1.1.3四种命题的关系

郑平正制作
2010-10-9
练一练
1.判断下列说法是否正确。 判断下列说法是否正确。 判断下列说法是否正确 （ 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； 对） ）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 ）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 ）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 ）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为（ 四种命题真假的个数可能为（ 四种命题真假的个数可能为 ）个。 答：0个、2个、4个。 个 个 个 如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 原命题： ∪ 。 逆命题： 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 ， ∪ 。 否命题： 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 ∪ ， 。 逆否命题： 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。 ， ∪ 。
──这是一种很好的尝试,它往往具有 ──这是一种很好的尝试, 这是一种很好的尝试 正难则反,出奇制胜的效果 的效果. 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现: ──它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发, 引出矛盾( 如 证明结论的条 ( 件不成立), ),从而证明命题成立的推理方法. 件不成立), .
2
（2）若ab=0,则a=0或b=0. ） 则 或 （3）若 m ≤ 0 或n ≤ 0，则 m + n ≤ 0 。 ） （4）若 x ）
2
+ y = 0，则x,y全为零。 全为零。 全为零
2
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总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 证明它的逆否命题为真命题 可以通过证明它的逆否命题为真命题, 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题. 间接证明原命题为真命题.
∵ p + q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p + q ) > 4 , ∴ p + q > 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p +q ≠ 2. 得证
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命 这表明原命题的逆否命题为真命题 从而原命 题也为真命题. 题也为真命题
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2 2 即证明 为真命题 “若p + q > 2,则p + q ≠ 2.”
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例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2. 证明： ， ＋
证明: 证明 假设 p + q > 2 ,
则 ( p + q)2 > 4 , ∴ p 2 + q 2 + 2 pq > 4 ,
2 2
假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立
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例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2. 证明： ， ＋
分析:直接证不好下手 分析 直接证不好下手. 直接证不好下手
看成原命题。 将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。 ， ＋ 看成原命题 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性，要证原命题为真命题， 假性，要证原命题为真命题，可以证明它 的逆否命题为真命题。 的逆否命题为真命题。
(真) 真 (真) 真 (真) 真 (真) 真
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 ）原命题： 或 。 逆命题： 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 或 。 否命题： 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 且 逆否命题： 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 ， 且 。 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真) ）原命题： 。 真 (假) 假 逆命题： 逆命题：若ab=0, 则a=0。 。 否命题： (假) 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 。 假 逆否命题： (真) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 则 。 真 3）原命题：若x∈A∪B，则x∈ U A∪ UB。 假 ）原命题： ， 逆命题： 逆命题： x∈ UA∪ UB ，x∈A∪B 。 假 假 否命题： 否命题： xA∪B，x UA∪ UB。 逆否命题： 逆否命题： x UA∪ UB ，xA∪B 。 假
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Help
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几条结论: 几条结论
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但 ） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。
其逆命题、 命题不一定为真。 其逆命题、否命题不一定为真。
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但 ） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。
其原命题、逆否命题不一定为真。 其原命题、逆否命题不一定为真。
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反证法： 反证法：
要证明某一结论A是正确的， 要证明某一结论 是正确的，但不直接证 是正确的 而是先去证明A的反面 的反面（ 明 ， 而是先去证明 的反面 （ 非 A） 是错 ） 误的，从而断定A是正确的 是正确的。 误的，从而断定 是正确的。 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论， 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。 论证的一种数学证明方法。
你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗? 系吗
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课 堂 小 结
原命题 若p则q 则 互 否 命 题 真 假 无 关 命题 p则 q 则 逆命题 若q则p 则 互 否 命 题 真 假 无 关 逆 命题 则 若 q则 p
若
看下面的例子： 看下面的例子：
2.四种命题的真假 四种命题的真假
想一想？ 想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？ 由以上三例及总结我们能发现什么？ 原命题与逆否命题同真假。 即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。 (两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系).
这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原 这说明，原命题的逆否命题为真命题， 命题为真命题。 命题为真命题。
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（对） （错） （错）
（假） （假） （假） （假）
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练习：分别写出下列命题的逆命题、 练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 逆否命题，并判断它们的真假。 题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若q<1,则方程 ） 则方程
x + 2 x + q = 0 有实根。 有实根。
1.1.3四种命题的 四种命题的 相互关系
高二数学 选修2-1
第一章
常用逻辑用语
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回顾
交换原命题的条件和结论， 交换原命题的条件和结论，所得的命题是 逆命题。 逆命题。 ________ 同时否定原命题的条件和结论， 同时否定原命题的条件和结论，所得的命 否命题。 题是________ 题是 否命题。 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 逆否命题。 逆否命题。 所得的命题是__________ 所得的命题是
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原命题,逆命题,否命题, 原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: 四种命题形式: 原命题: 原命题: 若 p, 逆命题: 逆命题: 若 q, 否命题: 否命题: 若┐p, 逆否命题: 逆否命题: 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p
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变式练习
1、已知 p + q = 2 。求证：p + q ≤ 2. 、 求证：
3 3
那么q>2-p, 解：假设p+q>2,那么 假设 那么 3 q 3 > (2 p )3 , 的单调性， 根据幂函数 y = x 的单调性，得
q 3 > 8 12 p + 6 p 2 p 3 , 即 1 2 3 3 2 p + q > 8 12 p + 6 p = 6 ( p 1) + , 3 3 3 p + q > 2. 因此 p 3 + q 3 ≠ 2. 所以
观察与思考
？
是正弦函数， 是周期函数。 1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。
是周期函数， 是正弦函数。 2）若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数。
3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。 不是正弦函数， 不是周期函数。 4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。 不是周期函数， 不是正弦函数。