现代优化算法--讲义
现代优化计算方法课件
20
图的蚁群系统（GBAS） 6/12
可以验证，下式满足：
ij (k) 1,k 0
(i, j)A
即 (k) 是一个随机矩阵。 四个城市的非对称TSP问题，距离矩阵和城市图示如下：
0 1 0.5 1
D
(dij
)
1
1.5
0 5
1 0
1
1
1 1 1 0
蚁群算法
起源 应用领域 研究背景 基本原理
1
蚁群优化算法起源
蚁群算法最开始的提出是在90年代有人受了蚂蚁觅食时的 通讯机制的启发用来解决计算机算法学中经典的“旅行商 问题（Traveling Salesman Problem, TSP）”。 TSP问题属于易于描述但难于解决的著名难题之一，至今 世界上还有不少人在研究它。该问题的基本描述是：某售 货员要到若干个村庄售货，各村庄之间的路程是已知的， 为了提高效率，售货员决定从所在商店出发，到每个村庄 都售货一次后再返回商店，问他应选择一条什么路线才能 使所走的总路程最短? 其实有很多实际问题可归结为TSP问 题。
城市间的距离矩阵为 (d ij ) nn ，给TSP图中的每
一条弧 (i, j)
赋信息素初值 ij (0)
1 | A|
，假设m
只蚂蚁在工作，所有蚂蚁都从同一城市i0 出发。当前最 好解是 w (1,2,, n) 。
16
初始的蚁群优化算法—基于图的蚁群系 统（GBAS） 2/12
STEP 1 （外循环）如果满足算法的停止规则，则停止计算并输
若按以上规则继续，蚁群在ABD路线上再增派一只蚂蚁（共3只），而 ACD路线上仍然为一只蚂蚁。再经过36个时间单位后，两条线路上的信息素 单位积累为24和6，比值为4：1。
《现代优化算法》课件
通过大量蚂蚁的协作和信息共享，蚁群能够找到从起点到 终点的最优路径，这种群体智能的涌现是蚁群优化算法的 核心。
蚁群优化算法的实现步骤
初始化
设置蚁群数量、信息素初始值 、蚂蚁初始位置等参数。
循环迭代
在每一步迭代中，蚂蚁根据信 息素浓度选择移动方向，同时 更新路径上的信息素浓度。
信息素挥发
机器学习与数据挖
掘
蚁群优化算法在特征选、聚类 分析、分类器设计等领域也有着 广泛的应用。
THANKS
感谢观看
终止条件
当达到终止条件时，算法结束 ，返回最优解。
模拟退火算法的应用
组合优化问题
模拟退火算法广泛应用于解决各种组合 优化问题，如旅行商问题、调度问题、
图形划分问题等。
经济学
模拟退火算法在经济学中也有广泛应 用，如优化金融衍生品定价、风险管
理等。
机器学习
模拟退火算法也可用于优化机器学习 模型的参数，如支持向量机、神经网 络等。
现代优化算法不断改进和创新，以适应更复杂的问题和更高效求解的需求 。
02
线性规划
线性规划的定义
1
线性规划是数学优化技术中的一种，它通过寻找 一组变量的最优组合，使得某个或多个线性目标 函数达到最大或最小值。
2
线性规划问题通常表示为在满足一系列线性约束 条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
3
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件， 且目标函数和约束条件都是线性函数。
非线性规划的应用
机器学习
用于训练神经网络、支持向量机等模 型，优化模型的参数以获得更好的预 测性能。
图像处理
用于图像压缩、图像增强、图像恢复 等问题，通过优化算法来寻找最佳的 参数配置。
现代优化方法
动态规划问题的求解方法
逆向求解
从最后阶段开始，依次求出每 个阶段的最优解，最终得到初
始阶段的最优解。
正向求解
从初始阶段开始，逐步向前推导 出每个阶段的最优解。
分支定界法
将问题分解为若干个子问题，通过 设定参数和约束条件，将问题的求 解范围缩小到最优解所在的子问题 集合中。
动态规划的应用
最短路径问题
03
由确定型优化向不确 定型优化发展
考虑随机因素和不确定性因素的影响 ，进行概率优化或鲁棒优化。
THANK态规划算法求解最短路径问题，例如 Floyd-Warshall算法、Dijkstra算法等。
通过动态规划算法求解网络流中的最大流和 最小费用流问题。
背包问题
排程问题
通过动态规划算法求解多阶段决策过程中的 最优解，例如0/1背包问题、完全背包问题 等。
通过动态规划算法求解资源分配和任务调度 问题，例如作业排程、飞机调度等。
05
遗传算法优化方法
遗传算法的基本原理
遗传算法是一种基于生物进化理论的优化算法，通过模拟自 然选择、遗传和突变过程来寻求最优解。
遗传算法的基本原理是：在群体中选择出优秀的个体，通过 交叉、变异等操作产生更优秀的后代，迭代进化，最终得到 最优解。
遗传算法的求解过程
初始化种群
随机生成一定数量的个体作为初始种群。
2023
现代优化方法
contents
目录
• 优化方法概述 • 线性规划优化方法 • 非线性规划优化方法 • 动态规划优化方法 • 遗传算法优化方法 • 模拟退火算法优化方法 • 粒子群优化方法 • 现代优化方法比较分析
