2018年高考数学新课标3理科真题及答案

1.(2018年新课标Ⅲ理)已知集合A ＝{x |x －1≥0},B ＝{0,1,2},则A ∩B ＝( ) A .{0}B .{1}C .{1,2}D .{0,1,2}C 【解析】A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1},则A ∩B ＝{x |x ≥1}∩{0,1,2}＝{1,2}.2.(2018年新课标Ⅲ理)(1＋i)(2－i)＝( ) A .－3－iB .－3＋iC .3－iD .3＋iD 【解析】(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i .3.(2018年新课标Ⅲ理)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )ABC DA 【解析】由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体是榫头,从图形看出轮廓是长方形,内含一个长方形,且一条边重合,另外3边是虚线.故选A .4.(2018年新课标Ⅲ理)若sin α＝13,则cos 2α＝( )A .89B .79C .－79D .－89B 【解析】cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79.5.(2018年新课标Ⅲ理)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A .10B .20C .40D .80C 【解析】⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项为T r +1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫2x r ＝2r C r 5x 10－3r .由10－3r ＝4,解得r ＝2.∴⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为22C 25＝40.6.(2018年新课标Ⅲ理)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上,则△ABP 面积的取值范围是( )A .[2,6]B .[4,8]C .[2,32]D .[22,32]A 【解析】易得A (－2,0),B (0,－2),|AB |＝22.圆的圆心为(2,0),半径r ＝2.圆心(2,0)到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋0＋2|12＋12＝22,∴点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离h 的取值范围为[22－r ,22＋r ],即[2,32].又△ABP 的面积S ＝12|AB |·h ＝2h ,∴S 的取值范围是[2,6].7.(2018年新课标Ⅲ理)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )A BC DD 【解析】函数过定点(0,2),排除A ,B ；函数的导数y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x (2x 2－1),由y ′＞0解得x ＜－22或0＜x ＜22,此时函数单调递增,排除C .故选D .8.(2018年新课标Ⅲ理)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX ＝2.4,P (X ＝4)＜P (X ＝6),则p ＝( ) A .0.7B .0.6C .0.4D .0.3B 【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,为独立重复事件,满足X ～B (10,p ).由P (X ＝4)＜P (X ＝6),可得C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4,解得p ＞12.因为DX ＝2.4,所以10p (1－p )＝2.4,解得p ＝0.6或p ＝0.4(舍去).9.(2018年新课标Ⅲ理)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24,则C ＝( ) A .π2 B .π3C .π4D .π6C 【解析】S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24,则sin C ＝a 2＋b 2－c 22bc ＝cos C .因为0＜C ＜π,所以C ＝π4.10.(2018年新课标Ⅲ理)设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且面积为93,则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( ) A .12 3 B .18 3 C .24 3D .54 3 B 【解析】由△ABC 为等边三角形且面积为93,得S △ABC ＝34·|AB |2＝93,解得AB ＝6.设半径为4的球的球心为O ,△ABC 的外心为O ′,显然D 在O ′O 的延长线与球的交点处(如图).O ′C ＝23×32×6＝23,OO ′＝42－(23)2＝2,则三棱锥D -ABC 高的最大值为6,则三棱锥D -ABC 体积的最大值为13×34×63＝183.11.(2018年新课标Ⅲ理)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P ,若|PF 1|＝6|OP |,则C 的离心率为( )A . 5B .2C . 3D . 2C 【解析】双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝b a x ,∴点F 2到渐近线的距离d ＝bca 2＋b 2＝b ,即|PF 2|＝b ,∴|OP |＝|OF 2|2－|PF 2|2＝c 2－b 2＝a ,cos ∠PF 2O ＝bc .