重庆市第一中学高二10月月考理数试题含解析.doc

重庆市第一中学2016-2017学年高二10月月考理数试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
X2v2
1・双曲线才一石=1的一个焦点坐标是（）
九（0,8） B. （-2^2,0） C.（0,2呵
D・（-4,0）
【答案】D
【解析】
试题分析：c2=t72+/r=16,c = 4,所以交点坐标为（-4,0）.
考点：双曲线的概念.
【易错点晴】双曲线的标准方程中对a"的要求只是a>0,b>0,易误认为与椭圆标准方稈中恥的要求相同.若a>b>0f则双曲线的离心率呵1“）；若a= b>0t则双曲线的离心率£ =迈；若Ovavd则双曲线的离心率£>妊注意区分双曲线中的⑦吐大小关系与椭圆a,b,c关系，在椭圆中□ Z?2 +c2,而在双曲线中c2 = a2 +b2.
、X2 y2
2 •过椭圆y + y = l（6z>/7>0）的一焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦，则此弦长为（）
A，7 B. 3 C. 2^3
3
【答案】B
【解析】
试题分析：椭圆的通径长为—= -=3
a 2
考点：椭圆的通径.
1（° > 0,b > 0）的一个焦点为F （2,0）,双曲线的渐近线y 二±V3x ,
双曲线的方程为（
【答案】D
【解析】
'解得a=\、b =畐〉所以方程为/一专=1・ 宀/+/
考点：双曲线的概念与性质•
ZBC 的角"C 的对边分别为S ，己知24宀务誇，则c 的长度是（） A. >/6 D. 2^3
【答案】C
【解析】 试题分析：由正弦定理得一^ =」一
sin B sin C
考点：解三角形.
5•已知数列｛a 讣为等差数列，若4+05+09=龙，则cos （6i 2 +<^）的
值为（）
A.
2 2
3.已知双曲线一z —厶■
a lr
? 2 A. 乂-丄=1 9 13
? 2 B. 乂-丄=1 13 9
c. y-r = i
试题分析:依题意有^ = 3 4^6
2
考点：数列，三角函数.
6•若直线祇— by + l = 0（a>0Q>0）平分圆C:x 2+ >-+ 2x-4y + l = 0的周长，则"的取
值范 围是()
A ( 「 A. —OO,—
8
D. —,+oo
l_4丿
【答案】B
【解析】
试题分析：直线平分圆的周长即直线过圆心(-1,2),所以-a-2i + l = 0q+2b = l,由基本不等式得 l=a-i-2b>2^b,ab<^ ?故选氏
8
考点：直线与圆的位置关系.
x 2 + y 2 > 1
7.设实数兀,y 满足(05x51 ,则兀+y 収得最小值时的最优解的个数是()
0<y<l A. 1 B. 2 C. 3
D.无数个
【答案】B 【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点A(0,l),3(1,0)处取得最小值.
D.
【答案】A 【解析】 试题分析:
71
COS （672 +@） = COS （2d5）=
2兀
cos —— 3
C -
考点：线性规划.
8.已知双曲线E手一莓=l(d > 0,b> 0)的左焦点为F(-2,0),过点F的直线交双曲线于
A.B
两点，若4B的中点坐标为(-3,-1),则E的方程为()
9 9 2 ?
A. ^-21 = 1
B.兀2_丄=1
C.
36 4 3 3
4 36
【答案】C
【解析】
试题分析：由于七=2,排除A, D 选项•依題意可知直线的斜率存在，所以设直线方程为
歹"(才+2),代入双曲线方程化简得(b 1 -a 2^)^ - Aa^x-^k-^b 2 = 0,西+花=沪二曲，
(也％ 、
&2_/疋+4 ＞曲的中点坐标为(一3,-1),所以西+花=
(也％1
、
护 石总+4 =一2,得k = \,所以/=3代 结合＜7 = 2,＜72 = «2
4-i 2求得
沪=1,/=3,方程为—-J 2 = 1
考点：直线与圆锥曲线位置关系.
2
9.已知P 是椭圆—+ / = 1上的动点，则P 点到直线/:x+y-2V5=0的距离的最小值为
4
DP
【答案】A
【解析】
试题分析:设P (2cos^ siD &),由点到直线距离公式有6/ =
考点：直线与圆锥曲线位置关系.
