2016-2017年吉林省长春外国语学校高二(上)期末数学试卷及答案

2016-2017学年吉林省长春外国语学校高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是（）
A．（0，1）B．（1，0）C．D．
2．（5分）双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）
A．B．C．
D．
3．（5分）如果A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），则直线l的方程是（）
A．x﹣3y+8=0B．3x+y+4=0C．x+3y﹣4=0D．3x﹣y+8=0 4．（5分）将甲，乙两名同学5次数学测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙
两人成绩的中位数分别是x
甲，x
乙
，则下列说法正确的是（）
A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定
C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定5．（5分）在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以
为概率的事件是（）
A．都不是一等品B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品D．至多一件一等品
6．（5分）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）
A．i＞10B．i＜10C．i＞20D．i＜20
7．（5分）曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等8．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=1，则y=的最小值是（）A．B．4C．9D．5
9．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A．B．3C．D．
10．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A．10B．20C．30D．40
11．（5分）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（）
A．B．C．2D．﹣2
12．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]
D．[，3]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．（5分）如图所示程序，若输入8时，则下列程序执行后输出的结果是．
14．（5分）如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．
15．（5分）已知x、y的取值如表所示：
从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=．
16．（5分）双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲
线的方程为．
三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时
（1）直线平分圆；
（2）直线与圆相切；
（3）直线与圆有两个公共点．
18．（12分）一个容量为M的样本数据，其频率分布表如表．
（Ⅰ）完成频率分布表；
（Ⅱ）画出频率分布直方图；
（Ⅲ）利用频率分布直方图，估计总体的众数、中位数及平均数．19．（12分）已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．（1）求弦AB的长度；
（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．20．（12分）设实数x、y满足
（1）求的取值范围；
（2）求z=x2+y2的取值范围．
21．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0．（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有实根的概率；
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．
22．（12分）已知椭圆C：的离心率，焦距为2
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知椭圆C与直线x﹣y+m=0相交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆x2+y2=1内，求实数m的取值范围．
2016-2017学年吉林省长春外国语学校高二（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是（）
A．（0，1）B．（1，0）C．D．
【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，），
故选：C．
2．（5分）双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A．B．C．
D．
【解答】解：双曲线：的a=1，b=2，c==
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==
故选：D．
3．（5分）如果A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），则直线l的方程是（）
A．x﹣3y+8=0B．3x+y+4=0C．x+3y﹣4=0D．3x﹣y+8=0
【解答】解：∵已知点A（1，3）关于直线l的对称点为B（﹣5，1），故直线l 为线段AB的中垂线．
求得AB的中点为（﹣2，2），AB的斜率为=，故直线l的斜率为﹣3，
故直线l的方程为y﹣2=﹣3（x+2），化简可得3x+y+4=0．
故选：B．
4．（5分）将甲，乙两名同学5次数学测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙
两人成绩的中位数分别是x
甲，x
乙
，则下列说法正确的是（）
A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定
【解答】解：根据茎叶图中的数据，得
甲、乙二人的中位数分别是x
甲=79，x
乙
=82，
且在茎叶图中，乙的数据更集中，
∴x
甲＜x
乙
，乙比甲成绩稳定．
故选：A．
5．（5分）在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以
为概率的事件是（）
A．都不是一等品B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品D．至多一件一等品
【解答】解：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，
从5件产品中任取2件，有C52=10种结果，
∵都不是一等品有1种结果，概率是，
恰有一件一等品有C31C21种结果，概率是，
至少有一件一等品有C31C21+C32种结果，概率是，
至多有一件一等品有C31C21+1种结果，概率是，
∴是至多有一件一等品的概率，
故选：D．
6．（5分）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）
A．i＞10B．i＜10C．i＞20D．i＜20
【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数
当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，
i﹣1=10执行“是”
所以判断框中的条件是“i＞10”
故选：A．
7．（5分）曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．
曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．
对照选项，则D正确．
故选：D．
8．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=1，则y=的最小值是（）A．B．4C．9D．5
【解答】解：∵a+b=1，
∴y=（a+b）（）=5+≥5+2=9，
当且仅当，即b=2a时等号成立．
故选：C．
9．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A．B．3C．D．
【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，
