高考二轮复习数学课件(新高考新教材)第3讲利用导数研究函数的单调性极值与最值

个函数图象的公共点处的切线相同,则 b 的最大值为(
1
A.- 2
3e
1
B.- 2
6e
1
C. 2
6e
1
D. 2
3e
)
答案 D
解析 设公共点为 P(x0,y0),依题意有 f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0),又
62 ln 0 = 02 -40 -,
62
f'(x)= ,g'(x)=2x-4a,于是 62
温馨提示求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,
前者点P为切点,后者点P不一定为切点.
2.利用导数研究函数的单调性
(1)导数与函数单调性的关系.
①f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)内
单调递增,但f'(x)≥0.
②f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数f(x)在某个区间内恒有
值.
这个条件不可少
易错提醒若函数的导数存在,则在某点处的导数等于零是函数在该点取得
极值的必要不充分条件,因此已知极值点求参数值时,要对参数值进行检验.
关键能力•学案突破
突破点一 导数的几何意义
[例 1—1]若存在 a>0,使得函数 f(x)=6a2ln x 与 g(x)=x2-4ax-b 的图象在这两
1
为(0, )和(1,+∞).故选
2
D.
易错警示利用导数求函数的单调区间,其实质是解不等式问题,应注意以下
几点
(1)首先确定函数的定义域,忽视定义域的限制容易导致错误.
(2)当函数在区间的端点处有定义时,单调区间可以写成闭区间也可以写成
开区间,但当函数在区间的端点处没有定义时,单调区间只能写成开区间.
D.2
(2)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线l:x-y-2=0平行,则点P的坐标
为
.
(3)若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则实数a的取值范围
为
.
答案 (1)B (2)(-1,1) (3)
解析 (1)函数 f(x)=ln
设切点为(m,n),则
-1
1
1
4
3
4
),单调递增区间为(
3
,4),符合题意.所以由题中图象可
知,当0<x<4时,不等式f(x)>f'(x)的解集为(0,1).故选A.
[例2-2]已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数).
(1)若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;
若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
(2)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则f(x)在区间[a,b]上
必有最大值和最小值,且在极值点或端点处取得.
(3)若函数在开区间或无穷区间上有唯一的极值,则这个极值就是相应的最
∵曲线 f(x)在点 P 处的切线平行于直线 l:x-y-2=0,
∴f'(x0)=1,即 302 -2=1,解得 x0=±1.
当x0=1时,点P(1,-1),则所求切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0,与直线l重合,不
符合题意;当x0=-1时,点P(-1,1),则所求切线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0,与直
f'(x)=0,则f(x)为常数函数.
(2)求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式
f'(x)>0或f'(x)<0.
注意带“=”
(3)若f(x)在区间D上单调递增,转化为在区间D上f'(x)≥0恒成立;若f(x)在区
间D上单调递减,转化为在区间D上f'(x)≤0恒成立(注意:f'(x)=0在区间D的
1
(m-1)(m+2).
3

当m>1时,g'(m)>0,g(m)单调递增;
当0<m<1时,g'(m)<0,g(m)单调递减.
所以当 m=1 时,g(m)取得最小值,且最小值为 g(1)=ln
1
1
1-1 + 2 =0,即
1
k+b 的最
小值为 0.故选 B.
(2)设点 P(x0,03 -2x0),∵f'(x)=3x2-2,∴f'(x0)=302 -2.
设出公切线与曲线y=f(x)和y=g(x)的切点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有
(2 )-(1 )
f'(x1)=g'(x2)=
,据此列式求解.
2 -1
对点练1
x-1
(1)已知函数f(x)=ln x+
图象的一条切线方程为y=kx+b,则k+b的最小
x
值为(
A.-1
)
B.0
C.1
专题一
第3讲 利用导数研究函数的单调性、
极值与最值
内
容
索
引
01
必备知识•精要梳理
02
关键能力•学案突破
必备知识•精要梳理
1.导数的几何意义
函数f(x)在x=x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线
f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
线l平行.
综上所述,点P的坐标为(-1,1).
(3)由y=ax2(a>0),得y'=2ax.由y=ex,得y'=ex.
曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,设公切线与曲线C1切于
点(x1,a12 ),与曲线 C2 切于点(x2,e 2 ),则 2ax1=e 2 =
1
任意子区间上不恒成立).
注意不带“=”
(4)若f(x)在区间D上存在单调递增区间,转化为f'(x)>0在区间D上有解;若f(x)
在区间D上存在单调递减区间,转化为f'(x)<0在区间D上有解.
3.利用导数研究函数的极值、最值
(1)若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;
得到x0,进而得y0.
(3)求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线方程时,应设出切点(x0,y0),则切线方程为
y-y0=f'(x0)(x-x0),再将点(x1,y1)的坐标代入切线方程,求出x0即得切线方程.
(4)解决曲线y=f(x)和y=g(x)的公切线问题时,通常有两种方法:一是利用其
中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;二是分别
得
h
1
a=3e(a=0
1
3e
=-3
舍去),容易判断 h(a)在
1 2
1 2
-6
ln
3e
3e
1
3·3e
=
1
a=3e处取得极大值亦即最大值且
1
.故
2
3e
b
1
的最大值为3e2 .
2-1
[例1-2](2021·全国甲,理13)曲线y=
在点(-1,-3)处的切线方程
+2
为
.
答案 5x-y+2=0
解析 由
(3)当函数具有多个单调递增区间(递减区间)时,一般不能用“∪”联结,而应
该用“和”“及”等联结.
对点练2
已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则当0<x<4时,不等式f(x)>f'(x)的解集
为(
)
A.(0,1)
4
B.(1,3)
4
C.( ,2)
3
D.(2,4)
答案 A
解析 若题图中实线部分曲线为函数y=f(x)的图象,则虚线部分曲线为导函
2
)
答案 D
解析 因为 f'(x)=2(2x-1)·
ln x+2(x
1
-x)·-2x+2=2(2x-1)·
ln
2
x, 所以当
1
x∈(0,2)
时,2x-1<0,ln x<0,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当
1
x∈(2,1)时,2x-1>0,ln
x<0,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当 x∈(1,+∞)时,2x-1>0,ln x>0,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以 f(x)的单调递增区间
e2
f(x)min= 4 ,故实数
a 的取值范围是
e2
,+∞
4
.
突破点二 利用导数研究函数的单调性
命题角度1
求单调区间或判断单调性
[例2-1]函数f(x)=2(x2-x)ln x-x2+2x的单调递增区间为(
1
A. 0, 2
B.(1,+∞)
1
C.(0, )∪(1,+∞)
2
1
D.(0, )和(1,+∞)
x+ 的定义域为(0,+∞),f'(x)= + 2 .
1
1
k= + 2 .
因为(m,n)为切点,所以 ln
记 g(m)=ln
e2
,+∞
4
-1
m+ =n,km+b=n,于是
1
1
m- + 2(m>0),则


