精品 2015年九年级数学 二次函数同步讲义+提高练习题 04课
新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.1 二次函数
优质文档新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.1 二次函数———提优清单———提优点1：二次函数的概念及一般形式 提优点2：根据实际问题列二次函数关系式———典型例题———【例1】下列一定是二次函数的有（ ）①y =2x 2－4xz ＋3；②y =4－3x ＋7x 2；③y=（2x －3）（3x－2）－6x 2；④y =21x－3x ＋5；⑤y =ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数）；⑥y =（m 2＋1）x 2－2x －3（m 为常数）；⑦y =m 2x 2＋4x －3（m 为常数）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【方法总结】判断一个函数是不是二次函数，先把关系式化简整理，再分三个步骤来判断：（1）看它是否是整式，如果不是整式，则必不是二次函数；（2）当它是整式时，再看它是否是自变量的二次式，如果是自变量的二次式，那就是二次函数，否则就不是；（3）看它的二次项系数是否为0，如果不为0，那就是二次函数．【例2】（2011•山东青岛）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）写出销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式； （2）求销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式．【方法总结】列具体问题中的函数关系式，一般采取三步走的策略：第一步认真审题，弄清题意，找出具体问题中的已知量和未知量，并分析出它们之间的关系；第二步套关系，列出函数关系式；第三步根据题意，确定自变量的取值范围．变式：（2015•黑龙江哈尔滨期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （米2）与x（米）的关系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围）【例3】（2015•四川成都模拟）如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以每秒2cm 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合． （1）求重叠部分面积y （cm 2）与时间t （s ）之间的函数关系式；（2）当t =5时，求y 的值； （3）当y =128时，求t 的值．【方法总结】已知x 求函数y 的值，实质上是求代数值的值；已知y 求自变量x 的值，实质上是解方程求方程的根．———分层提优——— 复习巩固提优1．（☆2013•湖南怀化）下列函数是二次函数的是（ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =－2x ＋1 C ．y =x 2＋2 D ．y =21x －2 2．（☆2014•浙江杭州模拟）二次函数y =2x （x －3）的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A ．2B ．－2C ．－1D ．－4 3．（☆☆ 2014•安徽省）某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x的函数关系式为y= ．4．（☆☆2015•四川南充模拟）二次函数y=x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是．5．（☆☆）已知函数y=（m2－m）x2＋（m－1）x＋m＋1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应满足什么条件？6．（☆☆☆）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式；（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．综合运用提优7．（☆2015•浙江杭州期中）下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系8．（☆☆2015•浙江丽水模拟）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=225x2B．y=425x2C．y=25x2D．y=45x29．（☆☆☆2014•湖北武汉联考）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨1元，每星期要少卖8件；每降价1元，每星期可多卖12件．已知商品的进价为每件40元．（1）设每件涨价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；（2）设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；（3）问如何定价才能使每星期售出商品的利润达到6248元．10．（☆☆☆）如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ 的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．拓广探究提优11．（☆☆☆☆☆2011•吉林省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A→B→C→E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B→C→E→D的方向运动，到点D停止，设运动时间为x s，△PAQ的面积为y cm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x=2s时，y= cm2；当x=92s时，y= cm2．（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．（3）当动点P在线段BC上运动时，求出y=415S梯形ABCD 时x的值．———参考答案———例1．【答案】B【解析】①y =2x 2－4xz ＋3，含有两个自变量，不是二次函数；③y =（2x －3）（3x －2）－6x 2=－13x ＋6，是一次函数；④y =21x －3x ＋5，分母中含有自变量，不是二次函数；⑤y =ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数），不一定是二次函数；⑦y =m 2x 2＋4x －3（m 为常数）不一定是二次函数．②y =4－3x ＋7x 2，是二次函数；⑥y =（m 2＋1）x 2－2x －3（m 为常数），m 2＋1≠0，一定是二次函数．∴只有②⑥一定是二次函数．例2．【解析】（1）根据题意，得y =200＋（80－x ）×20=－20x ＋1800，所以销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式为y =－20x ＋1800（60＜x ≤80）； （2）w =（x －60）y =（x －60）（－20x ＋1800）=－20x 2＋3000x －108000，所以销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式w =－20x 2＋3000x －108000． 变式：【答案】y =－21x 2＋15x 【解析】∵AB 边长为x 米，而ABCD 是矩形，∴BC =21（30－x ），菜园的面积=AB ×BC =21（30－x ）•x ，∴y =－21x 2＋15x ．例3．【解析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，AM =20－2t ，则重叠部分面积y =12×AM 2=12（20－2t ）2=2t 2－40x ＋200； （2）当t =5时，y =12（20－2×5）2=50； （3）当y =128时，12（20－2t ）2=128，解得t 1=2，t 1=18（舍去），∴t =2． 1．【答案】C【解析】y =2x ＋1，y =－2x ＋1，y =21x －2都是一次函数，y =x 2＋2是二次函数．2．【答案】D【解析】y =2x （x －3）=2x 2－6x ，所以二次项系数与一次项系数的和=2＋（－6）=－4． 3．【答案】a （1＋x ）2【解析】根据增长后的量=增长前的量×（1＋增长率），可知今年二月份新产品的研发资金为a （1＋x ）元，则三月份新产品的研发资金为a （1＋x ）（1＋x ）=a （1＋x ）2． 4．【答案】3和－5【解析】根据题意，得x 2＋2x －7=8，即x 2＋2x －15=0，解得x =3或－5． 5．【解析】（1）根据一次函数的定义，得m 2－m =0， 解得m =0或m =1， 又∵m －1≠0即m ≠1．∴当m =0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得m 2－m ≠0， 解得m 1≠0，m 2≠1．∴当m ≠0且m ≠1时，这个函数是二次函数．6．【解析】（1）y =（2x ＋2x ＋x ＋x ）×30＋45＋2x 2×120=240x 2＋180x ＋45； （2）由题意可列方程240x 2＋180x ＋45=195，整理得8x 2＋6x －5=0，即（2x －1）（4x ＋5）=0，解得x 1=0.5，x 2=－1.25（舍去）， ∴x =0.5，∴2x =1．答：镜子的长和宽分别是1m 和0.5m ． 7．【答案】C【解析】A 、距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；B 、设原来的人口是a ，x 年后的人口数是y ，则y =a （1＋1%）x ，不是二次函数关系；D 、设半径是r ，则周长C =2πr ，是一次函数关系． 8．【答案】C【解析】作AE ⊥AC ，DE ⊥AE ，两线交于E 点，作DF ⊥AC 垂足为F 点，∵∠BAD =∠CAE =90°，即∠BAC ＋∠CAD =∠CAD ＋∠DAE ，∴∠BAC =∠DAE ，又∵AB =AD ，∠ACB =∠E =90°，∴△ABC ≌△ADE （AAS ），∴BC =DE ，AC =AE ．设BC =a ，则DE =a ，DF =AE =AC =4BC =4a ，CF =AC －AF =AC －DE =3a ，在Rt △CDF 中，由勾股定理，得CF 2＋DF 2=CD 2，即（3a ）2＋（4a ）2=x 2，解得a =5x，∴y =S 四边形ABCD=S梯形ACDE=21×（DE ＋AC ）×DF =21×（a ＋4a ）×4a =10a 2=52x 2．9．【解析】（1）y ＝（60＋x －40）（300－8x ）＝－8x 2＋140x ＋6000； （2）y ＝（60－x －40）（300＋12x ）＝－12x 2－60x ＋6000； （3）当涨价时，－8x 2＋140x ＋6000＝6248，解得x 1=2，x 2=231（舍去）； 当降价时，－12x 2－60x ＋6000=6248，解得x 1=2，x 2=331（舍去）． 因此，售价为每件62元或58元时，每星期售出商品的利润达到6248元． 10．【解析】∵PB =6-t ，BE +EQ =6+t ，∴S =12PB •BQ =12PB •（BE +EQ ）=12（6-t ）（6+t ）=-12t 2+18， ∴S =－12t 2＋18（0≤t ＜6）． 11．【解析】（1） 2；9． （2） 当5≤x ≤9时，如图：CQy = S 梯形ABCQ －S △ABP –S △PCQ =21（5＋x －4）×421-×5（x －5）21-（9－x ）（x －4）=12x 2－7x ＋652， 所以y =12x 2－7x ＋652； 当9＜x ≤13时，如图：CPy =21（x －9＋4）（14－x ）=－12x 2＋192x －35，所以y =－12x 2＋192x －35； 当13＜x ≤14时CPQ )y =21×8（14－x ）=－4x ＋56， 所以y =－4x ＋56．（3） 当动点P 在线段BC 上运动时， ∵154=y S 梯形ABCD154=×21（4＋8）×5 = 8，即x ²－14x ＋49 = 0， 解得x 1 =x 2 = 7， ∴当x =7时，154=y S 梯形ABCD．。
精品2014年九年级数学上册暑期讲义同步练习--二次函数第04课二次函数的图象03
(4) 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标及两交点间距离；
(5) 求出该抛物线与 y 轴的交点坐标；
时， y 随 x 的增大而减小 .
(6) 该函数图象可由 y 3x 2 的图象经过怎样的平移得到的？
，对称轴是
，当 x=
时，
y 有最
值为
。当 x
时， y 随 x 的增大而增大 .