10.若正实数兀,y 满足log 2 (x+3y) = log 4 x 2 +log 2 (2y),则3兀+ y 的最小值是() A. 12 B. 6 C. 16
D. 8
【答案】D
Ji +J 2 =疋(不+花+4)=疋
必+巾=疋(遍+花+4)=疋
5
【解析】 试 题 分 析： 由
log 2(x + 3>9 = log 4 x 2+log 2(2>9
化 简 得
x + 3y = 2xy, -------- =
2xy
考点：基本不等式.
2 2
11.过双曲线二—占= l(a>0,b>0)的左焦点F 作圆兀2 +〉,2=亍的切线，切点为° 延 CT /?_
长FE
交双曲线于点P,Q 为坐标原点，若OE = -(OF + OP)f 则双曲线的离心率为()
1 + V5 2
【解析】
【答案】C
3兀+丁 = *(3兀+〉‘)
竺+芟、 y x)
>1(10 + 6) = 8.
试题分析：画出图象如下图所示，由图可知，0E 是三角形码骂P 的中位线，根据双曲线的定义有
\PF 1\-\PF z \ = 2b-2a = 2a i b=2a ?所以e
【思路点晴】本题主要考查双曲线、圆的位置关系，向量运算等知识.圆的半斤为d,直线和 圆相切，0E 丄由OE = |（OF
+ OP ）知E 为P 百屮点，所以可以得到0E 是三角形 F }F 2P 的中位线，再结合中位线和双曲线的定义，可求得的数量关系，
进而求得双曲线的
离心率.OE = ^（OF-^OP ）的几何意义就是三角形的中线.
直线/:d-y + 3-2£ = 0,若直线/与函数/（x ）的图像有两个公共点，则实数k 的取值范
围是（）
A. A
u
B.
C.
U j
L 3>
<4丿
<
24
<
24
U ）
【答案】A
12.对任意实数a,b,c,d
定义符号
J ad _ be (ad >bc)
— y/bc-ad (ad <bc)
/(x
) =
4、
£ 考点：双曲线、圆的位置关系，向量运算.
【解析】
图所示，其中y = 4^^-y 2
= 4r 为双曲线的上半部分，渐近线为y = ±x f 由團可知当直线过
3
/(2,3)上(-2,0)时，有三个交点，要有两个交点，斜率要大于k 启,又要小于渐近线的斜率，所叹斜
4
率珂扌」)•其中尸g 肛N,手+b = 1为椭圆的上半部分,此时直线的斜率介于渐近线的斜率-1和
直线与椭圆相切时的斜率也之间•将尸比匕一2)+3与?+於=1联立消去八 令判别式等于雾，解得
4
q.
综上所述，斜率的取值范围是討.
考点：新定义运算.
【思路点晴】本题主要考查新定义运算，直线与双曲线的位置关系，直线与椭圆的位置关系.
x 4
试题分祈：/(^)= I
—丁4_壬,—2<x<2
2
,直线尸上(X-2)+3过定点(2,3),画出图象如下
先根据新定义的运算，将函数/（X ）的表达式求出来.对两段表达式平方后整理，可以发现其 中一段是双曲线的一部分，另一段是椭圆的一部分.直线和椭圆有一个交点，转化为联立方程 组后判别式等于零.直线和双曲线的渐近线平行式，直线和双曲线只有一个交点.
第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分・） _
_ 一 3 —一
_
13.已知向量m = （1,1）,向量〃与向量加夹角为［龙，且= -1,则
【答案】1 【解析】
3兀
cos ——=
4
考点：向量的数量积.
14.设等比数列｛d“｝满足+。

3二10卫2 +心4 =5 ,则= _____________________
【答案】—
16
【解析】 试题分析：依题意有空竺 二丄，代回勺二解得坷=8,所以
2
考点：等比数列.
15.已知动点P 与双曲线兀2 _ y2 = 1的两个焦点百，坊的距离之和为定值，且COSZfJPF,的最 小值
为-丄，则动点P 的轨迹方程为
3
2 【答案】—+/= 1
3
【解析】
一
m n
-1
A /2 n
试题分析: m ・n
试题分析：双曲线焦点为耳（-运0）,巧（逅0）, c =忑,设I 丹］| + |PF^ = 2a a 2a>2c i a>yl2f 由余
弦定理得 COS ZFPF 2= , …
, , … ,
2|闵|隔|
阿||昭|
以 iliin ： _1二加 2 仁 1 = _£ j =3,沪=a 2-c 2 =1,椭圆方程为三 + y 2 =1.. |尸划尸％ a 3
3
考点：轨迹方程.
