黔东南州2018届高三模拟考试理科数学2018.3.9

黔东南州2018届高三模拟考试
理科数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}10|≤≤=x x M ，{}1|||≥=x x N ，则M N =
A 、{}1
B 、{}10|≤≤x x
C 、{}101|≤≤-≤x x x 或
D 、{}10x x x ≤-≥或
2．若复数11i
z i
-=
+，则z = A 、1 B 、1- C 、i D 、i -
3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为甲x 、乙x ，标准差分别
为甲σ、乙σ，则
A 、乙甲乙甲，σσ<<x x
B 、乙甲乙甲，σσ><x x
C 、乙甲乙甲，σσ<>x x
D 、乙甲乙甲，σσ>>x x
4．已知数列}{n a 为等差数列，且55=a ，则9S 的值为
A 、25
B 、45
C 、50
D 、90
5．已知21
3
3
311,,log 34a b c π⎛⎫⎛⎫
=== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，则c b a ,,的大小关系为 A 、c b a >> B 、b c a >> C 、b a c >> D 、a b c >>
6．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为
A 、1
B 、34
C
D 、14
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为
A 、5
B 、6
C
、7 D 、22
8．若函数)(x f 的定义域为R ，其导函数为'()f x ．若'(
)3f x <恒成
立，0)2(=-f ，则()36f x x <+解集为
A 、(,2)-∞-
B 、)2,2(-
C 、)2,(-∞
D 、),2(+∞-
9．执行如图的程序框图，则输出的S 值为
A 、1
B 、
2
3 C 、1
2
-
D 、0 10．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4=c ，则ABC ∆面积的最大值为
A
、 B 、34 C 、32 D
11．设函数2
22
)()2cos()(e
x e x x x f +++-=ππ
的最大值为M ,最小值为N ,则2018)1(-+N M 的值为 A 、1 B 、2 C 、20182 D 、20183
12． 已知双曲线22
221(0)x y b a a b
-=>>的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -．若双曲线上存在
点P 使
1
221sin sin F PF c
F PF a ∠=
∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 A 、)12,1(+ B
、)∞+ C
、1)
D 、),12(+∞+
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．已知实数y x ,满足约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪--≤⎩
，则23z x y =-的最小值是 ．
14．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为,,A B C 三个层次），得A 的同学直接进入第二轮考试.从评委处得知，三名同学中只有一人获得A .三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下： 甲说：看丙的状态，他只能得B 或C ； 乙说：我肯定得A ；
丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．
事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A 的同学是 ． 15．在(
)(
(
(
(5
5
5
5
5
11111x ++++++的展开式中，x 的系数为______(用数
字作答)．
16．在平面上，12OB OB ⊥
，12MB MB == 12OP OB OB =+
．若1MP < ，则OM 的取
值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第
17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）
已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*4
(1),3
n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）令n n a b 2log =，记数列1(1)(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭
的前n 项和为n T ．证明：11
32n T ≤<．
18．（本小题满分12分）
据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
（Ⅰ）求,a b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?
（Ⅱ）若导游的奖金y （单位：万元），与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的关
系为1
20
2
2040340
x y x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
，求甲公司导游的年平均奖金； （Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[)50,60的总人数中，随机的抽取3人进行表彰，设来自乙公司的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
19．（本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为
BC 、AP 中点.
（Ⅰ）求证：//EF 平面PCD ；
（Ⅱ）若AD AP PB ==，0
=120APB ∠，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知点P 为曲线C 上任意一点，)1,0(-A 、)1,0(B ，直线PB PA ,的斜率之积为2
1-． （Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在过点)0,2(-Q 的直线l 与曲线C 交于不同的两点,M N ，使得||||BN BM =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知函数2)(x x f =，mx e
x g 1
)(=
(m 是常数)． （Ⅰ）求函数1)()()(-⋅=x g x f x h 的单调区间；
（Ⅱ）当)4,0(e x ∈时,函数1)()()(-⋅=x g x f x h 有零点，求m 的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :sin x C y θ
θ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数) 上任意一点(,)P x y 经过伸缩变换
''2x y y
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2cos sin )8l ρθθ-=．
（Ⅰ）求曲线2C 和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数|3||13|)(k x x x f ++-=,4)(+=x x g ． （Ⅰ）当3-=k 时,求不等式()4f x ≥的解集； （Ⅱ）设1->k ,且当⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-
∈31,3k x 时，都有()()f x g x ≤,求k 的取值范围．。