8. 若抛物线 y
a( x 1) 2
k 上有一点 A（ 3， 5），则点 A 关于对称轴对称点
/
A
的坐标为
____________
9. 一条抛物线的对称轴是 x=1，且与 x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式 为 ________________ 10. 已知抛物线的顶点坐标为 (2,1) ，且抛物线过点 (3,0) ，则抛物线的关系式是 11. 若函数 y x2 mx m 2的图象经过 (3 ，6) 点，则 m=______
P 的坐标； P 的坐标；
P 的坐标。
课堂练习：
1. 要得到 y 2( x 2) 2 3 的图象，需将抛物线 y 2 x2 作如下平移 ( )
A. 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B. 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
C. 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 D. 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
1 x
2 2 向右平移 1 个单位后，得到的抛物线解析式为
3
_______
，当 x＝
9. 若把函数 y
5x
2
2
3 的图象分别向下 , 向左移动 2 个单位 , 则得到的函数解析式为
。
10. 二次函数 y (x 1) 2 2的最小值为 ____________
2015届九年级下数学基础复习卷(5)二次函数(含答案)
（第三章 二次函数 时间： 60 分钟 满分： 100 分）
班别：
姓名：
一、选择题： （每小题 3 分，共 30 分）
1．在抛物线 y x 2 4 上的一个点是（
学号： ）
成绩：
A ．（ 4， 4）
2．抛物线 y ( x 2) 2
轴与抛物线 y 1 x2 交于点 Q，则图中阴影部分的面积 2
为 ________________ ．
三、解答题： （每小题 8 分，共 32 分）
17．求抛物线 y
1 x 2 x 的开口方向、顶点坐标和对称轴． 2
（图 7）
18．若 y ax 2 bx c ，由下列表格的信息， 求 y 与 x 之间的函数关系式．
y
E A
O
x
C
B
（图 10）
的距离的 4 倍，记抛物线顶点为
E． [来源 :]
（ 1）求双曲线和抛物线的解析式；
（ 2）计算△ ABC 与△ ABE 的面积；
（ 3）在抛物线上是否存在点 D，使△ ABD 的面积等于△ ABE 的面积的 8 倍．若存在，
请 求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
D． c 3
8．设 A ( 2, y1), B(1, y2), C(2, y3) 是抛物线 y ( x 1)2 m 上的三点， 则 y1, y2, y3 的大
小关系为（
）
A ． y1 y2 y3
B． y1 y3 y2
C． y3 y2 y1
D． y2 y1 y3
9．二次函数 y ax2 bx 的图象如图 2 所示，若一元二次方程
湘教版数学九年级下册 第1章《二次函数》 同步练习及答案
第1章 二次函数 1.1 二次函数1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A. y ＝3x －1 B. y ＝ax 2＋bx ＋ c C.s ＝2t 2－2t ＋1 ＝x 2＋1xD. y2. 若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则( ) A. a ＝1 B. a ＝±1 C. a≠－1 D. a≠13. 下列函数中，是二次函数的是( )A. y ＝x 2－1 B. y ＝x －1 C. y ＝8x D. y ＝8x24. h ＝12gt 2(g 为常量)中，h 与t 之间的关系是( )A.正比例函数关系B.一次函数关系C.二次函数关系D.以上答案都不对 5. 已知二次函数y ＝x 2－2x ，当y ＝3时，x 的值是( )A.x 1＝1，x 2＝3B. x 1＝－1，x 2＝3C. x 1＝－3D.x 1＝－1，x 2＝－3 6. 如图，直角三角形AOB 中，AB ⊥OB ，且AB ＝OB ＝3.设直线x ＝t 截此三角形所得的阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为( )1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。
20.6.166.16.202022:2522:25:04Jun-2022:252、心不清则无以见道，志不确则无以定功。
二〇二〇年六月十六日2020年6月16日星期二3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。
22:256.16.202022:256.16.202022:2522:25:046.16.202022:256.16.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。
6.16.20206.16.202022:2522:2522:25:0422:25:045、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
Tuesday, June 16, 2020June 20Tuesday, June 16,20206/16/2020 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。
精品 2015年九年级数学 二次函数同步讲义+提高练习题 01课
第01课二次函数图象性质一二次函数定义一般式顶点式双根式函数表达式解析式求法开口方向对称轴顶点坐标无公式a>0最值a<0a>0增减性a<0开口大小例1.已知二次函数2y ax =的图象经过点A(-2，8) (1)求这个二次函数的关系式； (2)求当x=3时的函数y 的值． (3)求当y=16时，求自变量x 的值.例2.求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--= （2）1222+-=x x y例3.若抛物线2221y x mx m m =-+++的顶点在第二象限，则常数m 的取值范围是（ ） A.12m m <->或B.12m -<<C.10m -<<D.1m >例4.将下列抛物线一般式转化为顶点式,并求出其对称轴及顶点坐标.(1)542+-=x x y (2)5822+-=x x y例5.二次函数243y x x =-+的图象交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C,求△ABC 的面积.课堂同步练习：1.对于抛物线22y x =+和2y x =-的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同．其中正确的有（ ） A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值-1，则a 与b 之间的大小关系是（ ） A.a ＜b B.a=b C.a ＞b D.不能确定3.抛物线222-+=x x y 的顶点坐标是（ ）A.（2,－2）B.（1,－2）C.（1,－3）D.（－1,－3） 4.抛物线1(2)(6)2y x x =+-的对称轴是 ( ) A.x=-2 B.x=6 C.x=2D.x=45.下列关于抛物线221y x x =++的说法中，正确的是（ ） A.开口向下B.对称轴是直线x=1C.与x 轴有两个交点D.顶点坐标是(-1，0)6.如图,抛物线顶点坐标是P （1,3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 取值范围是（ ） A.x ＞3B.x ＜3C.x ＞1D.x ＜1第6题图 第7题图 第8题图 7.二次函数322--=x x y 的图象如图,下列说法中错误的是（ ） A.函数图象与y 轴的交点坐标是（0,-3） B.顶点坐标是（1,-3）C.函数图象与x 轴的交点坐标是（3,0）、（-1,0）D.当x ＜0时,y 随x 的增大而减小 8.若二次函数222-++=a bx ax y （a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为( )A.1B.2C.2-D.-29.抛物线24y x =-与x 轴交于B 、C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积为（ ） A.16 B.8 C.4 D.210.对于抛物线3)1(212++-=x y ，下列结论： ①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为（-1，3）;④x ＞1时,y 随x 的增大而减小;⑤函数的最大值为3.其中正确结论的个数为（ ）A.2B.3C.4D.511.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x 2+a 的图象可能是（ ）12.在平面直角坐标系中,二次函数)0()(2≠-=a h x a y 的图象可能是（ ）13.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（ ）14.填空：(1)若二次函数22-=m mxy 有最大值，则m=_________。
精品 2015年九年级数学 二次函数同步讲义+提高练习题 06课
第06课二次函数实际应用三例1.如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围.例2.如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰直角三角形PQR,PQ= PR=3cm, QR=8cm,点B、C、Q、R 在同一条直线L上,当C、Q两点重合时,等腰三角形PQR以1cm/ 秒的速度沿直线L按箭头所示的方向开始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2.解答下列问题:(1)当t=3时,求S的值;(2)当t=5时,求S的值;(3)试找出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.课堂同步练习：1.若函数2221()mm y m m x --=+是二次函数,那么m 的值是( )A.2B.-1或3C.3D.12-± 2.在函数y=229x x x ++-中,自变量x 的取值范围是( )A.x>-2且x≠-3;B.x>-2且x≠3;C.x≥-2且x≠±3;D.x≥-2且x≠3 3.无论m 为何实数,二次函数y=x 2-(2-m)x+m 的图象总是过定点( )A.(1,3)B.(1,0);C.(-1,3)D.(-1,0) 4.在直角坐标系中,坐标轴上到点P(-3,-4)的距离等于5的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 5.直线y=3x-3与抛物线y=x 2-x+1交点的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.不能确定 6.抛物线y=x 2+1与抛物线y= -x 2+c 最多有几个交点( )A.0个B.1个C.2个D.4个 7.将y=2(x-1)2+2的图象向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到图象的解析式为( ) A.y=2x 2+5 B.y=2x 2-1 C.y=2(x-2)2-1 D.y=2(x-2)2+5 8.抛物线y=x 2-mx-2的顶点位置与m 又如下关系( )A.m=0时,顶点在x 轴上；B.m>0时,顶点在y 轴左侧；C.m<0时,顶点在y 轴右侧；D.不论m 为何实数值,顶点永远在x 轴下方 9.把抛物线y=2x 2 -4x-5绕顶点旋转180º,得到的新抛物线的解析式是( )A.y= -2x 2-4x-5 B.y=-2x 2+4x+5 C.y=-2x 2+4x-9 D.以上都不对 10.若二次函数y= -x 2+2(m-1)x+2m-m 2的图象的对称轴为y 轴,此图象的顶点A 和它与x 轴二交点B.C 所构成的三角形的面积是( )A.21 B.1 C.23D.2 11.在同一坐标系中,作y=ax 2+bx+c 和 y=ax 2-bx+c(abc≠0)的图象,则两图象交于( )A.两点,都在坐标轴上B.一点,不在坐标轴上C.一点,在x 轴上D.一点,在y 轴上 12.适当选取a.b 的值,函数0=++c by ax ,c bx ax y ++=2在同一坐标系中图象可以是( )13.抛物线2ax y =(a ≠0)是一条不经过一.二象限的抛物线,则点(-a,a-1)在 象限。
初中数学九年级数学上《二次函数》章节课堂基础同步练习(全章节整理含答案)
y=ax2的图象和性质
1.关于函数 的性质的叙述,错误的是()
A．对称轴是 轴B．顶点是原点
C．当 时, 随 的增大而增大D． 有最大值
2.在同一坐标系中,抛物线 的共同点是()
A．开口向上,对称轴是 轴,顶点是原点
B．对称轴是 轴,顶点是原点
C．开口向下,对称轴是 轴,顶点是原点
B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位
能力提升
4.抛物线 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为 ，则 、 的值为（）
A. B. C. D.
5.已知二次函数 的图象如图所示对称轴为x= ．下列结论中，正确的是（ ）
2.若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是______.
3.等腰梯形的周长为60 cm，底角为60°，当梯形腰x=______时，梯形面积最大，等于______.
能力提升
4.关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（）
①当c=0时，函数的图象经过原点;②当b=0时，函数的图象关于y轴对称;
7.在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A（1、-4），且经过点B（3,0）.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当 时，函数值y的增减情况；
（3）将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点.
参考答案
1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.C
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
基础导练
人教版 九年级数学讲义 二次函数的概念及解析式(含解析)
第4讲 二次函数的概念与解析式知识定位讲解用时：3分钟A 、适用范围：人教版初三，基础一般B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习一类新函数——二次函数，重点掌握二次函数的概念以及三种解析式，能够准确判断函数的类型，能够根据点的坐标求出二次函数的解析式，本节课的难点在于三种解析式之间的区分，需要学生能够根据点的坐标特点准确选择合适的解析式形式进行求解。
知识梳理讲解用时：20分钟二次函数的定义 （1）定义 一般地，形如c bx ax y ++=2（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项，a ≠0，b 或c 可以为0。
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件。
（2）定义域一般情况下，二次函数的定义域为一切实数，而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定。
课堂精讲精练【例题1】下列函数中，二次函数是（ ）。
A ．y=﹣4x+5B ．y=x （2x ﹣3）C ．y=（x+4）2﹣x 2D ．21x y =【答案】B【解析】本题考查了二次函数的定义，A 、y=﹣4x+5为一次函数；B 、y=x （2x ﹣3）=2x 2﹣3x 为二次函数；C 、y=（x+4）2﹣x 2=8x+16为一次函数；D 、21xy =不是二次函数，故选：B ． 讲解用时：2分钟解题思路：根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论。
教学建议：牢记二次函数的定义即可。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：资中县一模 年份：2018【练习1】下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ）。
A ．y=ax 2+bx+cB ．y=x （x ﹣1）C ．21x y =D ．y=（x ﹣1）2﹣x 2【答案】B【解析】本题考查了二次函数的定义，A 、当a=0时，y=bx+c 不是二次函数；B 、y=x （x ﹣1）=x 2﹣x 是二次函数；C 、21x y =不是二次函数； D 、y=（x ﹣1）2﹣x 2=﹣2x+1为一次函数，故选：B ．讲解用时：2分钟解题思路：根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论。
北师大版初中数学九年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第4讲 二次函数的概念(提高)
