2023高三数学冲刺训练题 (9)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）
A．A∩B={x|x＜} B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜} D．AUB=R
2.下列各式的运算结果为纯虚数的是（）
A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）
3.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）
A．B．C．D．
4.已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3）．则△APF的面积为（）
A．B．C．D．
5.函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x ﹣2）≤1的x的取值范围是（）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
6.如图，己知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )
A ．直线1A D 与直线1D
B 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B
C ．直线A
D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B
7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，a=2，c=，则C=（ ） A ． B ．
C ．
D ．
8.已知数列{}n a 满足11a =
，1*)n a n N +=
∈．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则(
) A ．1001
32
S << B ．10034S << C ．100942
S <<
D ．
1009
52
S <<
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a b <，则下列结论错误的是（ ） A ．
11a b
> B ．22a b < C ．1122a
b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．ln()0b a ->
10．已知某物体作简谐运动，位移函数为()2sin()(0,)2
f t t t π
ϕϕ=+≥<，且4(
)23
f π
=-，则下列说法正确的是（ ） A ．该简谐运动的初相为6
π
B ．函数f t 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
C ．若[0,]2
t π
∈，则()[1,2]f t ∈
D ．若对于任意12,0t t >，12t t ≠，有12()()f t f t =，则12()2f t t +=
11.已知函数2
()1x
f x x =
+，则下列说法中正确的有（ ） A ．函数f （x ）的值域为11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B ．当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，y =f （x ）与y =tan x 的图象有交点
C ．函数3423()59
x x
g x x x -=-+的最大值为12 D ．当x ≥0时，()1x f x e ≤-恒成立
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,
,n ，且
1
()0(1,2,
,),1n
i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21
()log n
i i i H X p p ==-∑.（ ）
A. 若n =1，则H (X )=0
B. 若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大
C. 若1
(1,2,
,)i p i n n
==，则H (X )随着n 的增大而增大
D. 若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，
则H (X )≤H (Y )
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．
14.曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为
15．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．．
16. 在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，
解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。

）
17已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
18．S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3
（I）求{a
n
}的通项公式：
（Ⅱ）设b
n =，求数列{b
n
}的前n项和．
.
19．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
20．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m
m
⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，
()
2
0.0500.0100.001
3.8416.63510.828
P K k
k
≥
．
21．在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N 两点．
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
22．设函数f（x）=e2x﹣alnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；
（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln．。