【思路点晴】本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查椭圆定义与椭圆的标准方程，考查余眩 定理与基本不等式求最值•是圆锥曲线与基本不等式知识相结合的一个综合性试题，知识覆盖 面很广.在求解过程屮，先注意到动点到两个定点的距离Z 和为常数，所以考虑轨迹是椭圆， 然后利用余弦定理和基木不等式建立不等式，由不等式的最小值求出a, A
2 2
16.椭圆—+ ^ = 1的左右焦点分别为耳,代，过焦点好的直线交该椭圆于两点，若 16 4
\ABF 2
的内切圆面积为龙，A ,B 两点的坐标分别为（西，必）,（兀2，旳），则|ji-y 2|的值为 【解析】
试题分析：依题意有a = 4,b = 2,c = gi 〉由内切圆的面积可知内切圆的半径为r = 1.由椭圆的定义知 |曲| + |/耳| + 0巧| =也，由内切圆半径及三角形面积公式有S =、4G 厂=8,分成两个三角形计算面积
X*
为｝--2c-\y 2-y 1\ = 2y/3\y 2-y 1 £
=&\yi~yi =字・
阿 +|昭| _心_ 2宀4
宙于『列『码卜
【答案】
4^3
【思路点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查两点纵坐标之差的绝对值的几何意义，考查椭圆的左义，考查有关三角形外切圆半径的面积公式.第一步先根据题意I田i出图像, 由于题目给定内切圆血积为龙，由此可知内切圆的半径为1,再根据三角形面积公式可计算出面积为8,将三角形分成两个部分，同吋以2c为底，高恰好就是|y,-y2|.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知直线4 :似+ 3y + l = 0,厶：x + （a-2）y + d = 0.
（1）若厶丄厶，求实数Q的值；
（2）当厶/〃2时，求直线厶与厶之间的距离.
【答案】（1）a=-；（2）亚.
2 3
【解析】
3
试题分析：（1）两直线垂直，。

+ 3@-2）= 0,解得（2）两直线平行，由斜率相等计算出“ 再由两平行线的距离
公式计算距离为 华• 试题解析:
1
（1）由£ 丄码知。

+ 3（。

一2） = 0,解得4 = 一； 2
£:3x+3y + l = 0£:x+y + 3 = 0> 即 3x+3y+9 = 0> 距禽为 & = 考点：两条直线的位置关系. 18.（本小题满分12分）
己知曲线C 的方程是：F + y2_2x_4y + 〃 = o,点P （3,-l ）.
（1） 若m = l,直线/过点P 且与曲线C 只有一个公共点，求直线/的方程； （2） 若曲线C 表示圆且被直线兀+ 2y + 5 = 0截得的弦长为2厉，求实数加的值.
【答案】(1) 5兀 +12)，— 3 = 0 或兀=3 ； (2) m — —20.
【解析】 试题分析：（1）加=1时，配方得（兀一1『+（丁一2『二4,这是圆的方程.当直线斜率不存在 是，方程为x = 3与圆恰好只有一个交点.当直线斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用圆 心到直线的距离等于半径，可求出斜率为公=-寻，从而求得直线方程为5兀+ 12y-3 = 0；
公式得 2“一 〃2 = 2^5, m = -20.
（2）当“鸟时,有
a{a-2}-3 = Q
3o —(a —2)工0
|9-1| 曲+ 3厂〒
(2)配方得(兀_l)2+(y_2)'=5_〃
圆心的到百线的距离〃
10
,据圆的弦长
试题解析:
⑴当加=1时，曲线的方程可化为：(x-l)2+(y-2)2=4,表示圆，又直线f 过点P 且与曲线C 只有 —个公共点，故直线/与圆相切.
