数学(文)一轮教学案：第四章第2讲 三角函数的图象变换及应用 Word版含解析

第2讲 三角函数的图象变换及应用
考纲展示 命题探究
1 用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的简图
用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示：
x －φω π2ω－φω πω－φω 3π2ω－φω 2πω－φω ωx ＋φ 0
π
2π
y ＝A sin(ωx ＋
φ)
A 0 －A 0
2 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞))的物理意义 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1
T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相，ω叫做角速度．
3 三角函数的图象变换及其应用
由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤
注意点 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中各个字母的含义 A 所起的作用是图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变化为原来的A 倍，简称为振幅变换；ω所起的作用是图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化为原来的1
ω倍，简称为周期变换；φ所起的作用是
将函数图象左右平移⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
φω个单位，简称为相位变换.
1．思维辨析
(1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中的ω一定大于零．( )
(2)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8只需向左平移π8个单位．( ) (3)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1.( )
(4)若sin x >22，则x >π
4.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4的图象，只需将函数y ＝cos2x 的
图象( )
A ．向右平移π
8个单位长度 B ．向左平移π
8个单位长度 C ．向左平移π
4个单位长度 D ．向右平移π
4个单位长度 答案 A
解析 f (x )＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x －π4＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝
⎛
⎭⎪⎫x －π8由函数图象平移规律可知
A 正确．
3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，0对称
B ．关于直线x ＝π
4对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π
3对称
答案 A
解析 由T ＝π知ω＝2π
T ＝2，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数f (x )的
对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π
2(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π
2(k ∈Z )．
[考法综述] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换以及根据图象和简单性质确定A 、ω、φ的取值为高考中的一个热点，主要考查考
生识图、辨图的能力及三角的恒等变换问题，题型多以客观题为主，且难度不大，属中低档题．有时也作为解答题中的一问或某一环节中有所涉及．
命题法 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换及解析式求法 典例 (1)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )
A ．向右平移π
4个单位 B ．向左平移π
4个单位 C ．向右平移π
12个单位
D ．向左平移π
12个单位
(2)如图是函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则函数f (x )的解析式为________．
[解析] (1)因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3x －π4，要得到函数y
＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象向右平移π
12个单位，故选C.
(2)由图象知，A ＝3－12＝1，T 2＝5π6－π6＝2π3，则T ＝4π3，ω＝32，由5π6×32＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－3π
4＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π，∴φ＝－3π4.
∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫32x －3π4＋2. [答案] (1)C (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2x －3π4＋2
【解题法】 三角函数解析式的求法和图象变换技巧 (1)已知图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法 ①求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m
2，B ＝M ＋m 2.
②求ω，已知函数的周期T ，则ω＝2π
T . ③求φ，常用方法有：
a ．代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)，或代入图象与直线y ＝
b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．
b ．五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零
点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－φω，0作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ＝0，“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π
2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π
2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.
(2)关于三角函数的图象变换的方法 ①平移变换
a ．沿x 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x ＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．
b ．沿y 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x )＋k 时，“上加下减”，即k >0，上移；k <0，下移．
②伸缩变换
a ．沿x 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝f (ωx )时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
|ω|倍．
b ．沿y 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝Af (x )时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A |倍．
1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图
象( )
A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3个单位 D ．向右平移π
3个单位
答案 B
解析 y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4⎝
⎛
⎭⎪⎫x －π12，故要将函数y ＝sin4x 的图
象向右平移π
12个单位．故选B.
2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A ．y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2
B ．y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2
C ．y ＝sin2x ＋cos2x
D ．y ＝sin x ＋cos x
答案 A
解析 采用验证法．由y ＝cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，可知该函数的
最小正周期为π且为奇函数，故选A.
3.将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π
3，则φ＝( )
A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
答案 D
解析 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π
3，
令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π
2，故φ
＝π
6，选D.
4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正
周期为π，当x ＝2π
3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )
A ．f (2)<f (－2)<f (0)
B ．f (0)<f (2)<f (－2)
C ．f (－2)<f (0)<f (2)
D ．f (2)<f (0)<f (－2)
答案 A
解析 由最小正周期为π，可得ω＝2，又x ＝2π
3时，函数f (x )取得最小值，故可令φ＝π6，得函数f (x )＝A sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6，即f (0)＝A sin π
6，
f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－4＋π6，由正弦函数易得f (0)>f (－
2)>f (2)．故选A.