01
优化方法概述
定义与特点
定义
现代优化计算方法
决策变量
t = 1,",T
(1.12)
xit＝1表示第t时段加工产品i 、T:时段数
组合优化问题的表示形式
• 组合优化问题通常可以用整数规划模型 的形式表示，如例1.1.1和1.1.2
• 有些组合优化问题用IP模型表示则比较 复杂且不易被理解，不如对问题采用直 接叙述更易理解，如例1.1.2,1.1.4和1.1.5
例1.1.2的非对称距离TSP问题耗时
• 可以用另一个方法来表示它的可行解： 用n个城市的—个排列表示商人按这个排 列序推销并返回起点
• 若固定一个城市为起终点，则需要 (n—1)！个枚举
• 设计算机1秒可以完成24个城市所有路径 枚举为单位
枚举时城市数与计算时间的关系
城市数 24 25 26 27 28 29 30 31 计算时间 1s 24 s 10m 4.3h 4.9d 136d 10a 325a
max cT x
s.t.Ax = b
x ≥ 0, x ∈ Z n
c为n维列向量，A为m×n矩阵、b为m 维列向量，x 为n维决策变量，Zn表示n 维整数向量的集合 系数A、b和c的元素都是整数
• 例1.1.2和1.1.3的数学模型都具有(IP) 的形式 •一些组合优化问题可以写成整数线 性规划问题 •IP与LP形式非常相似，不同之处是 前者的决策变量部分或全部取整数
(1.5) (1.6)
(1.7) (1.8)
共n×(n-1)个决策变量 D={0,1}n× (n-1)
一条回路是由k(1≤k ≤ n)个城市和k条弧 组成，因此，(1．7)约束旅行者在任何一 个城市真子集中不形成回路，其中|S|表 示集合S中元素个数
例1.1.3 整数线性规划 (integer linear programming)
现代优化算法--课件
数学建模竞赛常用算法(2) 数学建模竞赛常用算法(2)
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数 据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工 具。与图形处理有关的问题很多与拟合有关系。 98 年美国赛 题 生物组织切片的三维插值处理 年美国赛A 94 年A 题逢山开路 山体海拔高度的插值计算 此类问题在MATLAB中有很多函数可以调用，只有熟 悉MATLAB，这些方法才能用好。
现代优化算法
许志军 xuzhijun1998@ 2010-8-1
目录
Part 1 概论 Part 2 模拟退火算法 Part 3 遗传算法
2
Part 1
概论
主要是说明现代优化算 法的重要性。 法的重要性模拟退火算法 遗传算法 人工神经网络 蚁群算法 粒子群算法 混合算法
15
数学建模竞赛常用算法(5) 数学建模竞赛常用算法(5)
5. 计算机算法设计中的问题
计算机算法设计包括很多内容：动态规划、回溯搜 动态规划、 动态规划 分治算法、分枝定界等计算机算法. 索、分治算法、分枝定界 92 年B 题用分枝定界法 97 年B 题是典型的动态规划问题 98 年B 题体现了分治算法 这方面问题和ACM 程序设计竞赛中的问题类似， 可看一下与计算机算法有关的书。
19
数学建模竞赛常用算法(9) 数学建模竞赛常用算法(9)
9. 数值分析方法
数值分析研究各种求解数学问题的数值计算方法 求解数学问题的数值计算方法， 求解数学问题的数值计算方法 特别是适合于计算机实现方法与算法。 它的主要内容包括函数的数值逼近、数值微分与数 函数的数值逼近、 函数的数值逼近 值积分、非线性方程的数值解法、数值代数、 值积分、非线性方程的数值解法、数值代数、常微分方 程数值解等。数值分析是计算数学的一个重要分支，把 程数值解 理论与计算紧密结合,是现代科学计算的基础 。 MATLAB等数学软件中已经有很多数值分析的函 数可以直接调用。
现代优化计算方法
1. 设置一个终止温度 te； 2. 规定外循环的最大迭代次数kmax： 3. 算法在每个tk值搜索到的最优解的值在若干次迭代内已 保持不变。
§10.3 模拟退火优化算法
§10.2 计算复杂性和启发式算法
一.计算复杂性
由于计算时间和存储空间的局限，某些算法在实践中不一定能得到解 算法的复杂性 算法的求解方法造成（例：求二阶导数） 问题的复杂性 问题本身求解的复杂造成
求解问题的规模（维数）n 对复杂性的影响
§10.2 计算复杂性和启发式算法
二.启发式算法
是相对于有严格数学背景的数学规划优化算法提出的。
启发式算法 适于求解高非线性、多约束、多极值问题
—— 现代优化计算方法：
模拟退火算法（Simulated annealing） 遗传算法（Genetic algorithms） 神经网络优化算法（Neural networks optimization） 混合优化算法（Hybrid optimization）
§10.3 模拟退火优化算法
一. 物理背景：
