r)cos2(T t r)dS
屏幕上除零级主极大明条纹由各种波长的光混合仍为白色外其两侧将形成各级由紫到红对称排列的彩色光带这些光带的整体称为衍射光谱41图1313光栅光谱42例135一个每毫米均匀刻有200条刻线的光栅用白光照射在光栅后放一焦距为f500cm的透镜在透镜的焦平面处有一个屏幕如果在屏幕上开一mm宽的细缝细缝的内侧边缘离中央极大中心50mm如图1314所示
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13.3.1 光栅衍射现象
由大量等间距、等宽度的平行狭缝所组成的光学元 件称为衍射光栅.用于透射光衍射的叫透射光栅，用 于反射光衍射的叫反射光栅.常用的透射光栅是在一 块玻璃片上刻画许多等间距、等宽度的平行刻痕， 刻痕处相当于毛玻璃而不易透光，刻痕之间的光滑 部分可以透光，相当于一个单缝.
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例13.2 波长λ＝6 000 Å的单色光垂直入射到缝宽a ＝0.2 mm的单缝上，缝后用焦距f＝50 cm的会聚透 镜将衍射光会聚于屏幕上.求：(1)中央明条纹的角 宽度、线宽度；(2)第1级明条纹的位置以及单缝处 波面可分为几个半波带？(3)第1级明条纹宽度.
解 (1)第1级暗条纹对应的衍射角 0 为 sin0a6 2 1 10 0 7 43103
13.3.2 光栅衍射规律
光栅是由许多单缝组成的，每个缝都在屏幕上各自 形成单缝衍射图样，由于各缝的宽度均为a，故它 们形成的衍射图样都相同，且在屏幕上相互间完全 重合.
各单缝的衍射光在屏幕上重叠时，由于它们都是相 干光，所以缝与缝之间的衍射光将产生干涉，其干 涉条纹的明暗分布取决于相邻两缝到会聚点的光程 差.
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对应于该 值，单缝处波面可分的半波带数为
2k13个
(3)设第2级暗条纹到中央明条纹中心O的距离为 ，
对应x 2 的衍射角为 ，故第 21级明条纹的线宽度为
x x 2 x 1 fta n2 fta n 1 f(2 a a ) a f
6 2 1 01 7 0 4 0.51.5103m 1.5m m
由此可见，第1级明条纹的宽度约为中央明纹宽度
的一半.
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§13-3 衍 射 光 栅
从上节的讨论我们知道，原则上可以利用单色光通 过单缝时所产生的衍射条纹来测定该单色光的波长. 但为了测量的准确，要求衍射条纹必须分得很开， 条纹既细且明亮.然而对单缝衍射来说，这两个要求 难以同时达到.因为若要条纹分得开，单缝的宽度a 就要很小，这样通过单缝的光能量就少，以致条纹 不够明亮且难以看清楚；反之，若加大缝宽a，虽然 观察到的条纹较明亮，但条纹间距变小，不容易分 辨.所以实际上测定光波波长时，往往不是使用单缝， 而是采用能满足上述测量要求的衍射光栅.
sin 1 ： 缝越窄，衍射越显著，但a不能小于
a
（a小于时也有衍射，但此时半波带理论不成 立）；缝越宽，衍射越不明显，条纹向中心靠近， 逐渐变成直线传播。
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❖ 由暗纹条件：asink 若a一定时，
sin λ越大，衍射越显著，
当白光入射时，中央明纹仍为白色，其他各级由 紫至红，一 般第2、3级即开始重叠。
“子波”的概念不涉及波动的时、空周期性，因而不
能说明在不同方向上波的强度分布，即不能解释波的衍
射。
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❖ 菲涅耳在惠更斯提出的子波假设基础上，补充
了描述次波基本特征的时空周期的物理量:位相和 振幅，及波的叠加。认为：从同一波阵面上各点发 出的次波，在传播过程中相遇时，也能相互叠加而 产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该 点的相干叠加所决定。这就是惠更斯—菲涅耳原理。
§13-2 单缝夫琅禾费衍射
一、单缝夫琅禾费衍射
1、装置和现象
E
L1
L2
S
a A
f
D
L1、 L2 透镜 A：单缝
E：屏幕
缝宽a
缝屏距D（L2之焦距f）
中央 明纹
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夫朗禾费单缝衍射图样是一组与狭缝平行的明暗相间的 条纹，其中中央条纹最亮最宽。
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2、惠更斯－菲涅耳原理分析衍射过程
其位相差是 。
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❖各半波带的面积相等，各波带上的子波源的数目
也相等。所以相邻两带在P点振动的贡献相互削弱， 即为相消干涉。
A
A1 A2
a A3
B
2
P
O f
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故在给定的衍射角中，若 则P点为相消干涉而出现 BC刚好截成偶数个半波带， 暗纹；
若BC刚好截成奇数个半波 带，
x0 2x12 1 .53m m
(2)第1级明条纹对应的衍射角 满足
sin (2 k 1 )2 a2 3 6 2 1 1 0 0 7 44 .5 1 0 3
所以第1级明条纹中心到中央明条纹中心的距离为
x f t a n f s i n 0 . 5 4 . 5 1 0 3 2 . 2 5 1 0 3 m 2 . 2 5 m m 29 首页 上页 下页退出
则P点为相长干涉而出现 亮纹(多余的一个半波带 不能被抵消);
若BC不为半波长的整数倍， 则P点的亮度介于次极大 和极小之间。
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另外也可看出，若角越大，则BC越长，因而半波 带数目越多，而缝宽AB=a为常数，因而每个半波带的 面积要减少（即每个半波带上携带的光能量减少）， 于是级数越高，明条纹亮度越低，最后成模糊一片。
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（3）各级亮纹强度分布是不均匀的 以中央明纹的强度为1，则 第一级明纹为4.5% 第二级明纹为1.6% 第三级明纹为0.83%
I光强度
3 2 2 3
asin
0
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例13.1 用波长为λ的单色光照射狭缝，得到单 缝的夫琅禾费衍射图样，第3级暗纹位于屏上的P 处，问：
图13.9 光栅
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平行单色光垂直照射到光栅上，由光栅射出的光线 经透镜L后，会聚于屏幕E上，因而在屏幕上出现平 行于狭缝的明暗相间的光栅衍射条纹.
