由新高考“六选三”引出的递归问题
递归题型总结
递归题型总结全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：本文将对递归题型做一个总结，包括递归的基本原理、递归的模板，以及一些常见的递归题型，希望读者可以通过本文对递归有一个更全面的了解和掌握。
一、递归的基本原理递归是指在程序执行过程中调用自身的一种方法，递归的实现需要满足三个条件：递归调用、递归结束条件和递归返回值。
其中递归调用是指在问题规模不断缩小的情况下通过反复调用自身来解决问题，递归结束条件是指在问题规模缩小到一定程度时停止递归，递归返回值是指在递归结束时返回最终的结果。
在进行递归实现时，需要注意递归的层数和空间复杂度，由于递归会占用额外的栈空间，当递归层数过深时可能会导致栈溢出的问题，因此在设计递归算法时需要考虑到空间复杂度的问题，并尽可能避免递归层数过深。
二、递归的模板在解决递归问题时，通常需要依据递归的性质设计一个递归函数，一般而言递归函数的设计包括三个部分：递归结束条件、递归调用和递归返回值。
在设计递归函数时需要关注这三个部分，并尽可能让递归函数的结构清晰明了。
下面是一个递归的模板：def recursion(problem, param1, param2, ...):#递归结束条件if problem is None or problem is invalid:return some_value#递归调用sub_problem = split_problem(problem)result1 = recursion(sub_problem[0], param1, param2, ...)result2 = recursion(sub_problem[1], param1, param2, ...)#递归返回值return merge_result(result1, result2)三、常见的递归题型在面试或者算法学习中，递归题型的种类繁多，下面将介绍一些常见的递归题型及其解题思路。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递归问题，其定义如下：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n >= 2)斐波那契数列的递归实现非常简单，可以根据递归函数的模板直接实现：def fib(n):if n == 0:return 0if n == 1:return 1return fib(n-1) + fib(n-2)2. 汉诺塔汉诺塔问题是一个典型的递归问题，其问题描述如下：有三根柱子，第一根柱子上从下往上依次放着n 个盘子，盘子从上到下依次递增。
高考数学必考点解题方法秘籍 递推数列 理
高考数学必考点解题方法秘籍 递推数列 理1 一阶递推数列我们首先回顾递推数列的定义，参见文献[1]。
定义1 对于任意+∈N n ，由递推关系),(,21n k n k n k n a a a f a -+-++=确定的数列{}n a 成为递推数列（或递归数列），k 为阶数。
若f 是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列。
本节通过分析几种一阶递推数列类型，给出其的求通项公式方法，并分析两种常见方法的区别和联系。
1.1 一阶线性递推数列本节主要讨论下面两种一阶线性递推数列。
等差数列、等比数列[2]作为最基本的一阶线性递推数列由于篇幅所限，在这里不再赘述。
1.1.1)(1n f a a n n +=+类这类递推数列的解题方法与等差数列求通项公式的方法一样，都是叠加法，下面就以高考题为例来说明其解题方法和过程。
例（2007北京高考理第15题） 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式.解（I ）由题知：12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =． 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=．又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，．1.1.2)0)1((,1≠-+=+p pq q pa a n n 类此类递推数列是高考最常见的一种，可以用两种方法进行解答，下面我们先来解出他的通项公式，然后通过典型例题运用两种方法来解析。
递归算法的三个分解步骤
递归算法的三个分解步骤递归是⼀个重要的算法，希望你也能学得会。
递归的三⼤步骤编写递归函数的步骤，可以分解为三个。
递归第⼀个步骤：明确函数要做什么对于递归，⼀个最重要的事情就是要明确这个函数的功能。
这个函数要完成⼀样什么样的事情，是完全由程序员来定义的，当写⼀个递归函数的时候，先不要管函数⾥⾯的代码是什么，⽽要先明确这个函数是实现什么功能的。
⽐如，我定义了⼀个函数，这个函数是⽤来计算n的阶乘的。
// 计算n的阶乘（假设n不为0）int f(int n) {// 先不管内部实现逻辑}这样，就完成了第⼀个步骤：明确递归函数的功能。
