复杂网络

复杂网络的意味着这个节点在
某种意义上越“重要”（“能力大”）。 网络的平均度：网络中所有节点的度和的平均值 ，记作<k>。事实上，<k>=2q/p


度(degree)：节点 i 的度 ki 定义为与该节点连接的其 他节点的数目。
节点的聚类系数（簇系数）：在简单图中，设节点v的邻集 为N(v), |N(v)|=ki，则节点v的聚类系数定义为这ki个节点之间 存在边数Ei与总的可能边数ki(ki-1)/2之比，即：Ci=2Ei/ki(ki-1) ★ 节点v的邻点间关系的密切程度
也就是说，幂律分布函数是唯一满足“无标度 条件”的概率分布函数。
复杂网络应用
电力系统复杂网络的应用：
电力系统复杂网络受到随意攻击
细胞复杂网络的应用：
肺部细胞形成一个复杂网络
因特网复杂网络的应用：
因特网形成的复杂网络
交通运输复杂网络的应用：
航 空 网
道 路 交 通 网
城 市 公 共 交 通 网
无标度网络模型
研究发现许多复杂网络的连接度分布函数具有幂律形式， 由于这类网络的节点的连接度没有明显的特征长度，故 称为无标度网络。 Barabasi 和Albert 提出了一个无标度网络模型，称 为BA模型。该模型考虑到了实际网络的两个重要特性： ①增长特性；②优先连接特性。 基于这两个特性，BA无标度网络模型构造算法如下： ①增长：从一个具有m0个节点的网络开始，每次引入一 个新的节点，并且连到m个已存在的节点上，这 里 。 ②优先连接：一个新节点与一个已经存在的节点i相连 接的概率 与节点i的度ki，节点j的度kj之间满足如下 ki 关系：
具有较短的平均路径长度又具有较高的聚类系数的网络就称为小世界 网络。 Newman和Watts提出了NW小世界模型，用“随机化加边”取代WS小 世界模型构造中的“随机化重连”。算法如下： ①从规则图开始：含有N 个节点的最近邻耦合网络。 ②随机化加边：以概率P在随机选取的一对节点之间加上一条边。 NW小世界模型中，p=0对应于原来的最近邻耦合网络，p=1对应于全 局耦合网络。
规则网络
系统中节点及其与边的关系是固定的。
（a）全局耦合网络； （b）最近邻耦合网络； （c）星形网络 全局耦合网络具有最小的平均路径长度Lgc =1和最大的聚类系数 Cgc =1；
最近邻耦合网络:包含N个围成一个环的点，其中每
个节点都与它左右各K/2个邻居点相连（K为偶 数），对于较大的K值，最近邻耦合网络的聚类系 数为
复杂网络
复杂网络的含义： 我国著名科学家钱学森给出了复杂网络一个较严格的定义：具有自 组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络 称为复杂网络。 复杂网络的研究历史： 哥尼斯堡七桥——>随机图论——>小世界和无标度网络

自组织：如果一个系统靠外部指令而形成组织，就是他组 织；如果不存在外部指令，系统按照相互默契的某种规则， 各尽其责而又协调地自动地形成有序结构，就是自组织。
i
k
j
j
幂律分布函数的无标度性质 ：考虑一个概率分布 函数f(x)，如果对任意给定常数a，存在常数 b 使得函数 f(x) 满足如下“无标度条件”: f(ax)=bf(x) 那么必有(假定 f(1)f'(1) 0 )
f x f (1) x , f (1)

f (1)
自相似：一种形状的每一部分在几何上相似于整体，一般对分形而言。
吸引子：相空间（可以表示出一个系统所有可能状态的空间）中稳 定的不动点集。 小世界：
无标度：
小世界网络图
无标度网络图
网络分类

规则网络: 规则网络具有很强规则性，例如全连接网络， 环形，链形，星形网络以及格点和分形图等 随机网络:随机网络是指按照某种明确的统计规律生成 的网络，与规则网络相对应，主要是经典的随机图模型 及其派生出来的相关模型 小世界网络: 主要有WS改边小世界网络和NW加边小世 界网络 无标度网络：BA无标度网络是第一个无标度网络。我 们将主要讨论此类网络上的同步与传播问题 可导航网络
1998，Watts和Strogatz：WS小世界网络
WS小世界模型 NW小世界模型
C(p) : 平均聚集系数 L(p) : 平均最短路径
小世界网络
作为从完全规则网络向完全随机图的过渡，Watts和Strogtz 于1998年引入了一个小世界网络模型，称为WS小世界模型。 其构造算法如下： ①从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络， 它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2 个节点相连，K是偶数。 ②随机化重连：以概率p随机地重连网络中的每个边，即将 边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选 择的一个节点。其中规定，任意两个不同节点之-间至多 只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。
度分布函数p(k):随机选定节点的度恰好为k的概率
网络的聚类系数C：所有节点i的聚类系数Ci的平均值。
（0 C 1）
C=0 C=1 网络中所有节点都是孤立点 网络中任意节点间都有边相连
★ 网络节点间联系的密切程度, 体现网络的凝聚力
★ 许多大规模的实际网络都具有明显的聚类效应。事实上， 在很多类型的网络(如社会关系网络)中，你的朋友同时也是朋友 的概率会随着网络规模的增加而趋向于某个非零常数，即当 N→∞时，C=O(1)。这意味着这些实际的复杂网络并不是完全随 机的，而是在某种程度上具有类似于社会关系网络中“物以类 聚，人以群分”的特性。
( N ) ( N )
C
star
N 1 1 N
随机图

随机图是与规则网络相反的网络，一个典型模型 是Erdos和Renyi于40多年前开始研究的随机图模 型。 假设有大量的纽扣（N》1）散落在地上，并以相 同的概率p给每对纽扣系上一根线。这样就会得到 一个有N个节点，约pN(N-1)/2条边的ER随机图的 实例。
C
nc
3( K 2 ) 3 4 ( K 1) 4
因此，这样的网络是高度聚类的。对于固定的K值， 网络平均路径长度为
N ( N ) Lnc 2 K 星形耦合网络：有一个中心点，其余N-1个点都只
与这个中心点连接，其平均路径长度为
L
聚类系数为
star
2

2( N 1) 2 N ( N 1)