二次函数的概念—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.【要点梳理】要点一、函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.要点二、函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.2在二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0）中，ax叫函数的二次项，bx叫函数的一次项，c叫常数项；a叫二次项系数，b叫一次项系数，c 叫常数项.要点诠释：（1）如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．（2）判断系数时，首先要将二次函数化成一般式，再对照定义写出，特别要注意的是系数要包含其前面的符号.【典型例题】类型一、函数的相关概念1、下列说法正确的是（）Ａ.变量满足，则是的函数；Ｂ.变量满足，则是的函数；Ｃ.变量满足，则是的函数；Ｄ.变量满足，则是的函数.【思路点拨】严格依照函数的概念进行判断.【答案】A；【解析】B、C、D三个选项，对于一个确定的的值，都有两个值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是惟一确定的.举一反三：【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）【答案】B.2、求函数的自变量的取值范围.【思路点拨】要使函数有意义，需或解这个不等式组即可.【答案与解析】 解：要使函数有意义，则需要即或解方程组得，自变量取值是或.【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的x 的值.3、如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度为15米)的矩形菜园ABCD ，设AB的长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为_____ ___(写自变量的取值范围)．【思路点拨】根据矩形的周长和一边AB 的长表示出另一临边AD 的长，再根据矩形的面积公式来求解. 【答案】（0＜x ≤15） 21152y x x =-+【解析】解：∵矩形的周长为30米，边AB 长x 米，∴AD=米， ∴矩形的面积y=x =（0＜x ≤15） 【总结升华】考虑到实际情况，对于自变量x 来说，一定不能超过墙的长度.举一反三：【变式】圆的半径是1cm ，假设半径增加xcm ，圆的面积增加ycm ，则y 与x 的关系式为：_____ ___.【答案】类型二、函数的三种表示方法4、问题情境已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为． 探索研究⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质． ①填写下表，画出函数的图象：②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请302x-⨯302x -21152x x -+222y x x ππ=+2()(0)a y x x x=+＞1(0)y x x x=+＞你通过配方求函数(x ＞0)的最小值． 解决问题⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．【思路点拨】本题告诉我们一种研究问题的方法，从最基本的函数研究起，慢慢到较复杂的函数.所以一定要跟着题目教给我们的思路走. 【答案与解析】解⑴①y 的值依次是：，，，2，，，．函数的图象如图．②本题答案不唯一，下列解法供参考．当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2． ③ = = ==0，即时，函数的最小值为2．时，它的周长最小，最小值为．1y x x=+17410352521031741y x x=+(0)x >01x <<y x 1x >y x 1x =1y x x=+(0)x >1y x x=+22+22+-22+-1x =1y x x=+(0)x >【总结升华】本题属于阅读理解型问题，要好好阅读材料，根据题目的提示一步步往下进行.综合考察了列表法、图形法和解析法三种函数的表示方法.类型三、二次函数的概念5、（2019秋·武威校级月考）一个二次函数234(1)21k k y k xx -+=-+-.（1）求k 的值.（2）求当x=3时，y 的值？【思路点拨】关键要考虑两点：一是自变量的最高次数为2，二是最高次项系数不能为0. 【答案与解析】解（1）依题意有234210k k k ⎧-+=⎨-⎩≠ ，解之得，k=2.(2)把k=2代入函数解析式中得： y=x 2+2x-1, 当x=3时，y=14.【总结升华】此题考察二次函数的定义和函数值. 举一反三：【变式1】函数是二次函数，则m 的值是( )．A ．3B ．-3C ．±2D ．±3 【答案】B.【变式2】（2019秋·合肥校级月考）已知函数2(1)2m my m x x m +=-+-是二次函数，求m 的值，并指出二次项系数，一次项系数及常数项. 【答案与解析】解：由题意得2210m m m ⎧+=⎨-⎩≠∴211m m m =-=⎧⎨⎩或≠，∴m = -2.∴函数为y=-3x 2+2x+2∴二次项系数为-3，一次项系数为2，常数项为2.二次函数的概念——巩固练习（提高）【巩固练习】一.选择题1.下列平面直角坐标系中的曲线，不能表示y 是x 的函数的是（ ）||1(3)31m y m xx -=-+-2.在函数中，自变量的取值范围是（ ） A.x ＞-1且x ≠1 B. x ≥-1 C. x ≥-1且x ≠1 D. x ＞-13.张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ）4.（2019秋·青海校级月考）若267(1)mm y m x -+=-是二次函数，则m 的值是( )．A.5B.1C.1或5D.以上都不对.5.一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x ，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为( )．A ．y ＝60(1-x)2 B.y ＝60(1-x) C ．y ＝60-x 2 D ．y ＝60(1+x)26.汽车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数若汽车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为( )．A ．40 m/sB ．20m/sC ．10 m/sD ．5 m/s二.填空题7.一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S 与底面半径r 之间的函数关系式___________________.8.（2019秋·乌鲁木齐校级月考）若221(3)2a a y a x--=--是二次函数，则a= .1y x =-x 21(0)20y x x =>9.下列函数一定是二次函数的是__________.①；②； ③；④；⑤y=(x-3)2-x 210.边长为12 cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长x cm 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm 2)与x(cm)之间的函数关系式为_______________．11.中的二次项系数=__________,一次项系数=__________,常数项=__________. 12.同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m 与参加聚会的人数n 之间的函数关系式_______________． 三.解答题13.（2019秋·温岭市校级月考） 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每周可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件.假设涨价x 元，求每周的利润y （元）与涨价x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.14. 如图所示，正方形ABCD 的边长为4 ，E 、F 分别是BC 、DC 边上一动点，E 、F 同时从点C 均以1的速度分别向点B 、点D 运动，当点E 与点B 重合时，运动停止．设运动时间为()，运动过程中△AEF 的面积为，请写出用表示的函数关系式，并写出自变量的取值范围．15.某地绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在当地收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）【答案与解析】一.选择题 1.【答案】B ；【解析】依据函数的定义，对于自变量的每一个取值，都有唯一确定的值和它对应.B 选项中对于一个x 值有两个y 与之对应，所以不是函数. 2.【答案】C ； 【解析】要使函数有意义，需要. c bx ax y ++=2xy 3-=1342+-=x x y c bx x m y ++-=2)1(2y =(2x -1)-6a b c cm /cm s x s y x yx xy 1y x =-1010x x +≥⎧⎨-≠⎩3.【答案】D ；4.【答案】A ；5.【答案】A ；【解析】一年后这台机器的价格为60-60x ＝60(1-x)，两年后这台机器的价格为y ＝60(1-x)(1-x)＝60(1-x)2．以此类推． 6.【答案】C ；【解析】当y ＝5时，x 2＝100，x ＝10． 二.填空题7.【答案】S=6πr ；【解析】根据圆柱的表面积=两个底面圆+侧面积，有.8.【答案】-1；【解析】根据二次函数的定义，有a 2-2a -1=2，解得a =3或-1， 又∵a -3≠0，∴ a =-1.9.【答案】③.10.【答案】y ＝144-x 2；【解析】剩下四方框的面积为两个正方形的面积差. 11.【答案】4；-4；-5【解析】提示：12.【答案】 【解析】n 位同学中，因为每人除自己之外都要与其余同学分别握手一次，即握(n-1)次手，考虑到两位同学彼此的握手只算一次，所以n 位同学共握手次．即 二.解答题13.【解析】解：每件的利润为：60+x-40=(20+x)元，每周的销售量为：（300-10x ）件， 所以y=(20+x)（300-10x ）=-10x +100x+6000 ∵300-10x ＞0， ∴x ＜30∴ y=(20+x)（300-10x ）=-10x +100x+6000（0＜x ＜30）. 14.【解析】解：2222226S r r r r πππ=+⨯=22y =(2x -1)-6=4x -4x -5.21122m n n =-1(1)2n n -2111(1)222m n n n n =-=-22ABE DAF CEF y S S S S ∆∆∆=---正方形ABCD 2111222BC AB BE AD DF EF FC =---g g g．15.【解析】 解：（1）由题意得y 与x 之间的函数关系式为：（1≤x ≤110，且x 为整数）；（2）由题意得：-10×2000-340x=22500解方程得：x =50，x =150（不合题意，舍去）答：李经理想获得利润22500元需将这批香菇存放50天后出售.211144(4)4(4)222x x x x =-⨯⨯--⨯⨯--g 214(04)2x x x =-+≤≤12。
九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5份
九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4 B ．有最小值4 C ．有最大值6 D ．有最小值6 2．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5) 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =--- 4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+ B ．2(4)y x =+ C ．28y x x =+ D ．2164y x =- 5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）A ．22(2)1y x =-+-B ．22(2)1y x =--+C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，①320a b +>，①24b a c ac >++，①a c b >>．正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论：①c ≥−2 ；①当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；①若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3；①当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12． 其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（ ）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________．16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．（1）若(1,0)A -，则b =______．（2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______．三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式 19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到①ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）①ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得①ACE 与①ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：①抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，①()()21545y x x x x =-+-=-++．①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-，连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=，此时，MB MC MB MD BD+=+=最小，此时：BD=MBC∴20．解：（1）对于y x=x=0时，y=当y=0时，03x-=，妥得，x=3①A（3，0），B（0，把A（3，0），B（0，2y bx c++得：+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得，bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为：2y x x=-（2）抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P（1，p），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，①B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，①①BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴①在菱形BQCP 中，BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上，①点Q 也在x =1上，当x =1时，211y①Q （1，）； ①当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，①BC //PQ ，且BC =PQ①BC //x 轴，①令y =2y 解得，120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上，①P(1,0)①Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，①抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，①点A（﹣2，0），点B（8，0），①对称轴为直线x＝3，①①ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，①当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，①点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，①连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，①0＝8k ﹣8，①k ＝1，①直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，①点D （3，﹣5）；（3）存在，①点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），①直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，①①ACE 与①ACD 面积相等，①DE ①AC ，①设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，①﹣5＝﹣4×3+n ，①n ＝7，①DE 解析式为：y ＝﹣4x +7， 联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ①点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝（2x ﹣1）2 B ．y ＝（x +1）2﹣x 2 C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +32．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ）A ．3B ．2-C ．2D ．2或33．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（ ） A ．1,3,5a b c ==-= B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-=5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≠ B ．a≥0C ．a=2D ．a>06．下列函数中①31y x ；①243y x x =-；①1y x=；①225=-+y x ，是二次函数的有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( ) A ．a≠0，b≠0，c≠0 B ．a<0，b≠0，c≠0 C ．a>0，b≠0，c≠0 D ．a≠0二、填空题 9．若()2321m m y m x --=+是二次函数，则m 的值为______．10．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；①3y x =-；①2431y x x =-+；①2(1)y m x bx c =-++；①y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数． 14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数； ① 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数 ．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________． 三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？ 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m x +8． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．4 10．2± 11．0 12．①13． 4，-2 4 14． 1 3215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18．（1）m （2）m ≠m ≠19．①a≠0；①b=0或-1，a 取全体实数①当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2+bx +c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．九年级数学上册《二次函数》专题测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣12．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论错误的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点（0，1）C．该函数图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上D．