高一数学 人教A版：幂函数及其性质5种题型

故选：BC
【题型专练】
1.（2022·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末（文））若函数 f (x) 是幂函数，满足 f (4) 8 f (2) ，则
f
(1)
f
1 3
_________．
【答案】 28 27
【分析】利用幂函数定义设 f (x) x ，由 f (4) 8 f (2) ，求解 3 ，从而得 f (x) 的解析式，即可求值.
③指数为常数.
函数
yx
y x2
y x3
1
y x2
y x1
图象
定义域 值域 奇偶性
单调性
公共点
R R 奇
在R上 单调递增
(1，1)
R
{y | y 0}
偶 在 ( ，0) 上 单调递减， 在 (0 ，+) 上 单调递增
R
{x | x 0}
R
{y | y 0}
奇
非奇非偶
在R上 单调递增
在 [0 ，+) 上 单调递增
当 x2 x1 0 时，
f
x1
2
f
x2
2
f
x1
2
x2
2
x1
x2
2 4
x1x2 x1 x2 2 2
x1x2 4
x1
x2
2
x1 x2 0 ， 4
又
f
x 0 ，所以
f
x1
2
f
x2
f
x1 x2 2
，D
正确．
故选：ACD.
【例 4】（2021·重庆巴蜀中学高一期末）已知幂函数 f x 3m2 m 1 xm 在其定义域内不单调，则实数 m=
为减函数即可．
【详解】∵幂函数 f x m2 m 1 xm2m3 ，∴m2﹣m﹣1＝1，
解得 m＝2，或 m＝﹣1；又 x（0，+∞）时 f（x）为减函数， ∴当 m＝2 时，m2+m﹣3＝3，幂函数为 y＝x3，不满足题意；
当 m＝﹣1 时，m2+m﹣3＝﹣3，幂函数为 y x3 ，满足题意；
即幂函数 f (x) x3 ，则 f (3) 27 . 故选：A.
【例 3】（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数 f x 的图象经过点 9,3 ，则（ ）
A．函数 f x 为增函数
B．函数 f x 为偶函数
C．当 x 4 时， f x 2
【答案】ACD
D．当 x2
x1
0 时，
2
m＝1， 或 n＝3.
2
所以 m＝－3 或 1，n＝3. 2
题型二：幂函数的三要素
【例
1】（2021·陕西·西安市第三中学高一期中）幂函数
y
xa
中
a
的取值集合
C
是
1,
0,
1 2
,1,
2,
3
的子集，
当幂函数的值域与定义域相同时，集合 C 为（ ）
A．
1,
0,
1 2
B．
1 2
,1,
2
C．
上是偶函数，则 p q =（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】因为 f x qx p2 2 p3 q R, p Z 是幂函数，所以 q 1 ；
又 f x x p2 2 p3 p Z 在 0, 上是增函数，
所以 p2 2 p 3 0 ，解得 1 p 3 ，因为 p Z ， 所以 p 0 或1或 2 ，
的图象多了一个点 (0,1) ，所以常数函数 y 1不是幂函数.故选：B.
1
【例 2】已知 y m2 2m 2 x m2 1 2n 3 是幂函数，求 m 、 n 的值．
【答案】 m 3, n 3 2
【解析】由幂函数的概念易得关于 m 、 n 的方程组．
由题意得
m2
m
2
2n
2m 1 0, 3 0,
故 p 1 ，所以 p q 2 .故选：C. 【题型专练】
1．（2022·河南·高二期末（文））若幂函数 f x m2 m 5 xm1 在 0, 上单调递减，则 m （ ）
A． 3 或 2
B．2
C． 3
D． 2
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义以及其在 0, 上单调递减，列出方程以及不等式，即可求得答案.
n Z ，解得 n 1 或 2 ，所以， f x x3 ，
因此， f 2 23 8 .
故答案为： 8 .