递归第⼆个步骤：明确递归的结束（退出递归）条件所谓递归，就是会在函数的内部逻辑代码中，调⽤这个函数本⾝。
因此必须在函数内部明确递归的结束（退出）递归条件，否则函数会⼀直调⽤⾃⼰形成死循环。
意思就是说，需要有⼀个条件（标识符参数）去引导递归结束，直接将结果返回。
要注意的是，这个标识符参数需要是可以预见的，对于函数的执⾏返回结果也是可以预见的。
⽐如在上⾯的计算n的阶乘的函数中，当n=1的时候，肯定能知道f(n)对应的结果是1，因为1的阶乘就是1，那么我们就可以接着完善函数内部的逻辑代码，即将第⼆元素（递归结束条件）加进代码⾥⾯。
// 计算n的阶乘（假设n不为0）int f(int n) {if (n == 1) {return 1;}}当然了，当n=2的时候，也可以知道n的阶乘是2，那么也可以把n=2作为递归的结束条件。
// 计算n的阶乘（假设n>=2）int f(int n) {if (n == 2) {return 2;}}这⾥就可以看出，递归的结束条件并不局限，只要递归能正常结束，任何结束条件都是允许的，但是要注意⼀些逻辑上的细节。
⽐如说上⾯的n==2的条件就需要n>2，否则当n=1的时候就会被漏掉，可能导致递归不能正常结束。
完善⼀下就是当n<=2的时候，f(n)都会等于n。
例谈递归思想在数学解题中的运用
高考题对 中学数学教学 的引导作用 是巨大 的和 直接 的． 本题 目充分体 现了新 课标 的精神 ， 中学 素 对 质教育有较好 的弓 导作用． ｌ 同时 ， 有以下启示 ：
（ ） 重 基 础 是 永 恒 的 主 题 ． 题 用 三 角 函数 的 １注 本 定 义 、 弦 定 理 、 弦 定 理 及 勾 股 定 理 和 三 角 函数 的 正 余 基 本 公 式 就 可 以 方 便 的 得 出 答 案 ， 至 用 初 中 的 数 甚 学 知 识 就 可 以 解 决 问题 ， 不 需 要 高 深 的 技 巧 和 复 并 杂 的变 换 。 再 次 提 示 要 抓 基 础 、 课 本 ， 有 必 要 这 抓 没
现。 因为文字误写 、 公式 变形 和图形 字母 的错位等 原 因造成解题 错误 的现象 屡见不鲜 ．
（） ５ 要形 成 对 特 殊 角 敏 感 的直 觉 。 三 角 形 的 过 解
搞过多 的“ 海战术” 题 ．
（ ） 基 本 能 力 决 不 能 放 松 ． 据 笔 者 的调 查 和 ２抓 根 统 计 ， 然 几 乎 所 有 的 考 生 能 够 不 同 程 度 地解题应 大力 提 倡． 解题 时 ， 出正 确 ３作 在 作 的判 断 。 画出基 本 的图 形 ， 路会 豁 然 开 朗 ， 思 往往 会
起到事半功倍 的效果． （ ） 范 表述要反 复强调． 论是文 字 、 式 ， ４规 无 公 还 是 图 形 ， 范 表 述 是 非 常 重 要 的 ， 过 调 查 统 计 发 规 通
为（ ） ．
维普资讯
４ ０
数 学 教 学 研 究
２０ ０ ６年 第 ８ 期
可 顺 利 求 解 ， 是 常规 的分 类 讨 论 所 无 法 实 现 的． 这
离散数学递归逻辑表达式应用举例
离散数学递归逻辑表达式应用举例离散数学是一门基础学科，它在计算机科学、数学、逻辑学等领域中起着重要的作用。
在离散数学中，递归和逻辑表达式是两个常见的概念。
本文将通过一些实例来说明离散数学中递归逻辑表达式的应用。
1. 递归的定义递归是指在函数或程序中调用自身的过程。
在离散数学中，递归是通过基础情况和递推关系来定义的。
基础情况是递归停止的条件，而递推关系是指通过已知的递归结果来计算下一步的递归结果。
例如，斐波那契数列是一个经典的递归序列。
它的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)在斐波那契数列中，基础情况是F(0)和F(1)，递推关系是F(n) =F(n-1) + F(n-2)。
通过这个递推关系，我们可以计算出任意位置的斐波那契数列的值。
2. 递归的应用递归在编程中有着广泛的应用。
它可以有效地解决一些问题，并且代码简洁明了。
以下是几个使用递归的经典问题：2.1 阶乘阶乘是指给定一个正整数n，计算n的阶乘的值。
阶乘的定义如下：n! = 1 (n = 0)n! = n * (n-1)! (n > 0)通过递归的方式，可以很容易地计算阶乘。
下面是一个递归函数的示例：def factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n-1)2.2 数组求和给定一个整数数组，求所有元素的和。
可以通过递归的方式来解决这个问题。
递归的思路是将数组分为两部分，然后分别求出两部分的和，最后将两部分的和相加。
下面是一个递归函数的示例：def sum_array(arr):if len(arr) == 0:return 0else:return arr[0] + sum_array(arr[1:])3. 逻辑表达式的应用逻辑表达式在离散数学中起着重要的作用。
它可以用来描述条件和关系，以及进行逻辑推理和证明。
从高考题看一类递归数列通项的求法
