半导体光学7色散曲线

u2n ,0 u2n 2,0 AM , u2n 1,0 u2n 1,0 Am ..
将以上所设的方程的解代入运动方程，可
得以下方程组：
2D coskaAM 2D 2m Am 0. 2D 2M AM 2D coskaAm 0,
若 AM 0,Am 0 不存在,以上方程组的
动方程.因此,驻波不会沿z方向传播.群速
度为零,这表示驻波能量稳定！！！
●平移倒格矢 G
2l
a
l
取整),色散曲
线可以从第一布里渊区移到第一布里渊
区之外.但是，
k G
4D M
sin
k
G a
2
4D M
sin
k
2 a
2
l a
4D M
sin
ka
2l
2
4D M
sin
ka
2
k .
k k G 格波频率相同.
OP：GaAs,AlAs 不重叠，驻波.
满足 niai
m ,m
2
1,2,3 ;i
A,B .
kzm
2
2m 2niai
m
niai
,
m 1,2,3 ;i A,B .
AP：GaAs,AlAs 接近,为传播模.折叠效应
是界面处AP周期性多次反射相干叠加结果.
9.9 混晶中声子 1.混晶
2
D
1
m
1
M
D
1
m
1
M
,
12
D
1
m
1
M
D
1
m
1
M
2D
1
m
1
M
,光学支
22
D
1
m
1
M
D
1
m
1
M
0.
声学支
④当
ka
2
2l
2
1 ,l
0,1,2,
即k
2l 1
a
2l
1
2a
,l
0,1,2,
l
0,k
a
2a
（. 第一布里渊边界）
2
D
1
m
1
M
D
1
m
1
2
M
12
4
mM
D
1
m
1
M
种非简谐作用保证不同格波间之间可以
交换能量,也即声子碰撞,使得声子气体能 够达到热平衡状态. ②过程：
●正规过程：
TO TA LA
i f 1 f 2 ,ki kf 1 kf 2.
TA TA LA
i1 i 2 f ,
ki1 ki2 kf .
ki 2
kf
不改变热流的方向.
D d 1.
2. 超晶格SL ▲由两种不同材料薄层构成的人造周期 结构. 周期为lz n1aA n2aB ,每层厚aA （或 aB ）约几个晶格常数.
制作：外延生长. 在单晶衬底（基片） 上生长一层有一定要求的、与衬底晶向 相同的单晶层，犹如原来的晶体向外延 伸了一段，
SL制作材料 GaAs,AlAs 和混晶Al1yGay As（砷化镓铝, 其晶格常数与y无关）,晶格常数接近.
▲动量 k ,其中k 为格波矢. 声子的定向
运动就意味着有一股热流. ▲nk ,i 为声子数.
▲声子是准粒子:因为声子仅存在于固体 中,声子数不守恒,而且 k为准动量.
●算符： 声子产生算符 b , 声子消灭算符 b ,
声子数算符b b.
晶格振动总能量算符
H
k ,i bk,ibk ,i
k ,i
●由一种、二种或多种原子随机构成的 混合物. 与非晶体的区别是：混晶中的 原子分布仍然具有周期性. ●典型的半导体混晶 Al1 yGa y As 立方闪锌矿晶体 CdS1x Sex 六角纤锌矿晶体 其中Al和Ga的阳离子，S和Se阴离子的 空间分布在其相应的子晶格中分布是随
机的，与平均浓度x,y有关. 2.色散 ●声学声子 长波段(波长相对原子之间的距离较大）： 线性，斜率即声速取决于两成分的权重平 均. 短波段(接近第一布里渊边界):仅有一种 原子振动，由于仅一种子晶格伸缩，声
原子m和原子M反位相振动, AM Am 0.长波 处 ,振幅 AM A m 0,k 0.随着k 增加, AM Am 减小, 即原子M振幅减小. 当 k a , 2D m ,AM A m 0, 即 A M 0,原子M静止,只有原子m振动. 若原子M和原子m分别带异种电荷，则 形成一对振荡的偶极子.该偶极子可以和 电磁场耦合,故原子m和原子M反位相振
系数行列式为0,即可得色散关系
2
D
1
m
1
M
D
1
m
1
M
2
4
mM
sin2
12
ka
2
.
说明： 方程存在两个解,分别称为光学支（上支） 和声学支（下支,即声波）.
