第三章 三角恒等变换单元测试卷(一)(含解析)

第三章 三角恒等变换单元测试卷
【人教A 版】
考试时间：100分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2019秋•诏安县校级期中）cos45cos15sin225sin165︒︒+︒︒的值为( )
A ．
B ．12
-
C D ．
12
2．（5分）（2019•和平区校级二模）已知1sin()63πα+=，则2cos(2)3
π
α-的值等于( )
A ．5
9
-
B ．79
-
C ．59
D ．
79
3．（5分）（2019秋•市中区校级月考）00
2cos10sin 20sin 70-的值是( )
A ．
12
B C D 4．（5分）（2019秋•未央区校级期中）若2
tan 3
α=，则23sin cos (sin 2sin αααα+= )
A ．
11
6
B ．
23
C ．
43
D ．2
5．（5分）（2019秋•镇海区校级期中）已知2
2
π
π
αβ-<-<
，sin 2cos 1αβ-=，cos 2sin αβ+=sin()(6
π
β+= )
A B C ． D ． 6．（5分）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是( )
A ．
2
π B ．π C ．
32
π D ．2π
7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2(θ=
)
A ．45
-
B ．35
-
C ．35
D ．
45
8．（5分）（2019秋•武昌区校级期末）函数cos2sin 2cos2sin 2x x
y x x
+=-的最小正周期为( )
A ．2π
B ．π
C ．
2
π D ．
4
π
9．（5分）（2019的值为( )
A ．
12
B C D ．2
10．（5分）（2019•河北区一模）设sin14cos14a =︒+︒，sin16cos16b =︒+︒，c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<
11．（5分）如果sin 1
1cos 2
αα=+，那么sin cos αα+的值是( )
A ．
75
B ．85
C ．1
D ．
2915
12．（5分）（2019•南开区一模）若函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>的图象关于点(,0)3
M π
对称，且在6x π=
处函数有最小值，则a ω+的一个可能的取值是( ) A ．0 B ．3
C ．6
D ．9
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2019春•沈阳校级期末）化简sin(60)2sin(60))x x x +︒+-︒︒-的结果是 ． 14．（5分）（
2019•邯郸二模）已知3
sin
85
α
=-，812παπ<<，则tan 4α= ．
15．（5分）设函数2()2cos 2f x x x a =+，已知当[0x ∈，]2π
时，()f x 的最小值为2-，则a = ．
16．（5分）（2019春•彭山县校级月考）给出下列命题： ①若(tan )sin 2f x x =，则(1)1f -=-；
②将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移3
π
个单位，得到sin 2y x =的图象；
③方程sin x lgx =有三个实数根；
④函数
212cos 2sin y x x =--的值域是
323
≤≤-
y ；
⑤把cos cos()3y x x π=++写成一个角的正弦形式是)3y x π
+
其中正确的命题的序号是 （要求写出所有正确命题的序号）．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2019秋•东湖区校级期末）已知5sin()413x π-=，04x π
<<，求cos 2cos()4
x x π+的值．
18．（12分）（2019•江苏模拟）已知12(,),(0,),cos(),2273
πππ
απβαβαβ∈∈-=+=．
（1）求sin(22)αβ-的值； （2）求cos α的值．
19．（12分）（2019秋•黄陵县校级月考）已知sin sin sin 0A B C ++=，cos cos cos 0A B C ++=，求证：2223
cos cos cos 2
A B C ++=
．
20．（12分）（2019•泉州一模）已知函数2()cos 2sin 1222
x x x
f x =-+．
（Ⅰ）若f （a ）65=
，求cos()3
π
α-的值； （Ⅱ）把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移(0)m m >个单位，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，求m 的最小值．
21．（12分）（2019•肥东县校级一模）已知向量(sin ,cos )m A A =，(1,2)n =-且m n ⊥． （1）求tan A 的值；
（2）求函数()cos2tan sin ()f x x A x x R =+∈的值域．
22．（12分）（2019春•辽宁期中）设()4cos()sin cos(2)6f x x x x π
ωωωπ=--+，其中0ω>．
（1）当1ω=时，求函数()y f x =的值域； （2）若()f x 在区间3[2π-，]2
π
上为增函数，求ω的最大值．