该函数图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同3．已知：抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣24．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（）A．y＝2（x+5）2﹣3B．y＝2（x+5）2+3C．y＝2（x﹣5）2﹣3D．y＝2（x﹣5）2+35．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）4ac＜b2；（2）abc＜0；（3）2a+b＜0；（4）（a+c）2＜b2其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知抛物线y＝ax2+4ax﹣8与直线y＝n相交于A，B两点（点A在点B左侧），AB＝4，且抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．87．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个整数根，其中一个根是3，则另一个根是（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．38．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（）A．①②③B．①②C．②③④D．②③二．填空题（共8小题，满分32分）9．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝2对称，设x＝1，2，4时对应的函数值依次为y1，y2，y4，那么y1，y2，y4的大小关系是．（用“＜”连接）10．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）（I）抛物线的对称轴为；（2）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是．11．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积是．12．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．13．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为．14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是．15．抛物线y＝ax2+bx+tc（a＜0）交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，3），其中点B坐标为（1，0），同时抛物线还经过点（2，﹣5）．（1）抛物线的解析式为；（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接EC、EO，将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，当EO平分∠CEH时，则n的值为．16．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．18．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝v0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出．（1）球抛出后经多少秒回到起点？（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m？（3）球离起点的高度能达到6m吗？请说明理由．19．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．20．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点D、N．（1）求直线AB的表达式和抛物线的表达式；（2）若DN＝3DM，求此时点N的坐标；（3）若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当∠ABP＝2∠BAC时，求点P的坐标．22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣2），点C（0，﹣5），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为线段AB上一点，且BE：EA＝3：1，P为直线AC上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故选：B．2．解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，∴x＞m时，y随x增大而减小，故A错误，符合题意；∵当x＝0时，y＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故B正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线顶点坐标为（m，m2+1），∴抛物线顶点在抛物线y＝x2+1上，故C正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1与y＝﹣x2的二次项系数都为﹣1，∴两函数图象形状相同，故D正确，不合题意．故选：A．3．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2．故选：C．4．解：将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为y＝2（x+5）2+3，故选：B．5．解：根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故（1）正确．∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故（2）正确；∵对称轴x＝﹣＞1，∴2a+b＞0，故（3）错误；根据图象知道当x＝1时，y＝a+b+c＞0，根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故（4）正确；故选：C．6．解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴a≠0且Δ＝16a2﹣4a×（﹣8）＝0，∴a＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣8，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，而AB平行x轴，AB＝4，∴A点的横坐标为﹣4，B点的横坐标为0，当x＝0时，y＝﹣8，∴n的值为﹣8．故选：A．7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为3，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣5，∴关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根是﹣5，故选：A．8．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，∴函数解析式为，把h＝30代入解析式得，，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x＝2，∴当x＝2时取最小值，又|1﹣2|＜|4﹣2|，∴y1＜y4，故答案为：y2＜y1＜y4．10．解：（1）抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1，故答案为：直线x＝1；（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1（a＜0），∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，取得最大值﹣a﹣1，∵当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，∴x＝1时，y＝﹣a﹣1＝1，得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣1）2+1，∵﹣2≤x≤2，∴x＝﹣2时，取得最小值，此时y＝﹣2（﹣2﹣1）2+1＝﹣17，故答案为：﹣17．11．解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3，∴两根之积为﹣3，故答案为：﹣3．12．解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．故答案为：﹣＜b＜﹣1．13．解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3﹣5）2﹣1+2，即y＝﹣（x﹣8）2+1，故答案为：y＝﹣（x﹣8）2+1．14．解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．15．解：（1）将点C（0，3）、B（1，0）、（2，﹣5）代入抛物线y＝ax2+bx+tc中，得：a+b+c＝0，c＝3，4a+2b+c＝﹣5；解得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）抛物线向下平移n个单位后，E为（﹣1，4﹣n），C为（0，3﹣n），∴EC＝，∵CO∥EH，∴当CO＝CE＝时，∠CEO＝∠COE＝∠OCH，∴3﹣n＝或n﹣3＝，即n＝3﹣或3+．16．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．18．解：∵初速度为10m/s，g取10m/s2，∴h＝10t﹣×10t2＝10t﹣5t2，（1）当h＝0时，10t﹣5t2＝0，解得t＝0或t＝2，∴球抛出后经2秒回到起点；（2）当h＝1.8时，10t﹣5t2＝1.8，解得t＝0.2或t＝1.8，∴0.2秒或1.8秒后球离起点的高度达到1.8m；（3）球离起点的高度不能达到6m，理由如下：若h＝6，则10t﹣5t2＝6，整理得5t2﹣10t+6＝0，Δ＝（﹣10）2﹣4×5×6＝﹣20＜0，∴原方程无实数解，∴球离起点的高度不能达到6m．19．解：（1）∵函数图象过点（1，2），∴将点代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，∴x＝﹣＝﹣，∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，∴该二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣）；（2）函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的对称轴是直线x＝﹣，∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，∴﹣＝＝＝﹣1，∴a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，∴由顶点公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，∵a＜0且a≠﹣1，∴x＜0，y＞0，∴该二次函数图象的顶点在第二象限．20．解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，得，解得，∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，由题意得，（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，解得：x1＝40，x2＝20，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．21．解：（1）设直线AB的解析式为y＝px+q，把A（4，0），B（0，2）代入得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得；∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵MN⊥x轴，M（m，0），点D在直线AB上，点N在抛物线上，∴N（m，﹣m2+m+2），D（m，﹣m+2），∴DN＝﹣m2+2m，DM＝﹣m+2，∵DN＝3DM，∴﹣m2+2m＝3（﹣m+2），解得m＝3或m＝4（舍），∴N（3，2）．（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，∴OB＝OB′，B′（0，﹣2），∵∠AOB＝∠AOB′＝90°，OA＝OA，∴△AOB≌△AOB′，∴∠OAB′＝∠OAB，∴∠BAB′＝2∠BAC，∵A（4，0），B′（0，﹣2），∴直线AB′的解析式为：y＝x﹣2，过点B作BP∥AB′交抛物线于点P，则∠ABP＝∠BAB′＝2∠BAC，即点P即为所求，∴直线BP的解析式为：y＝x+2，令x+2＝﹣x2+x+2，解得x＝2或x＝0（舍），∴P（2，3）．22．解：（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣5，∴M（1，﹣6）；（2）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣6+m，∴平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），∴抛物线的顶点在x＝1的直线上，设直线CA的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣5，当x＝1时，y＝﹣4，∴﹣4＜m﹣6＜﹣2，解得2＜m＜4；（3）存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣5＝﹣2，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（﹣1，﹣2），∴AB＝4，∵BE：EA＝3：1，∴AE＝1，∴E（2，﹣2），设P（t，t﹣5），Q（x，x2﹣2x﹣5），①当BE为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；②当BP为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；③当BQ为平行四边形的对角线时，，此时无解；综上所述：Q点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+12．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）。
九年级数学(下)提高班讲义(一)——二次函数
九年级数学（下）提高班讲义（一）——二次函数图像与性质班级： 姓名：例题讲解：例1：函数24(2)m m y m x +-=+是关于的二次函数，求（1）满足条件的m 值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点，求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？同步练习：已知是二次函数()2261m m y m x --=+，在此函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大。
（1）求m 的值；（2）画出该函数的图像例2：二次函数2y x bx c =++的图像向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到二次函数221y x x =-+的图像，求b 与c同步练习：抛物线()2257y x =--+向 平移 单位后，再向 平移 单位，可得抛物线221y x =--例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式：（1） 已知二次函数的图像经过点(0,1)A -，(1,0)B ，(1,2)C -（2） 已知抛物线的顶点为(1,3)-，且与y 轴交于点(0,1)（3） 已知抛物线与x 轴交于点(3,0)-，(5,0)且与y 轴交于点(0,3)-（4） 已知抛物线的顶点为(3,2)-，且与x 轴两交点间距离为4同步练习：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式。
（1）已知二次函数的图像经过点()()()0,21,13,5，，；（2）已知抛物线顶点为()1,2-且过点()2,1；（3）已知抛物线与x 轴交于点()()1,02,0-，，且经过点()1,2（4）已知二次函数2y ax bx c =++，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图像在x 轴上截得的弦长为4.例5：如图，抛物线E ：243y x x =++:交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点，抛物线E 关于y 轴对称的抛物线F 交x 轴于C 、D 两点。
精品 2015年九年级数学 二次函数同步讲义+提高练习 9课共72页
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x 2 ；② y = -2 x 2 ；③ y = 5 x 2 ；④ y = 7 x 2 。开口从小到大排列是_____________； （只填序号）其中关于 x 轴对称的两条抛物线是 和 。
11.函数 y = -6 x 2 的图象顶点是________， 对称轴是_______， 开口向______， 当 x=_______时， 有最______ 值是_____．当 x>0 时，y 随 x 的增大而________；当 x<0 时，y 随 x 的增大而________
则函数值 y1,y2,y3 大小关系为（ A. y1 < y 2 < y 3 8.当 m= 时，函数 y =
2
） C. y 2 < y1 < y 3 是关于 x 的二次函数. D. y 3 < y1 < y 2
B. y1 > y 2 > y 3
(m 2 + m )x m
2
- 2m - 1
9.已知二次函数 y mx m
14.在同一个坐标系中画 y x 2 , y 列表：
1 2 x , y 2 x 2 的图象． 2
1 2 x , y 2 x 2 的二次项系数 a______0 ，顶点都是 ________ ，对称轴是 2 ___________， 顶点是抛物线的最________点 （填 “高” 或 “低” ） a 越大， 抛物线的开口 。
例 4.求直线 y=2x+8 与抛物线 y=x2 的交点坐标 A、B 及△AOB 的面积．
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二次函数
例 5.已知点 A(1,a)在抛物线 y=x 上. （1）求 A 的坐标； （2）在 x 轴上是否存在点 P,使△OAP 是等腰三角形？若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.
新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.4 二次函数y= ax2+bx+c的图象与性质(2)