例 6 已知数列 {bn } 满足 b1 = 2 ， bn +1 =
3bn + 4 2bn + 3
（ n = 1， 2， 3， ） ，求 bn ． 3x + 4 ，得 x1 = − 2 ， x2 = 2 ．则 分析 令 x = 2x + 3
2010 年第 9 期
福建中学数学
2 an …① 2(an − 1) 2 an (a − 2) 2 −2 = n …② 2(an − 1) 2(an − 1)
递推方程，有 un − 4 1 1 = = un +1 + t −3un + 2 (t − 3)un + 2 − 4t +t un − 4
2 − 4t ⎞ ⎛ 2 − 4t ⎞ ⎛ ⎜ un + ⎟−⎜4+ ⎟ t −3 ⎠ ⎝ t −3 ⎠ ⎝ = 2 − 4t ⎞ ⎛ (t − 3) ⎜ un + ⎟ t −3 ⎠ ⎝ 10 1 1 ， = ⋅ + (t − 3) 2 u + 2 − 4t t − 3 n t −3
（Ⅰ）求 {an } 的通项公式； （Ⅱ） 、 （Ⅲ）略．
8
福建中学数学
2010 年第 9 期
ax + b 的 x 称为分 cx + d
2 − 4t 5 = t ，得 t = 1 ， − 2 ．取 t = 1 ，则 a = ， 2 t −3 1 1 5 1 1 1 b = − ．于是 = ⋅ − ．设 vn = ， 2 un +1 + 1 2 un + 1 2 un + 1
评注 于⎨
对于该形式可先利用待定系数法转化关
⎧ 1 ⎫ ⎬ 的线性递归数列，再转换为等差或等比数 ⎩ an + t ⎭
2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结(解析版)
2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结题型解密考点一：已知S n =f n ，求a n利用S n =a 1,n =1S n−Sn −1,n ≥2，注意一定要验证当n =1时是否成立【精选例题】1已知S n 为数列a n 的前n 项和，且S n =2n +1-1，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2nB.a n =3,n =12n,n ≥2C.a n =2n -1D.a n =2n +1【答案】B【详解】当n ≥2时，S n -1=2n -1，a n =S n -S n -1=2n +1-1-2n +1=2n ；当n =1时，a 1=S 1=21+1-1=3，不符合a n =2n ，则a n =3,n =12n,n ≥2.故选：B .2定义np 1+p 2+p 3+⋅⋅⋅+p n为n 个正数p 1,p 2,p 3,⋅⋅⋅,p n 的“均倒数”，若已知数列a n 的前n 项的“均倒数”为15n，则a 10等于()A.85B.90C.95D.100【答案】C【详解】因为数列a n 的前n 项的“均倒数”为15n ，所以n a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =15n⇒a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =5n 2，于是有a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 10=5×102，a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 9=5×92，两式相减，得a 10=5×(100-81)=95，故选：C3(多选题)定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n -1a nn为数列a n 的“优值”．已知某数列a n 的“优值”H n =2n ，前n 项和为S n ，下列关于数列a n 的描述正确的有()A.数列a n 为等差数列B.数列a n 为递增数列C.S 20222022=20252 D.S 2，S 4，S 6成等差数列【答案】ABC【详解】由已知可得H n =a 1+2a 2+⋯+2n -1a nn=2n ，所以a 1+2a 2+⋯+2n -1a n =n ⋅2n ，①所以n ≥2时，a 1+2a 2+⋯+2n -2a n -1=n -1 ⋅2n -1，②得n ≥2时，2n -1a n =n ⋅2n -n -1 ⋅2n -1=n +1 ⋅2n -1，即n ≥2时，a n =n +1，当n =1时，由①知a 1=2，满足a n =n +1．所以数列a n 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 正确，所以S n =n n +3 2，所以S n n =n +32，故S 20222022=20252，故C 正确．S 2=5，S 4=14，S 6=27，S 2，S 4，S 6不是等差数列，故D 错误，故选：ABC ．