① 当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为：y = k(x-3)-l,即Ax-y-3k-1=0,故 花一2—3上一1丨
5
千y = 2*-日直线的方程为亠+l —
② 当直线/的斜率不存在时，直线I 的方程为:x = 3, 综上得所求直线的方程为5兀+12^-3 = 0或x = 3・
(2)酉己方得(X —+(尹一2『=5—加，方程表示圆知5—加A0得加<5.
2&—馆=>2丁5_溜_20 =2^5=>^ = -20 ・
考点：直线与圆的位置关系.
19.(木小题满分12分)
已知函数/(x) = cos 2x + — +1, AABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是G 、b 、c. \
3丿
(1)若角4、B 、C 成等差数列，求/(B)的值;
反.
【答案】(1) 0； (2) 3 + V2. 【解析】
JT
试题分析：(1)角A 、B 、C 成等差数列，B = —,所以/(B )= cos^ + l = 0； (2)由
n rr\ n
o
1^1
i
=—化简得cosB = -, sinB = —,根据面积公式S=-acsinB 求得ac = 2, 2 6 J
而b 2
=ac,b = yf2 ,再由余弦定理有o + c = 3,所以周长为3 + V2 .
圆心的到直线的距离H =
10
= 2^5 ,根据圆的弦长公式得
⑵若普£
r 且-b 、C 成等比数列，WC 面积S 斗，求WC 的周
试題解析:
TT
(1)由题知：=
= /(5)=COS ^+1=0.
故嗨込4*心乎丸=2,由S 成等比数列知宀= Q 又由余弦定理得 8汕=/+亠沪=("才—血—*=(? 士亡6」5 + “3二周长为3 +血.
2ac 2ac 4 4
考点：数列，解三角形.
20.(本小题满分12分) 设数列｛%｝的前n 项和为S”，且S,严"S + D .
(1) 求数列｛勺｝的通项公式；
2
(2) 令仇=2“"+ ----------- (” = 1,2,3…)，其前71项和为7；,如果对任意的朋矿，都有
T n +2t>t 2 成立，
求T n 的表达式及实数t 的取值范围. 【答案】(1) a n = n : (2) -l<r<3. 【解析】
试题分析：(1 )利用a”=S”—S,i 求得a n =n :
( 2 )化简
2
(11、
仇=2〃+
—— =T + 2 -------------- ・利用分组求和法和裂项求和法可求得 〃(n + l) \n 料+ 1 丿
2
T n = 2n+, ---------- , 7；是增函数，(血人加二了二彳，故3 + 2/>r 2=>-l</<3.
AT I 1
试题解析：
(2)f
B 71
2 6
71
+ — +1 =cos5 + l = —=>cosB = —=>cos£ = —=>SID 5 - ?
4 4 4 4
・
・
(22),
= cos 2 (1) •
又d]=S]=l, ^a n =/?(n>l)
1-2 I 2 2 3 n H +1J
/i + l
（7；） . =7：=3,故3 + 2t>t 2^>-\<t<3 \ n / min 1
考点：数列与数列求和.
21.（本小题满分12分）
2 2
己知椭圆二+』7 = l （d>b>（））的左右顶点为A 、B,左右焦点为F\,E ，其长半轴的长 er b_
等于焦距，点
Q 是椭圆上的动点，氐QF\F?面积的最大值为JL （1） 求椭圆的方程；
（2） 设P 为直线兀=4上不同于点（4,0）的任意一点，若直线AB. BP 分别与椭圆交于异
于A 、 B 的点
M 、N ,判断点B 与以为直径的圆的位置关系.
2 2
【答案】（1） —+ —= 1：（2）圆内.
【解析】
试题分析：⑴ 依题意有a = 2c t ~2c b = y/3a a 2 =b 2-\-c 2 ?解得a =
= = \,所以椭圆方程为
£
为钝角，所以点月在以为直径的圆内.
7
2呵一一，则7；是增函数, 怎=中（4 一分由P 、4、M 三点共线得P
4
②T a n — n(n > 1)= 2n +
试题解析:
(2)解：由⑴知/(—2,0),0(2,0),设M(兀J。

),则羊+ 与=1,且—2<兀<2, 4 3
3
即^ = -(4-^) ................................................... ①
由P、4、M三点共线得尸4.-^5-1
I兀+ 2丿
故翊丽=2%一4+血-=^^(爲一4+3忧) ..................................... ②
兀+2 勺+ 2
___ —. 5 z s———
将①代入②化简得BM・BP = -Q-心因-2<^<2故BM^F A O,故为锐角，所UZMNB 2
为钝角，所以点B在以为直径的圆内.