优质文档新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.4 二次函数y= ax2＋bx＋c的图象与性质(2)———提优清单———提优点1：用待定系数法求二次函数的解析式提优点2：二次函数图象与系数的关系提优点3：二次函数图象与性质综合运用———典型例题———【例1】（2012•广东佛山）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式：①y随x变化的部分数值规律如下表：x －1 0 1 2 3y 0 3 4 3 0②有序数对（－1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax2＋bx＋c；③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．（2）直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质．【方法总结】用待定系数法求二次函数的解析式，常见的由以下三种：（1）已知二次函数图象上三个点的坐标（三点式）：设y=ax2＋bx＋c，列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c；（2）已知二次函数图象的顶点（h，k）（顶点式）：设y=a（x－h）2＋k，由已知条件求出a；（3）已知二次函数图象与x轴的两个交点（x1，0）和（x2，0，）（交点式）：设y=a（x－x1）（x－x2），由已知条件求出a．【例2】（2014•广东深圳）二次函数y=ax2＋bx＋c图象如图，下列正确的个数为（）①bc＞0；②2a－3c＜0；③2a＋b＞0；④ax2＋bx＋c=0有两个解x1，x2，x1＞0，x2＜0；⑤a＋b＋c＞0；⑥当x ＞1时，y随x增大而减小．A．2 B．3 C．4 D．5【方法总结】字母的符号图象的特征aa＞0 开口向上a＜0 开口向下bb =0 对称轴为y轴a、b同号（a b＞0）对称轴在y轴左侧a、b异号（a b＜0）对称轴在y轴右侧cc =0 经过原点c＞0 与y轴正半轴相交c＜0 与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac =0 与x轴有唯一交点（原点）b2－4ac＞0 与x轴有两个交点b2－4ac＜0 与x轴有没有交点另外还需注意，当x=1时，y=a＋b＋c，即点（1，a＋b ＋c）在抛物线上；当x=－1时，y=a－b＋c，即点（－1，a －b＋c）在抛物线上．变式：（2014•四川资阳）二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②4a＋c＜2b；③3b＋2c＜0；④m（am＋b）＋b＜a（m≠－1）．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【例3】（2014•重庆A卷）如图，抛物线y=－x2－2x＋3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=22DQ，求点F的坐标．【方法总结】本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强．运用数形结合、方程思想是解题的关键．———分层提优———复习巩固提优1．（☆☆2014•湖南长沙模拟）若y=ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（）x －1 0 1ax2 1 ax2＋bx＋c8 3A．y=x2－4x＋3 B．y=x2－3x＋4C．y=x2－3x＋3 D．y=x2－4x＋82．（☆☆）抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为（－1，0），（3，0），其形状与抛物线y=－2x2相同，则y=ax2＋bx＋c的函数关系式为（）A．y=－2x2－x＋3 B．y=－2x2＋4x＋5C．y=－2x2＋4x＋8 D．y=－2x2＋4x＋6 3．（☆☆☆2014•山东日照）如图，是抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（－1，0）．有下列结论：①abc＞0；②4a－2b＋c＜0；③4a＋b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（－3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．其中正确的是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．③④⑤（第3题图）（第6题图）4．（☆☆2014•黑龙江牡丹江）抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A（－3，0），对称轴是直线x=－1，则a＋b＋c= ．5．（☆☆☆2015•甘肃兰州模拟）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是．6．（☆☆☆2015•浙江嘉兴模拟）如图，已知二次函数y=x2＋bx＋c的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．7．（☆☆☆☆2012•江苏扬州）已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．综合运用提优8．（☆☆ 2011•广西桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2＋2x ＋3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）A ．y =－（x ＋1）2＋2B ．y =－（x －1）2＋4C ．y =－（x －1）2＋2 D ．y =－（x ＋1）2＋4 9．（☆☆2014•全国初中数学竞赛预赛）已知二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列7个代数式ab ，ac ，bc ，b 2－4ac ，a ＋b ＋c ，a －b ＋c ，2a ＋b 中，其值为正的式子的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．4个以上（第9题图） （第12题图）10．（☆☆☆2012•四川乐山）二次函数y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（－1，0）．设t =a ＋b ＋1，则t 值的变化范围是（ ）A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜111．（☆☆☆）如果抛物线y =x 2－6x ＋c －2的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（ ）A ．8B ．14C ．8或14D ．－8或－14 12．（☆☆☆☆2014•江苏扬州）如图，抛物线y =ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值_____________．13．（☆☆☆☆2015•浙江舟山模拟）如图，直线y =x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB ⊥BC ，且点C 在x 轴上，若抛物线y =ax 2＋bx ＋c 以C 为顶点，且经过点B ，则这条抛物线的关系式为 ．（第13题图） （第15题图）14．（☆☆☆☆2014•浙江杭州）设抛物线y =ax 2＋bx ＋c 过A（0，2），B （4，3），C 三点，其中点C 在直线x =2上，且点C 到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 ．15．（☆☆☆☆2014•贵州安顺）如图，二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－1，3．与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：①2a －b =0；②a ＋b ＋c ＞0；③c =－3a ；④只有当a =12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有四个．其中正确的结论是 ．（只填序号）16．（☆☆☆☆2012•辽宁营口）在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c 经过点A （－3，0）、B （0，3）、C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D 顺时针旋转60°，与直线y =－x 交于点N ．在直线DN 上是否存在点M ，使∠MON =75°．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 、Q 分别是抛物线y =ax 2＋bx ＋c 和直线y =－x 上的点，当四边形OBPQ 是直角梯形时，求出点Q 的坐标．拓广探究提优17．（☆☆☆☆☆2011•四川自贡）已知抛物线y =ax 2＋2x＋3（a ≠0）有如下两个特点：①无论实数a 怎样变化，其顶点都在某一条直线l 上；②若把顶点的横坐标减少1a ，纵坐标增大1a 分别作为点A 的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加1a ，纵坐标增加1a分别作为点B 的横、纵坐标，则A ，B 两点也在抛物线y =ax 2＋2x ＋3（a ≠0）上．（1）求出当实数a 变化时，抛物线y =ax 2＋2x ＋3（a ≠0）的顶点所在直线l 的解析式；（2）请找出在直线l 上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；（3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明．———参考答案———例1．【解析】（1）若选择①：根据表格可知，将点（－1，0）、（0，3），（1，4）代入，得0,3,4,a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为y =－x 2＋2x ＋3；若选择②，点（－1，0），（3，0）在轴上，设抛物线解析式为y =a （x ＋1）（x －3），将点（1，4）代入， 得－4a =4，解得a =－1，∴抛物线解析式为y =（x ＋1）（x －3），即y =－x 2＋2x ＋3；若选择③，由图象得到抛物线顶点坐标为（1，4），且过（0，3），设抛物线解析式为y =a （x －1）2＋4， 将（0，3）代入，得a =－1，∴抛物线解析式为y =－（x －1）2＋4，即y =－x 2＋2x ＋3；（2）抛物线y =－x 2＋2x ＋3的性质：①对称轴为直线x =1，②当x =1时，函数有最大值为4，③当x ＜1时，y 随x 的增大而增大． 例2．【答案】B【解析】①∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号即b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在负半轴， ∴c ＜0，∴bc ＞0，故①正确；②∵a ＞0，c ＜0，∴2a －3c ＞0，故②错误； ③∵对称轴x =－2ba＜1，a ＞0，∴－b ＜2a ，∴2a ＋b ＞0，故③正确； ④由图形可知二次函数y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别在原点的左右两侧，即方程ax 2＋bx ＋c =0有两个解x 1，x 2，当x 1＞x 2时，x 1＞0，x 2＜0，故④正确；⑤由图形可知x =1时，y =a ＋b ＋c ＜0，故⑤错误；⑥∵a ＞0，对称轴x =1，∴当x ＞1时，y 随x 增大而增大，故⑥错误． 综上所述，正确的结论是①③④，共3个． 变式：【答案】B【解析】∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，∴4ac －b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x =－1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（－3，0）和（－2，0）之间，∴把（－2，0）代入抛物线得y =4a －2b ＋c ＞0，∴4a ＋c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y =a ＋b ＋c ＜0，∴2a ＋2b ＋2c ＜0，∵b=2a ，∴3b ＋2c ＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x =－1，∴y =a －b ＋c 的值最大，即把（m ，0）（m ≠－1）代入得：y =am 2＋bm ＋c ＜a －b ＋c ，∴am 2＋bm ＋b ＜a ，即m （am ＋b ）＋b ＜a ，∴④正确． 综上所述，正确的有3个．例3．【解析】（1）由抛物线y =－x 2－2x ＋3可知，C （0，3）， 令y =0，则0=－x 2－2x ＋3，解得x =－3或x =1， ∴A （－3，0），B （1，0）．（2）由抛物线y=－x 2－2x ＋3可知，对称轴为x =－1，设M 点的横坐标为m ，则PM =－m 2－2m ＋3，MN =（－m －1）×2=－2m －2，∴矩形PMNQ 的周长=2（PM ＋MN ）=（－m 2－2m ＋3－2m －2）×2=－2m 2－8m ＋2=－2（m ＋2）2＋10， ∴当m =－2时矩形的周长最大．∵A （－3，0），C （0，3），设直线AC 解析式为y =kx ＋b ，解得k =1，b =3， ∴直线AC 的解析式为y =x ＋3，当x =－2时，则E （－2，1）， ∴EM =1，AM =1， ∴S =12•AM •EM =12． （3）∵M 点的横坐标为－2，抛物线的对称轴为x =－1， ∴N 应与原点重合，Q 点与C 点重合，∴DQ =DC ， 把x =－1代入y =－x 2－2x ＋3，解得y =4． ∴D （－1，4），∴DQ =DC 2．∵FC 2，∴FG =4．设F （n ，－n 2－2n ＋3），则G （n ，n ＋3）， ∵点G 在点F 的上方，∴（n ＋3）－（－n 2－2n ＋3）=4，解得n =－4或n =1． ∴F （－4，－5）或（1，0）． 1．【答案】A【解析】将x =1代入y =ax 2得a =1．将（－1，8），（0，3）分别代入y =x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧==+-,3,81c c b 解得⎩⎨⎧=-=.3,4c b ∴函数解析式是y =x 2－4x ＋3． 2．【答案】D【解析】根据题意a =－2，所以设y =－2（x －x 1）（x －x 2），求出解析式y =－2（x ＋1）（x －3），即是y =－2x 2＋4x ＋6． 3．【答案】C【解析】①∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0，∵二次函数的图象交y 轴的负半轴于一点，∴c ＜0，∵对称轴是直线x =2，∴－2ba=2，∴b =－4a ＜0，∴abc ＞0．故①正确； ②把x =－2代入y =ax 2＋bx ＋c 得y =4a －2b ＋c ，由图象可知，当x =－2时，y ＞0，即4a －2b ＋c ＞0．故②错误； ③∵b =－4a ，∴4a ＋b =0．故③正确；④∵抛物线的对称轴为x =2，与x 轴的一个交点是（－1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点是（5，0）．故④正确； ⑤∵（－3，y 1）关于直线x =2的对称点的坐标是（7，y 1），又∵当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，7＞6，∴y 1＞y 2．故⑤错误；综上所述，正确的结论是①③④． 4．【答案】0【解析】抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点为（1，0），∴a ＋b ＋c =0． 5．【答案】y =－x 2＋4x （答案不唯一）【解析】由①知a ＜0，由②知抛物线的对称轴为x =2，可设抛物线的解析式为y =a （x －2）2＋h （a ＜0）．当a =－1，h =4时，抛物线的解析式为y =－（x －2）2＋4=－x 2＋4x ．（答案不唯一） 6．【答案】x ＞21【解析】把（－1，0），（1，－2）代入二次函数y =x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧-=++=+-,21,01c b c b 解得⎩⎨⎧-=-=,2,1c b 那么二次函数的解析式是y =x 2－x －2．函数的对称轴是x =21，因而当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是x ＞21． 7．【解析】（1）将A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）代入抛物线y =ax 2＋bx ＋c 中，得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-,3,039,0c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,2,1c b a ∴抛物线的解析式为y =－x 2＋2x ＋3．（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ． ∵点A 、B 关于直线l 对称，∴PA =PB ， ∴BC =PC ＋PB =PC ＋PA ．设直线BC 的解析式为y =kx ＋n （k ≠0），将B （3，0），C （0，3）代入上式，得⎩⎨⎧==+,3,03n n k 解得⎩⎨⎧=-=,3,1n k ∴直线BC 的函数关系式为y =－x ＋3． 当x =1时，y =2，即P 的坐标（1，2）． （3）抛物线的对称轴为x =－ab2=1，设M （1，m ），已知A （－1，0）、C （0，3）， 则MA 2=m 2＋4，MC 2=（3－m ）2＋1=m 2－6m ＋10，AC 2=10． ①若MA =MC ，则MA 2=MC 2， 得m 2＋4=m 2－6m ＋10，解得m =1； ②若MA =AC ，则MA 2=AC 2，得m 2＋4=10，解得m =±6；③若MC =AC ，则MC 2=AC 2，得m 2－6m ＋10=10，解得m 1=0，m 2=6；当m =6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去． 综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6），（1，－6），（1，1），（1，0）．8．【答案】B【解析】由原抛物线解析式可变为y =（x ＋1）2＋2，∴顶点坐标为（－1，2），与y 轴交点的坐标为（0，3），又由抛物线绕着它与y 轴的交点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点（0，3）对称，∴新的抛物线的顶点坐标为（1，4），∴新的抛物线解析式为y =－（x －1）2＋4． 9．【答案】C【解析】由图象可得：，，，∴，，．抛物线与轴有两个交点，∴．当=1时，，即．当=时，，即．从图象可得，抛物线对称轴在直线=1的左边，即，∴．因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个．10．【答案】B【解析】∵二次函数y =ax 2＋bx ＋1的顶点在第一象限，且经过点（－1，0），∴易得a －b ＋1=0，a ＜0，b ＞0，由a =b －1＜0得到b ＜1，结合b ＞0，所以0＜b ＜1①，由b =a ＋1＞0得到a ＞－1，结合a ＜0，所以－1＜a ＜0②，∴由①②得：－1＜a ＋b ＜1，且c =1，得到0＜a ＋b ＋1＜2，∴0＜t ＜2．