4设数列a n 满足a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -1a n =n +1，则a n 的前n 项和()A.2n -1B.2n +1C.2nD.2n +1-1【答案】C【详解】解：当n =1时，a 1=2，当n ≥2时，由a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -2a n -1+12n -1a n =n +1得a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -2a n -1=n ，两式相减得，12n -1a n =1，即a n =2n -1，综上，a n =2,n =12n -1,n ≥2 所以a n 的前n 项和为2+2+4+8+⋯+2n -1=2+21-2n -1 1-2=2n ，故选：C .【跟踪训练】1无穷数列a n 的前n 项和为S n ，满足S n =2n ，则下列结论中正确的有()A.a n 为等比数列B.a n 为递增数列C.a n 中存在三项成等差数列D.a n 中偶数项成等比数列【答案】D【详解】解：无穷数列a n 的前n 项和为S n ，满足S n =2n ∴n ≥2，a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1，当n =1时，a 1=S 1=21=2，不符合上式，∴a n =2,n =1,2n -1,n ≥2,所以a n 不是等比数列，故A 错误；又a 1=a 2=2，所以a n 不是递增数列，故B 错误；假设数列a n 中存在三项a r ,a m ,a s 成等差数列，由于a 1=a 2=2，则r ,m ,s ∈N *,2≤r <m <s ，所以得：2a m =a r +a s ⇒2×2m -1=2r -1+2s -1∴2m =2r -1+2s -1，则∴1=2r -m -1+2s -m -1，又s -m -1≥0⇒2s -m -1≥1且2r -m -1>0恒成立，故式子1=2r -m -1+2s -m -1无解，a n 中找不到三项成等差数列，故C 错误；∴a 2n =22n -1(n ∈N *)，∴a 2(n +1)a n =22n +122n -1=4∴a 2n 是等比数列，即a n 中偶数项成等比数列，故D 正确.故选：D ．2对于数列a n ，定义H n =a 1+2a 2+3a 3+⋯+na nn为a n 的“伴生数列”，已知某数列a n 的“伴生数列”为H n =(n +1)2，则a n =；记数列a n -kn 的前n 项和为S n ，若对任意n ∈N *,S n ≤S 6恒成立，则实数k 的取值范围为．【答案】 3n +1；227≤k ≤196.【详解】因为H n =(n +1)2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+na nn，所以n ⋅(n +1)2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n ①，所以当n =1时，a 1=4，当n ≥2时，(n -1)⋅n 2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+(n -1)a n -1②，①-②：3n 2+n =na n ，所以a n =3n +1，综上：a n =3n +1，n ∈N *，令b n =a n -kn =(3-k )n +1，则b n +1-b n =3-k ，可知{b n }为等差数列，又因为对任意n ∈N *，S n ≤S 6恒成立，所以S 6-S 5=b 6≥0，S 7-S 6=b 7≤0，则有b 6=3-k ×6+1=19-6k ≥0，b 7=3-k ×7+1=22-7k ≤0， 解得227≤k ≤196．故答案为：3n +1；227≤k ≤196考点二：叠加法(累加法)求通项若数列a n 满足a n +1−a n =f (n )(n ∈N *)，则称数列a n 为“变差数列”，求变差数列a n 的通项时，利用恒等式a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋅⋅⋅+(a n −a n −1)=a 1+f (1)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (n −1)(n ≥2)求通项公式的方法称为累加法。
新高考各科知识点汇总总结
新高考各科知识点汇总总结随着教育改革的推进和学校教育体系的变革，中国的高考也在不断进行改革。
新高考作为一种全新的高考制度，已经在各省份全面实施。
新高考采用综合评价的方式，注重学生综合素质的培养，强调学科知识与现实问题的联系。
本文就新高考各科知识点进行汇总总结，以期帮助广大学生更好地备考。
