04 平面问题的极坐标解答

所以切应变为

1 u 。
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第四章 平面问题的极坐标解答
2. 只有环向位移
u υ,求形变。

PA、PB 线应变分别为
0，
PB PB ευ PB uυ (u υ d υ) u 1 uυ υ ; ρdυ ρ υ
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d )d cos
d d d cos 2 2
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第四章 平面问题的极坐标解答
化简得
1 2
f 0。
(c)
(b)
M
C
0
可得到
。
进一步验证了切应力互等定理。
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§4-7
§4-8
压力隧洞
圆孔的孔口应力集中
§4-9 半平面体在边界上受集中力 §4-10 半平面体在边界上受分布力
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§4-1 极坐标中的平衡微分方程
）取出一个微分体，考虑其平衡。 在A内任一点（ ，
微分体:由夹角 为 d υ 的两径向 线和距离为 d ρ 的两环向线围 成。
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三、边界条件
极坐标下，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：
C，或 C,
所以边界条件形式比较简单。
思考题
1、试考虑在导出几何方程时，考虑到哪一阶微量，略去了 哪些更高阶的微量？ 2、试比较极坐标中和直角坐标中的基本方程和边界条件， 有哪些相似之处和不同之处，为什么会有这些差别？
（ 4－ 5）
可以证明：体力为零 时，式（4－5）满足平衡方程
（4－1）。
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弹性力学与有限元 相容方程的坐标变换 将式(a)与(b)相加，得
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2 2 1 1 2 2 2 2 2 x y 2 2
--是由于PB和AC面积不等引起的， --是由于AP和BC不平行引起的。
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συ /
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F 0
υ
(

( d )( d )d d d d ( d )d sin d sin f d d 0 2 2
y 2 fy y x
2
2 xy xy
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（1）极坐标与直角坐标间的关系：
2 2 2
O
y y ρ x y arctan x x P x cos y y sin ( , ) x y cos sin x y x cos y sin 2 2 y x
, u 1 u , u u 1 u 。
u
(a)
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二、极坐标中的物理方程
极坐标也是正交坐标系,故
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2 sin sin cos cos 2 x
2 2 1 1 2 2 cos 2 sin 2 2
sin cos x x x
cos sin y y y
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x
（2）应力分量的坐标变换：
1 1 2 2 0 2
2 2 4 2 2
2
展开式为
（ 4－ 6）
4 2 4 1 4 2 3 2 4 4 2 2 4 r 3 3 1 2 4 2 1 3 2 4 3 0 2 2 2 2
物理方程与直角坐标系形式相似。
平面应力问题：
1 ( ) E 1 ( ) E 2(1 ) E
对于平面应变问题， 只须作如下变换，
E E , 2 1
。 1
2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 x y
极坐标下的 Laplace 微分算子：
2 2 1 1 2 2 2 2
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§4-2 极坐标中的几何方程和物理方程 一、几何方程
过任一点 ρ,υ 作两个沿正 标向的微分线段
PA d , PB d。
1.只有径向位移求形变。
PA PA ερ PA
(u ρ
u ρ
ρ dρ
d ρ) u ρ
PA转角
uυ
DA ρ α PA dρ
dρ
uυ ρ
,
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PB转角
POP

u
. （使直角扩大，故为负值）
所以切应变为
u u 。
3. 当 u ρ 和 u υ 同时存在时，几何方程为
1 2 cos sin
(a)
2 cos cos sin sin 2 y
1 1 2 2 2 sin 2 cos 2 2
xy 0

x 0, y
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极坐标下应力分量计算公式：
1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2
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建立平衡方程：
F
ρ
0
)( d )d d
(
d d ( d )d sin d sin 2 2 d d ( d )d cos d cos f d d 0, 2 2
弹性力学与有限元河南理工大学力学系第四章平面问题的极坐标解答lnln应力分量411将式410代入式49得到应力分量弹性力学与有限元河南理工大学力学系第四章平面问题的极坐标解答位移分量对于平面应力问题将应力分量代入物理方程得到应变分量将应变分量代入几何方程42得弹性力学与有限元河南理工大学力学系第四章平面问题的极坐标解答弹性力学与有限元河南理工大学力学系第四章平面问题的极坐标解答将b代入对式a的第二式得积分得弹性力学与有限元河南理工大学力学系第四章平面问题的极坐标解答两边均应等于同一常量f弹性力学与有限元河南理工大学力学系第四章平面问题的极坐标解答cossincossin412sincos代入得轴对称应力对应的位移通解其中ik为xy向的刚体平移

u ρ ρ
,
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PB PB PC PB ευ PB PB (ρ u ρ ) d υ ρ d υ u ρ ; ρdυ ρ
PA转角 PB转角
0,
CB CB β PC PB (u u ρ υ ρd υ d υ) u ρ 1 u ρ 。 ρ υ
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弹性力学与有限元 极坐标下的相容方程为：
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2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2
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思考题
1、试说明在导出上述平衡微分方程中，同样
应用了连续性和小变形的基本假定，因而
适用的条件也是这两个。 2、试对微分体上的不同点列出平衡条件；或 者考虑每一面上的应力为非均匀分布时列
出平衡条件，证明式（4－1）在二阶微量
的精度内总是相同的。
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其中可取
cos
sin
d 1, 2
d d . 2 2
化简平衡方程得
1 f 0。 (a) 式(a)中1、2、4项与直角坐标的方向相似; 而

σρ /
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归纳：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程： 1 F 0 （ 4－ 1） 1 2 平衡方程： F 0 u u 1 u （ 4－ 2） 几何方程： 1 u u u 1 1 2(1 ) ( ) E G E 物理方程： 1 ( ) （ 4 － 3） (平面应力情形) E
2
1 2 cos sin
(b)
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2 sin cos cos sin xy
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§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
直角坐标下的相容方程为
4 4 4 4 4 2 2 2 4 0 x x y y
（平面应力）
应力的应力函数表示：
2 x 2 fx x y
2 1 1 2 cos sin 2 2 2 1 (cos 2 sin 2 )
由直角坐标下应力函数与应力的关系（3－10）：
Theory of Elasticity and Finite Element Method
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第四章 平面问题的极坐标解答

2016年11月13日
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第四章 平面问题的极坐标解答
主
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6
要
内
容
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力
(c)
x 0
y 0
2 2 y
2
1 1 2 2 2 0
2
O

x ρ
x y P
2 x 0 2
2 xy 0
y
1