11．【答案】C【解析】根据题意，知顶点的纵坐标是3或－3，列出方程4)6()2(42---c =±3，解得c =8或14．12．【答案】0【解析】∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x 轴的一个交点是P （4，0），∴与x 轴的另一个交点为（－2，0），把（－2，0）代入得0=4a －2b ＋c ，∴4a －2b ＋c =0． 13．【答案】y =21x 2－2x ＋2 【解析】当x =0时，y =2，所以B 点的坐标是（0，2）．当y =0时，x =－2，所以A 点的坐标是（－2，0）．∴OA =OB ，∴∠OAB =45°，∵∠ABC =90°，∴∠OAB =∠OCB =45°，∴OC =OB =OA =2，∴C 点的坐标是（2，0）．设抛物线的表达式为y =a （x －2）2，抛物线过B （0，2），所以4a =2，a =21，因此抛物线的解析式为y =21（x －2）2=21x 2－2x ＋2． 14．【答案】211284y x x =-+或213284y x x =-++【解析】∵点C 在直线x =2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，∴抛物线的对称轴为直线x =1或x =3．当对称轴为直线x =1时，设抛物线解析式为y =a （x －1）2＋k ，则2,93,a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,815.8a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，y =18（x －1）2＋158=211284x x -+； 当对称轴为直线x =3时，设抛物线解析式为y =a （x －3）2＋k ，则92,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,825.8a k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，y =－18（x －3）2＋258=－213284x x ++． 综上所述，抛物线的函数解析式为211284y x x =-+或213284y x x =-++．15．【答案】③④【解析】①∵图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，∴AB =4，∴对称轴x =－2ba=1，即2a ＋b =0．故①错误； ②根据图示知，当x =1时，y ＜0，即a ＋b ＋c ＜0．故②错误；③∵A 点坐标为（－1，0），∴a －b ＋c =0，而b =－2a ，∴a ＋2a ＋c =0，即c =－3a ．故③正确； ④当a =12，则b =－1，c =－32，对称轴x =1与x 轴的交点为E ，如图，∴抛物线的解析式为y =12x 2－x －32，把x =1代入得y =12－1－32=－2，∴D 点坐标为（1，－2），∴AE =2，BE =2，DE =2，∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形，∴△ADB 为等腰直角三角形．故④正确；⑤要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB =BC =4或AB =AC =4或AC =BC ．当AB =BC =4时，∵AO =1，△BOC 为直角三角形，又∵OC 的长即为|c |，∴c 2=16－9=7，∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c =－7，与2a ＋b =0、a－b ＋c =0联立组成解方程组，解得a =73；当AB =AC =4时同理．∵AO =1，△AOC 为直角三角形，又∵OC 的长即为|c |，∴c 2=16－1=15，∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c =－15与2a ＋b =0、a －b ＋c =0联立组成解方程组，解得a =153；当AC =BC 时同理．在△AOC 中，AC 2=1＋c 2，在△BOC 中BC 2=c 2＋9，∵AC =BC ，∴1＋c 2=c 2＋9，此方程无解．经解方程组可知只有两个a 值满足条件．故⑤错误． 综上所述，正确的结论是③④．16．【解析】（1）解：由题意把A （－3，0）、B （0，3）、C （1，0）代入y =ax 2＋bx ＋c 列方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-,0,3,039c b a c c b a 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=,3,2,1c b a ∴抛物线的解析式是y =－x 2－2x ＋3． ∵y =－x 2－2x ＋3=－（x ＋1）2＋4， ∴抛物线的顶点D 的坐标为（－1，4）． （2）存在．理由：由旋转得∠EDF =60°，在Rt △DEF 中，∵∠EDF =60°，DE =4，∴EF =43．∴OF =OE ＋EF =1＋43．∴F 点的坐标为（－1－43，0）．设过点D 、F 的直线解析式是y =kx ＋b ，把D （－1，4），F （－1－43，0）代入求得 y =33x ＋433．分两种情况：①当点M 在射线ND 上时， ∵∠MON =75°，∠BON =45°，∴∠MOB =∠MON －∠BON =30°，∴∠MOC =60°． ∴直线OM 的解析式为y =3x ．∴点M 的坐标为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=x y x y 3,33433的解，解方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.236,2132y x ∴点M 的坐标为（23＋21，623）．②当点M 在射线NF 上时，不存在点M 使得∠MON =75°理由：∵∠MON =75°，∠FON =45°，∴∠FOM =∠MON －∠FON =30°． ∵∠DFE =30°，∴∠FOM =∠DFE ． ∴OM ∥FN ．∴不存在．综上所述，存在点M ，且点M 的坐标为（23＋21，623）．（3）有两种情况：①直角梯形OBPQ 中，PQ ∥OB ，∠OBP =90°． 如图2，∵∠OBP =∠AOB =90°，∴PB ∥OA ． 所以点P 、B 的纵坐标相同都是3． 因为点P 在抛物线y =－x 2－2x ＋3上，把y =3代入抛物线的解析式中得x 1=0（舍去），x 2=－2． 由PQ ∥OB 得到点P 、Q 的横坐标相同， 都等于－2．把x =－2代入y =－x 得y =2． 所以Q 点的坐标为（－2，2）．②在直角梯形OBPQ 中，PB ∥OQ ，∠BPQ =90°．如图3，∵D （－1，4），B （0，3），∴DB ∥OQ ．∵PB ∥OQ ，点P 在抛物线上，∴点P 、D 重合．∴∠EDF =∠EFD =45°．∴EF =ED =4． ∴OF =OE ＋EF =5．作QH ⊥x 轴于H ，∵∠QOF =∠QFO =45°， ∴OQ =FQ ．∴OH =21OF =25． ∴Q 点的横坐标－25． ∵Q 点在y =－x 上，∴把x =－25代入y =－x 得y =25． ∴Q 点的坐标为（－25，25）． 综上，符合条件的点Q 有两个，坐标分别为（－2，2），（－25，25）． 17．【解析】（1）取a =1，得抛物线y =x 2＋2x ＋3，其顶点为P 1（－1，2）． 取a =－1，得抛物线y =－x 2＋2x ＋3，其顶点为P 2（1，4）． 由题意有P 1、P 2在直线l 上，设直线l 的解析式为y =kx ＋b ，则⎩⎨⎧=+=+-,4,2b k b k 解得⎩⎨⎧==,3,1b k∴直线l 的解析式为y =x ＋3．（2）∵抛物线y =ax 2＋2x ＋3的顶点P 坐标为(－a 1，3－a1)． 显然P (－a 1，3－a1)在直线y =x ＋3上． 又－a1能取到除0以外的所有实数，∴在y =x ＋3上仅有一点（0，3）不是该抛物线的顶点． （3）猜想：对于抛物线y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0），将其顶点的横坐标减少a 1，纵坐标增加a1分别作为点A 的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加a 1，纵坐标增加a1分别作为点B 的横、纵坐标，则A ，B 两点也在抛物线y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）上．证明如下： ∵抛物线y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（－a b 2，a b ac 442-），∴点A 的坐标为(－a b 22+，a b ac 4442+-)，点B 的坐标为(a b 22+-，a b ac 4442+-)． ∵x =a b 22+时，y =ax 2＋bx ＋c =a (a b 22+-)2＋b (ab 22+-)＋c =a b ac 4442+-， ∴点A (－a b 22+，a b ac 4442+-)在抛物线y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）上，同理有B (ab 22+-，a b ac 4442+-)也在抛物线上，故结论成立．。
部编数学九年级上册第04讲二次函数的图象和性质(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！函数y =ax 2+bx +c 为二次函数的前提条件是a ≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意．典型例题例题1．（2022·浙江丽水·九年级期中）下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝21x ＋x ＋1B ．y ＝x 2－(x ＋1)2C ．y ＝－12x 2＋3x ＋1D ．y ＝3x ＋1【答案】C 【详解】A. y ＝21x ＋x ＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； B. y ＝x 2－(x ＋1)221x =--，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； C. y ＝－12x 2＋3x ＋1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；D. y ＝3x ＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；故选C例题2．（2022·安徽宿州·九年级期末）如果()()221y m x m x =-+-是关于x 的二次函数，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≠B ．2m ≠C ．2m ≠且1m ≠D ．全体实数【答案】B【详解】∵()()221y m x m x =-+-是关于x 的二次函数，∴20m -≠，∴2m ≠，故选B ．例题3．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是（ ）A ．正方体集装箱的体积3m y ，棱长x mB ．小莉驾车以108km h 的速度从南京出发到上海，行驶x h ，距上海y kmC ．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤D ．高为14m 的圆柱形储油罐的体积3m y ，底面圆半径x m 【答案】D【详解】A.由题得：3y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意；B.由题得：108y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意；C.由题得：86y x=，不是二次函数，故此选项不符合题意；D.由题得：214y x p =，是二次函数，故此选项符合题意．故选：D ．例题4．（2021·广西南宁·九年级期中）若12m y x x -=+是关于x 的二次函数，则m ＝_______【答案】3【详解】解：∵函数12m y x x -=+是关于x 的二次函数，∴12m -=，解得：3m =．故答案为：3．例题5．（2021·北京市宣武外国语实验学校九年级期中）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x ，那么十月份医用防护服的产量y （万件）与x 之间的函数表达式为______．【答案】()2501=+y x 【详解】解：十月份医用防护服的产量y （万件）与x 之间的函数表达式为()2501=+y x 故答案为：()2501=+y x例题6．（2021·全国·九年级专题练习）已知函数()()221y m m x mx m =-+++，m 是常数．()1若这个函数是一次函数，求m 的值；()2若这个函数是二次函数，求m 的值．【答案】（1）1m =；()20m ≠且1m ≠．【详解】（1）依题意得200m m m ì-=í≠î∴010m m m ==ìí≠î或∴1m =；()2依题意得20m m -≠，∴0m ≠且1m ≠．1．（2022·全国·九年级单元测试）下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．2832y x x =++B ．81y x =+C ．8y x =D ．28y x =【答案】A【详解】A 、2832y x x =++是二次函数，符合题意；B 、81y x =+是一次函数，不合题意；C 、8y x=是反比例函数，不合题意；D 、28y x =不是二次函数，不合题意；故选A ．2．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）若函数()1334m y m x x -=++-是二次函数，则m 的值为（ ）A ．－3B ．3或－3C ．3D ．2或－2【答案】C【详解】解：∵函数()1334m y m x x -=++-是二次函数，∴12m -=且m ＋3≠0，解得：m =3，故选：C ．3．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；②圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；③物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）；④导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【详解】形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C ．4．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3（m 为常数）．（1）当m _______时，该函数为二次函数；（2）当m _______时，该函数为一次函数．【答案】 ≠2 =2【详解】解：（1）∵函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3为二次函数，∴m ﹣2≠0，∴m ≠2．（ 2 ）∵函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3为一次函数，∴m ﹣2=0，m ≠0，∴m =2．故答案为：（1）≠2；（2）=25．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x 元，则可卖出()35010x -件，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为________．【答案】2105607350y x x =-+-【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：()21x -元，所以：()()2135010y x x =--2102103507350x x x =-++- 2105607350x x =-+-故答案为：2105607350y x x =-+-6．（2022·全国·九年级课时练习）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：(1)如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p 是较大的数m 的函数；(2)一个半径为10cm 的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S （cm 2）是方孔边长x （cm ）的函数；(3)有一块长为60m 、宽为40m 的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S （cm 2）是草坪宽度a （m ）的函数．【答案】(1)p = m 2﹣5m ，是二次函数(2)S =100π﹣4x 2，是二次函数(3)S =4a 2﹣200a +2400；是二次函数【详解】(1)解：这两个数的乘积p 与较大的数m 的函数关系为：p =m （m ﹣5）=m 2﹣5m ，是二次函数；(2)解：剩余的面积S （cm 2）与方孔边长x （cm ）的函数关系为：S =100π﹣4x 2，是二次函数；(3)解：郁金香的种植面积S （cm 2）与草坪宽度a （m ）的函数关系为：S =（60﹣2a ）（40﹣2a ）=4a 2﹣200a +2400，是二次函数；7．（2019·湖北·黄州区宝塔中学九年级阶段练习）已知函数()()24323mm y m x m x +-=++++（其中0x ≠）．()1当m 为何值时，y 是x 的二次函数？()2当m 为何值时，y 是x 的一次函数？【答案】()1当m 为2时，y 是x 的二次函数；()2当m 为3-y 是x 的一次函数．【详解】()1根据题意得30m +≠且242m m +-=，解得2m =，即当m 为2时，y 是x 的二次函数；()2当30m +=时，即3m =-时，y 是x 的一次函数；当240m m +-=且20m +≠时，y 是x 的一次函数，解得m =当241m m +-=且320m m +++≠时，y 是x即当m 为3-y 是x 的一次函数．类型二：二次函数的图象与性质二次函数的解析式中，a 决定抛物线的形状和开口方向，h 、k 仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a 必相等．典型例题例题1．（2022·浙江湖州·九年级期末）对于二次函数y ＝x 2-4x -1的图象，下列叙述正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴为直线x ＝2C ．顶点坐标为（-2，-5）D ．当x ≥2时，y 随x 增大而减小【答案】B【详解】解：∵224125y x x x =--=--（），∴该函数图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为（2，-5），∴当2x ³时，y 随x 的增大而增大，故选项B 符合题意，故选：B ．例题2．（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）抛物线()2235y x =--的顶点坐标是（ ）A ．(3,5)--B ．(3,5)-C ．(3,5)-D ．(3,5)【答案】C【详解】解：抛物线()2235y x =--的顶点坐标是()3,5-，故选：C ．例题3．