2019-2020学年新人教A版必修一 函数的图象及其应用 课时作业

课时达标检测（十一） 函数的图象及其应用
1．函数f (x )＝
sin x
x 2＋1
的图象大致为( )
解析：选A 因为f (x )＝
sin x
x 2＋1
，所以f (0)＝f (π)＝f (－π)＝0，排除选项C ，D ；当0<x <π时，sin x >0，所以当0<x <π时，f (x )>0，排除选项B ，故选A.
2.已知定义在区间上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－
x )的图象为( )
解析：选B 由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ，0≤x ≤1，
1，1<x ≤2.当x ∈时，2－x ∈，所以
f (2－x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1，0≤x ≤1，
2－x ，1<x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1，0≤x ≤1，
x －2，1<x ≤2.
3．若变量x ，y 满足|x |－ln 1
y
＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )
解析：选B 由|x |－ln 1y ＝0，得y ＝1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
e －x
，x ≥0，e x
，x <0，
利用指数函数图象可知选B.
4.如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 的函数y ＝f (x )的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是( )
解析：选D 由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y 随行走时间x 的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．故张大爷的行走的路线可能如D 选项所示．
5.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分
别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝
⎛⎭
⎪⎫1
f
＝________. 解析：∵由图象知f (3)＝1，∴1
f
＝1.∴f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1
f
＝f (1)＝2.
答案：2
一、选择题
1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．
2．下列函数f (x )图象中，满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )
解析：选D 因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A ，B.在C 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14
＜f (3)，排除C ，选D. 3．函数y ＝x 3
3x －1
的图象大致是( )
解析：选C 由题意得，x ≠0，排除A ；当x <0时，x 3
<0，3x
－1<0，∴x 3
3x －1>0，排除B ；
又∵x →＋∞时，x 3
3x －1
→0，∴排除D ，故选C.
4.函数f (x )＝ax ＋b
x ＋c 2
的图象如图所示，则下列结论成立
的是( )
A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0
B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
解析：选C 函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c ＞0，∴c ＜0.令x ＝0，得f (0)＝b c 2，又由图象知f (0)＞0，∴b ＞0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－b a
＞0，∴a <0.故选C.
5．(2018·绵阳模拟)已知函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象分别如图所示，方程f (g (x ))＝0和g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 和b ，则ab ＝( )
A ．24
B ．15
C ．6
D ．4
解析：选A 由图象知，f (x )＝0有3个根，分别为0，±m (m >0)，其中1<m <2，g (x )＝0有2个根n ，p ，－2<n <－1,0<p <1，由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或±m ，由图象可知当
g (x )所对应的值为0，±m 时，其都有2个根，因而a ＝6；由g (f (x ))＝0，知f (x )＝n 或p ，
由图象可以看出当f (x )＝n 时，有1个根，而当f (x )＝p 时，有3个根，即b ＝1＋3＝4.所以ab ＝24.
6.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P
以1 cm/s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿
B →
C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记
△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为s ＝f (t )，则f (t )的图象大致为( )
解析：选A 当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，QC ＝8－2t ，则s ＝f (t )＝12QC ×BP ＝12(8－2t )×(6－t )＝t 2
－10t ＋24；当4≤t ≤6时，点P 在AB 上，
点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为45t ，QC ＝2t －8，则s ＝f (t )＝12QC ×45t ＝1
2(2t
－8)×45t ＝45(t 2
－4t )；当6≤t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP ＝14－t ，QC
＝2t －8，则s ＝f (t )＝12QC ×CP sin ∠ACB ＝12(2t －8)·(14－t )×35＝35(t －4)·(14－t )．综
上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A.
二、填空题
7．(2018·石家庄模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．
解析：由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y 轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单
位长度，可推出函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3,1)．
答案：(3,1)
8．(2018·银川调研)给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨
⎪⎧
a ，a ≤
b ，
b ，b <a ，
已知函数f (x )＝min{x ，x 2
－4x
＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．
解析：设g (x )＝min{x ，x 2
－4x ＋4}，则f (x )＝g (x )＋4，故把
g (x )的图象向上平移4个单位长度，可得f (x )的图象，函数f (x )
＝min{x ，x 2
－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．
答案：(4,5)
9．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．
解析：令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图． 由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝2，y ＝log 2
x ＋，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝1.
∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．
答案：{x |－1<x ≤1}
10．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2
的图象始终在函数y ＝log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．
解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2
和y
＝log a x 的图象．由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2
的图象恒在函
数y ＝log a x 的图象的下方，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >1，
log a 2≥1，解得1<a ≤2.
答案：(1,2] 三、解答题
11．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R)，且f (4)＝0.
(1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；
(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；
(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (4)＝0， ∴4|m －4|＝0，即m ＝4.
(2)f (x )＝x |x －4|＝
⎩⎪⎨⎪⎧
x x －＝x －2
－4，x ≥4，
－x x －
＝－x －2
＋4，x <4.
f (x )的图象如图所示．
(3)f (x )的单调递减区间是．
(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，所以a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
12．设函数f (x )＝x ＋1
x
的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)的对称图象为C 2，C 2对应的函数
为g (x )．
(1)求函数g (x )的解析式；
(2)若直线y ＝b 与C 2有且仅有一个公共点，求b 的值，并求出交点的坐标．
解：(1)设曲线C 2上的任意一点为P (x ，y )，则P 关于A (2，1)的对称点P ′(4－x,2－
y )在C 1上，
所以2－y ＝4－x ＋1
4－x ，
即y ＝x －2＋1x －4＝
x －
2
x －4
，
所以g (x )＝
x －
2
x －4(x ≠4)．
(2)由
x －
2
x －4
＝b ，得(x －3)2
＝b (x －4)(x ≠4)．
所以x 2
－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0(x ≠4)(*)有唯一实根． 由Δ＝2
－4(4b ＋9)＝b 2
－4b ＝0， 得b ＝0或b ＝4，
把b ＝0代入(*)式得x ＝3，所以g (3)＝－2
3－4＝0；
把b ＝4代入(*)式得x ＝5，所以g (5)＝
－2
5－4
＝4，
所以当b＝0或b＝4时，直线y＝b与C2有且仅有一个公共点，且交点的坐标为(3,0)或(5,4)．。