固体退火的物理过程和统计性质： （1）加温：随温度升高，粒子能量增高，与平衡位置的距离增大 （2）等温：温度升至熔解温度，固体的规则性被打破，成为液体， 粒子可以自由运动和重新排序，消除系统中原先存在的非均匀状态 （3）冷却：随着温度的下降，粒子能量减弱，运动减小粒子最终 进入平衡态，固化为具有最小能量的晶体
exp
Ei
Ej kt
random 0,1
若新状态 j 的能量满足条件，则被用来 替代原状态 i。 高温下，接受能量差较大的新状态； 低温下，只接受能量差较小的新状态。
第07章-现代优化算法
1.1 基本遗传算法的构成要素 (1) 染色体编码方法 基本遗传算法使用固定长度的二进制符号串来 表示群体中的个体，其等位基因由二值符号集{0， 1}组成。 初始群体中各个个体的基因值用均匀分布的随 机数来生成。如： x；1001 1100 1000 1011 01 就可表示一个个体，其染色体长度是 l＝18
第一节 遗传算法（GA）
(2) 个体适应度评价 基本遗传算法按与个体适应度成正比的概率来决定当前
群体中每个个体遗传到下一代群体中的机会多少。为正确计 算这个概率，这里要求所有个体的适应度必须为正数或零。 这样，根据不同种类的问题，必须预先确定好由目标函数 值到个体适应度之间的转换规则，特别是要预先确定好当目 标函数值为负数时的处理方法。
= 1.052426
第一节 遗传算法（GA）
1.3.2 个体适应度评价 要求所有个体的适应度必须为正数或零，不能是负数。
(1) 当优化目标是求函数最大值，并且目标函数总取正值时，可以 直接设定个体的适应度F(X)就等于相应的目标函数值f(X)，即：
F(X)＝f(X) (2) 对于求目标函数最小值的优化问题，理论上只需简单地对其增 加一个负号就可将其转化为求目标函数最大值的优化问题，即：
随机数r
23 49 76 13 1 27 57
被选中的个体号 3 7 10 3 1 3 7
第一节 遗传算法（GA）
1.3.4 单点交叉算子 (1) 交叉算子作用
通过交叉，子代的基因值不同于父代。交换是遗传算法产生新 个体的主要手段。正是有了交换操作，群体的性态才多种多样。 (2) 最常用和最基本——单点交叉算子。 (3) 单点交叉算子的具体计算过程如下： Ⅰ. 对群体中的个体进行两两随机配对。
现代智能优化计算方法-概论(第1讲)
[3] 阎平凡, 张长水. 人工神经网络与模拟进 化计算. 北京: 清华大学出版社, 2005.
天津理工大学计算机科学与工程学院 - School of Computer Science and Engineering, TJUT, China
天津理工大学计算机科学与工程学院 - School of Computer Science and Engineering, TJUT, China
现代优化计算
1.2 最优化问题及其分类 1.2.1 函数优化问题
测试函数 （9）Generalized Rastrigin’s Function
n
本科生春季课程
现代智能优化计算方法
(Modern Intelligence Optimize Arithmetic)
1. 现代智能优化算法概论
计算机科学与工程学院 温显斌
天津理工大学计算机与通信工程学院 - School of Computer and Communication Engineering, TJUT, China
优化技术的用途 系统控制 人工智能 模式识别 生产调度 ……
天津理工大学计算机科学与工程学院 - School of Computer Science and Engineering, TJUT, China
现代优化计算
1.1 引言 1.1.1 优化问题 最优化问题的描述 最优化问题的数学模型的一般描述： min f (x) s.t. g(x) 0, xD
难点 高维 多峰值
天津理工大学计算机科学与工程学院 - School of Computer Science and Engineering, TJUT, China
现代优化计算方法ppt课件-PPT精品文档
D { 0 , 1 }
n ( n 1 )
1.1 组合优化问题
例4 装箱问题（bin packing） 尺寸为1的箱子有若干个，怎样用最少的 箱子装下n个尺寸不超过1 的物品，物品 {a 集合为： 1, a 2,...a n} 。
1.1 组合优化问题
数 学 模 型 ： m in B s .t . x i b 1 , i 1 , 2 ,
b 1 n B
,n,
每个物品都被装箱
装在每个箱子的物品 a i x i b 1 , b 1 , 2 , , B , 总尺寸不能超过箱子 i1 的容量 x ib 0 , 1 , i 1 , 2 , , n ; b 1 , 2 , , B ,
其 中 x ib B :装 下 全 部 物 品 需 要 的 箱 子 ， 1, 第 i物 品 装 在 第 b 个 箱 子 ， 0 ，第 i 物 品 不 装 在 第 b 个 箱 子 .
