平面直角坐标系中的伸缩变换

y’=y
通常把
1
1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx? 写出其坐标变换。 在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐 标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到 曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=x
因为P也在线段AB的垂直平分线上，所以PA PB
y’=3y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意 一点，在变换 ( 0) x' x : 4 ( 0) y' y
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 为平面直 角坐标系中的伸缩变换。 注（1） 0, 0 （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的 伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变， 在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
一．平面直角坐标系的建立
思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向 三个观测点的报告：正西、正北两个观测 点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨 响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各 观测点到中心的距离都是1020m，试确定 该巨响的位置。（假定当时声音传播的速 度为340m/s，各相关点均在同一平面上） (2004年广东高考题)
a b
P B y C
o
A
x
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听 到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分 线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s 听到爆炸声， 故|PA|－ |PB|=340×4=1360 由双曲线定义知P点在以A、B为焦 x2 y2 点的双曲线 2 2 1 上，
x 680 5 , y 680 5 , 即P(680 5 ,680 5 ),故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心 680 10m 处
解决此类应用题的关键：
坐标法
1、建立平面直角坐标系
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应）
4、化简
5、说明
即 x2 y2 c2 5[( x c)2 y2 ]. 整理得 2x2 2 y2 2c2 5cx 0.
因为
x c y 所以 BE ( c)( x) CF 0. 2 2 2
E
c x y BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2 2
a b
P B y C
o
A
x
a 680 , c 1020 b c a 1020 680 5 故双曲线方程为 2 1 ( x 0) 2 680 5 340
用y=－x代入上式，得 x 680 5 ， ∵|PA|>|PB|,
y’=3y
通常把 变换。
2
2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 1 标不变，将横坐标x缩为原来的 2 ，在此基础上， 将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) 1 x’= 2 x
O (A)
F
B
x
因此，BE与CF互相垂直.
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
x
O
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 标不变，将横坐标x缩为原来的 1 ，就得到正弦 2 曲线y=sin2x. 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换， 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持 1 ，得到点 纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 2 P’(x’,y’).坐标对应关系为： 1 x’= 2 x 坐标对应关系为：
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系：
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE, CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面 直角坐标系探究BE与CF的位置关系。
y P C
B
o
A
x
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听 到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分 线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s 听到爆炸声， 故|PA|－ |PB|=340×4=1360 由双曲线定义知P点在以A、B为焦 x2 y2 点的双曲线 2 2 1 上，
后，
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题； （2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
预习： 极坐标系（书本P9-P11）
P8第2题
A
y
P (x,y) C
B (x-2,0)
x
(x+2,0)
2、解：以直线l为x轴，过点A与l垂直的直线为 y轴建立直角坐标系，则 A(0,3)。 点 设ABC的外心为P( x, y ),因为P是线段BC的垂直 平分线上的点，所以 、C的坐标分别为 x 2,0) B ( ( x 2,0) 即 x 2 ( y 3) 2 2 2 y 2 整理得x 2 6 y 5 0 这就是所求的轨迹方程 。
解： 以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，边AB所在的直线x轴， 建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为 c
x y 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ ，）. y 2 2 由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ， C
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
练习： 1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换 x’=x
y’=3y 后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换
x’=3x
y’=y 曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的 方程并画出图形。