高中新课程数学(新课标人教B版)必修一《2.2.1 一次函数的性质与图像》课件

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(4)直线 y＝kx＋b 与 x 轴的交点为－bk，0，与 y 轴的交点 为 (0，b) ．
试一试：一次函数与一次方程，一次不等式有何联系？ 提示 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴交点为(－bk，0)，一 次方程 kx＋b＝0 的解为 x＝－bk，为一次函数与 x 轴交点的横坐 标．且 x＝－bk是不等式 kx＋b＞0 或 kx＋b＜0 的分界点．
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规律方法 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)当 k＞0 时，在 R 上是 增函数，k＜0 时，在 R 上是减函数，要使 f(x)＞0 在区间[m， n]上恒成立，只需端点值 f(m)＞0 与 f(n)＞0 都成立即可．
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【训练 2】 求函数 y＝－5x－1，x∈[1,4]的最小值． 解 ∵k＝－5＜0， ∴函数 y＝－5x－1 在 R 上是减函数． ∴函数 y＝－5x－1，x∈[1,4]， 所以最小值为 f(4)＝－21.
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想一想：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)中，b 有何特征？
提示 一次函数中 b 指一次函数在 y 轴上的截距，b 不是 距离，可认为任意实数．
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名师点睛 1．一次函数图象与性质的理解 (1)一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，但是并非 任意一条直线都是一次函数的图象．例如：x＝1 的图象是一条 直线，但 x＝1 不是一次函数． (2)一次函数图象过定点(－bk，0)，(0，b)． (3)一次函数的单调性与其一次项系数 k 与 0 的大小有关． k＞0 时，一次函数单调递增， k＜0 时，函数单调递减，反之也成立．
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解
(1)由题意，得12－m－3m1＝≠00 ，∴mm＝ ≠1312
，
∴m＝13.
(2)函数为一次函数，只需且必须 2m－1≠0，
即 m≠21且 m∈ R.
(3)据题意，2m－1<0，
∴m<12.
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(4)由方程组yy＝ ＝x2＋m1－1x＋1－3m ， 得(2m－2)y＝5m－2(*) ∵2m－2≠0(否则*式不成立)， ∴y＝25mm－－22，令25mm－－22＝0，得 m＝52. 规律方法 解此种类型的题目，首先要正确理解正比例函 数、一次函数的概念及一次函数的性质，从概念和性质入手， 问题便可迎刃而解．
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【解题流程】 求出－bk，0，0，b → 作出直线 → 根据图象求x，y的范围 → 求两点间距离
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题型三 一次函数的图象及应用 【例 3】 画出函数 y＝2x＋1 的图象，利用图象求： (1)方程 2x＋1＝0 的根； (2)不等式 2x＋1≥0 的解集； (3)当 y≤3 时，求 x 的取值范围； (4)图象与坐标轴的两个交点间的距离． 审题指导 本题综合考查了一次函数的图象与一次方程，一 次不等式之间的联系．
[思路探索] 利用一次函数的单调性证明问题． 证明 ①当 k>0 时，一次函数 f(x)＝kx＋h 在 R 上是增函数， 由 m<x<n，得 f(x)>f(m)>0； ②当 k<0 时，函数 f(x)＝kx＋h 在 R 上是减函数，由 m<x<n， 得 f(x)>f(n)>0. 所以对于任意 x∈(m，n)，都有 f(x)>0 成立．
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【训练 1】一次函数 f(x)＝kx＋h(k≠0)，若 m<n，有 f(m)>0， f(n)>0，证明对于任意 x∈(m，n)都有 f(x)>0.
证明 (1)①当 k>0 时，一次函数 f(x)＝kx＋h 在 R 上是增 函数，由 m<x<n，得 f(x)>f(m)>0；
②当 k<0 时，函数 f(x)＝kx＋h 在 R 上是减函数，由 m<x<n， 得 f(x)>f(n)>0.
所以对于任意 x∈(m，n)都有 f(x)>0 成立．
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题型二 一次函数单调性的应用 【例 2】 一次函数 f(x)＝kx＋h(k≠0)，若 m<n，有 f(m)>0， f(n)>0，证明对于任意 x∈(m，n)都有 f(x)>0.
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题型一 一次函数的概念与性质 【例 1】 已知函数 y＝(2m－1)x＋1－3m，m 为何值时， (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数； (3)函数值 y 随 x 的增大而减小； (4)这个函数图象与直线 y＝x＋1 的交点在 x 轴上． [思路探索] 属于一次函数的概念与基本性质问题．
2．2 一次函数和二次函数
2．2.1 一次函数的性质与图象
【课标要求】 1．理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质． 2．会用一次函数的图象和性质分析问题、解决问题． 【核心扫描】 1．一次函数的性质及其应用．(重点) 2．利用一次函数的图象解决问题．(难点)
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自学导引 一次函数具有以下主要性质： (1)函数值的改变量(Δy＝y2－y1)与自变量的改变量(Δx＝x2 －x1)的比值等于 常数k ，k 的大小表示直线与x轴的倾斜程度． (2)当 k>0 时，一次函数是 增函数；当 k<0 时，一次函数 是 减函数 ． (3)当 b＝0 时，一次函数变为 正比例函数，是奇函数； 当 b≠0 时，它既不是奇函数，也不是偶函数．
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2．一次函数与正比例函数 (1)一次函数 y＝kx＋b(k、b 是常数，k≠0)中，若 b＝0，则 一次函数就变为正比例函数 y＝kx(k 是常数，k≠0)．可见正比 例函数是特殊的一次函数，一次函数是正比例函数的推广． (2)正比例函数 y＝kx(k≠0)与一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图 象都是直线．但正比例函数的图象一定过原点，一次函数的图 象一定过点(0，b).