一、数学1. 集合论和函数- 集合的概念和运算- 二元关系和函数的概念- 函数的性质和运算- 函数的图像与性质- 反函数和复合函数2. 直线、曲线和变换- 点、线、面的概念- 直线和曲线方程的求解- 双曲线、抛物线和椭圆的性质- 平移、旋转、对称和放缩的变换3. 三角函数- 任意角的概念和弧度制- 常见三角函数的性质和运算- 三角函数的图像与性质- 三角函数的应用，如测量、解三角形等4. 数列与数学归纳法- 递推数列和等差数列- 等差数列的通项公式和求和公式- 递归数列和等比数列- 等比数列的通项公式和求和公式- 斐波那契数列和级数的概念二、物理1. 力学- 牛顿运动定律与惯性- 物体的受力分析与加速度- 动量、功和能量的概念- 简谐振动和波动的特性- 哈密顿原理和广义相对论2. 电磁学- 电荷、电场和电势能的概念- 电流、电阻和电压的关系- 电磁感应和法拉第定律- 电磁辐射和电磁波的特性- 电磁场的统计物理描述3. 光学与光学仪器- 光的传播和折射规律- 凸透镜和凹透镜光的成像- 显微镜和望远镜的原理- 光的干涉和衍射现象- 激光和光纤通信的应用三、化学1. 化学基础知识- 元素周期表和化学键的概念- 化学方程式的写法和平衡- 酸、碱和盐的性质与反应- 溶液浓度和酸碱滴定的计算- 化学物质的双离子反应2. 化学反应与能量- 化学反应速率和化学平衡- 能量转换与热化学方程式- 燃烧和氧化还原反应的平衡- 热力学和活化能的概念- 光化学和电化学的相关应用3. 物质的结构与性质- 物质的组成和宏观性质- 几种常见化合物的结构和应用- 原子结构和元素的种类- 有机化合物的命名和结构分析- 材料的功能和化学合成四、生物1. 细胞与遗传- 细胞的结构和生物膜的特性- 细胞的代谢和物质运输- 遗传的基本规律和现象- DNA分子的复制和转录- 遗传工程和基因治疗的应用2. 生物体的组成与功能- 生物体的组织和器官的功能- 免疫系统和免疫反应- 激素系统和内分泌调节- 神经系统和感觉器官- 生物节律和生物行为3. 生物多样性和生态学- 物种和生物分类的方法- 生物圈和生态系统的特点- 生物种群和群落的相互作用- 自然环境和人类活动对生态的影响- 生态平衡和环境保护总结：新高考各科的知识点涵盖了数学、物理、化学和生物等多个领域。
高考数学冲刺递归数列考点全面解析
高考数学冲刺递归数列考点全面解析在高考数学的备考征程中，递归数列一直是一个重点和难点考点。
对于即将踏入高考考场的同学们来说，透彻理解和熟练掌握递归数列相关知识，无疑是取得高分的关键之一。
首先，我们来明确一下什么是递归数列。
简单来说，递归数列就是通过前一项（或前几项）的值以及一个特定的关系式来确定后续项的数列。
常见的递归数列类型包括等差数列型、等比数列型以及更为复杂的线性递归数列等。
等差数列型递归数列的特点是，相邻两项的差值为一个常数。
例如，若数列\（＼｛a_n\｝＼）满足\（a_{n ＋ 1} a_n ＝ d\）（＼（d\）为常数），则\（＼｛a_n\｝＼）为等差数列。
在处理这类递归数列时，我们通常可以利用通项公式\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）来求解。
等比数列型递归数列则是相邻两项的比值为一个常数。
比如，若数列\（＼｛b_n\｝＼）满足\（＼frac{b_{n ＋ 1}｝｛b_n} ＝ q\）（＼（q\）为常数且\（q ＼neq 0\）），那么\（＼｛b_n\｝＼）就是等比数列。
其通项公式为\（b_n ＝ b_1 ＼cdot q^｛n 1}＼）。
而线性递归数列就相对复杂一些，常见的形式如\（a_{n ＋ 1} ＝pa_n ＋ q\）（＼（p\）、＼（q\）为常数且\（p ＼neq 1\））。
对于这种类型的递归数列，我们可以通过构造等比数列的方法来求解。
具体来说，将其变形为\（a_{n ＋ 1} ＋＼frac{q}｛p 1} ＝p\left(a_n ＋＼frac{q}｛p 1}＼right)＼），这样就构造出了一个新的等比数列\（＼｛a_n ＋＼frac{q}｛p 1}＼｝＼），从而可以求出\（a_n\）的表达式。
在解决递归数列问题时，要特别注意初始值的给定。
因为递归关系式只是给出了数列项之间的关系，而初始值则决定了整个数列的具体取值。
高考中，关于递归数列的考查形式多种多样。
有时会直接要求求出数列的通项公式，有时则会考查数列的前\（n\）项和，或者通过与其他知识点的综合，如函数、不等式等，来考查同学们的综合运用能力。
高考六选三知识点
高考六选三知识点高考是每位学生都将经历的重要考试，它是人生道路中的一道门槛，决定了学生的大学录取与就业机会。
在高考中，有一种题型备受瞩目，那就是六选三。
六选三题目既考察了学生的综合素质，又要求他们具备扎实的基础知识。
下面将从语文、数学和英语三个科目的六选三题型入手，来探讨一下这些题目中的主要考点和应对之道。
首先，我们来看看语文科目的六选三。
语文作为一门综合性学科，对学生的语言、理解、表达和思维能力要求较高。
在六选三中，常见的题型包括阅读理解、选词填空、判断和修养与文学常识等。
其中，选词填空是一个常见的难点题型。
在解答这类题目时，学生需要理解上下文的语境，并根据语境选取合适的词语填空。
此外，判断题也需要学生对文章进行仔细的分析和推理，确保答案准确。
接下来，我们来看看数学科目的六选三。
数学是一个需要逻辑思维和推理能力的学科，六选三题目在数学中的考察范围通常是选择题和应用题。
在选择题中，学生需要掌握数学的基本概念、公式和计算方法。
他们还需要熟悉解题的思路和常见的解题技巧。