1.1 组合优化问题
数学模型： m in
d
i j nij源自x ij , n, , n,
(1 .4 ) 总 路 长 (1 .5 ) 只 从 城 市 i 出 来 一 次 (1 .6 ) 只 走 入 城 市 j 一 次 , n , (1 .7 ) 在 任 意 城 市 子 集 中 不 形 成 回 路 (1 .8 ) 决 策 变 量
1.1 组合优化问题
组合优化（combinatorial optimization）:解决 离散问题的优化问题——运筹学分支。通过数学方 法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次序 或筛选等，可以涉及信息技术、经济管理、工业工 程、交通运输和通信网络等许多方面。
数学模型： minf (x)
目标函数 约束函数 有限点集 ,决策变量
现代优化算法简介课件
线性规划的应用案例
01
02
03
04
$item1_c线性规划的应用案例 包括生产计划、运输问题、资 源分配等。
$item1_c线性规划的应用案例 包括生产计划、运输问题、资 源分配等。
$item1_c线性规划的应用案例 包括生产计划、运输问题、资 源分配等。
线性规划的应用案例包括生产 计划、运输问题、资源分配等 。
3. 判断是否接受候选解：根据目标函数值的改善情况， 判断是否接受候选解作为新的当前解。
4. 更新温度：降低当前温度，以保证算法能够跳出局部 最优解。
5. 终止条件：当满足终止条件（如达到最大迭代次数或 目标函数值满足精度要求）时，输出当前解作为最终结果 。
模拟退火算法的应用案例
95% 85% 75% 50% 45%
优化算法的重要性
优化算法在许多领域都有广泛的应用 ，如生产计划、物流运输、金融投资 等。
VS
在这些领域中，优化算法可以帮助我 们找到最优的解决方案，提高效率和 收益。
课程目标
02
01
03
掌握现代优化算法的基本概念和原理。 了解不同类型优化算法的应用场景和优劣。 能够根据实际问题选择合适的优化算法并实现。
100%
递归法
将问题分解为若干个子问题，然 后分别求解每个子问题，最终得 到整个问题的最优解。
80%
迭代法
从初始解开始，逐步迭代，逐步 逼近最优解。
动态规划的应用案例
最短路径问题
动态规划可以用于求解图中两 个节点之间的最短路径问题， 如Dijkstra算法和Floyd算法等 。
背包问题
动态规划可以用于求解0/1背 包问题、完全背包问题和多约 束背包问题等，如Knapsack 算法等。
现代优化方法
系统在受到局部损伤时还可以正常工作。 并不是说可以任意地对完成学习的网络进行修改。 也正是由于信息的分布存放，对一类网来说，当它 完成学习后，如果再让它学习新的东西，这时就会 破坏原来已学会的东西。
擅长两个方面：
◦ 对大量的数据进行分类，并且只有较少的几种情况； ◦ 必须学习一个复杂的非线性映射。
人 (或其它生物)的神经网络示意图
一个神经元通过晶枝(dendrite)接收到信息后，它 对这些信息进行处理 ，并通过它所控制的触突 (synapse)传给其它神经元。来自 神经元的六个基本特征：
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 神经元及其联接； 神经元之间的联接强度决定信号传递的强弱； 神经元之间的联接强度是可以随训练改变的； 信号可以是起刺激作用的，也可以是起抑制作用的； 一个神经元接受的信号的累积效果决定该神经元的状态； 每个神经元可以有一个“阈值”。
目前应用：
◦ 人们主要将其用于语音、视觉、知识处理、辅助决策等方 面。 ◦ 在数据压缩、模式匹配、系统建模、模糊控制、求组合优 化问题的最佳解的近似解（不是最佳近似解）等方面也有 较好的应用。。
萌芽期（20世纪40年代） 人工神经网络的研究最早可以追溯到人类开始研究 自己的智能的时期，到1949年止。 1943年，心理学家McCulloch和数学家Pitts建立 起了著名的阈值加权和模型，简称为M-P模型。发 表于数学生物物理学会刊《Bulletin of Mathematical Biophysics》 1949年，心理学家D. O.Hebb提出神经元之间突 触联系是可变的假说——Hebb学习律。
x2 (11 001) y1 (11111) x3 (01111) y2 (01 001) x2 (11 001) y3 (11 000) x4 (01 000) y4 (01 001)
现代优化算法简介PPT课件
混合优化算法
将传统优化算法与启发式 优化算法相结合，以提高 效率和精度。
02
常见优化算法介绍
梯度下降法
总结词
基本、直观、易实现
详细描述
梯度下降法是最基础的优化算法之一，它通过不断沿着函数梯度的反方向进行 搜索，以寻找最小值点。由于其简单直观且易于实现，梯度下降法在许多领域 都有广泛应用。
牛顿法
优化算法的重要性
优化算法是解决复杂问题的关键，能 够提高效率和精度，降低成本和风险 。