∵|PF 1|＝6|OP |,∴|PF 1|＝6a .△F 1PF 2中,由余弦定理得|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－2|PF 2|·|F 1F 2|cos ∠PF 2O ,即6a 2＝b 2＋4c 2－2×b ×2c ×b c ＝4c 2－3b 2＝4c 2－3(c 2－a 2),化简得3a 2＝c 2,∴e ＝ca＝c 2a 2＝3.12.(2018年新课标Ⅲ理)设a ＝log 0.20.3,b ＝log 20.3,则( ) A .a ＋b ＜ab ＜0B .ab ＜a ＋b ＜0C .a ＋b ＜0＜abD .ab ＜0＜a ＋bB 【解析】∵a ＝log 0.20.3＝lg 0.3－lg 5,b ＝log 20.3＝lg 0.3lg 2,∴a ＋b ＝lg 0.3lg 2－lg 0.3lg 5＝lg 0.3(lg 5－lg 2)lg 2·lg 5＝lg 0.3·lg 52lg 2·lg 5,ab ＝－lg 0.3lg 2·lg 0.3lg 5＝lg 0.3·lg103lg 2·lg 5.∵lg 103＞lg 52,lg 0.3lg 2·lg 5＜0,∴ab ＜a ＋b ＜0.故选B .13.(2018年新课标Ⅲ理)已知向量a ＝(1,2),b ＝(2,－2),c ＝(1,λ).若c ∥(2a ＋b ),则λ＝________.12 【解析】(2a ＋b )＝2(1,2)＋(2,－2)＝(4,2),由c ∥(2a ＋b ),得14＝λ2,解得λ＝12.14.(2018年新课标Ⅲ理)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2,则a ＝________. －3 【解析】由y ＝(ax ＋1)e x ,可得y ′＝a e x ＋(ax ＋1)e x .∵y ′|x ＝0＝a ＋1,∴a ＋1＝－2,解得a ＝－3.15.(2018年新课标Ⅲ理)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0,π]的零点个数为________. 3 【解析】令f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0,得3x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z ),解得x ＝π9＋k π3(k ∈Z ).当k ＝0时,x ＝π9；当k ＝1时,x ＝4π9；当k ＝2时,x ＝7π9；当k ＝3时,x ＝10π9.∵x ∈[0,π],∴x ＝π9,或x＝4π9,或x ＝7π9.∴f (x )的零点的个数为3.16.(2018年新课标Ⅲ理)已知点M (－1,1)和抛物线C :y 2＝4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB ＝90°,则k ＝________.2 【解析】∵抛物线的焦点为F (1,0),∴过A ,B 两点的直线方程为y ＝k (x －1).联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，化简得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝4＋2k 2k 2,x 1x 2＝1.∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k ,y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4.∵M (－1,1),∴MA →＝(x 1＋1,y 1－1),MB →＝(x 2＋1,y 2－1).∵∠AMB ＝90°＝0,∴MA →·MB →＝0,即(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0,整理得x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋2＝0,∴1＋2＋4k 2－4－4k ＋2＝0,即k 2－4k ＋4＝0,解得k ＝2.17.(2018年新课标Ⅲ理)等比数列{a n }中,a 1＝1,a 5＝4a 3. （1）求{a n }的通项公式；（2）记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63,求m . 【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1,a 5＝4a 3,得1×q 4＝4×(1×q 2),解得q ＝±2. 当q ＝2时,a n ＝2n －1； 当q ＝－2时,a n ＝(－2)n －1.（2）当q ＝－2时,S n ＝1×[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n 3.由S m ＝63,得1－(－2)m3＝63,m ∈N ,无解；当q ＝2时,S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.由S m ＝63,得2m －1＝63,解得m ＝6.18.(2018年新课标Ⅲ理)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表:超过m 不超过m第一种生产方式 第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【解析】（1）根据茎叶图中的数据知第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间,第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间, ∴第二种生产方式的工作时间较少,效率更高.（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,排在中间的两个数据是79和81,m ＝79＋812＝80.