2020年上海交通大学附属中学浦东实验中学高三数学理模拟试卷含解析

2020年上海交通大学附属中学浦东实验中学高三数学
理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的最大值和最小值分别是，则为
A．1 B．2 C．-1 D．-2
参考答案：
A
2. 在等比数列中，为其前项和，已知，则此数列的公比为（）
A. 5
B. Ｃ. 3 D. 4
参考答案：
C
3. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在L上的投影为N，则的最大值是（）
A．B．1 C．D．
参考答案：
B
【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，
配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，
又∵ab≤（）2，
∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2
得到|AB|≥（a+b）．
∴≤1，
即的最大值为1．
故选：B．
【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．
4. 设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．
C．D．
参考答案：
A
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出
【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，
∴=（+），
∵O为AD边上靠近点A的三等分点，
∴=，
∴=（+），
∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣
（+）=﹣+．
故选：A．
5. 设函数，直线与函数图像相邻两交点的距离为.
（I）求的值；
（II）在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点（B，0）是函数
图像的一个对称中心，且b=3，求面积的最大值.
参考答案：
略
6. 输入，经过下列程序运算后，！
A.
B．
C．
D．
参考答案：
C
略
7. 在数列中，则的值为
A．7 B．8 C．9 D．16
参考答案：
B
因为点生意，即数列是公比为2的等比数列，所以，选B.
8. 命题“?x∈R，使得x2＜1”的否定是( )
A．?x∈R，都有x2＜1 B．?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1
C．?x∈R，使得x2≥1 D．?x∈R，使得x2＞1
参考答案：
B
【考点】命题的否定．
【分析】根据命题“?x∈R，使得x2＜1”是特称命题，其否定为全称命题，即：?x∈R，都有x2≥1．??x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．从而得到答案．
【解答】解：∵命题“?x∈R，使得x2＜1”是特称命题
∴否定命题为：?x∈R，都有x2≥1
∴?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．
故选B．
【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．
9. 设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（1，1），B（2，4），
∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，
∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，
经过点A时取得最小值为a+1，
若a=0，则y=z，此时满足条件，
若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，
即0＜a≤1，
若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，
即﹣2≤a＜0，
综上﹣2≤a≤1，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．
10. 如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点刀枪面对而距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成的角），若，，，则的最大值是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知离心率为2的双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB=，则p的值为．
参考答案：
2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B
两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p 的值．
【解答】解：∵双曲线，
∴双曲线的渐近线方程是y=±x，
又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，
故A，B两点的纵坐标分别是y=±，
又由双曲线的离心率为2，所以=2，则=，
A，B两点的纵坐标分别是y=±，
又△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线，
∴×p×=，得p=2．
故答案为2．
12. 在等比数列中，存在正整数则
= 。

参考答案：
1536
13. 已知向量与的夹角为120°，且，．若，且
，则实数λ=．
参考答案：
考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．
专题：平面向量及应用．
分析：利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．
解答：解：由题意可知：，
因为，
所以，
所以
=
=
=﹣12λ+7=0
解得λ=．
故答案为：．
点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．14. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，数量分别为120件，90件，60 件. 为了解它们的产品质量是否有显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了4件，则
．
参考答案：
18
15. 已知，其中为锐角，则
的值为
．
参考答案：
；
16. 已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x||x+1|＜2}，则（?∪A）∩B等于{x|0≤x＜1}．
参考答案：
面积的最大值为 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）
如图1，已知直角梯形ABCD中，，AB//DC，AB⊥AD，E为CD的中点，沿AE把△DAE折起到△PAE的位置（D折后变为P），使得PB=2，如图2．
（Ⅰ）求证：平面PAE⊥平面ABCE；
（Ⅱ）求点B到平面PCE的距离．
参考答案：
解：（Ⅰ）如图，取AE的中点O，连接PO，OB，BE．
由于在平面图形中，如题图1，连接BD，BE，易知四边形ABED为正方形，
∴在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，
∴PO⊥AE，OB⊥AE，PO=OB=，
∵PB=2，∴，
∴PO⊥OB………………………………………………………………3分
又，∴平面PO⊥平面ABCE，
∵PO平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABCD……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PO⊥AE，OB⊥AE，，故AE⊥平面POB．
∵PB平面POB，∴AE⊥PB，又BC//AE，∴BC⊥PB．
在Rt△PBC中，
在△PEC中，PE=CE=2，
∴………………………………9分
设点B到平面PCE的距离为d，由，
得…………………………12分
19. 已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求f(a)＝2－a|a＋3|的值域．
参考答案：
略
20. 设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求
证：．
参考答案：
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．
（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．
【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣
5|≥6．
①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；
②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈?；
③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，
综上所述，不等式的解集为（﹣]；
（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，
∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．21. （本小题满分12分）
若向量，其中，设函数，其周期为，且是它的一条对称轴。

（1）求的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。

参考答案：
解：（1）…………………………………………………… 2分
……………………………………………………………………5分
（1）∵周期为
∵………………………………………………………………6分
又∵为其一条对称轴∴
∴故
…………………………………………………………………7分
∴………………………………………………………………………8分
（2）
∵∴………………………………………………9分的最小值为
…………………………………………………………10分
由恒成立，得
…………………………………………………………11分
所以a的取值范围为………………………………12分
略
22. 已知曲线与，直线与都相切，求直线的方程．
参考答案：
解析：设与相切于点与相切于．
对于，则与相切于点的切线方程为，即，
对于，则与相切于点的切线方程为
，
即．
两切线重合，
，且．
解得或．
直线方程为或．。