随着大数据和人工智能的快速发展， 优化算法在解决实际问题中扮演着越 来越重要的角色。
现代优化算法的发展历程
01
02
03
传统的优化算法
如梯度下降法、牛顿法等， 适用于简单问题。
启发式优化算法
如遗传算法、模拟退火算 法等，适用于复杂问题。
多目标优化问题
总结词
多目标优化问题是指同时追求多个目标函数 的优化问题，如多目标决策、多目标规划等 。
详细描述
多目标优化问题需要同时考虑多个相互冲突 的目标函数，找到一个平衡的解。现代优化 算法如遗传算法、粒子群算法等在多目标优 化问题中广泛应用，能够找到一组非支配解
，满足不同目标的权衡和折衷。
04
指算法在处理大规模数据集时的性能表现。
详细描述
随着数据规模的增大，算法的可扩展性变得越来越重 要。现代优化算法需要能够高效地处理大规模数据集 ，同时保持较高的计算效率和精度。这需要算法设计 时充分考虑计算资源的利用和优化。
算法的理论支撑
总结词
指算法的理论基础和数学证明。
详细描述
现代优化算法需要有坚实的理论基础 和数学证明，以确保其有效性和正确 性。这需要算法设计者具备深厚的数 学功底和理论素养，以确保算法的可 靠性和稳定性。
现代优化算法
参数〔即初始温度、降温策略、温度终值准那么、Markov链长〕，怎样实现模拟退火算法的并行运
算，怎样进一步改进模拟退火算法等。
这些改进主要包括：选取适宜的初始温度、最优保存策略、与部分搜索相结合、回火退火法等。需 要说明，文献中的部分搜索法本质上仍然是随机搜索，只是仅承受优化解，不承受恶化解。
近些年来，不少学者对于模拟退火算法进展了深化的研究和改进。
包括：讨论模拟退火与传统部分优化算法如单纯形法、Powell方法等的结合[7]，研究邻域构
造与选取状态转移随机步长方法以及相应的降温方案，如何采取适宜的退火终止条件等。
16
模拟退火算法 Markov链长
计算 冷却进度表
根本算法〔PASCAL伪码〕：
Procedure SIMULATED ANNEALING;
禁忌，就是制止重复前面的工作。为了回避部分邻域搜索陷入部分最优的主要缺乏，采用一个禁忌 表记录已经到达过的部分最优点，在下一次搜索中，利用禁忌表中的信息不再或者有选择地搜索这 些点，以此来跳出部分最优点。
Tabu算法由几个根本要素的组合：邻域，Tabu表及评价函数。邻域与一般优化技术中的定义一致； Tabu表是一个或数个数据序列，是对先前的数步搜索所作的记录，记录的方式有很多，记录的长度 也是可变的，选取的好坏直接影响算法的效率；评价函数通常就是问题的目的函数或它的某种变换 形式，用于对一个挪动作出评价。由Tabu表和评价函数可以构造一种Tabu条件，假设新点满足 Tabu条件那么承受，否那么回绝，直至迭代终止。
模拟退火算法〔simulated annealing algorithm, SAA〕是一种重要的全局性启发式概率搜索算法，其 物理背景是固体的退火过程。
历史上，两个人物对于SAA的开展起了关键性的作用，他们分别是N. Metropolis和S. Kirkpatrick。
12第12章 现代优化算法
6/93
基础部数学教研室
数学 建模
12.1 模拟退火算法 12.1.1 算法简介 模拟退火算法得益于材料统计力学的研究成果。 统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不 同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以 自由运动和重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。 如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过程被称为 退火） ，粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统 完全被冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。
12/93
基础部数学教研室
数学 建模
假定要解决的问题是一个寻找最小值的优化问 题。将物理学中模拟退火的思想应用于优化问题就可 以得到模拟退火寻优方法。 考虑这样一个组合优化问题：优化函数为
f : x R ，其中 x S ，它表示优化问题的一个可行
解 ， R { y | y R, y 0} ， S 表 示 函 数 的 定 义 域 。
e
，
其中 X 表示材料当前状态的随机变量， S 表示状态空 间集合。
9/93
基础部数学教研室
数学 建模
显然
T
lim
e
jS
E(i ) KT E( j) KT
e
1 ， |S|
其中| S |表示集合 S 中状态的数量。这表明所有状态在 高温下具有相同的概率。
10/93
基础部数学教研室
d R arccos[cos( x1 x2 )cos y1 cos y2 sin y1 sin y2 ].