由此填写列联表如下:超过m 不超过m总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式5 15 20 总计202040（3）K 2＝40(15×15－5×5)220×20×20×20＝10＞6.635,∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.(2018年新课标Ⅲ文)如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧⌒CD 所在平面垂直,M 是⌒CD 上异于C ,D 的点. （1）求证:平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ﹣ABC 体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.【解析】（1）证明:在半圆中,DM ⊥MC .∵正方形ABCD 所在的平面与半圆弧⌒CD 所在平面垂直,∴AD ⊥平面DCM . 又MC ⊂平面DCM ,∴AD ⊥MC . 又AD ∩DM ＝D ,∴MC ⊥平面ADM . ∵MC ⊂平面MBC ,∴平面AMD ⊥平面BMC .（2）∵△ABC 的面积为定值,∴要使三棱锥M ﹣ABC 体积最大,则三棱锥的高最大,此时M 为圆弧的中点.以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.∵正方形ABCD 的边长为2,∴A (2,－1,0),B (2,1,0),M (0,0,1),则平面MCD 的一个法向量为m ＝(1,0,0).设平面MAB 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ),则AB →＝(0,2,0),AM →＝(－2,1,1). ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝2y ＝0，n ·AM →＝－2x ＋y ＋z ＝0.令x ＝1,则y ＝0,z ＝2,∴n ＝(1,0,2). ∴cos 〈m ,n 〉＝m ·n |m |·|n |＝11×5＝55.设面MAB 与面MCD 所成的二面角为α,则sin α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255.20.(2018年新课标Ⅲ文)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24＋y 23＝1交于A ,B 两点,线段AB的中点为M (1,m )(m ＞0). （1）求证:k ＜－12；（2）设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →＋F A →＋FB →＝0,求证:|F A →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差.【解析】（1）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵线段AB 的中点为M (1,m ),∴x 1＋x 2＝2,y 1＋y 2＝2m . 将A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)代入x 24＋y 23＝1中,化简得3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0,即6(x 1－x 2)＋8m (y 1－y 2)＝0, ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－68m ＝－34m .点M (1,m )在椭圆内,即14＋m 23＜1(m ＞0),解得0＜m ＜32.∴k ＝－34m ＜－12.（2）证明:设(x 3,y 3),可得x 1＋x 2＝2.∵FP →＋F A →＋FB →＝0,F (1,0),∴x 1－1＋x 2－1＋x 3－1＝0,y 1＋y 2＋y 3＝0. ∴x 3＝1,y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m . ∵m ＞0,∴P 在第四象限.∴y 3＝－32,m ＝34,k ＝－1.∵|F A |＝2－12x 1,|FB |＝2－12x 2,|FP |＝2－12x 3＝32,则|F A |＋|FB |＝4－12(x 1＋x 2)＝3.∴2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|.联立⎩⎨⎧y ＝－x ＋74，x 24＋y23＝1，化简得28x 2－56x ＋1＝0.∴x 1＋x 2＝2,x 1x 2＝128.∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3217.∴该数列的公差d 满足2d ＝±12|x 1－x 2|＝±32114.∴该数列的公差为±32128.21.(2018年新课标Ⅲ理)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x )－2x . （1）若a ＝0,求证:当－1＜x ＜0时,f (x )＜0；当x ＞0时,f (x )＞0； （2）若x ＝0是f (x )的极大值点,求a .【解析】（1）证明:当a ＝0时,f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x (x ＞－1),则f ′(x )＝ln(1＋x )－x1＋x .令g (x )＝f ′(x )＝ln(1＋x )－x 1＋x ,则g ′(x )＝x(1＋x )2.当x ∈(－1,0)时,g ′(x )≤0；当x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )≥0. ∴f ′(x )在(－1,0)递减,在(0,＋∞)递增. ∴f ′(x )≥f ′(0)＝0.∴f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x 在(－1,＋∞)上单调递增. 