数形结合

例6
(1)不 (1)不等式 4 x − x 2 < x的解集是--------。
(2)若 (2)若不等式 x + a ≥ x ( a > 0)的解集是 [ m , n]， 且 m − n = 2a , 则a的值为----------。 (3)当0 ≤ x ≤ 1时，不等式sin
πx
2
≥ kx成立，
1 2 若点P在曲线 在曲线C上 ③ 若点 在曲线 上，则△ F1PF2的面积不大于 a . 2 其中， . 其中，所有正确结论的序号是
( x + 1)2 + y 2 ⋅ ( x − 1)2 + y 2 = a 2 (a > 1). (1) (0,0)不满足； (2) ( x , y )满足, 则( − x , − y )也满足； 1 1 2 1 2 = PF1 ⋅ PF2 sin θ = a sin θ ≤ a . 2 2 2
）
sin x (2)函 (2)函数y = 的最大值、最小值分别是-------------。 2 + cos x x2 y2 (3)已知F是双曲线 - = 1的左焦点，定点(1,4), 4 12 P是双曲线右支上的动点，则 PF + PA 的最小值为 - - - - - 。
例8 命题：
已知a与b均为单位向量，其夹角为θ ，有下列四个
曲线C是平面内与两个定点 曲线 是平面内与两个定点F1(-1，0) 是平面内与两个定点 ，
的点的轨迹. ， 的距离的积等于常数 的点的轨迹 和F2(1，0)的距离的积等于常数 a2(a>0)的点的轨迹 给出下列三个结论： 给出下列三个结论： 曲线C过坐标原点 过坐标原点； ① 曲线 过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称 关于坐标原点对称； ② 曲线 关于坐标原点对称；
例1
Байду номын сангаас
已知平面直角坐标系xOy上的区域 上的区域 已知平面直角坐标系
0 ≤ x ≤ 2, D由不等式组 y ≤ 2, 给定 若 M(x，y)为D 给定.若 由不等式组 ， 为 x ≤ 2y uuuu uuu r r 上动点， 上动点，点A的坐标为 ( 2,1) ，则 z = OM ⋅ OA 的坐标为
(3) S
F1 PF2
例5
2 x≥2 , 已知函数 f ( x ) = x ， ( x − 1)3 , x < 2
若关于x 的方程 有两个不同的实根， 若关于 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则 有两个不同的实根
实数k的取值范围是 实数 的取值范围是_______. 的取值范围是
y −1 k1 = , y = k1 x + 1 x ( x ≠ 0) ⇒ 代入k1 k2 + 2 = 0 ，得 y+1 y = k2 x − 1 k2 = x y −1 y +1 +2=0，整理，得 2 x 2 + y 2 = 1. ⋅ x x
例4
其中的真命题是 A. p1 , p4 B. p1 , p3 C. p2 , p3 D. p2 , p4
2π p1 : a + b > 1 ⇔ θ ∈ 0, 3 π p3 : a − b > 1 ⇔ θ ∈ 0, 3
2π p2 : a + b > 1 ⇔ θ ∈ ,π 3 π p1 : a − b > 1 ⇔ θ ∈ , π 3
数形结合， 数形结合，就是根据数与形之间的 对应关系， 对应关系，通过数与形的相互转化来解 决数学问题的一种重要思想方法。 决数学问题的一种重要思想方法。 数形结合通过“以形助数， 数形结合通过“以形助数，以数解 形”，使复杂问题简单化，抽象问题具 使复杂问题简单化， 体化，能够变抽象思维为形象思维。 体化，能够变抽象思维为形象思维。
则实数k的取值范围是--------------。
例7
(1)设 (1)设函数g ( x ) = x 2 − 2( x ∈ R ),
g ( x ) + x + 4, x < g ( x ) f ( x) = ，则f ( x )的值域是（ g( x ) − x , x ≥ g( x ) 9 A - ,0 U (1, +∞ ) 4 9 C - , +∞ 4 B[0,+∞ ) 9 D - ,0 U (2, +∞ ) 4
函数f(x)的图象的四个端点为 的图象的四个端点为 函数
3 1 3 3 A(-1,-1), B( −1, −2), C , , D , − 2 4 2 4
从图象中可以看出， 从图象中可以看出，直线 y=c穿过 穿过 之间时， 与图象有且只有两个公共点;或直 点 A与点 C之间时，直线 与图象有且只有两个公共点 或直 与点 之间时 穿过点B 线 y=c穿过点 及其下方时，直线 与图象有且只有两个公共 穿过点 及其下方时， 点，所以实数 的取值范围是 ( −∞ , −2] U −1, − 3 ．故选Ｂ． 故选Ｂ． 4
例3
设直线l 设直线 1:y=k1x+1 ，l2:y=k2x-1， ，
其中实数k 满足k 其中实数 1, k2满足 1k2+2=0 . (Ⅰ) 证明 1与l2相交； Ⅰ 证明l 相交； (Ⅱ) 证明 l1与l2的交点在椭圆 2+y2=1 上. Ⅱ 的交点在椭圆2x
代入k （1）假设 1//l2，则k1=k2,代入 1k2+2=0，得 ）假设l 代入 ， ， k12+2=0，与k1为实数矛盾，故l1、l2相交 为实数矛盾， ， 、 相交. 坐标为(x,y)，则 （2）设点 坐标为 ）设点P坐标为 ，
2 x≥2 , f ( x) = x ( x − 1)3 , x < 2
y=f(x)与y=k 与 有两个不同的 交点⇔ 交点⇔ 0<k<1
例55 对实数a和b，定义运算“⊗”：a ⊗ b = a , a − b ≤ 1, 设函数f ( x ) = ( x 2 − 2) ⊗ x 2 − x ), x ∈ R. （ b, a − b > 1. 若函数y =f (x )-c的图象与x轴恰有两个公共点，则 实数c的取值范围是 3 A. ( −∞ , −2 ) U −1, 2 1 1 C. −1, U , +∞ 4 4 3 B. ( −∞ , −2 ) U −1, − 4 3 1 D. −1, − U , +∞ 4 4
的最大值为 A. 4 2 B. 3 2 C. 4 D. 3
0 ≤ x ≤ 2, y ≤ 2, x ≤ 2y M ( x , y ), A( 2,1) uuuu uuu r r ⇒ z = OM ⋅ OA = 2 x + y ⇒ y = − 2x + z x = 2, y = 2, zmax = 4.
例2
设A(0,0) ，B(4,0) ，C(t+4,4) ，D(t,4) .
为平行四边形ABCD内部（不含边界）的 内部（ 记N(t) 为平行四边形 内部 不含边界） 整点的个数，其中整点是指横、 整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数 的点， 的点，则函数 N(t)的值域为 的值域为 A. {9,10,11} C. {9,11,12} B. {9,10,12} D. {10,11,12}
a , a − b ≤ 1, a⊗b= f ( x ) = ( x 2 − 2) ⊗ x − x 2 ), x ∈ R. （ b, a − b > 1. 3 解( x 2 − 2) − x − x 2 ) ≤ 1，即2 x 2 − x − 3 ≤ 0 ， − 1 ≤ x ≤ . （ 得 2 3 2 x − 2, −1 ≤ x ≤ 2 故f ( x ) = 3 2 x − x , x < −1或x > 2