25/93
基础部数学教研室
数学 建模
求解的模拟退火算法描述如下 （1）解空间 解空间 S 可表为 { 1,2,,101,102 } 的所有固定起点和 终点的循环排列集合，即 S {( 1 , , 102 ) | 1 1,( 2 , , 101 )为{2,3, ,101}
第五章 现代优化计算方法
第五章现代优化计算方法§5.1 引言 §5.2 计算复杂性和启发式算法的概念 §5.3 模拟退火优化算法 §5.4 遗传优化算法 §5.5 神经网络优化算法 §5.6 混合优化算法§5.1常规优化算法 Powell法、梯度法引言随机方向搜索法、复合形法、惩罚函数法 启发式算法 适于求解高非线性、多约束、多极值问题现代优化算法：模拟退火算法（Simulated annealing） 遗传算法（Genetic algorithms） 神经网络优化算法（Neural networks optimization） 混合优化算法（Hybrid optimization）§5.2 计算复杂性和启发式算法一.计算复杂性 由于计算时间和存储空间的局限，某些算法在实践中不一 定能得到解 算法的复杂性 算法的求解方法造成（例：求二阶导数） 问题的复杂性 问题本身求解的复杂造成求解问题的规模（维数）n 对复杂性的影响二.启发式算法 是相对于有严格数学背景的数学规划优化算法提出的。
有严格数学背景——梯度法、坐标轮换法、Powell法 是基于直观或经验构造的算法，在可接受的花费（指 计算时间和空间）内寻找最好的解，但不能保证所得 的解就是最优解，以及此解与最优解的近似程度。
通过揭示和模拟自然现象和过程，并综合数学、物理 学、生物进化、人工智能、神经科学和统计学等所构 造的算法。
也称构造型算法、智能优化算法。
§5.3 模拟退火优化算法一. 物理背景： 固体退火的物理过程和统计性质： （1）加温：随温度升高，粒子能量增高，与平衡位置的距离 增大 （2）等温：温度升至熔解温度，固体的规则性被打破，成为 液体，粒子可以自由运动和重新排序，消除系统中原先存在的 非均匀状态 （3）冷却：随着温度的下降，粒子能量减弱，运动减小粒子 最终进入平衡态，固化为具有最小能量的晶体温度 t 下，分子停留在某一 状态 r 满足 Bolztmann 概率 分布：P E = E (r ) ={}1 ⎛ E (r ) ⎞ exp ⎜ − ⎟ z (t ) kt ⎠ ⎝其中： E(r) ——状态r的能量 k ——常数 E ——分子能量的一个随机变量 z(t) ——概率分布的标准化因子 D0 ——最低能量状态的个数 D ——状态空间中状态的个数 物理退火 E（r） E（rmin） 优化设计 f（x） f （x*）分子停留在某种能量状态的 概率与温度成反比随着温度 t 不断降低，分子停 留在低能量状态的概率不断增大 相同温度下，分子停留在低能量 状态的概率要更大二. 基本思想：状态 迁移准则（ Metropolis 抽样稳定性条件）：⎛ Ei − E j exp ⎜ ⎝ kt ⎞ ⎟ ≥ random ( 0,1) ⎠若新状态 j 的能量满足条件，则被用来替代原状态 i。
现代优化方法综述知识讲稿
模拟退火算法的应用场景
01
02
03
组合优化问题
模拟退火算法适用于解决 各种组合优化问题，如旅 行商问题、调度问题、图 形划分问题等。
机器学习
模拟退火算法也可用于机 器学习领域，如神经网络 的训练和优化。
经济学
模拟退火算法在经济学中 也有广泛应用，如资产定 价、市场均衡分析等。
07
粒子群优化算法
粒子群优化算法的原理
06
模拟退火算法
模拟退火算法的原理
模拟退火算法是一种启发式搜索算法，其灵感来源于物理中 的退火过程。退火过程是指将金属加热至高温，然后缓慢冷 却，以使其内部结构达到最低能量状态的过程。模拟退火算 法通过模拟这一过程，在搜索空间中寻找最优解。
该算法通过引入随机性，允许在搜索过程中跳出局部最优解 ，从而找到全局最优解。这种随机性使得算法在搜索过程中 能够探索更多的解空间，增加了找到全局最优解的可能性。
非线性规划的求解方法
总结词
非线性规划的求解方法包括梯度法、牛 顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
VS
详细描述
梯度法是最早用于求解非线性规划问题的 算法之一，通过迭代的方式沿着目标函数 的负梯度方向搜索最优解。牛顿法基于目 标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵） 进行迭代，具有较快的收敛速度。拟牛顿 法是牛顿法的改进，通过构造近似 Hessian矩阵来代替真实的Hessian矩阵 ，减少了计算量。共轭梯度法结合了梯度 法和牛顿法的思想，既具有较好的全局收 敛性，又能在迭代过程中逐渐逼近最优解 。
粒子群优化算法的实现步骤
评估
根据目标函数评估每个粒子的 适应度值。
选择
选择适应度值较好的粒子作为 个体最优解和全局最优解。
大连海事大学现代优化技术第4讲算法及其设计与评价
• 算法
• 算法特征
• 算法分类
• 算法设计
• 算法分析与评价
• 近似算法的应用
• 算法实践之一：求解最短路问题的
Dijkstra Algorithm
•大连海事大学现代优化技术第4讲：算法及其设计与评价
•1
算法的概念
➢算法（Algorithm）是一组明确的、可以执行步骤的有序集合。
➢一个有穷的规则序列；解决某一问题的一系列运算；程序设计的
• 现代启发式算法 模拟退火法；进化算法；禁忌探索；蚁群算法； 神经网络算法；……
• 混合算法 精确算法与近似算法的融合：解空间松弛算法；解空间
分解算法； 限制解空间算法；基于数学规划的探索进程调整法；… 启发式算法间的融合：如 GA+SA；GA+LS；…
•大连海事大学现代优化技术第4讲：算法及其设计与评价
•10
算法设计
算法的描述工具
3. 伪代码
➢ 伪代码是用一种介于自然语言与计算机语言之间的文字和符 号来描述算法，它比计算机语言形式灵活、格式紧凑，没有 严格的语法。
例如，求两个数的较大者，用伪代码描述算法如下：
Find the bigger
Input: two number s:a,b
1. if (the first number a is greater than or equal to the second number b)
•26
近似算法的应用
算法的应用（1）
• 定型化的问题 标准的解法及软件：线性规划(LP)；非线性规划(NLP)；
动态规划(DP)；混合整数规划(MIP)；TSP; Flowshop: Jobshop; ……等各种SLOVER
第6章 现代优化算法简介
第6章现代优化算法简介第1节关于算法的基本认识在现代物流的诸多环节，常常涉及到构造模型并需对这些模型进行求解。