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c ＞1；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<．你认为其中错误的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个【答案】D【详解】解：（1）根据图示知，该函数图象与x 轴有两个交点，∴240b ac D =->；故本选项正确；（2）由图象知，该函数图象与y 轴的交点在点（0，1）以下，∴1c <；故本选项错误；（3）由图示，知对称轴12bx a=->-；又函数图象的开口方向向下，∴0a <，∴2b a -<-，即20a b -<，故本选项正确；（4）根据图示可知，当x ＝1，即0y a b c =++<，∴0a b c ++<；故本选项正确；综上所述，其中错误的是（2），共有1个；故选：D ．例题4．（2022·全国·九年级专题练习）若点A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （4，y 3）为二次函数y ＝﹣x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是____（用“＞”号连接）．【答案】y 2＞y 3＞y 1【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+4x +5中a ＝﹣1，∴函数图象开口向下，∵y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，∴函数的对称轴为直线x ＝2，∵A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （4，y 3），∴A 点到对称轴的距离为3，B 点到对称轴的距离为1，C 点到对称轴的距离为2，∴y 2＞y 3＞y 1，故答案为：y 2＞y 3＞y 1．例题5．（2021·福建漳州·模拟预测）已知抛物线25y x bx =-++与x 轴交于A ，B 两点．(1)若抛物线的对称轴是直线x ＝2．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)当b ≥4，0≤x ≤2时，函数y 的最大值满足5≤y ≤13，求b【答案】(1)①245y x x =-++；②存在，点P （2）或P （2，(2)4≤b ≤6【详解】（1）解：①抛物线25y x bx =-++的对称轴为直线()212b bx =-=´-，Q 抛物线的对称轴是直线x ＝2，∴22b=，解得b ＝4，∴抛物线的解析式为245y x x =-++；②存在．理由如下：抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，若点P 在x 轴上方，点B 关于OP 对称的点B '在对称轴上，连结OB ′、PB ，则OB '＝OB ，PB '＝PB ，如图所示：对于245y x x =-++，令y ＝0，则2450x x -++=，即2450x x --=，解得125,1x x ==-，∴A （﹣1，0），B （5，0），∴OB '＝OB ＝5，∴在Rt B OC ¢D 中，90B CO ¢Ð=°，5,2OB OC ¢==，则B C ¢===∴(B ¢，设点P （2，m ），由22BP B P ¢=，得22=，即(229m m +=，解得m =，∴P （2，同理，当点P 在x 轴下方时，P （2，综上所述，点P （2P （2；（2）解：∵抛物线25y x bx =-++的对称轴为直线2bx =，∴当b ≥4时，22bx =³，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，∴当0≤x ≤2时，取x ＝2，y 有最大值，即y ＝﹣4+2b +5＝2b +1，∵5≤y ≤13，∴5≤2b +1≤13，解得2≤b ≤6，又∵b ≥4，∴4≤b ≤6．1．（2022·全国·九年级课时练习）下列关于二次函数y ＝2x 2的说法正确的是（ ）A ．它的图象经过点（－1，－2）B ．它的图象的对称轴是直线x ＝2C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．当－1x ££2时，y 有最大值为8，最小值为0【答案】D【详解】解：二次函数y =2x 2，当x =-1时，y =2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A 不合题意；二次函数y =2x 2的图象的对称轴是直线 y 轴，故选项B 不合题意；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故选项C 不合题意；二次函数y =2x 2，在-1≤x ≤2的取值范围内，当x =2时，有最大值8；当x =0时，y 有最小值为0，故选项D 符合题意；故选：D ．2．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）抛物线()2314y x =+-的顶点坐标是( )A ．（1，4）B ．（1，﹣4）C ．（﹣1，4）D ．（﹣1，﹣4）【答案】D【详解】解：根据题意得：抛物线()2314y x =+-的顶点坐标是（﹣1，﹣4）．故选：D3．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a ＋c ＜2b ；③3b ＋2c ＜0；④m （am ＋b ）＋b ＜a （m ≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①④【答案】B【详解】解：∵函数图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，∴b 2−4ac >0，∴4ac −b 2<0，故①正确；∵函数图象与x 轴的一个交点的横坐标在0至1之间，∴函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标在-2至-3之间，由图象可知：当x =−2时，y >0，∴4a −2b +c >0，∴4a +c >2b ，故②错误；∵12ba-=-，∴b =2a ，∵当x =1时，y <0，∴a +b +c <0，∴102b bc ++<，3b +2c <0，故③正确；∵由函数图象可知x =−1时，该二次函数取得最大值，∴a −b +c >am 2+bm +c (m ≠−1)，∴m (am +b )<a −b ，故④正确；∴正确的有①③④三个，故选：B ．4．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）已知抛物线21y x x =--与经过点（m ，1），则代数式m ²-m +2019的值为_____．【答案】2021【详解】解：∵抛物线2=1y x x +-经过点(,1)P m ∴21=1m m --，即22m m -=∴²2019m m -+=2+2019=2021．故答案为：2021．5．（2022·全国·九年级课时练习）已知点A （-1，y 1），B （2 ，y 2），C （5，y 3）在二次函数y ＝x 2﹣6x +c 的图象上，则y 1， y 2， y 3的大小关系是_____________ （按照从小到大用＜连接）．【答案】231y y y <<【详解】解：∵二次函数y =x 2-6x +c 中a =1＞0，∴抛物线开口向上，有最小值．∵63221b x a -=-=-=´，∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，∵3(1)5332-->->-，∴231y y y <<；故答案为：231y y y <<．6．（2022·福建三明·九年级期末）平面直角坐标系中，抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的顶点为A ．(1)当抛物线经过点（1，2），求抛物线的函数表达式；(2)求顶点A 的坐标（用含字母a 的代数式表示），判断顶点A 是在x 轴上方还是下方，并说明理由；(3)当x ≥0时，抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的最高点到直线y ＝3a 的距离为5，求a 的值．【答案】(1)241y x x =-+-(2)()2,1a a a -+，顶点A 在x 轴上方，理由见解析(3)2+-1【详解】（1）解：当抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）经过点（1，2），∴2121a a =-++-，整理得2a =．将2a =代入221y x ax a -++-＝中，∴抛物线的函数表达式为241y x x =-+-；（2）解：∵抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的顶点为A ，∴()2221b ax a a =-=-=´-，将x a =代入221y x ax a -++-＝中，得到222211y a a a a a =-++-=-+，∴顶点为A 的坐标为()2,1a a a -+；顶点A 在x 轴上方，理由如下：∵2213124a a a æö-+=-+ç÷èø，2102a æö-³ç÷èø，∴2314a a -+³，∴顶点A 在x 轴上方．（3）解：由（2）可知，抛物线221y x ax a -++-＝的对称轴为x a =，顶点坐标为()2,1a a a -+，①当0a ＞时，对称轴在y 轴右侧，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是顶点()2,1a a a -+，且最高点到直线y ＝3a 的距离为5，∴2135a a a -+-=，即2415a a -+=，若2415a a -+=，解得1222a a =+=-（不合题意，舍去），若2415a a -+=-，()222a -=-，原方程无解；②当0a =时，对称轴是y 轴，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是顶点()0,1，最高点到直线y ＝3a 的距离不可能为5，∴此种情况不存在；③当0a ＜时，对称轴在y 轴左侧，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是()0,1a -，且最高点到直线y ＝3a 的距离为5，∴135a a --=，解得1a =-．综上所述，a 的值为2+或-1．类型三：二次函数的解析式用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：（1）设一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y =ax 2+bx +c ，将已知条件代入解析式，得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组，解方程组求出a ，b ，c 的值，解析式便可得出．（2）设顶点式：y =a （x -h ）2+k ，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y =a （x -h ）2+k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．（3）设交点式：y =a （x -x 1）（x -x 2）（a ≠0），若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为（x 1，0），（x 2，0)，设所求二次函数为y =a （x -x 1）（x -x 2），将第三个点的坐标（m ，n )（其中m ，n 为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式．典型例题例题1．（2021·江苏·九年级专题练习）已知二次函数的图象的顶点是(1,2)-，且经过点(0,5)-，则二次函数的解析式是（ ）．A ．23(1)2y x =-+-B ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =---D ．23(1)2=--y x 【答案】C【详解】解：设该抛物线解析式是：y ＝a （x -1）2﹣2（a ≠0）．把点（0，-5）代入，得a （0-1）2﹣2=-5，解得a=-3．故该抛物线解析式是23(1)2y x =---．故答案选：C例题2．（2020·内蒙古·乌海市海南区教育局教研室九年级期中）若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（ ）A ．y=4（x-2）2 -3B ．y=-2（x-2）2+3C ．y=-2（x-2）2-3D ．y= -225(x-2）2+3【答案】B【详解】∵抛物线的顶点为（2，3），∴设抛物线的解析式为y=a （x-2）2+3，∵经过点（3，1），∴代入得：1=a （3-2）2+3，解得：a=-2，即y=-2（x-2）2+3，故选B ．例题3．（2020·吉林·九年级阶段练习）将二次函数2y x x =+的图象沿x 轴翻折后，所得图象的函数解析式是（ ）A ．2y x x =+B ．2y x x =-C ．2y x x =-+D ．2y x x=--【答案】D【详解】∵2211(24y x x x =+=+-，∴二次函数2y x x =+的图象顶点坐标为（-12，-14），∴将二次函数2y x x =+的图象沿x 轴翻折后，所得图象的顶点坐标为（-12，14），且图形开口方向相反，开口大小相等，故a=1，∴翻折后图象的函数解析式为2211(24x y x x =-++=--，故选：D.例题4．（2022·湖北襄阳·九年级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为()0,5-，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）．【答案】25y x =-（答案不唯一）【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴二次函数()()20=-+≠y a x h k a 中0a >，∵顶点坐标为()0,5-，∴这个二次函数的解析式可以是25y x =-故答案为：25y x =-（答案不唯一）点评：例题4主要考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．根据二次函数的图象开口向上，可得0a >，再由顶点坐标为()0,5-，即可求解例题5．（2022·河南新乡·九年级期末）小刚在用描点法画抛物线C 1：2y ax bx c =++时，列出了下面的表格：x …01234…y…36763…请根据表格中的信息，写出抛物线C 1的解析式：______．【答案】243y x x =-++【详解】解：把（0，3）（1，6）（2，7）代入y =ax 2+bx +c 中得：36427c a b c a b c ìï++íï++î＝＝＝，解得：143a b c -ìïíïî＝＝＝，∴抛物线C 1的解析式为：y =-x 2+4x +3，故答案为：y =-x 2+4x+3．点评：例题5考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是准确熟练地进行计算．例题6．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学九年级期末）在下图的平面直角坐标系中，已知抛物线22y x mx =-与x 轴的一个交点为A （4，0）．(1)求抛物线的表达式及顶点B 的坐标；(2)将05x ££时函数的图象记为G ，点P 为G 上一动点，求P 点纵坐标的取值范围；(3)在（2）的条件下，若经过点C （4，-4）的直线0y kx b k =+≠（）与图象G 有两个公共点，结合图象直接写出b 的取值范围．【答案】(1)24y x x =-，B （2，-4）(2)45P y -££(3)40b -<£【详解】（1）解：∵A （4，0）在抛物线22y x mx =-上∴1680m -=，解得2m =．∴24y x x =-，即()224y x =--∴顶点坐标为B （2，-4）．（2）解：如图所示，当2x =时，y 有最小值-4；当5x =时，y 有最大值5∴点P 纵坐标的P y 的取值范围是45P y -££．（3）解：如图所示： b 的取值范围为−4＜b ≤0，直线0y kx b k =+≠（）与图象G 有两个公共点．1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线与二次函数y ＝2x 2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）A ．y ＝﹣2（x ﹣1）2 +2021B ．y ＝2（x ﹣1）2 +2021C ．y ＝﹣2（x +1）2+2021D ．y ＝2（x +1）2+2021【答案】C【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），∴设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）2+2021，∵抛物线y ＝a （x +1）2+2021与二次函数y ＝2x 2的图象的开口大小相同，开口方向相反，∴a ＝﹣2，∴抛物线的解析式为y ＝﹣2（x +1）2+2021．故选：C ．2．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线()()213y x x =+-关于y 轴对称后所得到的抛物线解析式为（ ）A ．()()213y x x =-+-B ．()()213y x x =--C ．()()213y x x =-+D ．()()213y x x =--+【答案】C【详解】∵拋物线()()()2213=2-1-8y x x x =+-，∴顶点坐标为（1，－8），关于y 轴对称后顶点坐标为（－1，－8），且开口向上，∴该抛物线的解析式为()()()221-823-1y x x x =+=+；故选：C ．3．（2021·江苏·九年级专题练习）已知点()2,3在抛物线22y ax ax c =-+上，则下列四个点中，一定也在该抛物线上的是（ ）A ．()0,3B ．()0,3-C ．()3,2D ．()2,3--【答案】A【详解】解：将点（2，3）代入抛物线22y ax ax c =-+，可得y=c=3，∴223y ax ax =-+．当x=0时，y=c=3；当x=3时，y=9a-6a+3=3a+3；当x=-2时，y=4a+4a+3=8a+3；故（0，3）一定在该抛物线上，故选：A ．4．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）抛物线2y ax bx =+经过点A （2，0），该抛物线顶点在直线2y x =-+上，则该抛物线解析式为______．【答案】22y x x=-+【详解】∵抛物线2y ax bx =+经过点()0,0 ，A （2，0），∴顶点横坐标为1，∵顶点在直线y =-x +2上，∴y =-1+2=1，∴顶点坐标（1，1），∵y =ax 2+bx 过点A （2，0），（1，1），∴1420a b a b +=ìí+=î，∴12a b =-ìí=î，∴22y x x =-+．故答案为：22y x x =-+．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(x ，y )的坐标值：x …﹣10123…y…343…则这条抛物线的解析式为_______．【答案】2y x 2x 3=-++【详解】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-将（0，3）代入解析式得33a =-解得1a =-\解析式为2(1)(3)23y x x x x =-+-=-++故答案为：2y x 2x 3=-++．6．