卡尔曼在GPS中的应用

卡尔曼滤波在GPS 定位误差中的应用
摘 要：在GPS 观测数据中经常出现扰动分量。

对此,提出了抑制观测噪声中周期干扰的卡尔曼滤波。

针对卫星定位信息误差形成的原因和组成，分析了几何精度因子在误差形成中的影响，在对误差分析的基础上提出了一种误差处理的数学模型，采用卡尔曼滤波的方法对误差进行处理以提高了定位精度。

关键词:GPS 定位;误差处理;卡尔曼滤波
Abstract : there is always some disturbances in the GPS observation data, in this paper, we use the Kalman Filtering to suppress the observation noise. Than analyzes the influence of the GDOP, and puts forward a mathematics model of error processing ，which adopts the method of the Kalman Filter.
Keywords : GPS positioning, error processing, Kalman Filter
全球定位系统(GPS —Global Positioning System)现已广泛应用于军事及国民经济的各个领域.GPS 定位不仅具有全球性、全天候、连续的精密三维定位能力,而且具有良好的抗干扰性和保密性.GPS 定位的主要误差源有以下几个方面:（1)卫星星历预报误差；（2)电离层延时误差；（3)对流层延时误差；（4)卫星时钟预报误差；（5)差分对流层延时误差；(6)基准站时钟偏差等等。

因此，提高GPS 导航精度是十分必要的。

1 GPS 定位误差
GPS 导航定位系统采用被动式测量距离的原理完成定位。

具体来说，GPS 模块被动测量来自GPS 卫星定位导航信息的时延，通过测量GPS 接收天线和卫星发射天线之间的距离获得星站距离，加上GPS 卫星在轨位置算出用户的定位坐标。

该位置误差为
p p m PD O P m =⨯
式中，PDOP 是三维位置精度因子，对于由24颗GPS 卫星组成的GPS 星座，PDOP 的最大值是18，最小值是1.8; p m 是星站距离误差。

定位精度不仅取决于星站距离测量误差，而且取决于PDOP 的大小。

PDOP 通过选择适当的GPS 定位星座可获得较小的PDOP 值。

GPS 星站距离测量误差受多种因素影响。

误差主要有GPS 信号的自身误差及人为的误差，简称为卫星误差; GPS 信号从卫星传播到接收天线的传播误差; GPS 模块所产生的信号测量误差，简称接收误差。

2 GPS 动态卡尔曼滤波算法
系统主要应用在机动状态载体，因此采用最能描述载体强烈机动的当前统计模型。

(1)状态方程建立。

所用GPS 接收系统给出的是在地理坐标系中的经度、纬度和高度值。

一般要先将地理坐标系转换为地球直角坐标系，并依次定义描述接收机在3个坐标轴的位置、速度、加速度、误差等信息。

[,,,,,,,,,,,]x y z X x x x y y y z z z εεε= ,,,,,,,,,,,x y z
x x x y y y z z z εεε 分别为机动状态载体在3个坐标轴上的位置、速度、
加速度和位置误差。

通常采用一阶马尔科夫过程表示各个位置误差，总位置误差
可看作有色噪声，则可表述为
1
x x x x
εεωτ=-
+ 1
y y y y
εεωτ=-
+ 1
z z z z
εεωτ=-
+
上述3式中，x τ，y τ，z τ分别对应马尔科夫过程的相关时间常数。

ω为对应3条坐标上的高斯白噪声，则系统方程可写为
()()()()X
t AX t U t W t =++
式中系统的状态转移矩阵为
44
444444
4444
000000x
y Z A A A A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
(2)观测方程的建立
将GPS 接收机输出的定位结果为0x ，0y ，0z ，那么在其中分别包括真实状态变量x ，y ，z 和一阶马尔科夫过程误差x ε，y ε，z ε和量测误差x
b ω，y
b ω，z
b ω，
即
000x y z
b x x y y b z z b B x x B y y z z B ωωωωωω⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
将上式记为Z H X V =+
其中观测矩阵克表示为
1001000000000
0001001000000
1
1H ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
由方程可知，这是一个可观测的线性卡尔曼模型。

(3)自适应卡尔曼滤波方程的建立
通过上述方程，可建立卡尔曼滤波方程如下
1ˆ(1|)(1|)()X k k k k X
k Φ+=+ ˆˆ(1)(1|)(1)[(1)(1)(1|)]X k X
k k K k B k H k X k k +=++++-++ 1
K (k +1) = P(k +1|k) H (k + 1) [H (k + 1) P (k +1) H (k + 1)+R (k + 1)]
T T -
P(k+1|k) =(k+1)(k+1|k)P(k)(k +1|k)+Q (k)
T
λΦΦ
P(k+1) =[I-K(k+1)H(k+1)] P(k+1|k)
其中，
1111(1|)00
(1|)0
(1|)
000
(1|)x y z k k k k k k k k Φ+⎛⎫
⎪
Φ+=Φ+ ⎪ ⎪Φ+⎝
⎭
式中，Q(k)阵为系统的噪声协方差阵，Q 的离散化矩阵。

方程中λ(k+1)是引入的遗忘因子，可用来限制卡尔曼滤波器的记忆长度，改善滤波器的动态性能。

卡尔曼滤波器是高斯过程最优滤波的一种有效算法，当对象模型足够准确，且系统状态和参数小，发生突变时，性能较好。

但当模型存在误差，及系统状态和参数发生突变时，这种增长记忆滤波使“过老”的测量数据对现时的状态估计产生不良影响，甚至可能发散，从而影响滤波器的动态性能。

3 仿真结果
在测试中分组进行，如下图所示，图1(a)为加入滤波算法之前，图1（b ）为加滤波算法之后。

路线均为步行绕学校的实验楼一圈。

从图中可以看出，加入滤波算法后限制了粗大误差的作用，同时也有很好的跟踪性能，有效提高了GPS 定位精度。

图1 GPS 算法实验仿真结果
从分析结果可以看出，设计选用的数学模型是合理的，即将系统的各种误差用一个总误差来代替，从而修正结果是可行的。

但系统存在一定的延时，不能保证定位数据的实时输出。

下一步工作是找到一种既能提高系统的实时性能，又能提高定位精度，这不仅需要新的软件算法，也需要精度输出较高的新型GPS 接收机。