构造的模型合适、采用的算法恰当，可以取得事半功倍的效果。
因此，有必要对算法有一个初步的了解。
现代优化算法包括禁忌搜索、模拟退火、遗传算法、神经网络和拉格朗日松弛算法，这些算法涉及生物进化、人工智能、数学和物理科学神经系统和统计力学等概念，都是以一定的直观基础而构造的算法，我们称之为启发式算法。
启发式算法的兴起与计算复杂性理论的形成有密切都关系。
当人们不满足于用常规算法求解复杂问题时，现代优化算法开始体现其作用。
现代优化算法自20世纪80年代兴起以来，至今发展迅速。
6.1.1 组合最优化问题组合最优化是通过对数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等，是运筹学中一个经典且重要的分支，所研究的问题涉及信息技术、经济管理、工业工程、交通运输、通信网络、选址、配送等诸多领域。
该问题可用数学模型描述为：minf（x）s.t. g(x)≥0,x∈D,其中，f（x）为目标函数，g(x)为约束函数，x为决策变量，D表示有限个点组成的集合。
一个组合最优化问题可用三参数（D，F，f）表示，其中，D表示决策变量的定义域，F表示可行解区域F＝{x∣x∈D , g(x)≥0}，F中的任何一个元素称为该问题的可行解，f表示目标函数。
满足f(x*)=min{f(x) ∣x∈F}的可行解x*称为该问题的最优解。
组合最优化的特点是可行解集合为有限点集。
由直观可知，只要将D中有限个点逐一判别是否满足g(x)的约束和比较目标值得大小，该问题的最优解一定存在和可以得到，因为现实生活中的大量优化问题是从有限个状态中选取最好的，所以大量的实际优化问题是组合最优化问题。
6.1.2 计算复杂性的概念由组合最优化问题的定义可知，每一个组合最优化问题都可以通过枚举的方法求得最优解。
枚举是以时间为代价的。
有的枚举时间可以接受，有的则不可能接受。
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-451-第二十三章 现代优化算法现代优化算法是80年代初兴起的启发式算法。
这些算法包括禁忌搜索（tabu search ），模拟退火（simulated annealing ），遗传算法（genetic algorithms ），人工神经网络（neural networks ）。
它们主要用于解决大量的实际应用问题。
目前，这些算法在理论和实际应用方面得到了较大的发展。
无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目标－求NP-hard 组合优化问题的全局最优解。
虽然有这些目标，但NP-hard 理论限制它们只能以启发式的算法去求解实际问题。
启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms ）。
有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。
现代优化算法解决组合优化问题，如TSP （Traveling Salesman Problem ）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem ）问题，JSP （Job-shop Scheduling Problem ）问题等效果很好。
§1 模拟退火算法1.1 算法简介模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。
统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不同能量水平。
在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和重新排列。
在低温条件下，粒子能量较低。
如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。
当系统完全被冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。
如果用粒子的能量定义材料的状态，Metropolis 算法用一个简单的数学模型描述了退火过程。
假设材料在状态i 之下的能量为)(i E ，那么材料在温度T 时从状态i 进入状态j 就遵循如下规律：（1）如果)()(i E j E ≤，接受该状态被转换。
（2）如果)()(i E j E >，则状态转换以如下概率被接受：KTj E i E e )()(−其中K 是物理学中的波尔兹曼常数，T 是材料温度。
在某一个特定温度下，进行了充分的转换之后，材料将达到热平衡。
这时材料处于状态i 的概率满足波尔兹曼分布：∑∈−−==Sj KTj E KT i E T eei x P )()()(其中x 表示材料当前状态的随机变量，S 表示状态空间集合。
显然||1lim)()(S eeSj KTj E KT i E T =∑∈−−∞→-452-其中||S 表示集合S 中状态的数量。
这表明所有状态在高温下具有相同的概率。
而当温度下降时，∑∑∑∉−−∈−−−−→∈−−−−→+=minminminminminminmin)()()(0)()(0limlimS j KTE j E S j KTE j E KTE i E T Sj KTE j E KT E i E T eeeee⎪⎩⎪⎨⎧∈==∑∈−−−−→其它若 0 ||1limmin min )()(0minminminS i S eeS j KTE j E KT E i E T 其中)(min min j E E Sj ∈=且})(|{min min E i E i S ==。
上式表明当温度降至很低时，材料会以很大概率进入最小能量状态。
假定我们要解决的问题是一个寻找最小值的优化问题。
将物理学中模拟退火的思想应用于优化问题就可以得到模拟退火寻优方法。
考虑这样一个组合优化问题：优化函数为+→R x f :，其中S x ∈，它表示优化问题的一个可行解，}0,|{>∈=+y R y y R ，S 表示函数的定义域。
S x N ⊆)(表示x 的一个邻域集合。
首先给定一个初始温度0T 和该优化问题的一个初始解)0(x ，并由)0(x 生成下一个解))0(('x N x ∈，是否接受'x 作为一个新解)1(x 依赖于下面概率：⎪⎩⎪⎨⎧<=→−−其它若))0(()'(0))0(()'( 1)')0((T x f x f ex f x f x x P 换句话说，如果生成的解'x 的函数值比前一个解的函数值更小，则接受')1(x x =作为一个新解。
否则以概率0))0(()'(T x f x f e−−接受'x 作为一个新解。