3.（2021 年广东潮州）已知 y＝(m2＋2m－2) xm2 2 ＋2n－3 是幂函数，求 m，n 的值．
【答案】见解析
m2＋2m－2＝1， 【解析】 由题意得
2n－3＝0，
m＝－3， 解得 n＝3
a 1 时， y x 定义域与值域均为 R，符合题意；
a 2 时， y = x2 定义域为 R，值域为0, ，不符合题意；
a 3 时， y x3 定义域与值域均为 R，符合题意.
故选：C
【例 2】（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知幂函数 y m2 3m 3 xm2m3 的图象不过原点，则实数 m
【详解】解：函数 f (x) 是幂函数，设 f (x) x ，
又 f (4) 8 f (2) ，所以 4 8 2 ，即 22 23 ，所以 2 3 ，得 3
所以
f
(x)
x3 ，则
f
(1)
f
1 3
13
1 3
3
28 27
.
故答案为： 28 . 27
2.（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数
当 p 0 时， f x x3 ，因为 f x x3 x3 f x ，所以 f x x3 是奇函数，不满足题意，舍去；
当 p 1时， f x x4 ，因为 f x x4 x4 f x ，所以 f x x4 是偶函数，满足题意；
当 p 2 时， f x x3 是奇函数，不满足题意，舍去；
m2 m 5 1
【详解】由题意可得
m
1
0
,解得 m 3 ,
故:C.
2．（2022·浙江·台州市书生中学高二学业考试）已知幂函数 f x m 12 x 在 m2 4m2 0, 上单调递增，则
m（ ）
A．0 【答案】A
B．
1 3
C． 0或 1 3
D． 0或 1 6
【分析】由题意可得 (m 1)2 1且 m2 4m 2 0 ，从而可求出 m 的值
f
x1
2
f
x2
f
x1 x2 2
【分析】设幂函数 f (x) 的解析式，代入点 (9, 3) ，求得函数 f (x) 的解析式，根据幂函数的单调性可判断 A、C
项，根据函数 f (x) 的定义域可判断 B 项，结合函数 f (x) 的解析式，利用平方差证明不等式
f
x1
2
f
x2
综上， m 1． 故选：A． 【例 2】（2022·山东德州·高二期末）幂函数 f (x) (m2 m 5)xm22m5 在区间 (0, ) 上单调递增，则 f (3)
（）
A．27 【答案】A
B． 9
C． 1 9
D． 1 27
【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数 m 的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
f
x1
x2 2
可判断
D
项.
【详解】解：设幂函数
f
x
x
，则
f
9
9
3 ，解得
1 2
，所以
f
x
1
x2
，
所以 f x 的定义域为0, ， f x 在0, 上单调递增，故 A 正确，
因为 f x 的定义域不关于原点对称，所以函数 f x 不是偶函数，故 B 错误，
1
当 x 4 时， f x f 4 4 2 2 ，故 C 正确，
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可 【详解】幂函数满足 y xa 形式，故 y x3 ， y x 满足条件，共 2 个
故选：B
2.（2022 陕西高一期末）已知函数 f x n2 n 1 xn2n1 n Z 为幂函数，则 f 2 ___.
【答案】 8
【解析】由于函数 f x n2 n 1 xn2n1 n Z 为幂函数，则 n2 n 1 1 ，即 n2 n 2 0 ，
2
1,
解得
m
n
3, 3. 2
m 3, n 3 即为所求． 2
【题型专练】
1．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①
y
x3
；②
y
1 2
x
；③
y
4 x2
；④
y
x5
1；⑤
y
x
1 2
；
⑥ y x ；⑦ y ax (a 1) ，其中幂函数的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3Βιβλιοθήκη D．4【答案】B【详解】因为幂函数 f x m 12 x 在 m2 4m2 0, 上单调递增，
所以 (m 1)2 1 且 m2 4m 2 0 ， 解得 m 0 ， 故选：A
3．（2022·全国·高一）已知幂函数 y f (x) 的图象过点 2,
f
x
的图象经过点
2,
2 2
，则
f
4
的值为___．
【答案】
1 2
##0.5
【分析】由幂函数所过的点求 f x 解析式，进而求 f 4 的函数值.
