数学人教B版必修4 2.3.1向量数量积的物理背景与定义 学案 Word版缺答案

2．3．1向量数量积的物理背景与定义
一、学习要点：向量数量积的定义、投影、数量积的性质 二、学习过程：
一.复习回顾：数乘运算的定义及运算律: 二.新课学习：
1.平面向量数量积的物理背景:
如图:一个物体在力F 的作用下产生位移s
W = |F |⋅|s |cos θ
其中力F 和位移s 是向量，θ是F 与s 的夹角，
2.平面向量数量积的定义: (1)向量的夹角:
不共线向量有不同方向,它们的位置关系可用夹角来表示,关于向量的夹角,我们规定:
两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ,则
叫做向量a
和b 的夹角．
特殊情况:当θ= 0︒时, a 与b 同向； 当θ= 180︒时, a 与b 反向；
当θ= 90︒时,我们说a 与b 垂直,记作a ⊥b .
注意:求两向量的夹角,两向量必须共起点. (2)定义:
已知两个非零向量a 与b , 我们把数量 叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ⋅b , 即
AOB θ∠=(0180)
θ≤≤O
1
O
O
B 1O
O 1O
θ = 0︒
θ
θ
θ θ
O O
O
O
O A A A B
B
B B
B
C
规定: 零向量与任一向量的数量积为0.⋅即a⋅0 =0 .
注意:
1︒两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由cosθ的符号所决定;
2︒ a⋅b不能写成a×b，也不能写成ab．
(3)思考:向量的数量积什么时候为正,什么时候为负?
当0°≤θ＜90°时a⋅b为正；
当90°＜θ≤180°时a⋅b为负；
当θ=90°时a⋅b为零.
(4)投影的概念与数量积的几何意义:
1︒“投影”的概念：
定义：叫做向量b在a方向上的投影.
注意：(1)投影也是一个数量，不是向量.
(2)当θ为锐角时投影为正值；
当θ为钝角时投影为负值；
当θ为直角时投影为0；
当θ= 0︒时投影为|b|；
当θ= 180︒时投影为-|b|.
2︒向量的数量积的几何意义：
3.平面向量数量积的性质:
设a、b为两个非零向量，e是单位向量.
1︒
2︒
3︒
4︒
5︒
三．例题：
例1 已知|a|=5，|b|=4，若(1)a与b的夹角θ=120°(2) a∥b; (3) a⊥b,分别求a·b.
例
2 已知平面上三点
A 、
B 、C
满足2,1,3,AB BC CA ===求
AB BC BC CA •+•CA AB +•的值.
四.课堂练习:
1. 教材109页练习题;
2.判断下列各命题正确与否：
(1) 若a = 0，则对任一向量b ，有a ⋅b = 0。

(2) 若a ≠ 0，则对任一非零向量b ，有a ⋅b ≠ 0。

(3) 若a ≠ 0，a ⋅b = 0，则b = 0。

(4) 若a ⋅b = 0，则a 、b 至少有一个为零。

(5) 若a ≠ 0，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c 。

(6) 若a ⋅b = a ⋅c ，则b = c 当且仅当a ≠ 0时成立。

(7) 对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c )。

(8) 对任意向量a ，有a 2 = |a |2。

五.课堂小结:
公式变形
特殊化
五条重要性质
数形
结合
几何意义
六.作业:见作业（20）。