5.若将函数f (x )＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象
关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．
答案 3π8
解析 把函数f (x )＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，得到f (x )
＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2(x －φ)＋π4 ＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －2φ＋π4的图象．
由于f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象关于y 轴对称，所以－2φ＋π
4＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝－k π2－π
8，k ∈Z .
当k ＝－1时，φ的最小正值是3π
8.
6．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得
到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π12，0，求θ的
最小值．
解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6.数据补全如下表： 且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －π6，
得g (x )＝5sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π
12－θ，k ∈Z .
由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π
3，k ∈Z .
由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π
6. 三角函数的图象与性质
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性
奇函数 偶函数
奇函数
单调性
在
⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是递增函
数，在⎣
⎢⎡
π
2＋2k π，
⎦⎥
⎤
3π2＋2k π(k ∈Z )上是递减函数
在[2k π－π，2k π](k
∈Z )上是递增函数，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是递减函数
在
⎝ ⎛⎭⎪
⎫
－π2
＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是递增
函数
最值
当且仅当x ＝π
2＋2k π(k ∈Z )时，取得最
大值1；当且仅当x ＝－π
2＋2k π(k ∈Z )时，取得最小值－1 当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，取得最大值1；当且仅当x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，取得最
小值－1 —
周期性
周期是2k π(k ∈Z 且
k ≠0)，最小正周期
是2π 周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是2π 周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正
周期是π
对称性
对称轴是x ＝π
2＋
k π(k ∈Z )，对称中心是(k π，0)(k ∈Z )
对称轴是x ＝k π(k ∈Z )，对称中心
是⎝
⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈
Z )
对称中心是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k π2，0(k ∈Z ) 注意点 正切函数的单调区间
正切函数y ＝tan x 在定义域上不是单调函数，但存在单调区间，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 为其单调递增区间.
1．思维辨析
(1)正弦函数y ＝sin x 在其任一周期内都只有一个增区间，一个减区间．( )
(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( )
(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( ) A.π6 B.11π6 C.7π6 D.5π6
答案 B
解析 将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位后，得到y ＝sin(x ＋φ)的图象，所以φ＝2k π－π6(k ∈Z )，又0≤φ<2π，所以φ＝116π.
3．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，且有最小值1，
则ω的值可以是( )
A ．2 B.12 C ．3 D.13
答案 B
解析 由y ＝2cos ωx 在⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则
有f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＝1，即2cos 2π3ω＝1，即cos 2π3ω＝1
2.经验证，得出选项B 符合．
[考法综述] 三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高
考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用．
命题法 y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的性质及应用 典例 已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫ωx －π6－2cos 2ωx
2，x ∈
R (其中ω>0)．
(1)求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π
2，求函数f (x )的单调递增区间．
[解] (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －1
2cos ωx －(cos ωx ＋1)
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫32sin ωx －1
2cos ωx －1
＝2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫ωx －π6－1.
由－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6≤1， 得－3≤2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫ωx －π6－1≤1，
所以函数f (x )的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知， f (x )的周期为π，所以2π
|ω|＝π，即ω＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6－1，
再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π
3(k ∈Z )．
所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．
【解题法】 三角函数性质问题的解题策略 (1)三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略 ①已知三角函数解析式求单调区间
a ．求函数的单调区间应遵循简单化原则：将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．
b ．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
②已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
(2)求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法
①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)．
②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
(3)三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
①若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π
2(k ∈Z )，同时当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，同时当x ＝0时，f (x )＝0.
②求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)的形式，再分别应用公式T ＝2π|ω|，T ＝2π|ω|，T ＝π
|ω|求解．
③对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝
x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．
1.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝
⎛
⎭
⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z
D.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D
解析 由图象可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π
2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π
4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －1
4
<x <2k ＋3
4，k ∈Z ，故选D.
2．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1
解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)
＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x . ∴f (x )max ＝1.
3．已知函数f (x )＝sin 2
x －sin 2⎝
⎛
⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π3，π4上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，有
f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π32
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x
＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6.
所以，f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
(2)解法一：因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π
3，－π6上是减函数，在区间
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3
4.所以，f (x )
在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－1
2.