在应用题中，学生需要将抽象的数学理论应用到实际问题中，并进行严谨的推理和证明。
因此，掌握好数学的基本知识和解题方法，是解答六选三题目的关键。
最后，我们来看看英语科目的六选三。
英语作为一门语言类学科，它对学生的听、说、读、写和翻译能力要求很高。
在六选三中，阅读理解是比较常见的题型。
学生需要通过阅读文章，理解文章的主旨、作者意图和细节信息。
同时，学生还需要具备较强的词汇量和语法知识，以便正确地理解和翻译文章。
此外，写作和翻译题也是六选三中的考察点。
学生需要通过写作或翻译表达自己的观点和思想，同时保持语法准确和语言流畅。
综上所述，高考六选三题目的考察点主要涵盖了语文、数学和英语三个科目的基本知识和能力要求。
在备考时，学生应该重点复习和训练六选三题目的解答技巧，同时加强对基础知识的掌握。
此外，学生还可以通过做题训练和模拟考试来提高解题的速度和准确性。
高中信息技术教科版选修1第三章第5-1课《什么是递归法》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中信息技术教科版选修1第三章第5-1课《什么是递归法》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标1、知识与技能(1).认识递归现象。
(2).使用递归算法解决问题往往能使算法的描述乘法而易于表达(3).理解递归三要素:每次递归调用都要缩小规模;前次递归调用为后次作准备:递归调用必须有条件进行。
(4).认识递归算法往往不是高效的算法。
(5).了解递归现象的规律。
(6).能够设计递归程序解决适用于递归解决的问题。
(7).能够根据算法写出递归程序。
(8).了解生活中的递归现象,领悟递归现象的既有重复,又有变化的特点,并且从中学习解决问题的一种方法。
2、方法与过程本节让同学们玩汉诺塔的游戏,导入递归问题,从用普通程序解决斐波那契的兔子问题入手,引导学生用自定义了一个以递归方式解决的函数过程解决问题,同时让同学们做三个递归练习,巩固提高。
然后让学生做练习(2)和练习(3)这两道题目的形式相差很远,但方法和答案却是完全相同的练习,体会其中的奥妙,加深对递归算法的了解。
最后用子过程解决汉诺塔的经典问题。
3、情感态度和价值观结合高中生想象具有较强的随意性、更富于现实性的身心发展特点,综合反映出递归算法的特点,以及递归算法解答某些实践问题通常得很简洁,从而激发学生对程序设计的追求和向往。
2学情分析1、教材处理教材选自《广东省普通高中信息技术选修一:算法与程序设计》第四章第五节,原教材的编排是以本节以斐波那契的兔子问题引人,导出递归算法,从而自定义了一个以递归方式解决的函数过程。
然后利用子过程解决汉诺塔的经典问题。
教材经处理后,让同学们玩汉诺塔的游戏,导入递归问题,从用普通程序解决斐波那契的兔子问题入手,引导学生用自定义了一个以递归方式解决的函数过程解决问题,同时让同学们做三个递归练习,巩固提高。
然后让学生做练习(2)和练习(3)这两道题目的形式相差很远,但方法和答案却都是完全相同的练习,体会其中的奥妙,加深对递归算法的了解。
浙江高中选考VB递归算法公开课
…… fact = 2 * fact (1)
fact = 1 ……
fact (3)=6 返回
2020/9/27
fact (2)=2 返回
fact (1)=1 返回
递归算法的实现要点
(1)有明确的结束递归的边界条件(又称终止条件)以及结束 时的边界值，可以通过条件语句(If语句)来实现
(2)函数的描述中包含其本身，即能用递归形式表示，且递 归终止条件的发展。
=3*2
=6
E
返回
B fact(2) =2*fact(1) =2*1 =2
C
调用
fact(1)
=1 返回
D
2020/9/27
Function fact(n As Integer) As Integer If n <= 1 Then fact = 1 Else fact = n * fact (n - 1) End If
End Function
本例而言，同学们会认为递归算法可能是多余的，费力而不讨好。但 许多实际问题不可能或不容易找到显而易见的递推关系，这时递归算 法就表现出了明显的优越性。
2020/9/27
2020/9/27
Function fact(n As Integer) As Integer If n <= 1 Then fact = 1 Else fact = n * fact (n - 1) End If
End Function
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递归函数调用
Function fact(n As Integer) As Integer
递归算法
浙江高中选考VB递归算法公开课
2020/9/27
递归应用实例——阶乘计算
SXC021高考数学必修_递归数列通项公式的求解策略
递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是 高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列{}n a 满足：存在正整数M 、T ，使得对一切大于M 的自然数n ，都有n Tn a a =+成立，则数列{}na 为周期数列。