第三章 三角恒等变换单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2019秋•诏安县校级期中）cos45cos15sin225sin165︒︒+︒︒的值为( )
A ．
B ．12
-
C D ．
12
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
【答案】解：cos45cos15sin 225sin165cos45cos15(sin 45)sin15︒︒+︒︒=︒︒+-︒︒ 1cos45cos15sin 45sin15cos(4515)cos602
=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=
， 故选：D ．
【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
2．（5分）（2019•和平区校级二模）已知1sin()63πα+=，则2cos(2)3
π
α-的值等于( )
A ．5
9
-
B ．79
-
C ．59
D ．
79
【分析】利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为22cos ()13πα--，再利用诱导公式化为22sin ()16π
α+-，
再把条件代入运算求得结果． 【答案】解：1
sin()63
π
α+=， 22cos(
2)cos2()2cos 33ππαα∴-=-= 227
()12sin ()113699
ππαα--=+-=-=-， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于中档题．
3．（5分）（2019秋•市中区校级月考）00
2cos10sin 20sin 70-的值是( )
A ．
12
B C D 【分析】利用诱导公式、两角差的余弦公式，化简所给的式子，可得结果．
【答案】解：0002cos10sin 202cos(3020)sin 202(cos30cos20sin30sin 20)sin 20sin 70cos20cos20-︒-︒-︒︒︒+︒︒-︒
==
︒︒
=
故选：D ．
【点睛】本题主要考查诱导公式、两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
4．（5分）（2019秋•未央区校级期中）若2
tan 3
α=，则23sin cos (sin 2sin αααα+= )
A ．
11
6
B ．
23
C ．
43
D ．2
【分析】由同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【答案】解：2
tan 3
α=，
∴2223sin cos 3sin cos 3tan sin 22sin cos 2tan sin sin tan αααααααααααα
+++==
222()3113
32623+⨯
==⨯． 故选：A ．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 5．（5分）（2019秋•镇海区校级期中）已知2
2
π
π
αβ-<-<
，sin 2cos 1αβ-=
，cos 2sin αβ+=sin()(6
π
β+= )
A
B
C
． D
． 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数关系式的变换的应用求出结果． 【答案】解：已知2
2
π
π
αβ-
<-<
，sin 2cos 1αβ-=
，cos 2sin αβ+
则2(sin 2cos )1αβ-=，①2(cos 2sin )2αβ+=②， ①+②整理得：4sin cos 4cos sin 2αβαβ-+=-， 所以1sin()2βα-=-，又因为22
ππ
αβ-<-<，
所以6
π
βα-=-
，即6π
βα+
=，所以sin()sin 6
π
βα+=，
由条件可得sin 12cos αβ=+，整理得2cos sin 1βα=-③，
cos 2sin αβ=④，
所以2
π
βπ<<，
2
6
π
π
απ<-
<，
即
2736
ππ
α<<
， 所以③和④
两式平方和得，tan α=
所以
32
4
π
π
α<<
，解得sin α=．
故选：B ．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 6．（5分）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是( ) A ．
2
π
B ．π
C ．
32
π D ．2π
【分析】先将原函数进行化简，再求周期． 【答案】解：2(sin cos )1sin 22y x x x =++=+， 故其周期为22
T π
π==． 故选：B ．
【点睛】本题主要考查正弦函数周期的求解．
7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2(θ=
)
A ．45
-
B ．35
-
C ．35
D ．
45
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos θ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos θ的平方代入即可求出值．
【答案】解：根据题意可知：tan 2θ=， 所以222
111
cos sec tan 15
θθθ=
==+， 则213
cos22cos 12155
θθ=-=⨯-=-．
故选：B ．
【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．
