江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期末联考理数试题解析(解析版)

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12
i 江西省樟树中学、高安市第二中学2015-2016学年高二上学期期末联考
理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.i 是虚数单位，则复数1i
i
+的虚部是
A ． 1
2
B ．
C ．1
D ．
【答案】A 【解析】 试题分析：
()()()1111111222i i i i i i i i -+==+++-=,虚数为12
考点：复数及相关概念
2.已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x k k z ==+∈,则M N ⋂= A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7} 【答案】D 【解析】
试题分析：{}2{|log 3}|08M x x x x =<=<<{1,3,5,7}M N ∴⋂= 考点：集合的交集运算 3.若:1p x >，1
:
1q x
<，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：当1x >时可得到1
1x
<，反之不成立，所以p 是q 的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件
4.已知命题p ：若x ∈N *，则x ∈Z.命题q ：∃x 0∈R ，0
1()
02
x =.则下列命题为真命题的是
A ．p ⌝
B ．p ∧q
C ． p q ⌝∨
D ．p q ⌝∨⌝ 【答案】D 【解析】
试题分析：命题p ：若x ∈N *，则x ∈Z 是真命题，命题q ：∃x 0∈R ，0
1()02
x =是假命题，所以p q ⌝∨⌝是
真命题
考点：复合命题的判定 5.若
()2
61
cos x a dx xdx π
-=⎰⎰
，则a 等于
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．4 【答案】B 【解析】 试题分析：
()()2
22
66101
0111cos |sin |221222
x a dx xdx x ax x a a a π
π
⎛⎫⎛⎫-=∴-=∴---=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰
⎰
考点：定积分
6.用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为 A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零 B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零 C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零 D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零 【答案】C 【解析】
试题分析：反证法证明时，首先假设要证命题的结论的反面成立，即反设为,,a b c 三个实数中至少有两个小于零 考点：反证法
7.已知方程
22
1221
x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A. 1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．(1，＋∞)
C ．(1,2)
D ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
考点：归纳推理
10.已知函数()y f x =的图像在点()()
1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()
x
g x f x =
，则()1g '= A.
12
B.12
-
C. 32
-
D.2
【答案】A 【解析】
试题分析：由函数()y f x =的图像在点()()
1,1f 处的切线方程是210x y -+=可知()()'111,1,2
f f ==
()()()()()()()()'
'
''221
111121112
f x xf x f f
g x g f x f -
--∴=∴=== 考点：函数求导数及导数的几何意义
11.三棱锥A-BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB CD
等于
A ．－2
B ．2
C ．－
D ． 【答案】A 【解析】
试题分析：()
022cos 602CD AD AC AB CD AB AD AC AB AD AB AC =-∴=-=-=-⨯⨯=-
考点：平面向量数量积的运算
12.已知函数()()2
ln x x b f x x +-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的
取值范围是
A ．3,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．(),3-∞ C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．(-∞ 【答案】C 【解析】
试题分析：()()()'
00f x xf x xf x '+>∴>⎡⎤⎣⎦，设()()()0g x xf x g x =∴>，所以存在1
,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
满足函数()g x 单调递增，()()()22'11
ln 222022g x xf x x x bx b g x x b b x x x
==+-+∴=
+->∴<+ ，即存在1,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
满足max 112222b x b x x x ⎛⎫<+∴<+ ⎪⎝⎭，设1
2y x x =+，当2x =时取得最大值
max 92y =
99
224
b b ∴<∴< 考点：函数单调性与最值
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，
12
8
T T 成等比数列． 【答案】
8
4
T T
考点：类比推理
14.曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是 【答案】
13
【解析】
试题分析：两曲线的交点为()1,1
所以面积)
312
3120
21211
|33333S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭
⎰ 考点：定积分及其几何意义
15.已知(cos ,1,sin )a αα=r ，(sin ,1,cos )b αα=r ，则向量a b +r r 与a b -r r
的夹角是
【答案】
2
π
【解析】
试题分析：222222
cos 1sin 2,sin 1cos 2a b αααα=++==++= ()()
22
0a b a b a b ∴+-=-=
考点：向量夹角及向量的模
16.设双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条
渐近线交于点A ，若2FA AB =uu r uu u r
，则双曲线的离心率为_____．
【答案】2 【解析】
试题分析：设点F （c ，0），B （0，b ），由2FA AB =uu r uu u r
，得
()()
1222,333c b OA OF OB OA OA OF OB A ⎛⎫-=-∴=+∴ ⎪⎝⎭
∵点A 在渐近线b y x a =
上，则233b b c a = ，解得2c
e a
==． 考点：双曲线方程及性质
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)
设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2
<0，其中a>0，命题q ：实数x 满足2
260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) (2,3) (2) (1,2] 【解析】
试题分析：分别化简命题p ：a ＜x ＜3a ；命题q ：实数x 满足2260
280
x x x x ⎧--≤⎨+->⎩，解得2≤x ≤3．（1）若a=1，
则p 化为：1＜x ＜3，由p ∧q 为真，可得p 与q 都为真；（2）￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，即可得出 试题解析：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a)(x －a)<0. ……2分
又a>0，所以a<x<3a ，当a ＝1时，1<x<3，即p 为真命题时，1<x<3.