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）如图，抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与直线y =x +1相交于A （-1，0），B （4，n ）两点，且抛物线经过点C （5，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与点A 、点B 重合），过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E ，设点P 的横坐标为m ．①求线段PE 长的最大值，并求此时P 点坐标；②是否存在点P 使BEC △为等腰三角形？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)245y x x =-++(2)①PE 有最大值254，点P 的坐标为335,24æöç÷èø；②存在，4或0或34【详解】（1）解：由题意，抛物线2y ax bx c =++的解析式可化为(1)(5)y a x x =+-，将点()4,B n 代入直线1y x =+得：415n =+=，将点(4,5)B 代入(1)(5)y a x x =+-得：(41)(45)5a +´-=，解得1a =-，则抛物线的解析式为2(1)(5)45y x x x x =-+-=-++，即245y x x =-++；（2）①由题意：设2(,45)P m m m -++，(,1)E m m +，点P 在点E 的上方，则()2223254513424PE m m m m m m =-++-+=-++=-öç÷ø+æè-∵ -1＜0∴当m =32时，PE 有最大值，最大值为254当m =32时，235454m m -++=，此时点P 的坐标为（32，354）；②存在，m 的值为4或0或34．(4,5),(5,0),(,1)B C E m m +Q ，222(54)(05)26BC \=-+-=，2222(4)(15)2(4)BE m m m =-++-=-，22222(5)(10)(5)(1)CE m m m m =-++-=-++，由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（ⅰ）当BC BE =时，BEC △为等腰三角形，则22BC BE =，即22(4)26m -=，解得4m =4m =（ⅱ）当BC CE =时，BEC △为等腰三角形，则22BC CE =，即22(5)(1)26m m -++=，解得0m =或4m =（舍去）；（ⅲ）当BE CE =时，BEC △为等腰三角形，则22BE CE =，即2222(4)(5)(1)m m m -=-++，解得34m =；综上，m 的值为4或0或34．类型四：二次函数的平移问题（1）抛物线在平移的过程中，a 的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．（2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y =a （x -h ）2+k 的形式．（3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y =ax 2的顶点是（0，0），y =ax 2+k 的顶点是（0，k ），y =a （x -h ）2的顶点是（h ，0），y =a （x -h ）2+k 的顶点是（h ，k ）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松地看出平移的方向．（4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典型例题例题1．（2021·黑龙江·兰西县第三中学九年级期中）将抛物线2y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）A ．2(2)1y x =++B ．2(2)1y x =+-C ．22()1y x =-+D ．2(2)1y x =--【答案】C【详解】∵抛物线2y x =的顶点坐标为（0，0），∴2y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的图象的顶点坐标为（2，1），∴得到新抛物线的解析式是22()1y x =-+，故选：C ．例题2．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）将抛物线()2325y x =++向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（ ）A ．（－4，4）B ．（0，4）C ．（0，6）D ．（－4，－6）【答案】B【详解】解：将抛物线()2325y x =++向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的解析式为：()232251,y x =+-+- 即234,y x =+∴抛物线的顶点坐标为：()0,4,故选:B例题3．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）要得到抛物线22(4)1y x =-+，可以将抛物线22y x =（ ）A ．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【详解】解：∵y =2(x -4)2+1的顶点坐标为（4，1），y =2x 2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y =2x 2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y =2(x -4)2+1．故选：B ．例题4．（2022·天津滨海新·九年级期末）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向下平移___________个单位得到的．【答案】3【详解】解：抛物线2y x =向左平移2个单位，向下平移3个单位得到的函数图象的解析式为：()223y x =+-．故答案为：3．例题5．（2022·江苏·九年级专题练习）已知抛物线2(1)y a x h =-+，经过点(0,3)-和(3,0)．(1)求a 、h 的值；(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．【答案】(1)14a h =ìí=-î；(2)242y x x =-+【详解】（1）解：将点(0,3)-和(3,0)代入抛物线2(1)y a x h =-+得：22(01)3(31)0a h a h ì-+=-í-+=î解得：14a h =ìí=-î，∴1a =，4h =-；（2）解：∵原函数的表达式为：2(1)4y x =--，向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得\平移后的新函数表达式为：22(11)42=42y x x x =---+-+即242y x x =-+；1．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）将抛物线y = x 2先向左平移5个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线的解析式是（ ）A ． y =()25x +-4B ． y =()25x ++4C ． y =()25x --4D ． y =()25x -+4【答案】A【详解】解：将抛物线y =2x 先向左平移5个单位，再向下平移4个单位所得直线解析式为：y =()25x +-4．故选：A ．2．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）把抛物线有()2213y x =--+的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A ．()2216y x =--+B ．()2216y x =---C ．()2216y x =-++D ．()2216y x =-+-【答案】C【详解】解：∵抛物线()2213y x =--+的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是()1,6-∴所得抛物线解析式是()2216y x =-++．故选：C ．3．（2022·湖南长沙·九年级期末）要将抛物线241y x x =++平移后得到抛物线2y x =，下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．向右平移2个单位，再向上平移3个单位D ．向右平移2个单位，再向下平移3个单位【答案】C【详解】解：∵241y x x =++=(x +2)2-3∴241y x x =++的顶点为(-2，-3)，而2y x =的顶点为（0，0）∴抛物线241y x x =++向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得2y x =，故选：C ．4．（2022·全国·九年级单元测试）抛物线 23y x =- 向上平移 4 个单位长度，得到抛物线____；再向____平移____个单位长度得到抛物线 231y x =--．【答案】 234y x =-+ 下 5##五【详解】解：抛物线23y x =-向上平移4个单位长度得到抛物线234y x =-+，再向下平移5个单位长度得到抛物线231y x =-- ．故答案为：234y x =-+；下；5．5．（2022·广西河池·九年级期末）已知抛物线212y x bx c =-++经过点()1,0，30,2æöç÷èø．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线212y x =-经过某种平移后得到212y x bx c =-++，请写出这种平移的方法．【答案】(1)21322y x x =--+(2)向左平移一个单位，再向上平移2个单位【详解】(1)把()1,0、30,2æöç÷èø代入抛物线解析式得：10,23,2b c c ì-++=ïïíï=ïî解得：1,3,2b c =-ìïí=ïî则抛物线解析式为：21322y x x =--+．(2)()2213112222y x x x =--+=-++，将抛物线212y x =-向左平移一个单位，再向上平移2个单位后可得到21322y x x =--+．6．（2022·陕西延安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+bx +c 经过A （0，-1），B （4，7）．(1)求抛物线的函数表达式；(2)把抛物线y=x2+bx+c向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得新抛物线．在新抛物线上是否存在一点M、新抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得以AB为边，且点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M，N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x2-2x-1；(2)存在，，M（6，12），N（2，4）或M（-2，12），N（2，20）．【详解】(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A（0，-1），B（4，7），∴1 1647cb c=-ìí++=î，解得：21 bc=-ìí=-î，∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-1；(2)解：存在，理由如下：∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，∴顶点为（1，-2），把抛物线y=x2-2x-1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则新抛物线顶点为（2，-4），∴新抛物线解析式为y=（x-2）2-4=x2-4x，∵点N在对称轴上，设N（2，n），①如图1，若四边形ABMN为平行四边形，∴AB∥MN，由平移可知，点A向右平移4个单位再向上平移8个单位到B，∴点N（2，n）向右平移4个单位再向上平移8个单位到M，∴M（6，n+8），∵点M在抛物线y=x2-4x上，∴n+8=62-4×6，解得，n=4，∴M（6，12），N（2，4）；②如图2，若四边形ABNM为平行四边形，∴AB∥MN，由平移知，点B（4，7）向左平移4个单位再向下平移8个单位到A（0，-1），∴点N（2，n）向左平移4个单位再向下平移8个单位到M（-2，n-8），∵点M在抛物线y=x2-4x上，∴n-8=（-2）2-4×（-2），解得，n=20，∴M（-2，12），N（2，20）．综上所述，M（6，12），N（2，4）或M（-2，12），N（2，20）．。
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第04课二次函数实际应用一
例1.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为60m的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC边长为x m,绿化带的面积为y m2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
例 2.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2.小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
例3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化,当x是多少时,场地的面积S最大？
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长？
课堂同步练习：
1.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s=5t 2
＋2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为( ) A.28米
B.48米
C.68米
D.88米
2.二次函数y ＝kx 2
＋2x ＋1(k ＜0)的图象可能是( )
3.在同一坐标系中,直线y=kx+b 与抛物线y=kx 2
+b 的图象大致是 。
4.抛物线217
322
y x x =
+-与y 轴交点的坐标为 ,与x 轴交点的坐标为 5.抛物线y=(x+3)2
－25与y 轴交点的坐标为 ,与x 轴交点的坐标为 6.将抛物线y=3x 2
向左平移6个单位,再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为 7.若抛物线2
132
y x mx =
++的对称轴是直线x=4,则m 的值为 。
9.若抛物线经过点(－6,5)(2,5),则其对称轴是 。
10.已知抛物线y=ax 2
+bx+c 经过点A(－2,7),B(6,7),C(3,－8),则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是 。
11.抛物线y ＝(x －2) (x ＋5)与坐标轴的交点分别为A.B.C,则△ABC 的面积为__________ 12.当x 为何值时,下列函数有最大值或最小值。
(1)y=－x 2－4x ＋2 (2)y=x 2－5x ＋14 (3)y=5x 2＋10 (4)y=－2x 2
＋8x
13.如图,四边形的两条对角线AC.BD 互相垂直,AC ＋BD=20cm,当AC 、BD 的长是多少时,四边形ABCD 的面积最大？
14.一块三角形废料如图,∠A=300
,∠C=900
,AB=18.用这块废料剪出一个长方形CDEF,其中,点D.E.F 分别在AC 、AB 、BC 上.要使剪出的长方形CDEF 面积最大,点E 应造在何处？
15.如图,点E.F.G.H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小？
16.如图,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过A(－1,0),B(3,0)两交点,且交y轴于点C.
(1)求b.c的值;
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,点M为此抛物线的顶点,试确定△MCD的形状.
4米,水位上升4米,就达到警戒线CD,这时17.有一抛物线拱桥,已知水位线在AB位置时,水面的宽为6
4米.若洪水到来时,水位以每小时0.5米的速度上升,则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶水面宽为3
端M处？
18.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②),其关系式y=ax2+c的形式,请根据所给的数据求出 a.c 的值;
(2)求支柱MN的长度;
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
19.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式.
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1h时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥？若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米？
第04课 测试题
日期： 月 日 时间：20分钟 姓名： 得分：
1.若A(-134 ,y 1),B(-1,y 2),C(53
,y 3)为二次函数y=-x 2
-4x+5图象上的三点,则y 1.y 2.y 3大小关系是( )
A.y 1＜y 2＜y 3
B.y 3＜y 2＜y 1
C.y 3＜y 1＜y 2
D.y 2＜y 1＜y 3
2.若抛物线y=ax 2
－3ax+a 2
－2a 经过原点,则a 的值为
3.二次函数y=2(x-3) 2
+5的对称轴是 ,顶点坐标是 。
当x= 时,y 的最 值是 。
4.二次函数y=2x 2
-8x+9的对称轴是 ,顶点坐标是 .当x= 时,函数有最 值,是 。
5.抛物线21(2)43y x =++可以通过将抛物线y= 向 平移 个单位、再向 平移 个单位得到。
6.抛物线21(4)72y x =+-的顶点坐标是 ,对称轴是直线 ,它的开口向 ,
在对称轴的左侧,即当x< 时,y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧,即当x> 时, y 随x 的增大而 ；当x= 时,y 的值最 ,最 值是 。
7.如图: (1)当x 为何范围时,y 1＞y 2?
(2)当x 为何范围时,y 1＝y 2? (3)当x 为何范围时,y 1＜y 2?
8.通过配方将下列函数写成y=a(x-h)2
+k 的形式:
①21
6172
y x x =-+- ②y=4x 2
―24x+26 ③2
144
y x x =-++ ④y=(x+2)(1-2x)
9，已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少？
10.如图,一位篮球运动员跳起投篮,篮球沿抛物线5.3x 5
1
y 2+-=运行,然后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的距离为3.05米,求： (1)球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮筐中心的水平距离应是多少米？。