1
1
g'(m)= + 2


2
− 3

k+b=ln
=
Hale Waihona Puke 11m- + 2(m>0).
0
= 20 -4.
62
由 =2x0-4a 得02 -2ax0-3a2=0,解得 x0=3a 或 x0=-a,由题意知 x0>0,a>0,所以
0
x0=-a 不符合题意,所以 x0=3a,将其代入 6a2ln x0=02 -4ax0-b,整理得 b=-3a26a2ln(3a).
设 h(a)=-3a2-6a2ln(3a),则 h'(a)=-6a-12aln(3a)-6a=-12a[ln(3a)+1],令 h'(a)=0
+1
2
e
a=
21
e2 -21
,可得 2x2=x1+2,所以
2 -1
(x1∈(0,+∞)).
+1
e2
记 f(x)=
2
+1
e2 (-2)
(x∈(0,+∞)),则 f'(x)=
42
,当 x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当 x=2 时,f(x)取得最小值,且
对点练3
a+1
已知函数f(x)= x +aln x(a∈R,且a≠0),求函数f(x)的单调区间.
解 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且
若
+1
a>0,则 >0.当

当
+1
x∈( ,+∞)时,f'(x)>0.所以
+1
若-1≤a<0,由于
+1

f'(x)=- 2 +


+1
x∈(0, )时,f'(x)<0,所以
数y=f'(x)的图象.由导函数y=f'(x)的图象可知,当0<x<4时,函数y=f(x)的单调
递减区间为(0,2).但由函数y=f(x)的图象可知,函数y=f(x)在区间(0,2)上不单
调,不符合题意.
若题图中实线部分曲线为导函数y=f'(x)的图象,则当0<x<4时,函数y=f(x)的
单调递减区间为(0,
(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分)的取值是否恒为正(或恒为
负),这是分类讨论的出发点.
(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项
系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等.(详见本书
第4页)
(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.
(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.
解 (1)由题意
1
(-1)(2-1)
x>0,f'(x)= +2ax-(a+2)=
,则


f'(1)=a-1,由于函数 f(x)的
图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x+3y=0 垂直,
所以 f'(1)·
(2)因为
1
3
=-1,因此 f'(1)=a-1=3,故 a=4.
2-1
y= +2 ,得
y'=
5
(+2)
2 ,则曲线在点(-1,-3)处的切线的斜率为
方程为 y+3=5(x+1),即 5x-y+2=0.
5,所以切线
方法总结利用导数的几何意义解决切线问题的方法
(1)已知切点(x0,y0),则曲线y=f(x)的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).
(2)已知曲线y=f(x)的切线斜率k,求切点坐标(x0,y0)时,可根据f'(x0)=k解方程
内单调递增,在区间
当 a=2 时,函数 f(x)在区间(0,+∞) 内单调递增,无单调递减区间;
当 a>2 时,函数
减.
1
1
f(x)在区间(0,)和(2,+∞)
1 1
内单调递增,在区间( , 2)
内单调递
名师点析利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意
以下几点
(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间.
③若
当
1
a>2,则

1
0<x<或
1
(2,+∞)
<
1
.
2
1
1
1
x>2时,f'(x)>0,当<x<2时,f'(x)<0,所以函数
1 1
内单调递增,在区间( , 2)
综上所述,当 0<a<2 时,函数
1 1
( , )
2
内单调递减;
1
f(x)在区间(0,)和
内单调递减.
1
1
f(x)在区间(0,2)和(,+∞)
1
a>0,所以>0.
1
1