2018-2019学年湖北省沙市中学高二上学期期末考试数学(理)试题

沙市中学2018-2019学年高二上学期期末考
数学（理）
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.设集合，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据一元二次不等式和指数不等式的解法求出集合A,B，再利用交集的定义求出.
【详解】，，则
，故选D.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟练掌握交集运算是解题的关键.
2.直线的倾斜角的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用直线的斜率计算公式、三角函数的单调性即可得出．
【详解】设直线的倾斜角为．则，，，
，即，解得．故选：D．
【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式、三角函数的单调性，属于基础题．
3.已知变量满足约束条件则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B.
【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
4.已知两条不同的直线和两个不同的平面，有如下命题：
①若，，，，则；
②若，，，则；
③若，，则．其中正确的命题个数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答．
【详解】对于①，若，，，，则与可能相交；故①错误；
对于②，若，，，满足线面平行的性质定理，故；故②正确；
对于③，若，，如果，则；故③错误；故选：B．
【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答．
5.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数
的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由已知得，，，．则矩形面积为，阴影部分面积为
，故该点取自阴影部分的概率等于．
考点：几何概型．
6.已知命题的否定是；命题在中，是
的充要条件．则下列命题是真命题的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对于命题：“，”的否定是“，”，即可判断出命题是假命题；
对于命题：在中“” “”，即可判断出．再利用复合命题的真假判定方法即可得出．
【详解】命题：“，”的否定是“，”，因此命题是假命题；
命题：在中，由正弦定理可得“” “”，因此，“”是“”的充要条件，是真命题．因此命题是真命题．故选：B．
【点睛】本题考查了简易逻辑的有关知识、三角函数的化简，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的值是
A. 2
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高即可．
【详解】根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图，如下图：
所以．故选：D．
【点睛】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
8.已知圆，直线和被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件利用直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式，求得的值．
【详解】圆的圆心为，半径为2，圆心到线的距离为，被圆
所截得的弦的长度为，圆心到的距离为，被圆所截得的弦的长度为
，结合，被圆所截得的弦的长度之比为，可得，求得
，故选：A．
【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．
9.执行如图所示的程序框图，若将判断框内“”改为关于的不等式“”且要求输出的结果不变，则正整数的取值是
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果为126，若将判断框内“”改为关于的不等式“”且要求输出的结果不变，则条件成立，可得正整数的取值为6．
【详解】框图首先赋值，，执行，；
判断框中的条件不满足，执行，；
判断框中的条件不满足，执行，；
判断框中的条件不满足，执行，；
判断框中的条件不满足，执行，；
此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果为126．
若将判断框内“”改为关于的不等式“”且要求输出的结果不变，
则条件成立，可得正整数的取值为6．故选：．
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基本知识的考查．
10.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且与直线交于两点，若
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及中点的横坐标可得、的一个方程，又双曲线中有，则另得、的一个方程，最后解、的方程组即得双曲线方程．
【详解】设双曲线方程为．
将代入，整理得．
由韦达定理得，则．
又抛物线的焦点，所以，解得，，
所以双曲线的方程是．故选：C．
【点睛】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．
11.已知等差数列的各项均为正数，，且成等比数列，若，则
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列公差为，由题意知，由，，成等比数列列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得．
【详解】设等差数列公差为，由题意知，
，，成等比数列，
，
，即，
解得或（舍去），
，则．
故答案为：D．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．
12.已知点，若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则此直线与以为直径的圆必须有公共点，但是除轴．
【详解】若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则此直线与以为
直径的圆必须有公共点，但是去掉轴．，，化为：．解得，且．故选：．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到266在第一营区，从267到496为第二营区，从497至600为第三营区，则第二营区被抽中的人数为________．
【答案】20
【解析】
【分析】
由于是系统抽样，故先随机抽取第一数，再确定间隔，可知样本组成以3为首项，12为公差
的等差数列，由此可得结论．
【详解】由题意，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，
则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，通项为，由，，第二营区被抽中的人数为．
故答案为20．
【点睛】本题考查系统抽样，解题的关键是随机抽取第一数，再确定间隔，从而得到样本组成等差数列．
14.已知点在圆上运动，则的最小值为___________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意可知，点在椭圆上运动，得，则，构造基本不等式，即可求出结果.
【详解】∵点在椭圆上运动，即，
则
，当且仅当时，取等号，
即所求的最小值为.
【点睛】本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小值，解题的关键是利用了的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式，根据基本不等式即可求出结果.