【详解】 幂函数
f
x
xa 过点 2,
2 2 ，
f 2 2a
2 ，解得 a 1 ，
2
2
f
x
1
x2
，故
f
4
1 2
.
故答案为： 1
2
3.设α∈
1,1，1 2
{x | x 0}
{y | y 0} 奇
在 ( ，0) 和 (0 ，+) 上 单调递减
考点三：幂函数的单调性
在区间 (0, ) 上，当 0 时， y x 是增函数；当 0 时， y x 是减函数. 【题型目录】 题型一：幂函数的概念
题型二：幂函数的三要素
题型三：幂函数的性质
题型四：幂函数的图象
（） A． 2
3 【答案】A
B．1
C． 2 3
D． 1
【解析】由幂函数定义， 3m2 m 1 1，
解得： m 2 或 m 1 ，又 f x 在定义域内不单调，所以 m 2 ，故选：A．
3
3
【例 5】（2021·四川高一期末）若幂函数 f x qx p2 2 p3 q R, p Z 在 0, 上是增函数，且在定义域
的取值可以为（ ）
A．5
B．1
C．2
D．4
【答案】BC 【分析】由幂函数的系数为1，列方程求出实数 m 的值，并检验函数的图象是否过原点，得出答案． 【详解】令 m2 3m 3 1，解得 m 1或 m 2 ，
当 m 1时， y x3 图象不过原点，成立；
当 m 2 时， y x1 图象不过原点，成立；
，3
，则使函数
y＝xα的定义域为
R
的所有α的值为（
）
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
【答案】A
【解析】当 1时，函数 y＝ x1 的定义域为x | x 0 ，不是 R，所以 1不成立；
当
1 2
时，函数
y＝
1
x2
的定义域为 x
|
x
0
，不是
R，所以
1 2
不成立；
当 1 或 3时，满足函数 y＝xα的定义域为 R，故选：A.
题型五：幂函数的综合运用
【典型例题】
题型一 幂函数的概念
【例
1】（2020·全国高一课时练习）在函数
y
1 x2
，y
2x2
，y
x2
x，y
1中，幂函数的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】）因为
y
1 x2
x2 ，所以是幂函数；
y
2x2 由于出现系数
2，因此不是幂函数；
y x2 x 是两项和的形式，不是幂函数；y 1 x0（ x 0 ），可以看出，常数函数 y 1 的图象比幂函数 y x0
1,
1 2
,
3
D．
1 2
,1,
2,
3
【答案】C
【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.
【详解】当 a 1时， y x1 定义域和值域均为 , 0 U 0, ，符合题意；
a 0 时， y x0 定义域为 , 0 U 0, ，值域为1 ，故不合题意；
a
1 2
时，
y
x 定义域为0, ，值域为0, ，符合题意；
【详解】由题意，令 m2 m 5 1 ，即 m2 m 6 0 ，解得 m 2 或 m 3 ，
当 m 2 时，可得函数 f (x) x3 ，此时函数 f x 在 (0, ) 上单调递增，符合题意；
当 m 3 时，可得 f ( x) x2 ，此时函数 f x 在 (0, ) 上单调递减，不符合题意，
题型三：幂函数的性质
【例 1】（2023·全国·高三专题）幂函数 f x m2 m 1 xm2m3 在 x（0，+∞）上是减函数，则 m＝（ ）
A．﹣1
B．2
C．﹣1 或 2
D．1
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义，令 m2﹣m﹣1＝1，求出 m 的值，再判断 m 是否满足幂函数在 x（0，+∞）上
【考点分析】 考点一：幂函数的定义
第 15 讲 幂函数及其性质 5 种题型
一般地， y xa (a R) ( a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函
数. 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① xa 的系数为 1； ② xa 的底数是自变量； 考点二：常见的幂函数图像及性质：