由2260280
x x x x ⎧--≤⎨+->⎩解得2342x x x -≤≤⎧⎨<->⎩或即2<x ≤3.
所以q 为真时，2<x ≤3. ……4分
若p ∧q 为真，则13
23x x <<⎧⎨<≤⎩
⇔2<x<3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．………6分
(2)因为非p 是非q 的充分不必要条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，于是满足2
33
a a ≤⎧⎨
>⎩……9分
解得1<a ≤2，故所求a 的取值范围是(1,2]．……10分
考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断 18.（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝x 2＋alnx.
(1)当a ＝－2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若g(x)＝f(x)＋
2
x
在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) (0, 1)为单调递减区间，(1,＋∞)为单调递增区间 (2) [0，＋∞) 【解析】
试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；（Ⅱ）由题意得
()'22
2a g x x x x
=+
-，分函数g （x ）为[1，+∞）上的单调增函数与单调减函数讨论，即可确定实数a 的取值范围
试题解析：(1)由已知，函数的定义域为(0，＋∞)．
当a ＝－2时，f(x)＝x 2
－2lnx ，所以f ′(x)＝2x －2x
＝()()211x x x +-，……4分
则当x ∈(0,1)时，f ′(x)<0，所以(0,1)为f(x)的单调递减区间．
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，(1，＋∞)为f(x)的单调递增区间．……6分 (2)由题意得g ′(x)＝2x ＋
a x －22
x
，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．……7分 (ⅰ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数， 则g ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥
2
x
－2x 2在[1，＋∞)上恒成立，……9分 设φ(x)＝
2
x
－2x 2，因为φ(x)在[1，＋∞]上单调递减， 所以φ(x)max ＝φ(1)＝0，所以a ≥0. ……11分
(ⅱ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． 综上，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．……12分
考点：利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系 19.（本小题满分12分） 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．
(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
【答案】(1) 1371521
1,,,,2482
n n n a --=(2)详见解析
(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．…7分
②假设n ＝k(k ≥1且k ∈N *
)时，结论成立，即121
2
k k k a --=，…8分
那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N *)时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k
＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋1212k k --＝11
21
2k k +--.……10分
∴a k ＋1＝1212k k +-，由①②可知，对n ∈N *
，1212
n k n a --=都成立．……12分
考点：数学归纳法；数列递推式；归纳推理 20.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点． (1)求证：1A B ∥1ADC 平面；
(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．
【答案】(1)详见解析
(2) 【解析】
试题分析：（1）连接1AC ，交1AC 于点E ，连接DE ，则DE ∥1A B ．由此能证明1A B ∥平面1ADC ；(2)首先求得平面ADC 1与平面ABA 1的法向量，利用法向量的夹角求得二面角
试题解析：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，
D(1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B
＝(2,0，－4),…2分
设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD
＝0，n 1·1AC ＝0，
即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量…5分,
因为110A B n ⋅=uuu r u r
所以1A B ∥1ADC 平面；.……6分,
(2)取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cosθ|＝
1212
n n n n
＝
2
3
，……11分 得sinθ
因此，平面ADC 1与平面ABA 1
.……12分 考点：1.线面平行的判定；2.二面角求解 21.(本小题满分12分)
已知椭圆C ：22221x y a b += (a>b>0)，短轴长为，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A ，
B 两点．O 为坐标原点. (1)求椭圆
C 的方程；
(2)若点P 在椭圆C 上，且OP OA OB =+
，求直线l 的方程；
【答案】(1) 22
132
x y +=(2)
x±
y －＝0. 【解析】
试题分析：（1）由题意可得b =
，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，进而得到椭圆方程；（2）
设A ()11,x y ，B ()22,x y ．（ⅰ）当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y=k （x-1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解方程可得k ；（ⅱ）当l 垂直于x 轴时，由向量的加法运算，即可判断
试题解析：(1)由2b ＝.得b ……1分
c a =
222a c -= …3分
所以1a c =
=
椭圆方程为22
132
x y +=…………5分 （2）椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． (ⅰ)当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k(x －1)．…6分
C 上的点P 使OP OA OB =+
成立的充要条件是P 点坐标为 (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6，
整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=，
又A 、B 在椭圆C 上，即22221122236,236x y x y +=+=，
故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0.