②两支之间为禁带，即无格波传播. ③当 ka 2 l ,l 0,1,2, 即 k 2l a l a ,l 0,1,2,
l 0,k 0.
ki1
●翻转过程：
G
i1 i 2 f ,
ki1 ki2 kf G .
kf
ki 2
ki1
改变热流的方向.
9.7声子态密度 声子统计
1. 声子态密度D
设每个单胞里有2个原子,3个声学支和3 个光学支都简并,半导体各向同性.
●声学支线性部分 vsk ,vs 为声速.
D const.2 *真空中光子 ck ,D 2. 0,D .
能量守恒 Ef Ei phonon
phonon
E f Ei
动量守恒
kf
ki k phonon G
k phonon
kf
ki
G.
硅中格波色散关系
• 点处, LT 0 f 0,这是由于硅
是共价键结构.而离子键的CdS的情况则 不同, LT 0. • 和 方向的声学支和光学支横模存在 简并. • 方向存在禁带.最上面的曲线对应TO. 3.声子散射 ①声子散射证明原子势能是非谐振的. ●在简谐近似下,晶格的运动可以分解成
说明：
4D M
sin
ka
2
,
●色散曲线起始部分为直线,与弦振动相似.
●第一布里渊区内,除了k 0 外, Vph Vg ,
Vph随 k 变化.因此,波包在传播中展宽,即色散.
●在第一布里渊区边界, k a . Vg k 0 这对应驻波(格点所产生反射 波与入射波叠加的结果). ﹡驻波 当 n2 n1, .
Si和Ge以及ZnSe和ZnS1y Sex ,晶格常数 相差较大,存在位错,因而层间存在应变， 败坏了晶体的周期性. 3. 声学声子色散关系 ●第一布里渊区 lz kz lz . 倒格矢 Gz l3 2 lz ,l3 0 ,1,2 , 在 kz 0, lz 存在小禁带,同样存在驻 波（与一维双原子链情况相同）.
是无意义的.因为在 z na 至z n 1a
之间根本就没有原子!
3.一维双原子链（基元由两种原子组成）
晶格常数为a 2a.
运动方程为
M
2u 2n 2t
D u2n 1 2u2n
u2n 1 .
m
2u2n 1 2t
D u2n 2
2u2n 1
u2n .
假设上方程的解为
u2n u2n,0 expi 2kna t , u2n 1 u2n 1,0 expi k 2n 1a t ,
un un,0 expik G na t
un ,0
expi
k
2 a
l
na
t
un,0 expi kna 2l n t
un,0 expi kna t .
即 K
K
G,
但是没有产生新的结果.
当相邻原子反位相振动时,波长最短，
min
2a
kmax
a
.
对应 k 3 a kmax, a 3 但是这个结果
激发产生的.
声子吸收过程也取决于N
k ph
.
9.8超晶格中声子
1. 声子态密度与晶体的维数有关.
D E dE
D k dk
D
k
dk dE
dE
,
其中D k k d 1, 其中d是晶体维数,
d=1,2,3.
对于声学支
d dk
vs,
D E
D
k
dk dE
1 vs k d 1
k d 1.
即对于声学声子,在 k a 的情况下，
2un
un 1
不同于谐振子振动方程 M
2v n 2t
Dvn ,
区别在于存在非对角项 un 1.
在简谐近似下，可设 un anv n , v n n
为简正坐标),选择适当系数 an使 得方程
M
2u 2t
D un 1 2un
un 1
对角化,
满足方程 M
2v n 2t
Dv n ,这意味着相互
格波晶格振动则具有 nk ,i个声子的量子态.
△当电子(或光子)与晶格振动相互作用,
若电子（或光子）从晶格获得 k ,i 的能
量, 相当于声子的湮灭（吸收）,表示晶格
振动从量子态 nk ,i 1 跃迁到 nk ,i . 相反, 若电子（或光子）给晶格 k ,i 能量,称
为发射一个声子,表明晶格振动从量子态 nk ,i跃迁到 nk ,i 1.
1 2
.
2. 声子色散关系
①在动能以及动量方面,中子与声子接近,
并且由于中子不带电荷,因而不受晶体中 带电粒子的作用.实验中中子流穿过晶体 时,声子与中子发生非弹性碰撞，根据中 子发生非弹性碰撞前后能量以及动量的 变化，可以确定声子色散关系. ②中子： 初态动能 Ei 2ki2 2mn ; 终态动能 Ef 2kf2 2m n .