解法二：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－5π6，π3，故当2x －π6＝－π2，
x ＝－π6时，f (x )取得最小值为－12，当2x －π6＝π3，x ＝π
4时，f (x )取最大值为34.
4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π
3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.
又因为f (x )的图象关于直线x ＝π
3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π
2，k ＝0，±1，±2，…. 因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.
(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝3
4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π
2， 所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝
⎛
⎭
⎪⎫α－π6＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142＝15
4. 因此cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π6sin π6
＝14×32＋154×12＝3＋158
. 5．已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且
y ＝f (x )的图象过点⎝
⎛⎭
⎪⎫π12，3和点⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3，－2.
(1)求m ，n 的值；
(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．
解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x .
因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，－2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
3＝m sin π6＋n cos π6，
－2＝m sin 4π3＋n cos 4π
3，
即
⎩⎨⎧
3＝12m ＋32n ，
－2＝－32m －12n ，
解得m ＝3，n ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ) ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋2φ＋π6.
设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，
因为0<φ<π，所以φ＝π
6. 因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，
由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π
2≤x ≤k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，54 B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，34 C.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，12 D ．[0,2]
[错解]
[错因分析] 不能准确利用集合的关系，把问题进行等价转化是求解的关键，利用正弦函数的单调性，确定f (x )的单调减区间，由题
意可知⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π为其子区间．
[正解] 结合y ＝sin ωx 的图象可知y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π
2ω，3π2ω
上单调递减，而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π4ω，可知y ＝sin ωx 的图象向左平移π
4ω个单位之后可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ωx ＋π4
的图象，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4ω，5π4ω单调递减，故应有⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，π⊆⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4ω，5π4ω，解得12≤ω≤5
4.
[答案] A [心得体会]
………………………………………………
………………………………………………
时间：60分钟
基础组
1.[2016·衡水二中仿真]已知α为锐角，且有2tan(π－α)－
3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A.355
B.377
C.31010
D.13
答案 C
解析 2tan(π－α)－3cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π2＋β＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5
＝0，①
tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为tan α－6sin β－1＝0.② 由①②消去sin β，解得tan α＝3.又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝310
10.
2．[2016·衡水中学周测]若函数y ＝cos2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的单调性相同，则φ的一个值为( )
A.π6
B.π
4 C.π3 D.π2
答案 D
解析 易知y ＝cos2x 在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上单调递减，因为y ＝sin(x ＋φ)
在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，则x ＋φ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，经验证，
得φ＝π
2符合题意，故选D.
3．[2016·冀州中学期末]为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )
A ．向左平行移动1
2个单位长度 B ．向右平行移动1
2个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A
解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋12， ∴需要把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移1
2个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.
4．[2016·衡水中学预测]设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(|φ|<π
2)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )
A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝
⎛
⎭
⎪⎫0，π2上为增函数
B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数
C ．y ＝f (x )的最小正周期为π
2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数
D ．y ＝f (x )的最小正周期为π
2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数
答案 B
解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ) ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋φ＋π6， ∵函数图象关于直线x ＝0对称， ∴函数f (x )为偶函数，
∴φ＋π6＝π
2＋k π(k ∈Z )．
∵|φ|<π2，∴φ＝π
3，∴f (x )＝2cos2x ， ∴T ＝2π2＝π.∵0<x <π
2，∴0<2x <π， ∴函数f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．故选B. 5．[2016·枣强中学热身]函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平
移π
6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－3
2 B ．－1
2 C.12 D.32
答案 A
解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π
6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛
2x ＋π3＋φ
⎭⎫ ，又其为奇函数，则π3＋φ＝k π，
k ∈Z ，解得φ＝k π－π3，k ∈Z .又|φ|<π2，令k ＝0，得φ＝－π
3，
∴f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3.
又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，
即当x ＝0时，f (x )min ＝－3
2，故选A.
6．[2016·衡水中学猜题]已知函数f (x )＝sin2x 向左平移π
6个单位后，得到函数y ＝g (x )，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )
A ．图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π3，0中心对称
B ．图象关于x ＝－π
6轴对称 C ．在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－5π
12，－π6上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π3上单调递减
答案 C
解析 函数f (x )＝sin2x 向左平移π
6个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π6， 即f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3，令x ＝－π3，
得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝－sin π
3≠0，A 不正确；
令x ＝－π
6，得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6＝sin0＝0≠±1，B 不正确；
由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π
12＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π
12，－π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，故
选C.