① …7分
将y ＝k(x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得 (2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，
于是x 1＋x 2＝22623k k +，x 1·x 2＝223623k k -+，…9分
y 1·y 2＝k 2
(x 1－1)(x 2－1)＝2
2
423k k
-+. 代入①解得k 2＝2，
因此，当k 时，l x ＋y ＝0；
当k 时， l x －y ＝0. …11分
(ⅱ)当l 垂直于x 轴时，由()2,0OA OB +=
知，C 上不存在点P 使OP OA OB =+ 成立．
综上， l x±y ＝0. …12分 考点：椭圆的方程及简单性质 22.(本小题满分12分)
已知函数2()ln ,(),f x a x g x x a R ==∈其中 .
(1) 若曲线()()y f x y g x ==与 在1x = 处的切线相互平行，求两平行直线间的距离． （2）若())1f x g x ≤-（对任意0x >恒成立，求实数a 的值；
（3）当0a < 时，对于函数()()()1h x f x g x =-+ ，记在()h x 图象上任意两点A 、B 连线的斜率为AB k ,若1AB k ≥恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1) 2）2（3）1
(,]8
-∞- 【解析】
试题分析：（Ⅰ）求导函数，可得切线方程，利用平行线间的距离公式，可求两平行直线间的距离；（Ⅱ）令h （x ）=f （x ）-g （x ）+1，确定其单调性，分类讨论，即可求实数a 的值；（Ⅲ）()()1212h x h x x x -≥-等价于()()1221h x h x x x -≥-，即()()1122h x x h x x +≥+，构造()()2
ln 1H x h x x a x x x =+=-++，
H （x ）在()0,+∞上是减函数，可得220x x a -++≤在x ＞0时恒成立，分离参数，即可求a 的取值范围 试题解析：（Ⅰ）x x g x
a
x f 2)(',)('==
,依题意得:a=2; ……………2分 曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x －y －2=0,
曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x －y －1=0. ……………3分
……………4分 （Ⅱ）令h(x)=f(x)－g(x) +1, ,则2
2'()2a a x h x x x x
-=-=
当a≤0时, 注意到x>0, 所以)('x h <0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5分 又h(1) =0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6分 当a>0时,)0)(2
)(2(2)('>-+=
x x a
x a x x h
当20a x <<,,0)('>x h 当2a
x >时,0)('<x h
所以h(x)在⎛ ⎝上是增函数,在⎫+∞⎪⎪⎭
上是减函数,
∴h(x)≤ln 1222a a a
h =-+
因为h(1)＝0,又当a≠2时1≠ , (1)0h h >=与0h ≤不符.所以a ＝2.
………8分
（Ⅲ）当a<0时,由(2)知)('x h <0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数, 不妨设0<x 1≤x 2,则|h(x 1)－h(x 2)|＝h(x 1)－h(x 2),|x 1－x 2|＝x 2－x 1, ∴|h(x 1)－h(x 2)|≥|x 1－x 2|
等价于h(x 1)－h(x 2)≥x 2－x 1,即h(x 1)＋x 1≥h(x 2)＋x 2,
令H(x)＝h(x)＋x ＝alnx －x 2＋x ＋1,H(x)在(0,＋∞)上是减函数, ∵22'()21a x x a
H x x x x -++=-+= (x>0),
∴－2x 2＋x ＋a≤0在x>0时恒成立,∴a ≤(2x 2－x)min ……………10分 又x>0时, (2x 2－x)min =1
8- ………11分
∴a ≤－1
8,又a<0,∴a 的取值范围是1
(,]8-∞-…………12分
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题
：。