例1、已知数列{}n a 满足 a 1 =2，a n+1 =1－n a 1，求a n 。
解: a n+1 =1－ n a 1 ∴ a n+2 =1－11+n a =－11-n a , 从而a n+3 = 1－21+n a =1＋a n －1=a n ,即数列{}n a 是以3为周期的周期数列。
又a 1 =2，a 2=1－ 21=21,a 3 =－12 , n=3k ＋1所以 a n =21,n=3k ＋2 ( k ∈N ) －1 , n=3k ＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式 a n = f (a n-1 )（n 2≥,n N ∈）及一个初始项a 1所确定的数列，且递推式中，各a n都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列{}n a 满足a n ＋1 =f (n) a n＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q （p 、q 为常数）时，数列{}n a 是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时 ，{}n a 是以q 为公差的等差数列。
（2）当q=0，p ≠0时，{}n a 是以p 为公比的等比数列。
（3）当p ≠1且q ≠0时，a n ＋1 =p a n ＋q 可化为a n ＋1－pq-1=p(a n－pq -1),此时｛a n －pq -1｝是以p 为公比，a 1－pq-1 为首项的等比数列，从而可求a n 。
例2、已知：1+n a =,252109+n a 且1041=a ，求数列}{n a 的通项公式n a 。
高三数学递归数列
4
, 公比为
2
的等比数列
热点题型1：递归数列与极限
1 an 2 1 a 设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 n 1 a 1 4 n 4 n为偶数
,
n为奇数
1 记 bn a2 n 1 4
，n＝l，2，3，…· ．
（I）求a2，a3； （II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； b1 b2 b3 bn ) ． （III）求 lim( n
4
,
，n＝l，2，3，…· ．
（I）求a2，a3； （II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； b1 b2 b3 bn ) ． （III）求 lim( n
1 1 （I）a2＝a1+ = a+ 4 4 1 1 1 ，a3= a2= a+ 8 2 2
1 热点题型1：递归数列与极限 an n为偶数 2 1 a 设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 n 1 a 1 n为奇数 4 n
热点题型3：递归数列与数学归纳法
2(an1 2) (an 2)2
令bn an 2, 1 2 则bn bn 1 2 1 1 2 bn 2 2 2 1 1 22 bn 1 2 2
2 2
1 an 1 an (4 an ). 已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01， 2 (nN)（2）求数列{an}的通项公式an 1 1 an 1 an (4 an ) [(an 2) 2 4], 2 2
1
变式题型2
已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1an-1(n2) (1)求a2，a3； n2 n (2)求证：an= 3 2
递归高中教案
递归高中教案教案标题：递归高中教案教案目标：1. 了解递归的基本概念和原理；2. 掌握递归的应用方法；3. 培养学生解决问题的递归思维能力；4. 培养学生团队合作和沟通能力。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 向学生介绍递归的概念，解释递归是一种通过调用自身的方法来解决问题的编程技巧。
2. 引导学生回顾之前学习的迭代方法，与递归进行对比，强调递归的特点和优势。
讲解（15分钟）：1. 解释递归的基本原理，包括递归的终止条件和递归调用。
2. 通过示例代码演示递归的应用，如计算阶乘、斐波那契数列等。
3. 强调递归的思维方式，即将大问题分解为小问题，并通过递归调用解决小问题。
练习（20分钟）：1. 提供一些简单的递归练习题，让学生尝试使用递归解决问题。
2. 强调递归的调试技巧，如打印调用栈、设置断点等，帮助学生理解递归的执行过程。
3. 鼓励学生互相交流和讨论解题思路，培养团队合作和沟通能力。
拓展（15分钟）：1. 引导学生思考递归的应用场景，如树的遍历、图的搜索等。
2. 提供一些复杂的递归问题，如汉诺塔问题、迷宫问题等，让学生挑战自己的递归能力。