耦合的原子组成的晶格的振动转化为独
立的谐振子的简谐振动集合.因此，系统 总能量也可以表示为所有谐振子能量之
和.
﹡场量子化基本思想
具有理想导电面包围的光学腔内电 磁场
及其能量：
Er,t Hr,t
1
1 0
0
s
pk ,s t Ek
s 1,2 k
kqk ,s
t
Hk
1,2 k
r , r ,
一些独立的简振坐标 n 的简谐振动 M 2v n 2t Dv n ,这意味着格波间是完 全独立的,在此基础上引进了声子的概念.
声子是理想的玻色气体, 声子间无相互作 用,即无散射.
• M 2u 2t D un 1 2un un 1 .
非简谐作用使不同格波间之间存在一定 的耦合,因而引入声子间相互碰撞.正是这
●对于光学支，存在爱因斯坦假设：
所有声子都具有相同的频率 E . 于是
D E 3NS ,其中 N 为单胞数,
S 为每个单胞里原子数.
对于声学支,存在德拜假设：
3NS 0D D d,D 2,D 为德拜
频率.
2. 声子统计
●声子是波色子,满足 bki ,bki k ,ki,i.
●量子态跃迁速率
Wi f
N
k ph
1
这意味着声子辐射与光子辐射类似,也存
在两种方式：一种是受激过程, 量子态跃
迁速率与声子数密度
N
k ph
有关,而另一声
子辐射过程与
N
k ph
无关.
T 77k 时（液氮）,声学声子的能量～
0.2mev..利用fB
E
,
可知
N
k ph
1.这意味
能量小于热能 kBT 的声子辐射是由声子
动形成的色散曲线称为光学支. ⑥利用非交叉原理解释色散曲线
9.5三维晶格
1. 色散曲线数目 若原胞里存在s个原子,那么 ●声学支3个,其中1个纵模,2个横模； ●光学支3S-3个. S=2,共6支.
9.6晶格振动量子化 声子
1. 晶格振动量子化 声子
①晶格中原子振动方程
M
2u 2t
D un 1
D
1
m
1
M
2D 2mD
M
光学支
.
声学支
⑤ AM A m
●声学支
原子m和原子M同位相振动,
AM Am 0.
长波处 ,振幅相同 AM Am 1,k 0.
随着k增加,AM A m 1 原子m振幅减小,当 k a , 2D M , AM A m , 即 A m 0,原子m静止，只有原子M振动. ●光学支
●占有率：
fBE ,T
expE
kBT
11,
其中化学势 0, 因为声子数不守恒.
声子密度
N T
0
D
exp
E k
BT
11d.
声子系统能量
U T
0
D
expEkBT
d.
3. 声子的辐射与吸收
●晶格振动量子态
△晶格振动总能量E nk ,i 1 2 k ,i ,
k ,i
其中 k 为格波矢, i为格波支,所以,对应第i
H
1
2
v
0H2 0E2 dv
1
s ,k
2
pk2,s
k2q
2
k ,s
.
(谐振子)
pk ,s 和 qk ,s 为正则共轭变量.
ak ,s
1
2k
kqk ,s ipk ,s ,
ak*,s
1
2k
kqk ,s ipk ,s ,
单模 pˆ,qˆ i, aˆ,aˆ 1.
Hˆ
aˆaˆ
1 2
.
(谐振子)
Ek
nk
1 2
k
,
nk 0,1,2,
*线性变化不改变色散关系. ②量子力学描述
●谐振子振动的能量为分立能级
En
n
1 2
n
,n
1,2,3 .
晶格振动总能量为
E
nk ,i
k ,i
1 2
k
,i
,其中k
为格波矢,
i为光学支或声学支.
●声子:
▲晶格振动的能量量子 k ,i .
Ez,t E1 E2
E0cost kz cost kz 2E0 sinkzsint Asint .
kz n ,n 0,1,2,, A 00 ,波节；
kz n 1 2 ,n 0,1,2,, A 2E ,波腹.
A 0 处,波节；A 2E 0 处,波腹.
sin t 与 sinkz t 不同,是z=0处振