8．（5分）（2019秋•武昌区校级期末）函数cos2sin 2cos2sin 2x x
y x x
+=-的最小正周期为( )
A ．2π
B ．π
C ．
2
π D ．
4
π
【分析】将cos2sin 2cos2sin 2x x y x x +=-的“弦”化“切”，求得tan(2)4
y x π
=+，利用正切函数的周期性即可求得答
案． 【答案】解：cos2sin 21tan 2tan(2)cos2sin 21tan 24
x x x y x x x x π
++=
==+
--，
2
T π
∴=
．
故选：C ．
【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，“弦”化“切”是关键，考查正切函数的周期性，属于中档题．
9．（5分）（2019
的值为( )
A ．
1
2
B ．
2
C
D ．2
【分析】利用二倍角的余弦、正弦公式，把要求的式子化为402
sin 40︒︒
，从而得到结果．
【答案】解：式子4020cos 202sin 40sin 402
︒
︒︒====︒︒，
故选：B ．
【点睛】本题主要考查二倍角的余弦、正弦公式的应用，属于基础题．
10．（5分）（2019•河北区一模）设sin14cos14a =︒+︒，sin16cos16b =︒+︒，c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a b c <<
B ．a c b <
<
C ．b c a <<
D ．
b a
c <<
【分析】欲比较a 、b 、
c 的大小关系，考虑到它们形式的不同，先利用和角公式将它们化成相同的三角函数的形式，再利用三角函数的单调性比较大小．比如，都化成正弦函数，利用下面中正弦函数的单调性比较大小．
【答案】解：a ︒，60c ︒，61b =︒， a c b ∴<<．
故选：B ．
【点睛】形如sin cos a b αα+)αϕ+形式，这里辅助角所在的象限ϕ的符号确定，角的值由a ，b 确定． 11．（5分）如果sin 1
1cos 2
αα=+，那么sin cos αα+的值是( )
A ．
75
B ．85
C ．1
D ．
2915
【分析】根据已知和同角三角函数的基本关系可求出sin cos αα+的值． 【答案】解：由sin 1
1cos 2
αα=+得到：2sin 1cos αα=+，而22sin cos 1αα+=，联立解得sin 0α=（舍去）或
4sin 5α=
，所以3cos 5
α= 则437
sin cos 555
αα+=+= 故选：A ．
【点睛】考查学生灵活运用同角三角函数的基本关系解决问题的能力，注意三角函数中的恒等变换的应用．
12．（5分）（2019•南开区一模）若函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>的图象关于点(,0)3
M π对称，且在6x π=
处函数有最小值，则a ω+的一个可能的取值是( ) A ．0
B ．3
C ．6
D ．9
【分析】根据相邻对称点与最小值之间可以相差14T ，可也以是34T ，不妨设3
()364
n T ππ-=+，再由周期公
式求得ω，然后由()03f π
=，求出a ，进而求出a ω+的可能值．
【答案】解：根据题意3
()3
64
n T π
π
-
=+， 23(43)
T n π
=
+，
23(43)n T
π
ω∴=
=+，
()03f π
=， sin(43)cos(43)n a n a ππ∴+++=-，
0a ∴=，
3(43)a n ω∴+=+．
9是a ω+的一个可能值．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查正余弦函数的对称点，对称轴与周期间的关系，即相邻的对称轴及对称点之间相差半个周期等．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2019春•沈阳校级期末）化简sin(60)2sin(60))x x x +︒+-︒︒-的结果是 0 ．
【分析】先利用两角和公式对进行化简整理，进而利用sin(60)60)x x +︒+︒化简整理，进而利用诱导公式进行化简，最后求得结果．
【答案】解：原式sin(60)(60)]2sin(60)x x x =+︒︒-+︒+-︒
sin(60)60)2sin(60)x x x =+︒++︒+-︒
2sin(6060)2sin(60)x x =+︒+︒+-︒
2sin(60180)2sin(60)x x =-︒+︒+-︒
2sin(60)2sin(60)x x =--︒+-︒
0=．
故答案为0
【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，诱导公式的化简求值．考查了学生对基础知识的掌握，和基本的运算能力． 14．（5分）（2019•邯郸二模）已知3sin
85α=-，812παπ<<，则tan 4α= 247 ． 【分析】由已知可得382αππ<
<，234αππ<<，由同角三角函数关系式即可求sin 8α，cos 8α，由倍角公式即可求sin 4α
，cos 4α
，由同角三角函数关系式即可求得tan 4α
．
【答案】解：812παπ<<，
382α
ππ∴<<，234
αππ<<，
4
cos
85
α
∴=-，
3424
sin2sin cos2()()
4885525
ααα
∴==⨯-⨯-=，
22
47
cos2cos12()1
48525
αα
∴=-=⨯--=，
sin24
4
tan
47
cos
4
α
α
α
∴==．
故答案为：
24
7
．
【点睛】本题主要考查了倍角公式及同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．
