杨文佳：浅谈“ 新定义”型问题

送审论文（一）
浅谈“新定义”型问题
揭东第二中学
杨文佳
2010年12月
浅谈“ 新定义”型问题
随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型脱颖而出，为高考试题增添了活力。

纵观近年各地高考的创新题型，不难发现，“新定义”型这种题目是高考试题的一大热点。

所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考察学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而它受到命题者的青睐。

纵观这几年的高考试题，可以发现，“新定义”型问题按其命题背景可分为三种类型：以新课标内容为背景、以高等数学为背景、以跨学科为背景。

现就相关类型作探讨：
一、以新课标内容为背景
以新课标内容为背景，这种类型的问题很多，一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新公式或新符号等，学生在理解相关新概念、新公式或新符号之后，运用新课标学过的知识，结合学生已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决。

例1、我们把由半椭圆12
22
2=+
b
y a
x (0)x ≥与半椭圆
12
22
2=+
c
x b
y (0)x ≤合成的曲
线称作“果圆”，其中2
2
2
c
b
a
+=，0
>a
，0>>c b ． 如
图，设点0
F ，1
F ，2
F 是相应椭圆的焦点，1
A ，2
A 和1
B ，
2
B 是“果圆” 与x ，y 轴的交点，M 是线段2
1
A A
的
中点．
（1）若三角形0
12F
F F 是边长为
1的等边三角形，求“果圆”的方程；
解：∵F 0（c ，0）F 1（0，2
2
c
b --），F 2（0，
2
2c
b -）
∴| F 0F 1 |＝1)(2
22==+-b c
c b ，| F 1F 2 |＝122
2
=-c
b
于是4
32
=
c
，4
72
22
=
+=c b a
，所求“果圆”方程为
17
42
2
=+y
x （x ≥0），13
42
2
=+x y （x ≤0）．
点评：本题是由两个半椭圆复合而成的图形，关键在于“果圆”方程中的a,b,c 的关系，结合等边三角形的性质，很快便能求出相应的a,b,c
例2、对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1
,y 1
)、B (x 2
，y 2
)，定义它们
之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1
－x 2
︱+︱y 1
－y 2
︱.给出下列三个命题：
①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;
②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2
+‖CB ‖2
=‖AB ‖2
；
③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.
其中真命题的个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：对于直角坐标平面内的任意两点1
122(,),(,)
A x
y B x y ，定义它们之间的
一种“距离”：2121|
|.A B x x y y =-+-
①若点C 在线段AB 上，设C 点坐
标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间， 则
01012020||||||||A C C B x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y A B -+-=
③在A B C ∆中，
01012020||||||||AC C B x x y y x x y y +=-+-+-+-＞
01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+-=2121||.x x y y A B -+-=
∴命题① ③成立，而命题②在A B C ∆中，若90,o
C
∠=则2
2
2
;
A C
C B
A B
+=明显不成立，选C.
点评：本题与2010年广东高考理科数学最后一题提供情景相似。

对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。

但是，透过现象看本质，命题①中的本质是三点共线，点C 在线段AB 之间，①显然成立;命题③由两边之和大于第三边，显然成立。

例3、如果有穷数列1
2
3
m
a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m
a a
=1
，12
-=m a a
，…，
1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m
= ，，，），我们称其为“对称数列”．
（1）设{}n
b 是7项的“对称数列”，其中1
2
3
4
b b b b ，
，，是等差数列，且2
1
=b ，
11
4=b ．依次写出{}n
b 的每一项；
（2）设{}n
c 是49项的“对称数列”，其中25
2649
c c c ，，，是首项为1，公比为2的
等比数列，求{}n
c 各项的和S ；
解：（1）设数列{}n
b 的公差为d ，则11
32314
=+=+=d d b b
，解得 3=d ，
∴
数列{}n
b 为25811852，，，
，，，． （2）4921c c c S
+++= 25
492625)(2c c c c -+++=
()12
2
21224
2
-++++= ()
32
112
226
25
-=--==
67108861．
点评：本题关键在于准确把握“对称数列”的定义，而所考查的还是课本中数列的基本知识。

例4、A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，
都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤
-ϕϕ
（Ⅰ）设]4,2[,1)(3
∈+=
x x x ϕ，证明：A
x ∈)(ϕ
解：对任意]2,1[∈x ,]2,1[,21)2(3
∈+=x x x ϕ,
≤3
3)2(x ϕ3
5
≤,2
5313
3
<<
<
,
所以)2,1()2(∈x ϕ ,满足条件① 对任意的]2,1[,21∈x x ，
()
()()()
2
3
23
213
2
12121
1121212
|||)2()2(|x x x x x x x x
+
+
++
+
+
-=-ϕϕ，
∵()
()()()
3
23
213
2
1
112121x x x x +
+
+
++
+＞3
∴0<
()
()()()
2
3
23
213
2
11121212
x x x x +
+
+
++
+3
2<
∴令
()
()()()
2
3
23
213
2
11121212
x x x x +
+
+++
+=L ，
∴10<<
L ，∴|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ , 满足条件②
所以A x ∈)(ϕ
点评：对本题对学生阅读理解的能力要求较高，必须理解集合A 需具备二个条件，缺一不可，另外，对计算能力也有一定要求，题中确定L 又是一个难点，这些都要求学生须有扎实的基本功和良好的素质。