15.以椭圆的右焦点为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于
两点，若过椭圆左焦点的直线是圆的切线，则该椭圆的离心率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意思可得：点是切点，因此并且，可得，可知．根据椭圆的定义可得，可得．求得，由离心率公式即可求得椭圆的离心率．
【详解】由题意，故点是切点，
，．
又，，．
根据椭圆的定义可得：，．
，即，，故选：．
【点睛】本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，勾股定理及离心率公式，考查计算能力，属于中档题．
16.点分别是正方体的棱的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是________（写出所有真命题的编号）．
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；②点在直线
上运动时，总有；③点在直线上运动时，三棱锥的体积的定值；④若点
是正方体的面内的一动点，且到点和距离相等，则点的轨迹是一条线段．【答案】②③④
【解析】
【分析】
以三棱锥为例判断①；根据棱锥的体积公式判断②；根据平面判断③，根据
平面判断④．
【详解】以三棱锥为例（如图（1）），则此三棱锥的4个面均为直角三角形，故①错误；
，过点、、的截面为矩形，
，，平面，当在直线上运动时，平面，
，故②正确；
当在直线上运动时，△的面积为定值（如图（2）），到平面的距离为定值，
的体积是定值，故③正确；
连接，则平面，的轨迹是线段，故④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，属于中档题．
三、解答题（本大题共6个答题，共70分，请写出必要的文字说明或演算推理过程）
17.在中，角所对边分别为，若．
（1）求角的大小；
（2）若，面积为，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得
，整理可求．
（2）由（1）所求及可求，然后由余弦定理，
可求，进而可求，．
【详解】解：（1），
，
，
，，
，由，，
，
（2）由，
由余弦定理可得，，
即，
，解得：．
【点睛】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式．
18.已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且
．
（1）求直线的方程；
（2）求圆的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）先求得直线的斜率和的中点，进而求得斜率，利用点斜式得直线方程．（2）设出圆心的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定和的等式综合求得和，则圆的方程可得．
【详解】（1）直线的斜率，的中点坐标为
直线的方程为
（2）设圆心，则由点在上，得．①
又直径，，．②
由①②解得或，圆心或
圆的方程为或
【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力．19.某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为，
，…，）.
（1）求成绩在的频率，并补全此频率分布直方图；
（2）求这次考试平均分的估计值；
（3）若从成绩在和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率. 【答案】（1），频率分布直方图见解析；（2）；（3）
【解析】
试题分析：（1）先根据题目条件求出成绩在除外的各组人数，进而可得出成绩在
内的学生人数，并且可据此补全此频率分布直方图；（2）由题知考试平均分的估计值应为直方图中各个小矩形的面积与其对应矩形的底边中点的横坐标积的和；（3）可先求出成绩在
和的学生人数，再利用古典概型即可求得成绩在同一分组区间的概率.
试题解析：（1）由题意得成绩在的学生人数为，在的学生人数为，在的学生人数为，在的学生人数为
，
所以成绩在的学生人数为，频率分布直方图同（A）（1）；
（2），（3）同（A）（2），（3）.
考点：1、频率分布直方图；2、样本平均数；3、古典概型.
【思路点睛】本题是一个关于样本频率分布直方图方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路是：（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积之和为，即可求得成绩在的人数，并可进而补全此频率分布直方图；（2）由题知考试平均分的估计值应为直方图中各个小矩形的面积与其对应矩形的底边中点的横坐标积的和；（3）可先求出成绩在和
的学生人数，再利用古典概型即可求得成绩在同一分组区间的概率.
20.已知命题函数在区间和上各有一个零点；命题，使函数有意义．若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．【答案】或.
【解析】
【分析】
若命题为真命题，则，即可求出的取值范围；对于命题使函数
有意义不等式有属于的解，
，即可求出的取值范围；若为假命题，为真命题，其中至少有一个为真命题即可得出．
【详解】若命题为真命题，则；
若命题为真，，使函数有意义，
则不等式有属于的解；即，．
，，．
．
若为假命题，为真命题，则中有一个为真命题，一个为假命题，
若命题为真命题，为假命题，则，所以无解；
若命题为假命题，为真命题，则或；
综上，或.
21.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，
，，，为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
利用与交于，连接．证明，通过直线与平面平行的判定定理证明平面
；
对于存在性问题，可先假设存在，即假设在线段上是否存在点，使二面角的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断．【详解】与交于，连接．
由已知可得四边形是平行四边形，
所以是的中点．
因为是的中点，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
由于四边形是菱形，，是的中点，可得．
又四边形是矩形，面面，
面，
如图建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，，，
，，，，，，
设平面的法向量为，，．
则，，
令，，，，
又平面的法向量，0，，
，，解得，
，
在线段上不存在点，使二面角的大小为．
【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行的判断以及
二面角的应用，考查存在性问题，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．利用空间向量法求二面角的一般方法，属于中档题.
22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长和焦距都等于2，是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线的斜率为定值；
（3）求面积的最大值．
【答案】（1）（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）设椭圆的方程，根据椭圆的性质即可求得和的值，求得椭圆方程；
（2）利用点差法即可求证直线的斜率为定值；
（3）设直线的方程，由，将直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及
弦长公式及基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】（1）由题意可设椭圆的方程为，，则，所以的方程为；
（2）设，，，，则，，直线的斜率，
由，两式相减，，
由直线，所以，
直线的斜率为定值；
（3）因为，关于原点对称，所以，
由（1）可知的斜率，设方程为且，
到的距离
由，整理得：，
所以，
所以，
，
，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，考查转化思想．。