西工大高数总复习——第11章总复习1

e ix = cos x + i sin x ,
e it − e − it sin t = , 2i e it + e − it cos t = , 2
8、傅里叶级数
(1) 三角函数系 三角函数系
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,Lcos nx , sin nx ,L
∫ sin mx cos nxdx = 0
(2) 傅里叶级数 定义
π −π
(其中m , n = 1,2,L)
a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) 三角级数 2 n =1
a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) 2 n =1
称为傅里叶级数.
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
5、函数项级数
(1) 定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ),L , un ( x ),L 是 定 义在 I ⊆ R 上 的函数,则
∞
∑ =u ( x ) + u ( x ) + L + u ( x ) + L
n =1 1 2 n
称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
∞
如果函数 f ( x ) 在 U δ ( x0 ) 内能展开成 ( x − x
的幂级数, 即 f ( x ) =
1 (n) f ( x0 ) 则其系数 a n = n!
且展开式是唯一的.
( n = 0,1,2,L)
(3) 展开方法 a.直接法(泰勒级数法)
f ( n ) ( x0 ) 步骤: (1) 求a n = ; n! (n) ( 2) 讨论 lim Rn = 0 或 f ( x ) ≤ M ,
则(1) 当0 < l < +∞ 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当l = 0 时，若
∞
∞
∑v
n =1 ∞
∞
n 收敛,则
∑u
n =1 ∞ n =1
∞
n 收敛;
(3) 当l = +∞ 时, 若
∑v
n =1
n 发散,则
∑u
n 发散;
(3)
设
∑u
n =1
∞
极限审敛法
n 为正项级数,
如果 lim nun = l > 0 (或 lim nun = ∞ ),
n x 1 2 1 3 ln(1 + x ) = x − x + x − L + ( −1) n−1 +L n 2 3 x ∈ ( −1,1]
(1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x +L+
2
α (α − 1)L(α − n + 1)
n!
xn + L
x ∈ ( −1,1)
(5) 应用 a.近似计算 b.欧拉公式
级数的部分和 sn = u1 + u2 + L + un = 级数的收敛与发散
∑u
i =1
n
i
常数项级数收敛(发散) ⇔ lim s n 存在(不存在).
n→ ∞
收敛级数的基本性质 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
(收敛域内 ∑ bn x n ≠ 0)
n= 0
∞
= ∑ cn x n .
n= 0
∞
b.和函数的分析运算性质:
幂级数 ∑ an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
n= 0 ∞
( − R, R ) 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
幂级数∑ an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
正交性 任意两个不同函数在 [ − π, π]上的积分等于零 .
∫−πcos nxdx = 0,
π
∫−πsin nxdx = 0,
π
⎧ 0, ∫−πsin mx sin nxdx = ⎨ ⎩ π, π ⎧ 0, ∫−πcos mx cos nxdx = ⎨ ⎩ π,
π
m≠n m=n m≠n m=n
u = 0 . 级数收敛的必要条件: lim n n→ ∞
常数项级数审敛法 一般项级数 正项级数 任意项级数
1. 若 Sn → S , 则级数收敛 ; 2. 当 n → ∞ , un → 0, 则级数发散; 3.按基本性质; 4.绝对收敛 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
n= 0
n= 0
n= 0
(其中 cn = an ± bn )
乘法
( ∑ a n x ) ⋅ ( ∑ bn x )= ∑ cn x n .
n n n= 0 n= 0
n= 0
∞
∞
∞
x ∈ (− R, R )
(其中 cn = a0 ⋅ bn + a1 ⋅ bn−1 + L + an ⋅ b0 ) 除法
n a x ∑ n n b x ∑ n n= 0 n= 0 ∞ ∞
2、正项级数及其审敛法
定义
∑u ,
n=1 n
∞
un ≥ 0
审敛法 正项级数收敛 ⇔ 部分和所成的数列 sn有界. (1) 比较审敛法
若
∞
∞
∑ u 收敛(发散)且v
n=1 n
n
≤ un (un ≤ vn ),
则
∑v
n =1
n 收敛(发散).
(2) 比较审敛法的极限形式
un 设 ∑ un 与 ∑ v n 都是正项级数,如果 lim = l, n→ ∞ v n =1 n =1 n
(3) 当ρ = +∞ 时, R = 0 .
(3)幂级数的运算 a.代数运算性质:
∞ ∞
设∑ an x n和∑ bn x n的收敛半径各为 R1和R2 ,
R = min{R1 , R2 }
加减法
n n n = c x a x ± b x ∑ n ∑ n ∑n .
n= 0
n= 0
∞
∞
∞
x ∈ (− R, R )
6、幂级数
(1) 定义
形如
n 的级数称为幂级数. a ( x − x ) ∑ n 0 n= 0 ∞
当x0 = 0时,
∑a x
n n= 0
∞
n
其中a n 为幂级数系数 .