二、以高等数学为背景
本类型的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中。

此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能。

这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题。

例5、已知不等式n
n n
其中],[log
2
113
12
12
>
+
++
为大于2的整数，][log
2
n 表示
不超过
n
2
log
的最大整数. 设数列
}
{n a 的各项为正，且满足
,4,3,2,),0(1
1
1=+≤
>=--n a n na
a b b a n n n
（Ⅰ）证明
,5,4,3,]
[log
222
=+<
n n b b a
n
（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N
n
>时，对任意b >0，都有.5
1<
n
a
解：（Ⅰ）∵当,111,0,21
1
11
1
n
a na
a n a a n na
a n n n n n
n n n +
=
+≥
∴
+≤<≥-----时
即
,1111
n a a n n
≥-
-
于是有
.111,
,3
111
,
21
1112
3
1
2
n
a a a a a a n n
≥
-
≥
-
≥
-
-
所有不等式两边相加可得
.13
12
1111
n
a a n
+
++≥
-
由已知不等式知，当n ≥3时有，].
[log
2
1112
1
n a a n
>
-
∵.]
[log
22.
2]
[log
2][log
2
111,2
2
2
1
n b b a b
n b n b
a b a
n n
+<
+=+>∴=
（Ⅲ）∵
,5
1]
[log
2,]
[log
2]
[log
222
2
2
<
<
+n n n b b 令
则有,10][log
log
2
2
>≥n n ∴1024
2
10
=>n
故取N=1024，可使当n>N 时，都有.5
1<
n
a
点评：理解好[]n 2
log 是解题的关键，其中一处
],
[log
2
113
12
12
n n
>
+
++
另一处
是[]n 2
log
的取值范围，只要充分理解题意，深入挖掘题中信息，结合初等数学的
知识，便能解决问题。

例6、定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.
已知函数
()11124x
x
f x a ⎛⎫⎛⎫
=+⋅+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有
界函数，求实数a 的取值范围；
解：由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立。

即3)(3≤≤
-x f ，
∴ x
x
x
x
a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅-212
2212
4在[)0,+∞上恒成立
∴ min
max 21222124⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-x
x
x x a
设t
x
=2
，t
t t h 14)(-
-=
，t
t t p 12)(-
=
，由x ∈[)0,+∞得 t ≥1，
设1
2
1t
t ≤<，()()21121
2
12
41()()0
t t t t h t h t
t t ---=>
()()0
12)()(2
1212121<+-=
-t t t t t t t p t p
所以)(t h 在[)1,+∞上递减，)(t p 在[)1,+∞上递增，
)(t h 在[)1,+∞上的最大值为(1)5h =-， )(t p 在[)1,+∞上的最小值为(1)1p =
所以实数a 的取值范围为[]5,1-。

点评：本题要充分理解题意，准确把握“以3为上界的有界函数”的实质是什么？从而转化为关于a 的不等式恒成立的问题，运用学过的知识，便能求出相应函数的最值，求出参数a 的取值范围。

例7、已知ABC ∆的三个顶点()()()332211
,,,,,y x C y x B y x
A ．定义三阶行列式
2312311332213
3
22
11
1
11
y x y x y x y x y x y x y x y x y x D ---++==（当C B A 、、三点逆时针排列时，
三阶行列式D 的值为正）
（1）若ABC ∆的三个顶点A （1，1），B （3，2），C （2，4）计算三阶行列式D 的绝对值及与ABC ∆的面积，你发现二者之间有什么关系？ （2）若ABC ∆的顶点
A
在直线
x
y =上运动，顶点()8,6B ，顶点C 在线段
()532≤≤=x x y 上运动，且B C A 、、三点的横坐标成等差数列，请问ABC ∆的面积
是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由．
解：（1） D 的绝对值为5，ABC ∆的面积为2
5
三阶行列式1
113
3
22
11
y x y x y x D
=的绝对值的几何意义是以()()()
332211
,,,,,y x C y x B y x
A 为顶
点三角形面积的2倍．
（2）依题意设 A （2x －6,2x －6）,B(6,8) ,C(x,2x)
由（1）知：D = =－2x 2＋14x －12
)5,3(,4
25)2
7(672
2
∈+
--=-+-=x x x x
S
故当x=2
7
时，ABC ∆的面积有最大值
4
25
点评：本题主要是探索以A 、B 、C 三点坐标组成的行列式与△ABC 面积的关系，并运用相应结论解决问题，解答时必须思考两题中的联系，借助三阶行列式便能很快地求出△ABC 面积的最大值。