泛泛地说，对于某一个温度i T 和该优化问题的一个解)(k x ，可以生成'x 。
接受'x 作为下一个新解)1(+k x 的概率为：⎪⎩⎪⎨⎧<=→−−其它若 ))(()'())(()'( 1)')((iT k x f x f ek x f x f x k x P （1）在温度i T 下，经过很多次的转移之后，降低温度i T ，得到i i T T <+1。
在1+i T 下重复上述过程。
因此整个优化过程就是不断寻找新解和缓慢降温的交替过程。
最终的解是对该问题寻优的结果。
我们注意到，在每个i T 下，所得到的一个新状态)1(+k x 完全依赖于前一个状态)(k x ，可以和前面的状态)1(,),0(−k x x L 无关，因此这是一个马尔可夫过程。
使用马尔可夫过程对上述模拟退火的步骤进行分析，结果表明：从任何一个状态)(k x 生成'x 的概率，在))((k x N 中是均匀分布的，且新状态'x 被接受的概率满足式（1），那么经过有限次的转换，在温度i T 下的平衡态i x 的分布由下式给出：-453-∑∈−−=Sj T x f T x f i i ii i eeT P )()()( （2）当温度T 降为0时，i x 的分布为：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它若 0 ||1min min *S x S P i i 并且1min*=∑∈S x ii P这说明如果温度下降十分缓慢，而在每个温度都有足够多次的状态转移，使之在每一个温度下达到热平衡，则全局最优解将以概率1被找到。
因此可以说模拟退火算法可以找到全局最优解。
在模拟退火算法中应注意以下问题：（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。
但在计算机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢，相对于简单的搜索算法不具有明显优势。
如果降温速度过快，很可能最终得不到全局最优解。
因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。
（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。
实际操作可以考虑当连续m 次的转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。
最终温度的确定可以提前定为一个较小的值e T ，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。
（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。
1.2 应用举例已知敌方100个目标的经度、纬度如表1所示。
表1 经度和纬度数据表经度 纬度 经度 纬度 经度 纬度 经度 纬度53.7121 15.3046 51.1758 0.0322 46.3253 28.2753 30.3313 6.9348 56.5432 21.4188 10.8198 16.2529 22.7891 23.1045 10.1584 12.4819 20.1050 15.4562 1.9451 0.2057 26.4951 22.1221 31.4847 8.9640 26.2418 18.1760 44.0356 13.5401 28.9836 25.9879 38.4722 20.1731 28.2694 29.0011 32.1910 5.8699 36.4863 29.7284 0.9718 28.1477 8.9586 24.6635 16.5618 23.6143 10.5597 15.1178 50.2111 10.2944 8.1519 9.5325 22.1075 18.5569 0.1215 18.8726 48.2077 16.8889 31.9499 17.6309 0.7732 0.4656 47.4134 23.7783 41.8671 3.5667 43.5474 3.9061 53.3524 26.7256 30.8165 13.4595 27.7133 5.0706 23.9222 7.6306 51.9612 22.8511 12.7938 15.7307 4.9568 8.3669 21.5051 24.0909 15.2548 27.2111 6.2070 5.1442 49.2430 16.7044 17.1168 20.0354 34.1688 22.7571 9.4402 3.9200 11.5812 14.5677 52.1181 0.4088 9.5559 11.4219 24.4509 6.5634 26.7213 28.5667 37.5848 16.8474 35.6619 9.9333 24.4654 3.1644 0.7775 6.9576 14.4703 13.6368 19.8660 15.1224 3.1616 4.2428 18.5245 14.3598 58.6849 27.1485 39.5168 16.9371 56.5089 13.709052.5211 15.7957-454-38.4300 8.4648 51.8181 23.0159 8.9983 23.6440 50.1156 23.7816 13.7909 1.9510 34.0574 23.3960 23.0624 8.4319 19.9857 5.7902 40.8801 14.2978 58.8289 14.5229 18.6635 6.7436 52.8423 27.2880 39.9494 29.5114 47.5099 24.0664 10.1121 27.2662 28.7812 27.6659 8.0831 27.6705 9.1556 14.1304 53.7989 0.2199 33.6490 0.3980 1.3496 16.8359 49.9816 6.0828 19.3635 17.6622 36.9545 23.0265 15.7320 19.5697 11.5118 17.3884 44.0398 16.2635 39.7139 28.4203 6.9909 23.1804 38.3392 19.9950 24.6543 19.6057 36.9980 24.3992 4.1591 3.1853 40.1400 20.3030 23.9876 9.4030 41.1084 27.7149我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。