人教A版高中数学必修5课件 2.5等比数列前n项和的应用课件

3
选D，熟记公式是解答此类问题的关键．
等比数列前n项和的应用
【典型例题】
3、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝
1 4
,则a1a2＋
a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n)
B．16(1－2－n)
C. 32 (1－4－n) 3
D. 32 (1－2－n) 3
【答案】 C
等比数列前n项和的应用
知识点——
等比数列前n项和的 应用
等比数列前n项和的应用
【公式】
Sn
Leabharlann Baidu
na1 a1(1
q
n
)
1 q
a1 anq 1q
(q 1) (q 1)
等比数列前n项和的应用
【性质】 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公 比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝
的等比数列{an}的前n
项和为Sn，则( )
A．Sn＝2an－1
B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an
D．Sn＝3－2an
等比数列前n项和的应用
【典型例题】
【答案】D
【解析】 本题考查等比数列前n项和Sn与通项an
之间的关系，由题意得，
an
(
2 )n1 , 3
sn
1 ( 2)n 3
1 2
3 2an ,
【解析】 由题设知a1≠0，q≠1，故
aa11q(112qq24
)
5
a1(1 q2 1q
)
① ②
由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0，
(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，
等比数列前n项和的应用
【变式训练】
因为q<1，解得q＝－1或q＝－2.
当q＝－1时，代入①得a1＝2，通项公式an
【答案】 3
【解析】 设公比为q，由S6＝4S3知q≠1，
由S6＝4S3得 a1 1 q6 4 a1 1 q3 得q3＝3.
1q
1q
∴a4＝1×q3＝1×3＝3.
等比数列前n项和的应用
【典型例题】 5、已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n 项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根， 则S6＝________.
1
4n 1
)
＝
32(1－4－n)． 3
4
等比数列前n项和的应用
【典型例题】
【答案】 4n－1
【解析】 设前三项为 a ，a，aq，
∴a
4
＋a＋4a＝21，
q
∴a＝4，an＝4•4n－2＝4n－1.
等比数列前n项和的应用
【典型例题】
4、设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1， S6＝4S3，则a4＝________.
当x≠1时，①－②得
(1－x)Sn＝2(x＋x2＋…＋xn)－2n•xn＋1＝
2x(1 xn 1 x
)
2nxn＋1，∴ 2x 1 xn 2nxn1
1 x2
,x 1
1x
当x＝1时，Sn＝2＋4＋…＋2n＝n(n＋1)．
nn 1 , x 1
综上，Sn＝
2
x
1
1
x
xn
2
2nx n1
,x 1
a1
1
a2n1q q
(q≠1且q≠－1)．
(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，
前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－
S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等
比数列．
等比数列前n项和的应用
【典型例题】
1、数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝
3Aa．3， 则1 公比q的值为( )
2
C．1或
1 2
1
B. 2 D．－1或
1 2
【答案】C
【解析】∵S3＝3a3，∴a1＋a2＋a3＝3a3， ∴a1＋a2＝2a3， ∴a1＋a1q＝2a1q2即2q2－q－1＝0， ∴q＝1或 1 .
2
等比数列前n项和的应用
【典型例题】
2、设首项为1，公比为 2 3
②÷①a1得111＋qqq63＝9，623所以q＝2. ② 可求出a1＝1 , 因此an＝a1qn－1＝2n－2.
2
等比数列前n项和的应用
【变式训练】
解法二：已知等比数列{an}中Sm与Sn，求q，还可
利用性质Sn＋m＝Sn＋qnSm转化为qn＝ 求得，q3 S6 S3 28 8,
Sn+m Sm
【典型例题】
【解析】由条件先求公比q，再由等比数列的前n项
和公式求解．
∵ a5 ＝q3＝ 1，∴q＝ 1
a2 ∴an•an＋1＝
8 4( 1
)n1
4
2 (1
，∴a1＝4，
)n 252n ,
2
2
故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3
＋…＋25－2n＝
8(1 1
1 x
【答案】 63
【解析】 本题考查等比数列的通项公式及前n 项和公式，由x2－5x＋4＝0的两根为1和4，又 {an}为递增数列，∴a1＝1，a3＝4，q＝2， ∴S6＝63.
等比数列前n项和的应用
【变式训练】
1、在等比数列{an}中，S3＝
7 2
,
S6＝
63 2
,
求an.
【则即解q≠析1a，1】1又1解Sq法q3=3一72：, 72由已S6知= S6263≠,2S3，①
Sn
S3
7
2
∴q＝2，再代入 S3
∴an＝a1qn－1＝2n－2.
a1 (1 q3 ) 1 q
求得a1＝
1 2
.
【点评】 使用等比数列的前n项和公式要注意 公比q＝1和q≠1情况的区别，而在解方程组的过 程中，一般采用两式相除的方法．
等比数列前n项和的应用
【变式训练】
2、设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn.已 知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
＝2×(－1)n－1；
1
当q＝－2时，代入①得a1＝
＝
1 2
×(－2)n－1.
2
，通项公式an
【点评】 给出“知三求二”型等比数列问 题，解决时要注意适当选用公式，以提高解 题速度．抓住首项与公比是解决这类等比数 列问题的关键所在．
等比数列前n项和的应用
【变式训练】
3、已知数列{an}是等差数列，且a1＝2， a1＋a2＋a3＝12. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝anxn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和．
【解析】 (1)设{an}的公差为d，则a1＋a2＋ a3＝3a1＋3d＝12， 又a1＝2，∴d＝2，∴an＝2n.
等比数列前n项和的应用
【变式训练】
(2)Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝ 2x＋4x2＋…＋(2n－2)xn－1＋2nxn.①
xSn＝2x2＋4x3＋…＋(2n－2)xn＋2nxn＋1.②