这些条纹的特 点是：明条纹 很亮很窄，相 邻明纹间的暗 区很宽，衍射 图样十分清晰.
图13.10 光栅衍射
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2、光的衍射现象 • 光不再是直线传播，而有光进入障碍物后的几何
阴影区。 • 光所到达的区域，其强度分布也不均匀。
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实验发现，光通 过宽缝时，是沿直线 传播的，如图(a)所示。
若将缝的宽度减小 到约104m及更小时，缝 后几何阴影区的光屏上 将出现衍射条纹，如图 (b)所示，这就是光的 衍射现象。
因 s i n 0 很小，可知中央明条纹的角宽度为
202 sin0 6 1 0 3ra d
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第1级暗条纹到中央明条纹中心O的距离为
x 1 f t a n 0 f0 0 . 5 3 1 0 3 1 . 5 1 0 3 m 1 . 5 m m
因此中央明条纹的线宽度为
对K级暗纹有 sin k
a
角宽度
sink
sink1
a
a
x x k 1 x k fsik 1 n fsikn
f(k1)fkf
a
aa
x f
a
可见中央明纹约为其他各级明纹宽度的两倍。
（近似值）
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（2）影响衍射图样的a和
❖ 由暗纹条件： asink
若λ一定时，
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❖ 平行衍射光在焦平面上相干汇聚
每一束平行光经透镜L2汇聚后，聚焦于L2焦平面上 的一点。对同一束平行光而言，它们来自同一波前 上的各个子波，因此满足相干条件。
每一束平行光都在光屏上进行相干叠加，其相干 叠加后的振幅，则由他们的光程差决定。
显然，对于 =0的一束，其中每条光线的光程都相 等，因而叠加结果相互加强，即为中央亮纹。
得到单缝的夫琅禾费衍射图样
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§13-1 光的衍射 惠更斯－菲涅耳原理
衍射现象是波动性的另一重要表现。 只要光在传播，就有衍射现象。 衍射和传播是联在一起的。
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13.1.1 光的衍射现象及分类
1、什么叫衍射 波在传播中遇到障碍物，使波面受到限制时，
能够绕过障碍物继续前进的现象。
④衍射图样中明、暗纹公式
亮纹条件：asin (2k1)
2
（近似值）
暗纹条件：asin 2kk
2
中央明纹（零级衍射亮纹）：asin
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4、单缝衍射条纹特点
（1）条纹宽度
设焦距f、缝宽a和波长，缝屏之间距离就是透镜焦 距f。
❖中央明纹的线宽
度为正负第一暗纹
间距。
a
x k 1
xk
x1
由于每相邻波带对应点如A、A1， A1、 A2 …向方向发出的光波A〞 A1〞 ，A1〞 A2 〞 … 的光程差逐一相差半个波长， 故称之为“半波带”。
A//
A1 //
A
A2 //
A1
A 3 //
A2
B //
A3
C
B
A3/
A
2
/
A1
/
A
/
2
③、用半波带方法解释衍射：
❖两相邻波带的对应点（如边缘，中点）在P点引起的振动
2、惠更斯－菲涅耳原理分析衍射过程
❖ 平行衍射光的获得
每个子波源所发出的沿
A
同一方向的平行光构成了
一束平行衍射光。
如光线系1，光线系2，… 等构成无穷多束平行衍射 光。
OK B
3 2
３1
２
３１
２
３
１ O/
２
３２１ L
１
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❖ 平行衍射光的方向
L1
L2 A
P
a
S
C
B
dL
f
每一个方向的平行光与单缝法线方向之间的夹角用 表示， 称为衍射角，衍射角 的变化范围为 0→±π/2。