又f (0)＝0,∴当－1＜x ＜0时,f (x )＜0；当x ＞0时,f (x )＞0. （2）由f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x )－2x ,得f ′(x )＝(1＋2ax )ln(1＋x )＋2＋x ＋ax 21＋x －2＝ax 2－x ＋(1＋2ax )(1＋x )ln(1＋x )1＋x .令h (x )＝ax 2－x ＋(1＋2ax )(1＋x )ln(1＋x ), 则h ′(x )＝4ax ＋(4ax ＋2a ＋1)ln(1＋x ).当a ≥0,x ＞0时,h ′(x )＞0,h (x )单调递增. ∴h (x )＞h (0)＝0,即f ′(x )＞0.∴f (x )在(0,＋∞)上单调递增,∴x ＝0不是f (x )的极大值点,不合题意. 当a ＜0时,令u (x )＝h ′(x )＝4ax ＋(4ax ＋2a ＋1)ln(1＋x ), 则u ′(x )＝8a ＋4a ln(1＋x )＋1－2a1＋x ,显然u ′(x )单调递减.①令u ′(x )＝0,解得a ＝－16.∴当－1＜x ＜0时,u ′(x )＞0；当x ＞0时,u ′(x )＜0. ∴h ′(x )在(－1,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减. ∴h ′(x )≤h ′(0)＝0,则h (x )在(0,＋∞)上单调递减.又h (0)＝0,∴当－1＜x ＜0时,h (x )＞0,即f ′(x )＞0；当x ＞0时,h (x )＜0,即f ′(x )＜0. ∴f (x )在(－1,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减. ∴x ＝0是f (x )的极大值点,符合题意.②若－16＜a ＜0,则u ′(x )＝1＋6a ＞0,u ′⎝⎛⎭⎫e －1＋6a 4a －1＝(2a －1)(1－e 1＋6a 4a )＜0,∴u ′(x )＝0在(0,＋∞)上有唯一一个零点,设为x 0.∴当0＜x ＜x 0时,u ′(x )＞0,h ′(x )单调递增,h ′(x )＞h ′(0)＝0,即f ′(x )＞0. ∴f (x )在(0,x 0)上单调递增,不合题意；③若a ＜－16,则u ′(x )＝1＋6a ＜0,u ′⎝⎛⎭⎫1e 2－1＝(1－2a )e 2＞0, ∴u ′(x )＝0在(－1,0)上有唯一一个零点,设为x 1.∴当x 1＜x ＜0时,u ′(x )＜0,h ′(x )单调递减,h ′(x )＞h ′(0)＝0,h (x )单调递增,h (x )＜h (0)＝0,即f ′(x )＜0.∴f (x )在(x 1,0)上单调递减,不合题意. 综上,a ＝－16.22.(2018年新课标Ⅲ理)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数),过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点. （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【解析】（1）将⊙O 的参数方程化为普通方程,得为x 2＋y 2＝1,圆心为O (0,0),半径r ＝1.当α＝π2时,过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l 的方程为x ＝0,成立； 当α≠π2时,过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l 的方程为y ＝tan α·x ＋2. ∵直线l 与⊙O 交于A ,B 两点,∴圆心O (0,0)到直线l 的距离d ＝|2|1＋tan 2α＜1. ∴tan 2α＞1,解得tan α＞1或tan α＜－1.∴π4＜α＜π2或π2＜α＜3π4. 综上,α的取值范围为⎝⎛⎭⎫π4，3π4.（2）由（1）知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为x ＝m (y ＋2).设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3). 联立⎩⎨⎧x ＝m (y ＋2)，x 2＋y 2＝1，化简得(m 2＋1)y 2＋22m 2y ＋2m 2－1＝0. ∴y 1＋y 2＝－22m 2m 2＋1,y 1y 2＝2m 2－1m 2＋1. ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋2)＋m (y 2＋2)＝－22m 3m 2＋1＋22m , x 3＝x 1＋x 22＝2m m 2＋1,y 3＝y 1＋y 22＝2m 2m 2＋1. ∴AB 中点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m m 2＋1，y ＝2m 2m 2＋1(m 为参数),(－1＜m ＜1).23.(2018年新课标Ⅲ理)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.（1）画出y ＝f (x )的图象；（2）当x ∈[0,＋∞)时,f (x )≤ax ＋b ,求a ＋b 的最小值.【解析】（1）当x ≤－12时,f (x )＝－(2x ＋1)－(x －1)＝－3x ； 当－12＜x ＜1,f (x )＝(2x ＋1)－(x －1)＝x ＋2； 当x ≥1时,f (x )＝(2x ＋1)＋(x －1)＝3x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12＜x ＜1，3x ，x ≥1.对应的图象如图所示.（2）当x ∈[0,＋∞)时,f (x )≤ax ＋b .当x ＝0时,f (0)＝2≤0·a ＋b ,∴b ≥2；当x ＞0时,要使f (x )≤ax ＋b 恒成立,则f (x )的图象恒在直线y ＝ax ＋b 的下方或在直线上. ∵f (x )的图象与y 轴的交点的纵坐标为2,且各部分直线的斜率的最大值为3,。