(2) 收敛性
定理 1 (Abel 定理)
如果级数
∑a
n=0
∞
n
x 在 x = x 0 ( x 0 ≠ 0 ) 处收敛,则
n
它在满足不等式 x < x 0 的一切 x 处绝对收敛;
如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导,则幂级数
∑ n
=0
(2) 充要条件
定理 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数,在U δ ( x0 ) 内收 敛于 f ( x ) ⇔ 在U δ ( x0 )内 lim Rn ( x ) = 0 .
n→ ∞
(3) 唯一性
定理
n a ( x − x ) ∑ n 0 , n= 0
1 π ⎧ = = a f ( x ) cos nxdx , ( n 0 , 1 , 2 , L ) ∫ n − π 其中 ⎪ π ⎨ 1 π ⎪bn = ∫− π f ( x ) sin nxdx , ( n = 1,2,L) ⎩ π
(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x ) 是以 2π 为周期的周期函数.如果 f(x)在[ −π , π ]上 满足条件: (1) 连续或只有有限个第一类间断点, (2) 至多只有有限个极值点, 则 f ( x ) 的傅里叶级数在 ( −∞ , +∞ )内处处 收敛, 并且其和函数 a0 ∞ s( x ) = + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) 2 n =1 ( −∞ < x < +∞ )
∞ n= 0
( − R, R ) 内可积,且对∀x ∈ ( − R, R ) 可逐项积分.
幂级数 ∑ an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
∞
( − R, R) 内可导, 并可逐项求导任意次.
n= 0
7、幂级数展开式
(1) 定义
∞
∑ n
=0 ∞
f ( n ) ( x0 ) n ( x − x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n! f ( n ) ( 0) n x 称为 f ( x ) 在点 x0 的麦克劳林级数. n!
n→ ∞ n→ ∞
则级数
∑u
n =1
∞
n 发散;
如果有 p > 1, 使得 lim n p un 存在,
n→ ∞
则级数
∑u
n =1
∞
n 收敛.
(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D ’Alembert 判别法)
un + 1 = ρ (ρ数或 + ∞ ) 设 ∑ un 是正项级数,如果 lim n→ ∞ u n =1 n
幂级数 幂级数 泰勒展开式 泰勒展开式
Rn ( x ) → 0
三角级数 三角级数 傅氏展开式 傅氏展开式
满足狄 氏条件
泰勒级数 泰勒级数
傅氏级数 傅氏级数
函 函 数 数
级数与数 相互转化
数 数
数或函数 数或函数
1、常数项级数
定义
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u2 + u3 + L + un + L
x
2 n+1 1 3 1 5 x +L sin x = x − x + x − L + ( −1)n 3! 5! ( 2n + 1)!
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
2n 1 2 1 4 x cos x = 1 − x + x − L + ( −1)n +L 2! 4! ( 2n)!
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
(2) 收敛点与收敛域
如果 x0 ∈ I ,数项级数
∑u (x
n =1 n
∞
0
) 收敛,
则称 x0 为级数
∞
否则称为发散点. ∑ u ( x )的收敛点,
n=1 n
∞
函数项级数 ∑ un ( x ) 的所有收敛点的全体称为
n=1
收敛域,所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s( x ) , 称 s( x ) 为函数项级数的和函数.
rn ≤ un+1 .
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意 项级数.
定理 若
∑u
n =1
∞
n
收敛,则
∑u
n =1
∞
n 收敛.
定义:若 ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为绝对收敛; ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为条件收敛.
第十一章 无穷级数
一、主要内容
u n 为常数
∑ un
n =1
∞
un为函数 un ( x )
常数项级数 常数项级数 一 一 般 般 项 项 级 级 数 数
在收敛 条件下
取 x = x0
函数项级数 函数项级数
正 正 项 项 级 级 数 数
任 任 意 意 项 项 级 级 数 数
收 收 敛 敛 半 半 径 径 R R
∞
n −1 n ( − 1 ) u 或 ( − 1 ) un (其中 un > 0 ) ∑ ∑ n n =1 n =1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: ( ⅰ) un ≥ un +1 ( n = 1,2,3,L) ;( ⅱ) lim un = 0, 则
n→ ∞
级 数 收 敛 , 且 其 和 s ≤ u1, 其 余 项 rn 的 绝 对 值
与 f ( x )有如下关系：
⎧ 当 x为f ( x )的连续点时； ( ), f x ⎪ ⎪ f ( x − 0) + f ( x + 0) , s( x ) = ⎨ 当 x为f ( x )的间断点时； 2 ⎪ ⎪ f ( −π + 0) + f (π − 0) , x = −π , π ⎩ 2
n→ ∞
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x ).
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
1 2 1 n e = 1 + x + x + L + x + L x ∈ ( −∞ ,+∞ ) 2! n!
如果级数
∑a
n=0
∞
n
x 在 x = x 0 处发散,则它在满足
n
不等式 x > x 0 的一切 x 处发散.
推论
如果幂级数
n a x ∑ n 不是仅在 x = 0 一点收敛,也 n=0
∞
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x < R 时,幂级数绝对收敛;
当 x > R 时,幂级数发散;
当 x = R与x = − R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. (-R, R) 称为幂级数的收敛区间.
定理 2 如果幂级数
∞
∑a
n= 0
n
x 的所有系数 a n ≠ 0 ,
n
a n+1 = ρ (或 lim n a n = ρ ) 设 lim n→ ∞ n→ ∞ a n 1 (1) 则当ρ ≠ 0 时, R = ; ρ (2) 当 ρ = 0 时 , R = +∞ ;
则ρ < 1时级数收敛;ρ > 1时级数发散; ρ = 1 时失效.
∞
(5) 根值审敛法 (柯西判别法) 设
∑u
n =1
∞
n 是正项级数,
如果lim n un = ρ ( ρ为数或 + ∞ ),
n→ ∞
则ρ < 1时级数收敛; ρ > 1时级数发散;ρ = 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义
∞
正 、负项相间的级数称为交错级数.