【人教版】高中数学必修二：全册配套ppt课件

H E
D A
点击 旋转长方体
G F
C B
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
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例2 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何?
D1
C1
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180 O
A1 D
B1 C
A
B
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾
在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图.
(2)问题提出
在空间,如图所示, 正方体
ABCD－EFGH中, 异面直线AB
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
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O
H E
D A
G F
C B
(3)解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作
D1 A1
D A
C1 B1
C B
异面直线： 不同在任何一个平面内的两条直线。 （即既不平行也不相交）
异面直线的画法： b
α
a
b a
α
a
1、平行
b
共面 2、相交
a
A
b
α
3、异面
a
A
b
α
没有公共点
有且只有一个公共点
ab A
没有公共点
练习1：判断下列说法的对错
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；
注1
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
注意：在不同平面内的两条直线不一定异面
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
F
2、a ,b ,则a、b一定异面；
F
3、a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线； F
4、a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面
F
练习2：正方体ABCD－ A1B1C1D1
1、与A1A是异面的有:
BC DC B1C1 D1C1
D1 A1
2、与D1B异面的有： AA1 AD A1B1 B1C1 CC1 CD
答:共有三对
A
D
H
（FB）
G（C）
E
CA
G HE
DB F
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我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
abcde
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△
依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 o
D
所以FO与BD所成的夹角是30o
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A
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G F
C B
求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出 角
同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b
b′
a″
a ∠2
a′
O ∠1
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在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等)
4.例题选讲
例1 下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EC 和BH是 相交 直线 ② BD 和FH是 平行 直线 ③BH 和DC是 异面 直线
人教版必修二
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
问题：平面几何中，两条直线的位置关系： 平行或相交
在空间中是否还是如此呢？
在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关 系
（1）AB和C1D1； （2）A1C1和AC； （3）A1C和D1B： （4）AB和CC1； （5）BD1和A1C1；
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
又 BEF中∠EBF =45 o， 所以BE与CG所成的角是45 o
(2)连接FH，
H
∵HD ∥=EA，EA ∥=FB ∴HD ∥=FB
E
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角 O
B1
主要特征：既不平行，也不相交
为了表示异面直线 a，b不共面的特点，
作图时，通常用一个或两个平面衬托，如
下图。
b
b
b
a
a
a
1
2
3
如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果将它还原 为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在 直线是异面直线的有几对？请你与同学们共同探究？看 谁说得最多？共3对：AB与CD，AB与GH，GH与EF
CA
C G
A
G
E
H
DB
HE F
D
BF
空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种：
若从有没有公共点的角度来看,可分为两类 :
1 有且仅有一个公共点 相交直线
2
没有公共点
平行直线 异面直线
若从有没有共面的角度来看,也可分为两类:
1
在同一个平面内
相交直线 平行直线
2不同在任何一个平面内异面直线
1、空间中两条直线的位置关系有（C ）
直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或
夹角).
异面直线所成的角的范围( 0o, 90o ]
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
bb ′
a′ ″
如果两条异面
直线 a , b 所
成的角为直角，
已知a, b, c是三条直线, 若a, b是异面直线, b,c是异面直线,判断a与c的位置关系,并画图说明.
答案 : a与c可能相交,也可能平行,也可能异面.
b
a
c
1
b
a
c
2
b
c
a
3
异面直线的判定定理： 过平外一点与平面内一点的直线,和平面内不 经过该点的直线是异面直线。
分析：
证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即 需要抓住“不同在任何一个平面内”中的“任何”， 若一个平面一个平面地寻找是不可能实现的。因此， 必须找到一个间接法来证明，反证法是一种比较有 效的好方法。
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5.课堂练习
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 3, AD = 2 3, AE = 2
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练习1：在教室里找出几对异面直线的例子
合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
M
ab
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a
b
a与b是平行直线
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
2、空间中两条平行或相交的直线一定（ A ）
A、 共面 B、异面 C、可能共面也可能异面 D、既不共面也不异面
3、“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；
② a 平面，b 平面且a∩b=Φ
③ a 平面，b 平面 ④ 不存在平面，能使a 且b 成立
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． ———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
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在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
1、空间中两条直线的位置关系有（ ）
A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
D
C
A
M D1
B
提问:
N 1直线AA1与直线BC什么关系? 2 直线MB1与直线CC1什么关系?
C1
A1
B1
异面直线的定义：
D A
C
我们把不同在任何一
B
个平面内的两条直线
N
叫做异面直线（skew lines）
M D1
A
E
H
D
B
G
F
C
➢复习引 ➢新课讲
➢例题入选 ➢课堂解练 ➢课堂小
讲
习
结
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
a
o
b
相交直线 平行直线
a b
相交直线 （有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
D
A
B
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
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六角螺母
C A
D B
有一个公共点: 相交直线
平行直线 无 公 共 点 异面直线
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2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
b
A
a
(1)
a
b
(2)
b
(3)
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合作探究二
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对?
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 第1课时
➢ 请叙述三条公理和三条推论
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 经过两条相交直线，有且只有一个平面 经过两条平行直线，有且只有一个平面
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公 共直线
直线AB与a是异面直线.
异面直线的判定方法：
定义法：此时需借助反证法，假设两条直线不 异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条 直线一定共面，即这两条直线可能相交，也可 能平行，然后推出 矛盾即可。
定理法：即用判定定理，用该方法证明时，必
须阐述定理满足的条件：a ,A ,B,B a
然后可以推出直线AB与a是异面直线.
上述结论中，正确的是（C）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
注意：不能误认为分别在不同平面内的两直线
就是异面直线.如：
a
b
1、两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，
b的位置关系是( D )
（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线
已知:如图所示, a ,A ,B ,B a.
求证 : 直线AB与a是异面直线.
证明:(反证法)
假设直线AB与a是共面,即有平面使得AB ,a .
•A
于是A ,B .
a •B
又 a , B ,B a. 过a和B有且只有一个平面,
即平面,于是平面与是同一个平面,即 =.
A .这与已知A 相矛盾.
D A
C1 B1
C B
同一平面内，平行于第三条直线的两条直线互相平行
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行
D1 A1
C1 B1
D A
C B
空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC， CD ，DA的中点。求证，四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD， 因为 EH是△ABD的中位线， 所以 EH//BD，且EH＝1/2BD. 同理，FG//BD，且FG＝1/2BD. 所以 EH//FG，且EH＝FG. 所以，四边形EFGH是平行四边形.
我们就称这两
条直线互相垂
O
直 , 记为a ⊥
b
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思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变? 解答： 如图
答: 这个角的大小与O点的位置无关.
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 , ∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4),
2、一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一
条的位置关系是（ D ）
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
D 3、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）
（A）异面
（B）平行
（C）相交
（D）以上都有可能
4、异面直线a，b满足a，b，∩=l，则l与a，b的
位置关系一定是（ B ） （A）l与a，b都相交 （B）l至少与a，b中的一条相交 （C）l至多与a，b中的一条相交 （D）l直线关系
A1
B1
2 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
异面直线的定义：
D A
C 我们把不同在任何一
B
个平面内的两条直线
叫做异面直线（skew N lines）
M
回答 :
D1
C1 1直线AA1与BC异面直线关系
A1
2 直线MB1与CC1异面直线关系