3. 鼓励学生自主学习和探索更多的递归算法和应用。
总结（5分钟）：1. 总结递归的基本概念和原理，强调递归的重要性和应用价值。
2. 鼓励学生在实际问题中运用递归思维解决复杂的编程和数学问题。
3. 提供相关参考资料和学习资源，帮助学生进一步学习和掌握递归技巧。
教案评估：1. 在练习环节中观察学生对递归的理解和应用能力；2. 通过学生的讨论和提问，评估他们对递归概念和原理的掌握程度；3. 收集学生的作业和练习题答案，评估他们的递归实践能力。
教案扩展：1. 针对学生的实际水平和兴趣，提供更复杂的递归问题和挑战；2. 引导学生学习其他高级递归技巧，如尾递归、动态规划等；3. 组织编程竞赛或项目实践，让学生运用递归解决实际问题。
教案注意事项：1. 确保学生已经掌握基本的编程知识和算法思想；2. 在教学过程中注重理论与实践的结合，让学生通过实际操作理解递归的运行机制；3. 鼓励学生主动思考和提问，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
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151数学学习与研究2019.5由新高考“六选三”
引出的递归问题◎亓佳彤（山东省泰安第一中学青年路校区2017级11班，山东泰安271000）
【摘要】递归函数在一些组合方案的选择中得到广泛应用，本文将以高考“六选三”选考学科和一类常见的分段函数求值计算为例讲解递归函数的构造方法，同时给出计算机编程代码以及数值模拟实验说明该方法的实用性和正确性．【关键词】递归函数；组合方案；源代码；数值模拟实验自2017级考生高考开始，北京市、天津市、山东省和海南省，将实行高考综合改革方案．其中的“六选三”选课模式备受关注，其含义为考生可在物理、化学、生物、历史、地理、政治六门学科中任选三门，作为高考选考学科．而在讨论组合方案与具体组合方案时，运用递归方法可以使具体问题抽象化而具有普遍意义．因此，有必要对递归函数进行深入的理解和学习．一、实例和模型Ⅰ1．首先，设物理、化学、生物、历史、地理、政治六门学科分别为1，2，3，4，5，6，排序位置为a ，b ，c ，基于列举的观念并避免重复，先选定a ，b ，按序替换c ；再按序替换b 并按序替换c ；…．可以得出总共20种方案：a b c a b c 1232341242351252361262451342461352561363451453461463561564562．基于组合数的理论：
若在n 个数中选择k 个数，数据相同而顺序不同视为一种组合，则选择方法有C k n =n ！（n －k ）！k ！
编辑源代码及运行结果如图1所示．图1组合程序及运行结果程序的核心是f （x ）即用递归思想实现的阶乘函数．阶乘符合递归思想，当未到达阶乘所定义的出口“0”时，用X －1代替X 作为参数继续运算，直至到达函数出口．另外，如果有同学已经选好一门确定学科，问题转化为“5选2”，此代码同样适用，输入样例“52”，可得出结果“10”，可清晰地看到组合方案．（根据组合数性质C k n =C n －k n ，即对任何一种选k 个方案对应着不选这k 个的一种方案；对任何一门学科，只有选与不选两种情况，所以也可转化为“5选3”的解．）3．如果运用递归实现搜索，也可用程序打印组合数排列．在此问题中，递归的体现是：通过不停判断某种学科在讨论中是否合法与重置bool 类型，来实现对不同学科的search ，到达出口再递归返回．若更改首层循环中i 的范围与if 语句的条件，即可解决类似问题．
编辑源代码及运行结果如图2所示．
图2搜索程序及运行结果二、实例和模型Ⅱ在平时的数学学习中，我们曾遇到过这样的题目：已知f （x ）=sin πx ，x ＜0，f （x －1）－1，x ＞0{，求f －11()6+f 11()6．1．首先纯模拟：f －11()6=sin －116()
π=sin 16()π=12，f 11()6=f 5()6－1=f －1()6()－1－1=sin －16()π－2=－52，所以，原式=12－52=－2．2．用代码实现运行结果如图3、图4所示．图3运行结果1
图4运行结果2模拟结果1、结果2和为0．5+（－2．5）=－2，与上述计算结果一致．3．（1）此问题的出口条件与前两个不同，为x ＜0时，所以返回的值不是1或已经存储的数据，而与初始状态有关．（2）我们能够看到，当x 未达到函数出口的条件时，进行f （x －1）－1的运算，若仍未到达出口，用x －1代替x 进行相同运算，此时运算式变为（f （x －1－1）－1）－1．所以，括号内的运算需要代入下一步运算；而括号外的运算需要存储，与下一步“x ”的取值无关．（3）递归函数与我们熟知的循环结构不同，必须经过到达出口的所有路径，而在这个过程中，它并没有得到任何实际的值，仅为不停调用本身．在递归返回中，才根据出口值与拓展表达式运算出先前的所有值，得出答案．三、结论本文通过现实问题抽象出数学模型，算法语言模拟优化过程，进而应用数学原理去分析和解决实际问题．其中最重要的就是构造递归函数，而递归函数在其他实际案例中也有重要的应用．。