三、以跨学科为背景
本类型的题目，主要是介绍数学知识在其他学科或领域的运用，一般都会介绍运用时的知识背景、数学模型,因而题中文字、信息较多。

学生必须准确地把握题意、理顺线索、分析相应数学模型与数学知识的内在联系，结合学生已有的知识和能力进行推理、运算。

例8、为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A.4,6,1,7
B.7,6,1,4
C.6,4,1,7
D.1,6,4,7 解析：当接收方收到密文14，9，23，28时，
则214
29
2323428a b b c c d d +=⎧⎪
+=⎪⎨
+=⎪⎪=⎩
，解得6417
a b
c d =⎧⎪=⎪⎨
=⎪⎪=⎩
，解密得到的明文为C ．
点评：本题是数学知识在信息技术中的运用，关键是弄清“加密”和“解
2x ＋6 2x －6 1 6 8 1 x 2x 1
密”对应的法则，组建方程组,便能求解。

例9、品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。

根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分。

现设4n =，分别以1
234,,,a
a a a 表示第一次排序时被排为
1,2,3,4的四种酒在
第二次排序时的序号，并令
1234
1234X a a a a =-+-+-+-，
则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。

(Ⅰ)写出X 的可能值集合；
(Ⅱ)假设1
234,,,a
a a a 等可能地为
1,2,3,4的各种排列，求X 的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2
X ≤，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

解：(Ⅰ)X 的可能取值集合为{0,2,4,6,8}.
在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以2
a ，4
a 中的奇数的个数等于1
a ，
3
a 中偶数的个数，因此1
3|1||3|
a
a -+-与2
4|2||4|a
a -+-的奇偶性相同，从而
1324(|1||3|)(|2||4|)X a a a a =-+-+-+-必为偶数.
X 值非负，且易知其值不大于8.
容易举出使得X 的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.
(Ⅱ)可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X 的值，在等可能的假定下，得到
X 0
2
4
6
8
P
124
324
724
924
424
(Ⅲ)(ⅰ)首先131(2)(0)(2)24
24
6
P X
P X P X ==+==
+=…，将三轮测试都有2
X
≤的概率记作p ，由上述结果和独立必假设，得 3
11
6
216
p
=
=
.
(ⅱ)由于15216
1000
p =
<
是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三
轮测试都有2
X
≤的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味
觉鉴别功能，不是靠随机猜测.
点评：本题对学生阅读能力有一定要求，还涉及到离散型随机变量及其分布、排列组合等数学知识，同时通过设置密切贴近生产、生活实际情景，考查学生抽象概括能力和创新能力。

准确理解“测试”的方法是解题的关键。

例10、对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1()
-
污物质量物体质量含污物)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种
方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a (1≤a ≤3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是
0.81
x x ++(
1
x a >-),用
y
质量的水第二次清洗后的清洁度是
y a c y a
++,其中
(0.80.99)c c <<
是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙,当a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解：(I)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z ，由题设有99
.01
8.0=++x x ，
解得19=x
由c =0.95得方案乙初次用水量分别为3，
10 第二次用水量y 满足方程
99.095.0=++a y a
y ，解得a y 4=，故34+=a z
即两种方案的用水量分别为19与34+a
因为当1 ≤ a ≤ 3时，x –z = 4(4-a)> 0，即x>z
故方案乙的用水量较少。

(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得，
)1(54
5c c x --=，)10099(c a y -=（*） 于是1)1(100)1(51)10099()1(54
5---+-=
-+--=+a c a c c a c c y x 当a 为定值时， 1541)1(100)1(51
2-+-=---⨯-≥+
a a a c a c y x 当且仅当
)1(100)1(51c a c -=-时等号成立，此时a c 51011+=（不合题意，舍去） 或)99.0,8.0(51011∈-
=a
c 将a c 510
1
1-=代入（*）式得a a y a a x -=->-=52,1152 故a c 5101
1-
=时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为152-a 与a a -52，最少总用水量是154)(-+-=
a a a T 当1≤a ≤3时，015
2)(>-=a a T ，故)(a T 是增函数
这说明，随着a 的值的增加，最少总用水量增加。

点评：学生必须理解题中“清洁度”的定义及相关信息，准确理解题意，正确建立数学关系，运用数学知识对问题进行分析、推理，寻求问题的解决。

由上各例可见，“新定义”型的问题，通常是选取合适的数学背景，把新定义、新运算、新符号等巧妙的融入高考试题中来，虽然它的构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强，到处都体现出新意，但是，它考查的还是基本知识和基本技能，解题的关键在于全面准确理解题意，科学合理的推理运算。

因此，“新题”不一定是“难题”，只有夯实基础，掌握好双基，以不变应万变才是我们取胜的法宝。