15．（5分）
设函数2
()2cos2
f x x x a
=++，已知当[0
x∈，]
2
π
时，()
f x的最小值为2
-，则a=2
-．【分析】化简()
f x，找出()
f x在何时取得最小值，带入计算解出a．
【答案】解：2
()2cos21cos222sin(2)1
6
f x x x a x x a x a
π
=+=++=+++，[0
x ∈，]
2
π
，2[
66
x
ππ
∴+∈，
7
]
6
π
，
∴当
7
2
66
x
ππ
+=时，()
f x取得最小值a，2
a
∴=-．
故答案为2
-．
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换与求值，属于基础题．
16．（5分）（2019春•彭山县校级月考）给出下列命题：
①若(tan)sin2
f x x
=，则(1)1
f-=-；
②将函数sin(2)
3
y x
π
=+的图象向右平移
3
π
个单位，得到sin2
y x
=的图象；
③方程sin x lgx
=有三个实数根；
④函数2
12cos2sin
y x x
=--的值域是
3
3
2
y
-剟
⑤把cos cos()
3
y x x
π
=++
写成一个角的正弦形式是)
3
y x
π
+
其中正确的命题的序号是①③④（要求写出所有正确命题的序号）．
【分析】①由题得tan1
x=-计算出x的值再计算出2x的值代入即可．
②由左加右减得原函数变化为sin(2)
3
y x
π
=-．
③函数sin
y x
=与函数y lgx
=有三个交点，因为函数y lgx
=过点(10,1)结合函数的性质可得答案．
④原函数为22cos 2cos 1y x x =--，利用还原方法得到2221y t t =--，[1t ∈-，1]，进而可得答案． ⑤利用公式化简结果是3sin()3
y x π
=-． 【答案】解：①由题得tan 1x =-所以34x k ππ=+所以3222x k ππ=+所以sin21x =-，故①正确． ②由左加右减得：将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移3π个单位得sin(2)3
y x π=-故答案②错误． ③即函数sin y x =与函数y lgx =有三个交点，因为函数y lgx =过点(10,1)且函数sin y x =是周期函数，故③正确．
④原函数为22cos 2cos 1y x x =--，还原的2221y t t =--，[1t ∈-，1]，所以函数的值域是332
y -剟，故④正确． ⑤cos cos()3y x x π=++化简结果是3sin()3
y x π
=-，故⑤错误． 故答案为：①③④．
【点睛】本题考查利用换元法得到熟悉的函数再求函数的值域，以及把方程的有解问题转化为两个函数的交点问题，解决此类题目的关键是熟悉两个函数的图象．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2019秋•东湖区校级期末）已知5sin()413x π-=，04x π<<，求cos 2cos()4x x π+的值． 【分析】角之间的关系：()()442x x πππ-++=及22()24
x x ππ-=-，利用余角间的三角函数的关系便可求之． 【答案】解：()()442
x x πππ-++=， cos()sin()44x x ππ
∴+=-． 又cos2sin(2)2
x x π=- sin 2()2sin()cos()444x x x πππ=-=--， ∴cos 212242cos()241313cos()4x
x x ππ=-=⨯=+． 【点睛】本题主要考查了倍角公式的应用．三角函数中的公式较多，故应强化记忆．
18．（12分）（2019•江苏模拟）已知12(,),(0,),cos(),2273
πππαπβαβαβ∈∈-=+=． （1）求sin(22)αβ-的值；
（2）求cos α的值．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin()αβ-的值，再利用二倍角公式求得sin(22)αβ-的值．
（2）利用两角和差的三角公式求得cos2cos[()()]ααβαβ=++-的值，再利用二倍角公式求得cos α的值．
【答案】解：（1）已知12(,),(0,),cos(),2273
πππαπβαβαβ∈∈-=+=，
sin()αβ∴-=
sin(22)2sin()cos()αβαβαβ∴-=--=
（2）cos2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ=++-=+--+-
211343132cos 12714α=--=-=-，
求得cos α=
cos α= （舍去），
综上，cos α= 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，两角和差的三角公式，属于基础题．
19．（12分）（2019秋•黄陵县校级月考）已知sin sin sin 0A B C ++=，cos cos cos 0A B C ++=，求证：2223cos cos cos 2
A B C ++=． 【分析】根据题意，利用同角的三角函数关系和两角和与差的公式，求出1cos()2
B C -=-， 再求出cos2cos2cos20A B C ++=，利用降幂公式即可求出222cos cos cos A B C ++的值．
【答案】证明：由sin (sin sin )A B C =-+，cos (cos cos )A B C =-+，
22sin cos 1A A +=，
22(sin sin )(cos cos )1B C B C ∴+++=，