则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和
．
故选：A．
10．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A．10B．20C．30D．40
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，
由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，
根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，
四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．
故选：B．
11．（5分）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（）
A．B．C．2D．﹣2
【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，
将A、B坐标代入椭圆方程，得①，②，
①﹣②得，，即=﹣，
所以此弦所在直线的斜率为﹣．
故选：A．
12．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]
D．[，3]
【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），
即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图
依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，
因为是下半圆故可知（舍），故
当直线过（0，3）时，解得b=3，
故，
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．（5分）如图所示程序，若输入8时，则下列程序执行后输出的结果是0.7．
【解答】解：t=8，不满足条件t≤4执行Else后循环体，
c=0.2+0.1（8﹣3）=0.7
故输出0.7．
故答案为：0.7
14．（5分）如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为
．
【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是
矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s
则有
∴s=
故答案为：
15．（5分）已知x、y的取值如表所示：
从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a= 2.6．
【解答】解：根据表中数据得：；
又由回归方程知回归方程的斜率为0.95；
∴．
故答案为：2.6．
16．（5分）双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲
线的方程为．
【解答】解：∵双曲线的离心率为，
且与椭圆=1有公共焦点，
∴双曲线的焦点坐标为，，
设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），
∴，解得a=2，c=，b=1，
∴该双曲线的方程为．
故答案为：．
三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时
（1）直线平分圆；
（2）直线与圆相切；
（3）直线与圆有两个公共点．
【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，得到圆心坐标为（1，1），圆的半径r=2，
（1）当直线平分圆时，即直线过圆的直径，把（1，1）代入y=x+m中，解得m=0；
（2）当直线与圆相切时，圆心（1，1）到直线y=x+m的距离d==r=2，解得m=±2；
（3）当直线与圆有两个公共点即直线与圆相交时，圆心（1，1）到直线的距离d=＜r=2，
解得：﹣2＜m＜2．
所以，当m=0时，直线平分圆；当m=±2时，直线与圆相切；当﹣2＜m ＜2时，直线与圆有两个公共点．
18．（12分）一个容量为M的样本数据，其频率分布表如表．
（Ⅰ）完成频率分布表；
（Ⅱ）画出频率分布直方图；
（Ⅲ）利用频率分布直方图，估计总体的众数、中位数及平均数．
【解答】解：（1）在小组（10，20]中，频数是2，频率是0.10，∴样本数据为=20；∴小组（20，30]的频率为=0.15；
小组（40，50]的频数为20﹣2﹣3﹣4﹣4﹣2=5，频率为=0.25；
频数合计为20；
由此补充频率分布表如下：
（2）根据频率分布表，画出频率分布直方图如下：
（3）根据频率分布直方图，得；
图中最高的小矩形的底边中点坐标是=45，∴众数为45；
平均数为=15×0.1+25×0.15+35×0.20+45×0.25+55×0.20+65×0.10=41；∵0.10+0.15+0.20=0.45＜0.5，
0.45+0.25=0.70＞0.5，
令0.45+0.25×x=0.5，
解得x=2，∴中位数为40+2=42．
19．（12分）已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．
（1）求弦AB的长度；
（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．
【解答】解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由得x2﹣5x+4=0，△＞0．
由韦达定理有x1+x2=5，x1x2=4，
∴|AB|==，所以弦AB的长度为3．
（2）设点，设点P到AB的距离为d，则，
=••=12，即．
∴S
△PAB
∴，解得y o=6或y o=﹣4
∴P点为（9，6）或（4，﹣4）．
20．（12分）设实数x、y满足
（1）求的取值范围；
（2）求z=x2+y2的取值范围．
【解答】解：（1）满足y满足
约束条件的平面区域如图所示，A（1，2），B（4，2），C（3，1），
（1）的几何意义可行域上的点是到原点的斜率；
当直线为OA时，u有最大值为2；
当直线为OC时，u有最小值为；所以，
（2）z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点距离的平方；z=x2+y2的最大值为|OB|2=20，
最小值为O到直线AC的距离的平方，为5；
所以，z∈[5，20]
21．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0．
（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有实根的概率；
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型
用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件
依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个
二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有实根，
等价于
△=4（a﹣2）2+4（b2﹣16）≥0，
即（a﹣2）2+b2≥16，
“方程有两个根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（1，6），（1，5）．（1，4），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4），（6，5），（6，6），共22个
∴所求的概率为P（A）=；
（2）由题意知本题是一个几何概型，；
试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
其面积为S（Ω）=16
满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}
其面积为S（B）=×π×42=4π
∴所求的概率P（B）=；
22．（12分）已知椭圆C：的离心率，焦距为2
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知椭圆C与直线x﹣y+m=0相交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆x2+y2=1内，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知，2c=2，又a2﹣b2=c2，解得，c=1，∴a2=2，b2=1
故椭圆的方程为…（2分）
（2）联立方程，消去y可得3x2+4mx+2m2﹣2=0
则…（5分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
∴MN中点坐标为…（8分）
因为MN的中点不在圆x2+y2内，
所以或…（10分）综上，可知或…（12分）注：用点差法酌情给分。