7．[2016·衡水中学一轮检测]将函数y ＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π
2个单位长度，所得图象对应的函数( )
A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π12，7π12上单调递减
B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π12，7π12上单调递增
C ．在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π3上单调递减
D ．在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π3上单调递增
答案 B
解析 设平移后的函数为f (x )，则f (x )＝3sin ⎣⎢⎡
2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －π2
＋
⎦⎥⎤π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π
3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ，同理得递增区间为[ k π＋π
12，k π＋
⎦
⎥⎤7π12，k ∈Z .从而可判断得B 正确．
8．[2016·冀州中学模拟]函数
y ＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，|φ|<π
2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数的表达式为( )
A ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4
B ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4
C ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8x －π4
D ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
8x ＋π4
答案 B
解析 由图象的最高点为4，最低点为－4，可确定|A |＝4.结合正弦型函数的特征可知A ＝－4，T ＝2πω＝16，ω＝π8，又f (6)＝0，|φ|<π
2，可得φ＝π
4，故选B.
9．[2016·衡水二中周测]函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．
答案 π ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z )
解析 由题意知，f (x )＝22sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π
8(k ∈Z )，故
单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．
10．[2016·枣强中学仿真]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是
常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝f ⎝
⎛⎭
⎪
⎫
2π3＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6，则f (x )的最小正周期为________．
答案 π
解析 由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6知，f (x )
有对称中心⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋23π＝7
12π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T
4，解得T ＝π.
11．[2016·衡水二中月考]已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值． 解 (1)因为f (x )＝32sin2x －12cos2x －1
2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以T ＝2π
ω＝π，故f (x )的最小正周期为π.
2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π6≤x ≤k π＋π
3，k ∈Z ，则
函数f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .
(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π
6， 所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值1
2； 当2x －π6＝－π
6，即x ＝0时，f (x )有最小值－1.
12．[2016·武邑中学热身]已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设函数f (x )＝a ·b .
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若将f (x )的图象向左平移π
6个单位，得到函数g (x )的图象，求
函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π12，7π12上的最大值和最小值．
解 (1)f (x )＝a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝2×1－cos2x 2
＋sin2x ＝2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －π4＋1， 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π
8＋k π，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )．
(2)由题意g (x )＝2sin ⎣⎢⎡ 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋π6－
⎦⎥⎤π4＋1＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪
⎫2x ＋π12＋1，
由π12≤x ≤7π12得π4≤2x ＋π12≤5π4， ∴0≤g (x )≤2＋1，
即g (x )的最大值为2＋1，最小值为0.
能力组
13. [2016·衡水二中热身]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )
A.π3
B.23π
C.43π
D.π3或43π
答案 D
解析 要使方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象在区间[0，π]上有两个不同的交
点，由图象知，两个交点关于直线x ＝π6或关于直线x ＝2π
3对称，因此x 1＋x 2＝2×π6＝π3或x 1＋x 2＝2×2π3＝4π
3.
14. [2016·武邑中学期末]把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π
6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是
增函数；④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是________． 答案 ②④
解析 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π
6得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2×π3＋π3＝2sinπ＝0，所以函
数图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π
2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π
12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－5π12，π12，所以
③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π
3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π
3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝2 3.所以④正确．所以正确的判断为②④.
15. [2016·衡水二中预测]已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－1
2. (1)若0<α<π2，且sin α＝2
2，求f (α)的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
解 解法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝2
2.所以f (α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22
＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12 ＝1
2sin2x ＋1＋cos2x 2
－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以T ＝2π
2＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .
解法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2
x －1
2
＝1
2sin2x ＋1＋cos2x 2
－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4.
(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π
4， 从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π
2＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .
16．[2016·枣强中学月考]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋
2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π
2.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的
图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．
解 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin2ωx －12cos2ωx －4×1－cos2ωx 2＋2＝32sin2ωx ＋3
2cos2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫2ωx ＋π3(ω>0)，
根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π
2，可得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π
2ω，得ω＝1，
故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3.
(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象． 根据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π3，0， 可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2m －π3＝0，
所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π
6(k ∈Z )，
因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π
6. 此时，g (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π
12，k
∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .
结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π
6
，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。