2222sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos 1B B C C B B C C +++++=，
22cos()1B C +-=
即1cos()2
B C -=-， 2cos2cos2cos22cos 1cos2cos2A B C A B C ∴++=-++，
222cos 2cos 14cos cos cos2cos2B C B C B C =+-+++，
2cos22cos24cos cos 1B C B C =+++，
4cos()cos()2[cos()cos()]1B C B C B C B C =+-+++-+，
2cos()2cos()11B C B C =-+++-+，
0=；
2221cos21cos21cos2cos cos cos 222A B C A B C +++∴++=
++ 313(cos2cos2cos2)222
B B
C =+++=． 【点睛】本题考查同角的基本关系，两角和差的正余弦公式及二倍角公式，证明过程复杂，需要敏锐的观察能力，属于中档题．
20．（12分）（2019•泉州一模）已知函数2()cos 2sin 1222
x x x f x =-+． （Ⅰ）若f （a ）65=，求cos()3
πα-的值； （Ⅱ）把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移(0)m m >个单位，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，求m 的最小值． 【分析】（Ⅰ）化简可得()2sin()6
f x x π
=+，由已知数据和诱导公式可得； （Ⅱ）由函数图象变换可得1()2sin()226m g x x π=++，由偶函数可得262m k πππ+=+，k Z ∈，由题意可得m 的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）化简可得2()cos 2sin 1cos 2sin()2226
x x x f x x x x π=-++=+ f （a ）65=
， ∴3sin()65πα+
=， ∴3cos()sin[()]sin()32365
ππππααα-=--=+=， （Ⅱ）依题意得11()2sin[()]2sin()26226
m g x x m x ππ=++=++ 函数()g x 为偶函数， ∴262
m k πππ+=+，k Z ∈， 223m k ππ∴=+
， 又0m >，
∴当0k =时，m 取最小值23
π．
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数图象的变换，属基础题．
21．（12分）（2019•肥东县校级一模）已知向量(sin ,cos )m A A =，(1,2)n =-且m n ⊥．
（1）求tan A 的值；
（2）求函数()cos2tan sin ()f x x A x x R =+∈的值域．
【分析】（1）m n ⊥故有sin 2cos 0m n A A =-=可解得tan A 的值；
（2）由二倍角的余弦将函数()f x 化简，由三角函数的最值即可求函数()f x 的值域．
【答案】解：（1）
sin 2cos 0m n A A =-=
tan 2A ∴= （2）()cos22sin f x x x =+
212sin 2sin x x =-+
2132(sin )22
x =--+ 1sin 1x -剟
∴当1sin 2x =时，()f x 有最大值32
； 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-．
所以()f x 的值域是3[3,]2
-． 【点睛】本题主要考察平面向量数量积的运算、三角函数的最值，属于基础题．
22．（12分）（2019春•辽宁期中）设()4cos()sin cos(2)6
f x x x x π
ωωωπ=--+，其中0ω>． （1）当1ω=时，求函数()y f x =的值域；
（2）若()f x 在区间3[2π-，]2π上为增函数，求ω的最大值． 【分析】（1）先利用两角和余差的基本公式以及诱导公式等将函数化为sin()y A x ωϕ=+的形式，结合三角函数的图象和性质，求出()f x 的取值最大和最小值，即得到()f x 的值域．
（2）结合三角函数的图象和性质，求增区间的范围．()f x 在区间3[2π-，]2
π上为增函数，可得ω的最大值． 【答案】解：（1）()4cos()sin cos(2)6
f x x x x π
ωωωπ=--+，其中0ω>．
化简可得：：21()4sin [cos sin ]cos222sin cos2122f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=++++=
当1ω=时，函数()12y f x x ==+
根据三角函数的图象和性质可得：()f x 的值域的值域为[11．
（2）由（1）可得()12f x x ω=
22222k x k π
ππωπ∴-+
剟 解得：44k k x π
πππωωωω
-+剟，k Z ∈ 故得函数()f x 的增区间为：[
4k ππωω-，]4k k Z ππωω+∈． ()f x 在区间3[2π-，]2
π上为增函数， 故：342k π
ππωω--…且24k πππωω
+…，k Z ∈ 解得：146k ω-…且412k ω+…，k Z ∈ 0ω>．
当0k =时，满足题意，此时16
ω=． 故得ω的最大值为16
． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．。