河北省邯郸市2021-2022学年高三上学期开学摸底考试数学试题及答案

-1 -邯郸市2022届高三年级摸底考试试卷
数学 参考答案
1.A
2.D
3.B
4.A
5.B
6.B
7.A
8.B
9.B D 10.A B D 11.B D 12.A B C
13.-32 14.-14 23 15.2022 16.112π17.ʌ解析ɔ(1)a n +1-2n +1()-a n -2n ()=a n +1-a n -
2n =2(与n 无关),3分…………………………………故数列a n -2n {}为等差数列,且公差d =2.可知,a n -2n =a 1-2()+n -1()d =2n -2;5分…………(2)由(1)得a n =
2n +2n -2,7分……………………………………………………………………………所以b n =2a n +
2-2n ()=2n +1,8分…………………………………………………………………………所以{b n }为首项是4,公比q =2的等比数列,则S n =b 11-q n ()1-q =41-2n ()1-2=2n +2-4.10分…………18.ʌ解析ɔ(1
)体育不合格
体育合格合计男
10060160女
11030140合计21090300
2分
……………………………………………………………………………………………………………K 2的观测值k =300ˑ(100ˑ30-110ˑ60)2210ˑ90ˑ140ˑ160ʈ9.2<10.828,所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为
体育合格 与性别有关;4分……………………(2)易知,所抽取的9名学生中,男生为9ˑ6090=6名,女生为3名.X 可取0,1,2,3,且P (X =0)=C 33C 39=184,P (X =1)=C 16C 23C 39=314,6分……………………………………P (X =2)=C 26C 13C 39=1528,P (X =3)=C 36C 39=521.8分……………………………………………………………所以X 的分布列为:
X
0123P 1843141528521
10分
……………………………………………………………………………………………………………所以E (X )=0ˑ184+1ˑ314+2ˑ1528+3ˑ521=2.12分……………………………………………………19.ʌ解析ɔ(1)因为B =60ʎ,所以c o s B =12,s i n B =32,由余弦定理知:b 2=a 2+c 2-2a c c o s B ,
-2 -
即100=a 2+c 2-a c ȡ2a c -a c ,即a c ɤ100
,3分……………………………………………………………当且仅当a =c 时取等号.所以әA B C 的面积S =12a c s i n B ɤ12ˑ100ˑ32=253,所以әA B C 的面积的最大值为253;5分………………………………………………………………………………………(2)由正弦定理得s i n C ㊃s i n π-A 2=22s i n A ㊃s i n C ,因为s i n C ʂ0,所以2s i n π-A 2=s i n A .即2c o s A 2=2s i n A 2㊃c o s A 2
,7分……………………………因为c o s A 2ʂ0,故s i n A 2=22,由于0<A <π,所以A =90ʎ,9分…………………………………………因为s i n B =32=b a ,所以a =2033,所以c =a ㊃c o s B =1033,11分……………………………………所以周长为a +b +c =2033+10+1033=10+103.12分………………………………………………20.ʌ解析ɔ(1)椭圆过点3,12()
,即3a 2+14b 2=1,2分…………………………………………………………又2c =23,得a 2=b 2+3,所以a 2=4,b 2=1,即椭圆方程为x 24+y 2=1;4分……………………………(2)由x 24+y 2=1y =k x +m {
,得1+4k 2()x 2+8k m x +4m 2-4=0,6分………………………………………………由Δ=64k 2m 2-4(1+4k 2)(4m 2-4)=-16m 2+64k 2+16>0,得m 2<1+4k 2.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8k m 1+4k 2,设A B 的中点M 为x 0,y 0(),得x 0=-4k m 1+4k 2=12,即1+4k 2=-8k m ,所以y 0=k x 0+m =12k -1+4k 28k =-18k .8分………………………………………………………………所以A B 的中垂线方程为y +18k =-1k x -12(),即y =-1k x -38()
,故A B 的中垂线恒过点N
38,0()
.12分……………………………………………………………………………………………………………21.ʌ解析ɔ(1)由C B =C E ,设B E 的中点为O ,连接P O ,则P O ʅB E ,又二面角P -E B -C 为直二面角,故P O ʅ平面A B C D ,设B C =a ,则P O =22a ,又A B =2,得三棱锥P -A B E 的体积V =13P O ˑ12A B ㊃B C =26,即13ˑ22a ˑ12ˑ2ˑa =26,得B C =a =1,3分………………………………………………………………于是由A E =B E =2,所以A B 2=A E 2+B E 2,所以A E ʅB E ,又平面P E B ʅ平面A B E D ,得A E ʅ平面
-3 -P E B ,则A E ʅP B ,又P B ʅP E ,且A E ɘP E =E ,所以P B ʅ平面P E A ,由P B ⊂平面P A B ,故平面P A B
ʅ平面P A E ;5分……………………………………………………………………………………………(2)以B E 的中点O 为坐标原点,以O P 的方向为z 轴正方向,
过点O 分别作A B 和A D 的平行线,
分别为x 轴和y 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则A 32,12,0(),D 32,-12,0(),B -12,12,0()
,P 0,0,22æèçöø÷,A D ң=(0,-1,0),A P ң=-32,-12,22æèçöø
÷,A B ң=(-2,0,0),7分……………设n =x 1,y 1,z 1()为平面A D P 的法向量,则有n ㊃A D ң=0n ㊃A P ң=0
{,即-y 1=0,-32x 1-12y 1+22z 1=0,{可取n =23,0,1æèçöø÷,9分……………………………………………………设m =x 2,y 2,z 2()为平面A B P 的法向量,则有m ㊃A B ң=0m ㊃A P ң=0{
,即-2x 2=0-32x 2-12y 2+22z 2=0{,可取m =0,2,2(),11分……………………………………………………………………………………………………………所以c o s <n ,m >=n ㊃m n m =3311,由图形知二面角B -P A -D 为钝角,其余弦值为-3311.12分………22.ʌ解析ɔ(1)当a =2时,f (x )=2e x -x 2,f
'(x )=2e x -2x ,设g (x )=f '(x )=2e x -2x ,则g '(x )=2e x -2,令g '(x )=0,得x =0
,2分……………………………………………………………………………………所以g (x )在区间(-ɕ,0)上单调递减,在区间(0,+ɕ)
上单调递增,所以g (x )m i n =
g (0)=2-0=2,即f '(x )ȡ0对任意x ɪR 恒成立,所以函数f (x )
为增函数;4分………………………………………………………………………………(2)先证对任意x ɪ[0,+ɕ),e x ȡx 2+1.令p (x )=e x -x 2-1,p
'(x )=e x -2x =m (x ),m '(x )=e x -2.6分………………………………………令m '(x )=0,得x =l n 2
,所以m (x )在区间(-ɕ,l n 2)上单调递减,在区间(l n 2,+ɕ)
上单调递增,所以m (x )ȡm (l n 2)>0
,8分………………………………………………………………………………所以p '(x )>0,所以p (x )在[0,+ɕ)上单调递增,所以p (x )ȡp (
0)=0,所以e x ȡx 2+1,x ɪ[0,+ɕ).10分………………………………………………当a >1时,f (x )-c o s x =a e x -x 2-c o s x >e x -x 2-c o s x ȡx 2+1-x 2-c o s x =1-c o s x ȡ0,即f (x )>c o s
x 对于任意的x ɪ[0,+ɕ)恒成立.12分……………………………………………………。