教师版：A与反A

∵ MF
AB ，∴
DMF∽
DEB ，∵ BE＝3AE ，∴
FM BE
=
FD BD
=
FM 3 AB
=
2 3
，
4
设 BF＝x ，则 FC＝x，CD＝x ，∴ BC ＝2； CD
4
法三：过点 E 作 EF AC 交 BC 于点 F ，
∵ EF AC ， BEF∽ BAC，
∵ BE＝3AE ，∴ BE = EF = FB = 3 ， AB AC BC 4
3
题型二、构 A 字型或 8 字型 【例 3】如图，在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 BE = 3AE ，求 BC 的值.
CD
【分析】：构造 A 或 8 字型相似
【步骤】：
法一：过点 C 作 CF AB 交 ED 于点 F ，
CF AB，∴ AEM∽ CFM，
∵ M 是 AC 的中点，∴ AM = FC = 1， AE＝FC MC AE
∵ EF BC， AEF∽ ABC，
∵ BE＝3AE ，∴ EF = FA = AE = 1 ， BC AC AB 4
∵ M 是 AC 的中点， 2 AF＝AM＝MC = 2FM
EF CD， MFE∽ MCD，
∴ EF = FM = 1 , ∴ BC = 2 ． CD MC 2 CD
【答案】：2
DE / /BC ADE ABC
2. 反 A 字型
DE / / AC BDE BAC
DE / / AB CDE CBA
A = A ACB = D ABC AEC
3. 辅助线—构 8 字或 A 字型
A = A ACD = B ACD ABC
B = B BDE = C EDB ACB
=
B,F
,∴
BF 3
=
4
− BF 4
，解得
BF
=
12 7
②当 B,CF BCA 时
∴ B = C = CB, F ，∴ B, F = FC
∵ BC = 4, BF = B,F ，
∴ BF + FC = 4 ，∴ 2BF = 4 ，解得 BF = 2
【答案】 BF = 12 或 2 7
【总结】①两三角形相似，出现“与”，“和”等字眼，需要分类讨论； ②折叠前后，两个图形全等； ③有共角的两个三角形相似如果要分类讨论，讨论两次即可，有一组对边已经确定了.
EF ，已知 AB = AC = 3, BC = 4 ，若以点 B, , F,C 为顶点的三角形与 ABC 相似，那么 BF 的长度是
.
【分析】①由折叠可知 BF=B’F；②文字相似要分类讨论
【步骤】：①当 B, FC
ABC 时,有 B, F = CF AB BC
∵
AB
=
AC
=
3, BC
=
4, BF
注：有线段的中点，中线，线段间的倍，分关系，角平分线时，构造 A 字或 8 字型相似. 1
第二部分 例题精讲 【A 组】
题型一、基础 A 字型与反 A 字型 【例 1】如图，在 ABC 中， BD,CE 分别是 AC, AB 上的高
求证：（1） ABD ACE ；（2） ADE ABC
【分析】（1）角角证相似；（2）由（1）得，对应边成比例，再有夹角相等，证相似 【步骤】：（1）∵ BD,CE 分别是 AC, AB 上的高, ∴ ADB = AEC
∵ BE＝3AE ，∴ CF = 1 ， BE 3
∵ CF AB ，∴ DCF∽ DBE，∴ CD = CF = 1 , CD = 1 , BC ＝2； BD BE 3 BC 2 CD
法二：过点 M 作 MF AB 交 BC 于点 F，
∵ MF AB ，∴ CMF∽ CAB ，
∵ M 是 AC 的中点，∴ FM = FC = 1 AB BC 2
EF ∵ M 是 AC 的中点，∴ CM
=
EF 1 AC
பைடு நூலகம்
=
3 , CM 2 EF
=
2 3，
2
∵ MC EF ， DCM ∽ DFE，∴ CD = CM = 2 ， FD EF 3
设 FC＝x ，则 BF＝3x，CD＝2x ，∴ BC ＝2； CD
法四：过点 E 作 EF BC 交 AC 于点 F
2019-2020 学年 中考年级专项突破
--A 与反 A
时间分配：知识点 20 分钟；例题精讲 30 分钟；达标练习 30 分钟
第一部分 必备知识点
【题型介绍】 A 与反 A 相似模型是比较常见的题型，解决此类问题，主要抓住两个模型的基本图形特征，常通过平
行(或者构造平行)，角角相等来证相似，进而通过比例线段求线段的长度或者与线段相关的问题. 【知识点介绍】 1. A 字型
又∵ A = A ， ∴ ABD ACE （2）由（1）得， AB = AD ,
AC AE 又∵ A = A , ∴ ADE ABC
【答案】：见上述具体步骤
【总结】：①反 A 字型特征：共角度； ②反 A 字模型：涉及的证明方法常用“角角”或“两边对应成比例，夹角相等”.
2
【例 2】将三角形纸片（ ABC ）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B, ，折痕为
【总结】①找到将线段“截段”的点，即“截点”； ②过“截点”作平行线构 A 字或 8 字相似
5
【B 组】
题型一、A 字型与折叠
【例 4】如图,已知 ABC 中, C = 900 , AC = 6, BC = 8 , 点 E, F 在 AC, BC 上，FE AB ，将 ABC
沿 EF 折叠，点 C 落在点 D 处，设 EDF 与四边形 ABFE 重叠部分面积为 y ，CF 长为 x (4 x 8) . 求 y 与 x 的函数关系式，并求 x 为何值时 y 的值最大.
【分析】：通过取值范围，得知重叠面积是梯形，利用相似建立等量关系，表示出各个线段，再列面积的表 达式
【步骤】： 当 4 x 8 ，如图 3， CF = x ， BF = 8 − x ，
作 CM ⊥ AB ， FN ⊥ AB ，CM / / FN , BFN
BCM

BF CB
=
FN CM
，
由等面积法得， CM = 4.8 ， 8 − x = FN ，∴ FN = 0.6(8 − x) ，
8 4.8
DH = CH = CM − HM = CM − FN = 4.8 − 0.6(8 − x) = 0.6x
DM = DH − MH = CH − FN = 0.6x − 0.6(8 − x) =1.2x − 4.8