考点：直线与圆锥曲线位置关系.
【方法点晴】本题主耍考查直线与圆锥曲线位置关系，直线与圆的位置关系，考查化归与转
化的数学思想方法.长半轴的长等于焦距转化为o = 2c,当0为椭圆上顶点时，三角形的面
积最大即'.2c b = *,再结合椭圆的恒等式a2□ b2 + c2联立方程组可求得a,b,c的值.第2
二问要判断点与圆的位置关系，转化为点和直径两个端点所成向量的数量积来判断.
22.(本小题满分12分)
在平面直角坐标平面中，AABC的两个顶点为B(0,-l),C(O,l),平面内两点P、Q同吋
满足：①
PA+PB+PC=O； ®|eA|=|eB|=|ec|；③~PQH~BC.
(1)求顶点A的轨迹E的方程；
(2)过点F(V2,0)作两条互相垂直的直线/,,/2,直线£,厶与点A的轨迹E相交弦分别为
人〃|,人2坊，设
眩人4,舛B2的中点分别为M,N •
①求四边形£4妨场的面枳S的最小值；
②试问：直线MN是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.
【解析】
试题分析：（1）根据用+丙=2而得况=一2而，所以P 为
MBC 的重心，由②知Q 是
（x \ 一 一
,Q 出,0 ,根据QC = QA 化简得 \3丿
土+于=1（兀工0）； （2）①由已知得F （V2,0）,由此可设出直线方程，联立直线的方程和
椭圆的方程，利用根与系数关系.弦长公式和点到直线距离公式求得面积的表达式，利用基
试题解析:
（2）解：F （A /2,0）恰为—+/= 1的右焦点，
①当直线/…/2的斜率存且不为o 时，设直线厶的方程为my = x-近, 由 v my-x y/2 =（加2 + 3）『2 + 2y/2my -1
= 0,
兀 2+3）,2_3 = O V
八
-2y/2m
_i
设A （西，X ），4 （兀2,力）则刃+ >2 = …
' m +3
+ 3
【答案】（1） r 2
3
亍宀1（“0）；⑵①丁②
AABC 的外心,
/ 、 设心,y ）求得P 詔
\ 3丿
3
本不等式求得最小值为丁②根据中点坐标公式得M
，同理可求得
3 近 m 1 \[2m
3加 2 + r 3m 2 +1 丿
,利用直线方程两点式求得直线方程，并令y = 0求得x 二豎,所以
(1) : PA + PB = 2PO ,由①知 PC = -2PO, ・・・P 为AABC 的重心,设A （x t
y ）,则尸
知Q 是SABC 的外心，・・・0在兀轴上由③知Q 化简整理得: 吕+宀1(*0)
直线过定点 ,得
，0 •
由②
整理化简得3严/ +（3血—4x ）肿+6}w? +3（3血—4x ）朋—9y =0 >
②当直线/】丿2有—条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0,直线即为兀轴，过点 专,0
4
考点：直线与圆锥曲线位置关系，向量运算.
综上,
3
S 的最小值鹫
2V3（m 2 + l ）
3m 2
+1
①根据焦半径公式得1^^1 = 273-
又西 +花-加+ V2 + my 2 +V2 = m （y }
+ %）+ 2血二书I?"血
6^2
加$+3
所以|個=2屁笔=2
巾（：；
1）,同理肉坊| = 1 （1 \
—+1 I 府 丿 h m 9 1 \2 nr +1 7 >6
‘4（加$ +1）、
2
\ 丿
当初2 + 3=3加2 + 1,即加=±1时取等号.
②根据中点坐标公式得Af （吕务,
则"论+3）（3 加 2+1） nv+\\
3
T_2
■Jim 、
则直线皿¥的斜率为％
y/2m —yflm
3朋$+3 一朋2+3 _ 4朋 3屈2 3迈 _3（加2_1） 3?«2 4-1 肿+3
+兀2）
,同理可求得N
令y=0,解得"誓
4 ,直线恒过定点
【方法点晴】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面耍结合己知条件, 从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后市根与系数的关系求解是一个常用的方法.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的眩的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.。